Calcul d'une barre ronde pour flexion avec torsion. Flexion avec torsion d'une poutre ronde Flexion spatiale d'une poutre ronde

Information brève de la théorie

La poutre est dans des conditions de résistance complexe, si plusieurs facteurs d'efforts internes ne sont pas égaux à zéro en même temps dans les sections transversales.

Les cas suivants de chargement complexe sont du plus grand intérêt pratique :

1. Coude oblique.

2. Flexion avec traction ou compression en position transversale
section transversale force longitudinale et des moments de flexion comme,
par exemple, avec une compression excentrique de la poutre.

3. Flexion avec torsion, caractérisée par la présence dans le pape
tronçons fluviaux d'une flexion (ou deux flexions) et d'une torsion
des moments.

Coude oblique.

La flexion oblique est un tel cas de flexion de poutre, dans lequel le plan d'action du moment de flexion total dans la section ne coïncide avec aucun des axes principaux d'inertie. Une courbure oblique est plus commodément considérée comme une courbure simultanée d'une poutre dans deux plans principaux zoy et zox, où l'axe z est l'axe de la poutre et les axes x et y sont les principaux axes centraux de la section transversale.

Considérons une poutre en porte-à-faux de section rectangulaire, chargée avec une force P (Fig. 1).

En développant la force P le long des axes centraux principaux de la section transversale, nous obtenons :

R y \u003d R cos φ, R x \u003d R sin φ

Les moments de flexion se produisent dans la section courante de la poutre

M x \u003d - P y z \u003d - P z cos φ,

M y \u003d P x z \u003d P z sin φ.

Le signe du moment de flexion M x est déterminé de la même manière que dans le cas virage droit. L'instant M y sera considéré comme positif si aux points avec valeur positive de coordonnée x ce moment provoque des contraintes de traction. Soit dit en passant, le signe du moment M y est facile à établir par analogie avec la définition du signe du moment de flexion M x, si vous faites tourner mentalement la section de sorte que l'axe x coïncide avec la direction d'origine de l'axe y .

La contrainte en un point arbitraire de la section transversale de la poutre peut être déterminée à l'aide des formules de détermination de la contrainte pour le cas virage à plat. Sur la base du principe d'indépendance de l'action des forces, nous résumons les contraintes causées par chacun des moments de flexion

(1)

Les valeurs des moments de flexion (avec leurs signes) et les coordonnées du point auquel la contrainte est calculée sont substituées dans cette expression.

Pour déterminer les points dangereux de la section, il est nécessaire de déterminer la position de la ligne zéro ou neutre (le lieu des points de la section, dans lequel les contraintes σ = 0). Les contraintes maximales se produisent aux points les plus éloignés de la ligne zéro.

L'équation de la ligne zéro est obtenue à partir de l'équation (1) à =0 :

d'où il suit que la ligne zéro passe par le centre de gravité de la section transversale.

Les contraintes de cisaillement apparaissant dans les sections de poutre (à Q x ≠ 0 et Q y ≠ 0), en règle générale, peuvent être négligées. S'il est nécessaire de les déterminer, les composantes de la contrainte de cisaillement totale τ x et τ y sont d'abord calculées selon la formule D.Ya Zhuravsky, puis ces dernières sont résumées géométriquement :

Pour évaluer la résistance de la poutre, il est nécessaire de déterminer les contraintes normales maximales dans la section dangereuse. L'état de contrainte étant uniaxial aux points les plus chargés, la condition de résistance dans le calcul par la méthode des contraintes admissibles prend la forme

Pour les matières plastiques

Pour les matériaux fragiles

n est le coefficient de sécurité.

Si on calcule selon la méthode états limites, alors la condition de résistance a la forme :

où R est la résistance de calcul,

m est le coefficient des conditions de travail.

Dans les cas où le matériau de la poutre résiste différemment à la traction et à la compression, il est nécessaire de déterminer à la fois les contraintes maximales de traction et de compression maximales et de tirer une conclusion sur la résistance de la poutre à partir des rapports :

où R p et R c sont les résistances de calcul du matériau en traction et en compression, respectivement.

Pour déterminer les déviations du faisceau, il convient de trouver d'abord les déplacements de la section dans les plans principaux dans la direction des axes x et y.

Le calcul de ces déplacements ƒ x et ƒ y peut être réalisé en établissant une équation universelle de l'axe fléchi de la poutre ou par des méthodes énergétiques.

La déflexion totale peut être trouvée sous la forme d'une somme géométrique :

la condition de rigidité de la poutre a la forme :

où - est la déflexion admissible du faisceau.

Compression excentrique

Dans ce cas, la force P comprimant la poutre est dirigée parallèlement à l'axe de la poutre et est appliquée en un point qui ne coïncide pas avec le centre de gravité de la section. Soient X p et Y p les coordonnées du point d'application de la force P, mesurées par rapport aux axes centraux principaux (Fig. 2).

La charge agissante fait apparaître les facteurs de force internes suivants dans les sections : N= -P, Mx= -Py p , My=-Px p

Les signes des moments fléchissants sont négatifs, puisque ces derniers provoquent une compression aux points appartenant au premier quart. La contrainte en un point arbitraire de la section est déterminée par l'expression

(9)

En substituant les valeurs de N, Mx et My, on obtient

(10)

Puisque Yx= F, Yy= F (où i x et i y sont les principaux rayons d'inertie), la dernière expression peut être réduite à la forme

(11)

L'équation de la ligne zéro est obtenue en posant =0

1+ (12)

Coupés par la ligne zéro sur les axes de coordonnées du segment et , sont exprimés de la manière suivante:

En utilisant les dépendances (13), on peut facilement trouver la position de la ligne zéro dans la section (Fig. 3), après quoi les points les plus éloignés de cette ligne sont déterminés, ce qui est dangereux, car des contraintes maximales y apparaissent.

L'état de contrainte aux points de la section est uniaxial, donc la condition de résistance de la poutre est similaire au cas précédemment considéré de flexion oblique de la poutre - formules (5), (6).

Avec une compression excentrique des barres, dont le matériau résiste faiblement à l'étirement, il est souhaitable d'éviter l'apparition de contraintes de traction dans la section transversale. Dans la section, des contraintes de même signe apparaîtront si la ligne zéro passe à l'extérieur de la section ou dans dernier recours touche ça.

Cette condition est satisfaite lorsque l'effort de compression est appliqué à l'intérieur de la région appelée âme de la section. L'âme du profilé est une zone recouvrant le centre de gravité du profilé et se caractérise par le fait que tout effort longitudinal appliqué à l'intérieur de cette zone provoque des contraintes de même signe en tous points de la barre.

