Résoudre des équations à l'aide de la méthode "lancer"

Considérons l'équation quadratique

hache 2 + bx + c = 0, où est a ? 0.

En multipliant les deux côtés par a, on obtient l'équation

une 2 x 2 + abx + ac = 0.

Soit ax = y, d'où x = y/a ; alors nous arrivons à l'équation

y 2 + par + ac = 0,

est équivalent à cela. Nous trouvons ses racines pour 1 et 2 en utilisant le théorème de Vieta.

On obtient finalement x 1 = y 1 /a et x 1 = y 2 /a. Avec cette méthode, le coefficient a est multiplié par le terme libre, comme s'il lui était « jeté », c'est pourquoi on l'appelle la méthode « jeter ». Cette méthode est utilisée lorsque les racines de l'équation peuvent être facilement trouvées à l'aide du théorème de Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré exact.

* Exemple.

Résolvons l'équation 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Solution. "Jetons" le coefficient 2 au terme libre, et nous obtenons ainsi l'équation

y 2 - 11 ans + 30 = 0.

D'après le théorème de Vieta

oui 1 = 5 x 1 = 5/2 x 1 = 2,5

oui 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Réponse : 2,5 ; 3.

Propriétés des coefficients d'une équation quadratique

UN. Soit l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0, où a ? 0.

1) Si a+ b + c = 0 (c'est-à-dire que la somme des coefficients est nulle), alors x 1 = 1,

Preuve. Divisons les deux côtés de l'équation par a ? 0, on obtient l'équation quadratique réduite

x 2 + b/a * x + c/a = 0.

D'après le théorème