Pour construire le noyau de la section, il est nécessaire de définir la position de la ligne zéro de sorte qu'elle touche la section sans la couper nulle part, et de trouver le point d'application correspondant de la force P. Après avoir dessiné une famille de tangentes à la section, on obtient un ensemble de pôles leur correspondant, dont le lieu donnera le tracé (contour) des sections du noyau.

Soit, par exemple, la section illustrée à la Fig. 4 avec axes centraux principaux x et y.

Pour construire le noyau de la section, nous donnons cinq tangentes, dont quatre coïncident avec les côtés AB, DE, EF et FA, et la cinquième relie les points B et D. En mesurant ou en calculant à partir de la coupe, coupée par les tangentes indiquées I-I , . . . ., 5-5 sur les axes x, y et en substituant ces valeurs en fonction de (13), on détermine les coordonnées x p, y p pour les cinq pôles 1, 2 .... 5, correspondant aux cinq positions du ligne zéro. La tangente I-I peut être déplacée vers la position 2-2 par rotation autour du point A, tandis que le pôle I doit se déplacer en ligne droite et, du fait de la rotation de la tangente, aller au point 2. Par conséquent, tous les pôles correspondant aux positions intermédiaires de la tangente entre I-I et 2-2 sera située sur la directe 1-2. De même, on peut prouver que les autres côtés de l'âme de la section seront également rectangulaires, c'est-à-dire le noyau de la section est un polygone, pour la construction duquel il suffit de relier les pôles 1, 2, ... 5 par des lignes droites.

Flexion avec torsion d'une barre ronde.

Lors de la flexion avec torsion dans la Coupe transversale bar dans le cas général, cinq facteurs d'effort interne ne sont pas égaux à zéro : M x, M y, M k, Q x et Q y. Cependant, dans la plupart des cas, l'influence des forces de cisaillement Q x et Q y peut être négligée si la section n'est pas à paroi mince.

Les contraintes normales dans une section transversale peuvent être déterminées à partir de l'amplitude du moment de flexion résultant

car l'axe neutre est perpendiculaire à la cavité d'action du moment M u .

Sur la fig. La figure 5 montre les moments fléchissants M x et M y comme vecteurs (les directions M x et M y sont choisies positives, c'est-à-dire telles qu'aux points du premier quadrant de la section les contraintes sont de traction).

La direction des vecteurs M x et M y est choisie de manière à ce que l'observateur, regardant depuis l'extrémité du vecteur, les voie dirigés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Dans ce cas, la ligne neutre coïncide avec la direction du vecteur du moment résultant M u, et les points les plus chargés des sections A et B se situent dans le plan d'action de ce moment.

Cette combinaison de facteurs de force internes est typique dans le calcul des arbres. La tâche est plate, car le concept de "pli oblique" pour une poutre de section ronde, dans laquelle tout axe central est le principal, n'est pas applicable. Dans le cas général de l'action des forces extérieures, une telle barre subit une combinaison des types de déformation suivants : flexion transversale directe, torsion et traction centrale (compression). Sur la fig. 11.5 montre une poutre chargée de forces externes qui provoquent les quatre types de déformation.

Les tracés des efforts internes vous permettent d'identifier les sections dangereuses et les diagrammes de contraintes - les points dangereux dans ces sections. Les contraintes de cisaillement des efforts transversaux atteignent leur maximum à l'axe de la poutre et sont insignifiantes pour une poutre de section pleine et peuvent être négligées, par rapport aux contraintes de cisaillement de torsion, atteignant leur maximum aux points périphériques (point B).

Dangereux est la section dans l'encastrement, où en même temps ils ont grande importance efforts longitudinaux et transversaux, moments de flexion et de torsion.

Le point dangereux dans cette section sera le point où σ x et τ xy atteignent une valeur significative (point B). À ce stade, la plus grande contrainte normale de flexion et de cisaillement de torsion, ainsi que la contrainte normale de tension

Après avoir déterminé les contraintes principales par la formule :

on trouve σ rouge =

(lors de l'utilisation du critère des plus grandes contraintes de cisaillement m = 4, lors de l'utilisation du critère de l'énergie spécifique de changement de forme m = 3).

En substituant les expressions σ α et τ xy, on obtient :

soit en tenant compte que W p =2 W z , A= (voir 10.4),

Si l'arbre est plié dans deux plans mutuellement perpendiculaires, alors au lieu de M z, M tot =

La contrainte réduite σ red ne doit pas dépasser la contrainte admissible σ adm , déterminée lors d'essais en état de contrainte linéaire, compte tenu du facteur de sécurité. Pour des dimensions et des contraintes admissibles données, un calcul de vérification est effectué.Les dimensions nécessaires pour assurer une résistance sûre sont trouvées à partir de la condition

11.5. Calcul des coques de révolution sans moment

Les éléments structurels sont largement utilisés en ingénierie, ce qui, du point de vue du calcul de la résistance et de la rigidité, peut être attribué à des coques minces. Il est d'usage de considérer la coque comme mince si le rapport de son épaisseur sur l'encombrement est inférieur à 1/20. Pour les coques minces, l'hypothèse des normales directes est applicable : les segments de la normale à la surface médiane restent droits et inextensibles après déformation. Dans ce cas, il y a une distribution linéaire des déformations, et donc contraintes normales(pour les petites déformations élastiques) dans l'épaisseur de la coque.

La surface de coque est obtenue en faisant tourner une courbe plate autour d'un axe situé dans le plan de la courbe. Si la courbe est remplacée par une ligne droite, alors lorsqu'elle tourne parallèlement à l'axe, une coque cylindrique circulaire est obtenue, et lorsqu'elle est tournée à un angle par rapport à l'axe, elle est conique.

Dans les schémas de conception, la coque est représentée par sa surface médiane (équidistante des faces avant). La surface médiane est généralement associée à un système de coordonnées orthogonales curvilignes Ө et φ. L'angle θ () détermine la position de la parallèle de la ligne d'intersection de la surface médiane avec un plan passant normalement à l'axe de rotation.

Fig.11.6 11.7

À travers la normale avec le milieu de la surface, vous pouvez dessiner de nombreux plans qui lui seront normaux et former des lignes avec différents rayons de courbure dans les sections avec elle. Deux de ces rayons ont des valeurs extrêmes. Les lignes auxquelles elles correspondent sont appelées lignes de courbures principales. L'une des lignes est un méridien, on note son rayon de courbure r1. Le rayon de courbure de la deuxième courbe est r2(le centre de courbure est sur l'axe de rotation). Centres de rayon r1 et r2 peut coïncider (coque sphérique), se situer sur un ou sur des côtés opposés de la surface médiane, l'un des centres peut aller à l'infini (coques cylindriques et coniques).

Lors de la compilation des équations de base de la force et du déplacement, nous nous référons aux sections normales de la coque dans les plans de courbures principales. Applaudissons les efforts internes. Considérons un élément de coque infinitésimal (Fig. 11.6) découpé par deux plans méridiens adjacents (d'angles θ et θ + dθ) et deux cercles parallèles adjacents normaux à l'axe de rotation (d'angles φ et φ + dφ). Comme système d'axes de projections et de moments, nous choisissons un système d'axes rectangulaire X, y, z. Axe y dirigé tangentiellement au méridien, l'axe z- Ordinaire.

En raison de la symétrie axiale (charge P=0), seules les forces normales agiront sur l'élément. N φ - force méridienne linéaire dirigée tangentiellement au méridien: N θ - force annulaire linéaire dirigée tangentiellement au cercle. L'équation ΣX=0 se transforme en identité. Projetons toutes les forces sur l'axe z:

2N θ r 1 dφsinφ+r o dθdφ+P z r 1 dφr o dθ=0.

Si nous négligeons la valeur infiniment petite de l'ordre supérieur ()r o dθ dφ et divisons l'équation par r 1 r o dφ dθ, alors compte tenu de cela nous obtenons l'équation appartenant à P. Laplace :

Au lieu de l'équation ΣY=0 pour l'élément considéré, on composera l'équation d'équilibre pour la partie supérieure de la coque (Fig. 11.6). On projette toutes les forces sur l'axe de rotation :

où : R v - projection verticale des forces externes résultantes appliquées à la partie découpée de la coque. Alors,

En remplaçant les valeurs de N φ dans l'équation de Laplace, on trouve N θ . La détermination des forces dans une coque de révolution selon la théorie sans moment est un problème déterminable statiquement. Cela est devenu possible du fait que nous avons immédiatement postulé la loi de variation des contraintes sur l'épaisseur de la coque - nous les avons considérées comme constantes.

Dans le cas d'un dôme sphérique, on a r 1 = r 2 = r et r o = r. Si la charge est donnée en intensité P sur la projection horizontale de la coque, alors

Ainsi, le dôme est uniformément comprimé dans la direction méridienne. Composants de charge de surface le long de la normale z est égal à P z =P. Nous substituons les valeurs de N φ et P z dans l'équation de Laplace et en déduisons :

Les forces de compression de l'anneau atteignent un maximum au sommet du dôme à φ = 0. À φ = 45 º - N θ =0 ; à φ > 45- N θ =0 devient tendu et atteint un maximum à φ = 90.

La composante horizontale de la force méridienne est :

Prenons un exemple de calcul d'une coque sans moment. La conduite principale est remplie de gaz dont la pression est égale à R.

Ici r 1 \u003d R, r 2 \u003d et conformément à l'hypothèse précédemment acceptée selon laquelle les contraintes sont réparties uniformément sur l'épaisseur δ coquilles

où : σ m - contraintes méridiennes normales, et

σ t - contraintes normales circonférentielles (latitudinale, annulaire).

La flexion est comprise comme un type de chargement dans lequel des moments de flexion se produisent dans les sections transversales de la poutre. Si le moment de flexion dans la section est le seul facteur de force, alors la flexion est dite pure. Si, parallèlement au moment de flexion, des forces transversales apparaissent également dans les sections transversales de la poutre, la courbure est appelée transversale.

On suppose que le moment fléchissant et l'effort transversal se trouvent dans l'un des plans principaux de la poutre (on suppose que ce plan est ZOY). Un tel coude est appelé plat.

Dans tous les cas envisagés ci-dessous, il y a un bémol coude transversal poutres.

Pour calculer la résistance ou la rigidité d'une poutre, il est nécessaire de connaître les facteurs de force internes qui surviennent dans ses sections. A cet effet, des diagrammes d'efforts transversaux (epure Q) et de moments fléchissants (M) sont construits.

Lors de la flexion, l'axe rectiligne de la poutre est plié, l'axe neutre passe par le centre de gravité de la section. Pour plus de précision, lors de la construction de diagrammes d'efforts transversaux de moments de flexion, nous établissons des règles de signe pour eux. Supposons que le moment de flexion sera considéré comme positif si l'élément de poutre est plié avec une convexité vers le bas, c'est-à-dire de manière à ce que ses fibres comprimées soient vers le haut.

Si le moment plie la poutre avec un renflement vers le haut, alors ce moment sera considéré comme négatif.

Les valeurs positives des moments de flexion lors du traçage sont tracées, comme d'habitude, dans la direction de l'axe Y, ce qui correspond au traçage sur une fibre comprimée.

Par conséquent, la règle des signes pour le diagramme des moments de flexion peut être formulée comme suit : les ordonnées des moments sont tracées à partir du côté des couches de poutres.

Le moment de flexion dans une section est égal à la somme des moments relatifs à cette section de tous les efforts situés d'un côté (n'importe lequel) de la section.

Pour déterminer les efforts transversaux (Q), on établit la règle des signes : l'effort transversal est considéré comme positif si l'effort extérieur tend à faire tourner la partie coupée de la poutre dans le sens des aiguilles d'une montre. flèche par rapport au point de l'axe qui correspond à la section dessinée.

La force transversale (Q) dans une section arbitraire de la poutre est numériquement égale à la somme des projections sur l'axe des y des forces extérieures appliquées à sa partie tronquée.

Considérons plusieurs exemples de tracé des forces transversales des moments de flexion. Toutes les forces sont perpendiculaires à l'axe des poutres, donc la composante horizontale de la réaction est nulle. L'axe déformé de la poutre et les efforts sont situés dans le plan principal ZOY.

La longueur de la poutre est pincée par l'extrémité gauche et chargée d'une force concentrée F et d'un moment m=2F.

On construit des diagrammes d'efforts transversaux Q et de moments fléchissants M à partir de.

Dans notre cas, sur une poutre avec côté droit aucune connexion établie. Ainsi, pour ne pas définir soutenir les réactions, il convient de considérer l'équilibre de la partie droite de coupure du faisceau. La poutre donnée a deux zones de charge. Les limites des sections-sections dans lesquelles les forces externes sont appliquées. 1 tronçon - NE, 2 - VA.

Nous effectuons une section arbitraire dans la section 1 et considérons l'équilibre de la partie droite coupée de longueur Z 1.

De la condition d'équilibre il résulte :

Q=F ; M en sortie = -fz 1 ()

L'effort tranchant est positif car la force externe F tend à faire tourner la partie découpée dans le sens des aiguilles d'une montre. Le moment de flexion est considéré comme négatif car il plie la partie considérée du faisceau avec une convexité vers le haut.

Lors de la compilation des équations d'équilibre, nous fixons mentalement la place de la section; des équations () il s'ensuit que la force transversale dans la section I ne dépend pas de Z 1 et est une valeur constante. La force positive Q = F est mise à l'échelle à partir de la ligne médiane de la poutre, perpendiculaire à celle-ci.

Le moment de flexion dépend de Z 1 .

Lorsque Z 1 \u003d O M de \u003d O à Z 1 \u003d M de \u003d

La valeur résultante () est mise de côté, c'est-à-dire le schéma M est construit sur la fibre compressée.

Passons à la deuxième partie

Nous coupons la section II à une distance arbitraire Z 2 de l'extrémité droite libre de la poutre et considérons l'équilibre de la partie coupée de longueur Z 2. La variation de l'effort tranchant et du moment fléchissant en fonction des conditions d'équilibre peut être exprimée par les équations suivantes :

Q=FM de = - FZ 2 +2F

L'amplitude et le signe de la force transversale n'ont pas changé.

L'amplitude du moment de flexion dépend de Z 2 .

A Z 2 = M de =, à Z 2 =

Le moment fléchissant s'est avéré positif, tant au début de la section II qu'à sa fin. Dans la section II, le faisceau se plie avec un renflement vers le bas.

Mettez de côté sur une échelle l'amplitude des moments le long de l'axe de la poutre (c'est-à-dire que le diagramme est construit sur une fibre comprimée). Le plus grand moment de flexion se produit dans la section où le moment externe m est appliqué et selon valeur absolueéquivaut à

Notez que sur la longueur de la poutre, où Q préserve valeur constante, le moment de flexion M évolue linéairement et est représenté sur le tracé par des droites obliques. D'après les diagrammes Q et M de, on peut voir que dans la section où une force transversale externe est appliquée, le diagramme Q a un saut de la valeur de cette force, et le diagramme M de a un coude. Dans une section où un moment de flexion externe est appliqué, le diagramme Miz présente un saut de la valeur de ce moment. Cela ne se reflète pas dans le graphique Q. D'après le diagramme M de nous voyons que

maximum M en sortie =

par conséquent, la section dangereuse est extrêmement proche du côté gauche de la soi-disant.

Pour la poutre illustrée à la Fig. 13, a, construisez des diagrammes des forces transversales et des moments de flexion. La longueur de la poutre est chargée avec une charge uniformément répartie d'intensité q(KN/cm).

Sur le support A (charnière fixe) il y aura une réaction verticale R a (la réaction horizontale est nulle), et sur le support B (charnière mobile) une réaction verticale R v se produit.

Déterminons les réactions verticales des appuis en composant l'équation des moments relatifs aux appuis A et B.

Vérifions l'exactitude de la définition de la réaction:

ceux. les réactions d'appui sont correctement définies.

La poutre donnée a deux sections de chargement : Section I - AC.

Section II - NE.

Sur le premier tronçon a, dans le tronçon courant Z 1, à partir de la condition d'équilibre de la partie coupée, on a

L'équation des moments de flexion sur 1 section de la poutre :

Le moment de la réaction R a plie la poutre dans la section 1, convexe vers le bas, de sorte que le moment de flexion de la réaction Ra est introduit dans l'équation avec un signe plus. La charge qZ 1 plie la poutre avec une convexité vers le haut, de sorte que son moment est introduit dans l'équation avec un signe moins. Le moment de flexion évolue selon la loi d'une parabole carrée.

Par conséquent, il est nécessaire de savoir s'il existe un extremum. Il existe une dépendance différentielle entre l'effort transversal Q et le moment de flexion, que nous analyserons plus loin

Comme vous le savez, la fonction a un extremum où la dérivée est égale à zéro. Par conséquent, afin de déterminer à quelle valeur de Z 1, le moment de flexion sera extrême, il est nécessaire d'égaliser l'équation de la force transversale à zéro.

Étant donné que la force transversale change de signe de plus à moins dans cette section, le moment de flexion dans cette section sera maximal. Si Q change de signe de moins à plus, alors le moment de flexion dans cette section sera minimal.

Donc le moment de flexion à

est le maximum.

Par conséquent, nous construisons une parabole sur trois points

Lorsque Z 1 \u003d 0 M de \u003d 0

On coupe le second profilé à une distance Z 2 du support B. A partir de la condition d'équilibre de la partie droite de la poutre coupée, on a :

Lorsque Q=const,

le moment de flexion sera :

à, à, c'est-à-dire JE VIENS DE

évolue linéairement.

Une poutre sur deux supports, ayant une portée égale à 2 et une console gauche avec une longueur, est chargée comme indiqué sur la Fig. 14, a., Où q (Kn / cm) est la charge linéaire. Le support A est fixe en pivotement, le support B est un galet mobile. Construisez les tracés Q et M à partir de.

La solution du problème doit commencer par la détermination des réactions des supports. De la condition que la somme des projections de toutes les forces sur l'axe Z soit égale à zéro, il s'ensuit que la composante horizontale de la réaction sur le support A est 0.

Pour vérifier, on utilise l'équation

L'équation d'équilibre est satisfaite, par conséquent, les réactions sont calculées correctement. Passons à la définition des facteurs de force internes. Une poutre donnée a trois zones de charge :

• 1 section - SA,
• 2ème tranche - AD,
• 3 sections - DV.

Nous coupons 1 section à une distance Z 1 de l'extrémité gauche de la poutre.

à Z 1 \u003d 0 Q \u003d 0 M DE \u003d 0

à Z 1 \u003d Q \u003d -q M IZ \u003d

Ainsi, sur le diagramme des efforts transversaux, on obtient une droite inclinée, et sur le diagramme des moments de flexion, on obtient une parabole dont le sommet est situé à l'extrémité gauche de la poutre.

Dans la section II (a Z 2 2a), pour déterminer les facteurs d'efforts internes, considérons l'équilibre de la partie gauche coupée de la poutre de longueur Z 2 . De la condition d'équilibre on a :

La force transversale dans cette section est constante.

Sur la section III()

D'après le diagramme, nous voyons que le plus grand moment de flexion se produit dans la section sous la force F et est égal à. Cette section sera la plus dangereuse.

Sur le schéma M à partir de là se trouve un saut sur l'appui B, égal au moment extérieur appliqué dans cette section.

Au vu des diagrammes construits ci-dessus, il n'est pas difficile de remarquer une certaine liaison régulière entre les diagrammes de moments fléchissants et les diagrammes d'efforts transversaux. Prouvons-le.

La dérivée de la force transversale sur la longueur de la poutre est égale au module de l'intensité de la charge.

En rejetant la valeur de l'ordre supérieur de petitesse, on obtient :

ceux. la force transversale est la dérivée du moment de flexion le long de la longueur de la poutre.

Compte tenu du reçu dépendances différentielles des conclusions générales peuvent être tirées. Si la poutre est chargée avec une charge uniformément répartie d'intensité q=const, évidemment, la fonction Q sera linéaire, et M de -quadratique.

Si la poutre est chargée de forces ou de moments concentrés, alors dans les intervalles entre les points de leur application, l'intensité q=0. Par conséquent, Q=const, et M de est fonction linéaire Z. Aux points d'application des forces concentrées, le diagramme Q subit un saut de la valeur de la force externe, et dans le diagramme M de, une rupture correspondante se produit (un écart dans la dérivée).

Au lieu d'application du moment de flexion externe, il y a un espace dans le diagramme de moment, égal en grandeur au moment appliqué.

Si Q>0, alors M croît, et si Q<0, то М из убывает.

Les dépendances différentielles sont utilisées pour vérifier les équations compilées pour tracer Q et M à partir de, ainsi que pour clarifier la forme de ces diagrammes.

Le moment fléchissant évolue selon la loi d'une parabole dont la convexité est toujours dirigée vers la charge extérieure.

La combinaison de la flexion et de la torsion des barres de section circulaire est le plus souvent prise en compte dans le calcul des arbres. Les cas de flexion avec torsion de barres de section non circulaire sont beaucoup moins fréquents.

Au § 1.9 il est établi que dans le cas où les moments d'inertie de la section par rapport aux axes principaux sont égaux entre eux, la flexion oblique de la poutre est impossible. À cet égard, la flexion oblique des barres rondes est impossible. Ainsi, dans le cas général de l'action des forces extérieures, une poutre ronde subit une combinaison des types de déformation suivants : flexion transversale directe, torsion et traction centrale (ou compression).

Considérons un tel cas particulier de calcul d'une poutre ronde, lorsque la force longitudinale dans ses sections transversales est égale à zéro. Dans ce cas, la poutre travaille sur l'action combinée de la flexion et de la torsion. Pour trouver le point dangereux de la poutre, il est nécessaire d'établir comment les valeurs des moments de flexion et de couple changent sur la longueur de la poutre, c'est-à-dire de construire des diagrammes des moments de flexion totaux M et des couples Nous considérerons la construction de ces diagrammes en utilisant un exemple spécifique de l'arbre illustré à la Fig. 22.9, a. L'arbre est supporté par les roulements A et B et est entraîné par le moteur C.

Les poulies E et F sont montées sur l'arbre, à travers lequel les courroies d'entraînement sont lancées avec tension. Supposons que l'arbre tourne dans des paliers sans frottement ; on néglige le poids propre de l'arbre et des poulies (dans le cas où leur poids propre est important, il faut en tenir compte). Dirigeons l'axe à la section transversale de l'arbre verticalement, et l'axe horizontalement.

L'amplitude des forces peut être déterminée à l'aide des formules (1.6) et (2.6), si, par exemple, la puissance transmise par chaque poulie, la vitesse angulaire de l'arbre et les rapports sont connus. Après avoir déterminé l'amplitude des forces, ces forces se transmettent parallèlement à elles-mêmes à l'axe longitudinal de l'arbre. Dans le même temps, des moments de torsion sont appliqués à l'arbre dans les sections dans lesquelles sont respectivement situées et égales les poulies E et F. Ces moments sont équilibrés par le moment transmis par le moteur (Fig. 22.9, b). Ensuite, les forces sont décomposées en composantes verticales et horizontales. Les forces verticales provoqueront des réactions verticales dans les appuis et les forces horizontales - réactions horizontales.L'amplitude de ces réactions est déterminée comme pour une poutre reposant sur deux appuis.

Le diagramme des moments de flexion agissant dans un plan vertical est construit à partir des forces verticales (Fig. 22.9, c). Il est montré dans la fig. 22.9, g De même, à partir des forces horizontales (Fig. 22.9, e), un tracé des moments de flexion agissant dans le plan horizontal est construit (Fig. 22.9, e).

Selon les diagrammes, il est possible de déterminer (dans n'importe quelle section) le moment de flexion total M par la formule

Sur la base des valeurs de M obtenues à l'aide de cette formule, un tracé des moments de flexion totaux est construit (Fig. 22.9, g). Sur les sections du puits où les lignes droites, les diagrammes limites coupent les axes des diagrammes en des points situés sur la même verticale, le diagramme M est limité par des lignes droites et, dans les autres sections, il est limité par des courbes.

(voir scan)

Par exemple, dans la section de l'arbre considérée, la longueur du diagramme M est limitée à une ligne droite (Fig. 22.9, g), car les diagrammes de cette section sont limités à des lignes droites et coupant les axes des diagrammes en des points situés sur la même verticale.

Le point O de l'intersection de la droite avec l'axe du diagramme est également situé sur la même verticale. Une situation similaire est également typique pour une section de puits d'une longueur

Le diagramme des moments de flexion totaux (total) M caractérise l'amplitude de ces moments dans chaque section de l'arbre. Les plans d'action de ces moments dans les différentes sections de l'arbre sont différents, mais les ordonnées du diagramme sont conventionnellement alignées pour toutes les sections avec le plan du dessin.

Le diagramme de couple est construit de la même manière que pour la torsion pure (voir § 1.6). Pour l'arbre considéré, il est représenté sur la Fig. 22.9, art.

La section dangereuse de l'arbre est établie à l'aide des diagrammes des moments de flexion totaux M et des couples Si la section de la poutre de diamètre constant avec le plus grand moment de flexion M a également le plus grand couple, alors cette section est dangereuse. En particulier, pour l'arbre considéré, il s'agit de la section située au droit de la poulie F à une distance infiniment petite de celle-ci.

Si le plus grand moment de flexion M et le plus grand couple agissent dans des sections différentes, alors la section dans laquelle ni la valeur ni n'est la plus grande peut être dangereuse. Avec des barres de diamètre variable, la section la plus dangereuse peut être celle dans laquelle les moments de flexion et de torsion sont nettement inférieurs à ceux des autres sections.

Dans les cas où la section dangereuse ne peut pas être établie directement à partir des diagrammes M et qu'il est nécessaire de vérifier la résistance de la poutre dans plusieurs de ses sections et d'établir ainsi les contraintes dangereuses.

Une fois la section dangereuse du faisceau établie (ou plusieurs sections sont prévues, dont l'une peut s'avérer dangereuse), il est nécessaire d'y trouver des points dangereux. Pour ce faire, considérez les contraintes qui surviennent dans la section transversale de la poutre, lorsque le moment de flexion M et le couple

Dans les barres de section circulaire, dont la longueur est plusieurs fois supérieure au diamètre, les valeurs des plus grandes contraintes tangentielles de la force transversale sont faibles et ne sont pas prises en compte lors du calcul de la résistance des barres pour le combiné action de flexion et de torsion.

Sur la fig. 23.9 montre une coupe transversale d'une barre ronde. Dans cette section agissent un moment de flexion M et un couple Pour l'axe y, on prend l'axe perpendiculaire au plan d'action du moment de flexion, l'axe y est donc l'axe neutre de la section.

Dans la section transversale de la poutre, il existe des contraintes normales de flexion et des contraintes de cisaillement de torsion.

Les contraintes normales a sont déterminées par la formule.Le diagramme de ces contraintes est représenté sur la fig. 23.9. Les plus grandes contraintes absolues se produisent aux points A et B. Ces contraintes sont égales à

où est le moment de résistance axial de la section transversale de la poutre.

Les contraintes de cisaillement sont déterminées par la formule.Le diagramme de ces contraintes est illustré à la fig. 23.9.

En chaque point de la section, ils sont dirigés selon la normale au rayon reliant ce point au centre de la section. Les plus grandes contraintes de cisaillement se produisent aux points situés le long du périmètre de la section ; ils sont égaux

où est le moment polaire de résistance de la section transversale de la poutre.

Avec un matériau plastique, les points A et B de la section transversale, dans lesquels les contraintes normales et tangentielles atteignent leurs valeurs maximales, sont dangereux. Dans le cas d'un matériau fragile, le point dangereux est l'un de ces points où les contraintes de traction proviennent du moment de flexion M.

L'état de contrainte d'un parallélépipède élémentaire isolé au voisinage du point A est représenté sur la Fig. 24.9, a. Sur les faces du parallélépipède, coïncidant avec les sections transversales de la poutre, les contraintes normales et les tangentes agissent. Selon la loi d'appariement des contraintes tangentielles, des contraintes apparaissent également sur les faces supérieure et inférieure du parallélépipède. Les deux faces restantes de celui-ci sont exemptes de contraintes. Il existe donc dans ce cas une forme particulière d'état de contraintes planes, qui est détaillée au Chap. 3. Les contraintes principales amax et sont déterminées par les formules (12.3).

Après avoir remplacé les valeurs en eux, nous obtenons

Les tensions ont des signes différents et, par conséquent,

Un parallélépipède élémentaire matérialisé au voisinage du point A par les plates-formes principales est représenté sur la Fig. 24.9, b.

Le calcul des poutres pour la résistance en flexion avec torsion, comme déjà noté (voir le début du § 1.9), est effectué à l'aide des théories de la résistance. Dans ce cas, le calcul des barres à partir de matériaux plastiques est généralement effectué sur la base de la troisième ou quatrième théorie de la résistance, et de celles fragiles - selon la théorie de Mohr.

Selon la troisième théorie de la force [voir. formule (6.8)], en substituant dans cette inégalité les expressions [voir formules (23.9)], on obtient

Dans le cas du calcul d'une poutre ronde sous l'action de la flexion et de la torsion (Fig. 34.3), il est nécessaire de prendre en compte les contraintes normales et de cisaillement, car les valeurs de contrainte maximales dans les deux cas se produisent à la surface. Le calcul doit être effectué selon la théorie de la résistance, en remplaçant l'état de contrainte complexe par un état simple tout aussi dangereux.

Contrainte de torsion maximale dans la section

Contrainte de flexion maximale dans la section

Selon l'une des théories de résistance, en fonction du matériau de la poutre, la contrainte équivalente pour la section dangereuse est calculée et la poutre est testée pour sa résistance en utilisant la contrainte de flexion admissible pour le matériau de la poutre.

Pour une poutre ronde, les moments de module de section sont les suivants :

Lors du calcul selon la troisième théorie de la résistance, la théorie des contraintes de cisaillement maximales, la contrainte équivalente est calculée par la formule

La théorie est applicable aux matériaux plastiques.

Lors du calcul selon la théorie de l'énergie de formation, la contrainte équivalente est calculée par la formule

La théorie est applicable aux matériaux ductiles et fragiles.

théorie des contraintes maximales de cisaillement :

Tension équivalente calculée selon théories de l'énergie de changement de forme :

où est le moment équivalent.

État de force

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1 Pour un état de contrainte donné (Fig. 34.4), en utilisant l'hypothèse des contraintes de cisaillement maximales, calculez le facteur de sécurité si σ T \u003d 360 N / mm 2.

1. Qu'est-ce qui caractérise et comment l'état de contrainte en un point est-il représenté ?

2. Quels sites et quelles tensions sont appelés les principaux ?

3. Énumérez les types d'états de stress.

4. Qu'est-ce qui caractérise l'état déformé en un point ?

5. Dans quels cas les états de contraintes limites apparaissent-ils dans les matériaux ductiles et fragiles ?

6. Quelle est la tension équivalente ?

7. Expliquez le but des théories de la force.

8. Écrire des formules pour calculer les contraintes équivalentes dans les calculs selon la théorie des contraintes de cisaillement maximales et la théorie de l'énergie de déformation. Expliquez comment les utiliser.

CONFÉRENCE 35

Sujet 2.7. Calcul d'une barre de section circulaire avec une combinaison de déformations de base

Connaître les formules des contraintes équivalentes selon les hypothèses des plus grandes contraintes tangentielles et de l'énergie de déformation.

Être capable de calculer une poutre de section circulaire pour la résistance avec une combinaison de déformations de base.

Formules de calcul des contraintes équivalentes

Contrainte équivalente selon l'hypothèse des contraintes maximales de cisaillement

Contrainte équivalente selon l'hypothèse d'énergie de déformation

Condition de résistance sous l'action combinée de la flexion et de la torsion

où M EQ est le moment équivalent.

Moment équivalent selon l'hypothèse des contraintes maximales de cisaillement

Moment équivalent selon l'hypothèse d'énergie de changement de forme

Caractéristique du calcul des arbres

La plupart des arbres subissent une combinaison de déformations en flexion et en torsion. Les arbres sont généralement des barres droites à section ronde ou annulaire. Lors du calcul des arbres, les contraintes de cisaillement dues à l'action des forces transversales ne sont pas prises en compte en raison de leur insignifiance.

Les calculs sont effectués pour les sections transversales dangereuses. Sous chargement spatial de l'arbre, l'hypothèse d'indépendance de l'action des forces est utilisée et les moments de flexion sont considérés dans deux plans mutuellement perpendiculaires, et le moment de flexion total est déterminé par sommation géométrique.

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1 Dans une section transversale dangereuse d'une poutre ronde, des facteurs de force internes apparaissent (Fig. 35.1) Mx; Mon; Mz.

M x et Mon- moments de flexion dans les plans euh et zOx respectivement; Mz- couple. Vérifier la résistance selon l'hypothèse des plus grandes contraintes de cisaillement, si [ σ ] = 120 MPa. Donnée initiale: M x= 0,9 kN·m ; M y = 0,8 kN·m ; Mz = 2,2 kN*m ; ré= 60 millimètres.

La solution

Nous construisons des diagrammes de contraintes normales à partir de l'action des moments de flexion par rapport aux axes Oh et UO et un diagramme des contraintes de cisaillement de torsion (Fig. 35.2).

La contrainte de cisaillement maximale se produit à la surface. Contraintes normales maximales à partir du moment M x survenir au point MAIS, contraintes normales maximales à partir du moment Monà ce point À. Les contraintes normales s'additionnent parce que les moments de flexion dans des plans mutuellement perpendiculaires sont sommés géométriquement.

Moment de flexion total :

On calcule le moment équivalent selon la théorie des contraintes maximales de cisaillement :

État de force :

Module de section: W oce dans oe \u003d 0,1 60 3 \u003d 21600mm 3.

Vérification de la force :

La durabilité est garantie.

Exemple 2 Calculez le diamètre d'arbre requis à partir de la condition de résistance. Deux roues sont montées sur l'arbre. Il y a deux forces circonférentielles agissant sur les roues F t 1 = 1,2 kN ; F t 2= 2kN et deux forces radiales dans le plan vertical F r 1= 0,43 kN ; F r 2 = 0,72 kN (figure 35.3). Les diamètres des roues sont respectivement égaux d1= 0,1 m ; d2= 0,06 m.

Accepter pour le matériau de l'arbre [ σ ] = 50 MPa.

Le calcul est effectué selon l'hypothèse des contraintes maximales de cisaillement. Ignorez le poids de l'arbre et des roues.

La solution

Instruction. Nous utilisons le principe d'indépendance de l'action des forces, établissons des schémas de conception de l'arbre dans les plans vertical et horizontal. Nous déterminons séparément les réactions des supports dans les plans horizontal et vertical. Nous construisons des diagrammes de moments de flexion (Fig. 35.4). Sous l'action des forces circonférentielles, l'arbre se tord. Déterminer le couple agissant sur l'arbre.

Faisons un schéma de calcul de l'arbre (Fig. 35.4).

1. Couple de l'arbre :

2. On considère le coude dans deux plans : horizontal (pl. H) et vertical (pl. V).

Dans le plan horizontal, on détermine les réactions dans le support :

DE et À:

Dans le plan vertical, on détermine les réactions dans le support :

Déterminer les moments de flexion aux points C et B :

Moments de flexion totaux aux points C et B :

À ce point À le moment de flexion maximal, le couple agit également ici.

Le calcul du diamètre de l'arbre est effectué en fonction de la section la plus chargée.

3. Moment équivalent en un point À selon la troisième théorie de la force

4. Déterminez le diamètre de l'arbre avec une section circulaire à partir de la condition de résistance

Nous arrondissons la valeur résultante : ré= 36 millimètres.

Noter. Lors du choix des diamètres d'arbre, utilisez la gamme standard de diamètres (Annexe 2).

5. Nous déterminons les dimensions requises de l'arbre avec une section annulaire à c \u003d 0,8, où d est le diamètre extérieur de l'arbre.

Le diamètre d'un arbre annulaire peut être déterminé par la formule

Accepter ré= 42 millimètres.

La charge est mineure. d BH = 0,8d = 0,8 42 = 33,6 mm.

Arrondir à la valeur dBH= 33 millimètres.

6. Comparons les coûts du métal par la section transversale de l'arbre dans les deux cas.

Section transversale de l'arbre solide

Section transversale de l'arbre creux

La section transversale d'un arbre plein est presque le double de celle d'un arbre annulaire :

Exemple 3. Déterminez les dimensions de la section transversale de l'arbre (Fig. 2.70, un) lecteur de contrôle. Force de traction de la pédale P3, forces transmises par le mécanisme P1, R2, R4. Matériau de l'arbre - acier StZ avec limite d'élasticité σ t = 240 N/mm 2 , facteur de sécurité requis [ n] = 2,5. Le calcul est effectué selon l'hypothèse de l'énergie du changement de forme.

La solution

Considérez l'équilibre de l'arbre, après avoir apporté les forces R 1, R 2, R 3, R 4 aux points de son axe.

Transfert de forces R 1 parallèles à eux-mêmes en points À et E, il faut additionner des couples d'efforts de moments égaux aux moments d'efforts R 1 par rapport aux points À et E, c'est à dire.

Ces couples de forces (moments) sont classiquement représentés sur la Fig. 2,70 , b sous la forme de lignes arquées avec des flèches. De même, lors du transfert de forces R2, R3, R4 aux points K, E, L, H vous devez ajouter des couples de forces avec des moments

Les roulements de l'arbre illustrés à la fig. 2.70, a, doivent être considérés comme des supports articulés spatiaux qui empêchent le mouvement dans la direction des axes X et à(le système de coordonnées sélectionné est illustré à la Fig. 2.70, b).

En utilisant le schéma de calcul illustré à la Fig. 2,70 dans, on compose les équations d'équilibre :

d'où les réactions de soutien SUR LE et HB défini correctement.

Tracés de couple Mz et moments de flexion Mon sont présentés dans la fig. 2,70 g. Le tronçon à gauche du point L est dangereux.

La condition de résistance a la forme :

où est le moment équivalent selon l'hypothèse de l'énergie de changement de forme

Diamètre extérieur de l'arbre requis

Nous acceptons d \u003d 45 mm, puis d 0 \u003d 0,8 * 45 \u003d 36 mm.

Exemple 4 Vérifiez la résistance de l'arbre intermédiaire (Fig. 2.71) d'un engrenage droit, si l'arbre transmet la puissance N= 12,2 kW à la vitesse P= 355 tr/min. L'arbre est en acier St5 avec une limite d'élasticité σ t \u003d 280 N / mm 2. Facteur de sécurité requis [ n] = 4. Lors du calcul, appliquer l'hypothèse des contraintes de cisaillement les plus élevées.

Instruction. Efforts du district R 1 et R2 se trouvent dans un plan horizontal et sont dirigés le long des tangentes aux cercles des engrenages. Forces radiales T1 et T 2 se trouvent dans le plan vertical et sont exprimés en termes de force circonférentielle correspondante comme suit : J = 0,364R.

La solution

Sur la fig. 2.71, un un dessin schématique de l'arbre est présenté ; En figue. 2.71, b montre le diagramme de l'arbre et les forces apparaissant dans l'engrenage.

Déterminer le moment transmis par l'arbre :

Évidemment, m = m 1 = m 2(les moments de torsion appliqués à l'arbre, avec une rotation uniforme, sont égaux en grandeur et opposés en sens).

Déterminer les forces agissant sur les engrenages.

Efforts du district :

Forces radiales :

Considérez l'équilibre de l'arbre UN B, forces de pré-apport R 1 et R2 aux points situés sur l'axe de l'arbre.

Transférer le pouvoir R 1 parallèle à lui-même en un point L, il faut ajouter un couple de forces avec un moment égal au moment de la force R 1 par rapport au point L, c'est à dire.

Ce couple de forces (moment) est classiquement représenté sur la Fig. 2.71, dans sous la forme d'une ligne arquée avec une flèche. De même, lors du transfert de force R2 exactement À il faut attacher (ajouter) un couple de forces avec un moment

Les roulements de l'arbre illustrés à la fig. 2.71, un, doivent être considérés comme des supports articulés spatiaux qui empêchent les mouvements linéaires dans les directions des axes X et à(le système de coordonnées sélectionné est illustré à la Fig. 2.71, b).

En utilisant le schéma de calcul illustré à la Fig. 2.71, g, nous composons les équations d'équilibre de l'arbre dans le plan vertical :

Faisons une équation test :

par conséquent, les réactions d'appui dans le plan vertical sont déterminées correctement.

Considérez l'équilibre de l'arbre dans le plan horizontal :

Faisons une équation test :

par conséquent, les réactions d'appui dans le plan horizontal sont déterminées correctement.

Tracés de couple Mz et moments de flexion M x et Mon sont présentés dans la fig. 2.71, ré.

Dangereuse est la section À(voir figure 2.71, g,ré). Moment équivalent selon l'hypothèse des plus grandes contraintes de cisaillement

Contrainte équivalente selon l'hypothèse des plus grandes contraintes de cisaillement pour le point dangereux de l'arbre

facteur de sécurité

ce qui est beaucoup plus [ n] = 4, par conséquent, la résistance de l'arbre est assurée.

Lors du calcul de la résistance de l'arbre, l'évolution des contraintes dans le temps n'a pas été prise en compte, c'est pourquoi un facteur de sécurité aussi important a été obtenu.

Exemple 5 Déterminez les dimensions de la section transversale de la poutre (Fig. 2.72, un). Le matériau de la poutre est de l'acier 30XGS avec des limites d'élasticité conditionnelles en traction et en compression σ o, 2p = σ tr = 850 N/mm 2, σ 0,2 c = σ Tc = 965 N/mm 2. Facteur de sécurité [ n] = 1,6.

La solution

La barre travaille sur l'action combinée de la tension (compression) et de la torsion. Sous un tel chargement, deux facteurs de force internes apparaissent dans les sections transversales : la force longitudinale et le couple.

Tracés des efforts longitudinaux N et couple Mz illustré à la fig. 2.72, avant JC. Dans ce cas, déterminer la position de la section dangereuse selon les schémas N et Mz impossible, car les dimensions des sections transversales des sections de la poutre sont différentes. Pour déterminer la position de la section dangereuse, des tracés des contraintes de cisaillement normales et maximales sur la longueur de la poutre doivent être tracés.

Selon la formule

on calcule les contraintes normales dans les sections transversales de la poutre et on construit un diagramme o (Fig. 2.72, g).

Selon la formule

nous calculons les contraintes de cisaillement maximales dans les sections transversales de la poutre et traçons le diagramme t maximum(riz* 2,72, e).

Probablement dangereux sont les points de contour des sections transversales des sections UN B et CD(voir figure 2.72, un).

Sur la fig. 2.72, e les parcelles sont affichées σ et τ pour les sections de section UN B.

Rappelons que dans ce cas (une poutre à section ronde travaille sur l'action combinée de la traction - compression et torsion), tous les points du contour de la section sont également dangereux.

Sur la fig. 2.72, et

Sur la fig. 2.72, h les tracés a et t sont représentés pour les sections transversales de la section CD.

Sur la fig. 2.72, et les contraintes sur les plaquettes initiales au point dangereux sont indiquées.

Les principales contraintes au point dangereux du chantier CD:

Selon l'hypothèse de résistance de Mohr, la contrainte équivalente pour le point dangereux de la section considérée est

Les points de contour des sections transversales de la section AB se sont avérés dangereux.

La condition de résistance a la forme :

Exemple 2.76. Déterminer la valeur de force admissible Rà partir de la condition de résistance de la tige Soleil(Fig. 2.73) Le matériau de la tige est en fonte avec une résistance à la traction σ vr = 150 N / mm 2 et une résistance à la compression σ sun = 450 N / mm 2. Facteur de sécurité requis [ n] = 5.

Instruction. Bois cassé abc situé dans un plan horizontal, et la tige UN B perpendiculaire à Soleil. Les forces R, 2R, 8R se situer dans un plan vertical; force 0,5 R, 1,6 R- en horizontal et perpendiculaire à la tige Soleil; force 10R, 16R coïncider avec l'axe de la tige Soleil; un couple de forces de moment m = 25Pd est situé dans un plan vertical perpendiculaire à l'axe de la tige Soleil.

La solution

Apportons la force R et 0,5P au centre de gravité de la section transversale B.

En transférant la force P parallèlement à elle-même au point B, nous devons ajouter une paire de forces avec un moment égal au moment de la force R par rapport au point À, soit un couple de moment m 1 = 10 Pd.

Force 0.5R se déplacer le long de sa ligne d'action jusqu'au point B.

Charges agissant sur la tige Soleil, illustré à la fig. 2,74 un.

Nous construisons des diagrammes de facteurs de force internes pour la tige Soleil. Sous le chargement spécifié de la tige dans ses sections transversales, six d'entre elles se présentent: force longitudinale N, forces transversales Qx et qy, couple mz moments de flexion Mx et Mu.

Parcelles N, Mz, Mx, Mu sont présentés dans la fig. 2,74 b(les ordonnées des diagrammes sont exprimées en termes de R et ré).

Parcelles Qy et Qx on ne construit pas, car les contraintes de cisaillement correspondant aux efforts transversaux sont faibles.

Dans l'exemple considéré, la position de la section dangereuse n'est pas évidente. Vraisemblablement, les sections K sont dangereuses (la fin de la section je) et S

Contraintes principales au point L :

Selon l'hypothèse de force de Mohr, la contrainte équivalente pour le point L

Déterminons l'amplitude et le plan d'action du moment de flexion Mi dans la section C, représentés séparément sur la fig. 2,74 ré. La même figure montre les diagrammes σ I, σ N , τ pour la partie C.

Contraintes sur les sites initiaux au point H(Fig. 2.74, e)

Contraintes principales en un point H:

Selon l'hypothèse de force de Mohr, la contrainte équivalente pour un point H

Contraintes sur les sites initiaux au point E (Fig. 2.74, et):

Contraintes principales au point E :

Selon l'hypothèse de force de Mohr, la contrainte équivalente pour le point E

Le point dangereux L Pour qui

La condition de résistance a la forme :

Questions et tâches de contrôle

1. Quel état de contrainte se produit dans la section transversale de l'arbre sous l'action combinée de la flexion et de la torsion ?

2. Écrivez la condition de résistance pour le calcul de l'arbre.

3. Écrivez les formules de calcul du moment équivalent lors du calcul de l'hypothèse de contrainte de cisaillement maximale et de l'hypothèse d'énergie de déformation.

4. Comment la section dangereuse est-elle sélectionnée lors du calcul du puits ?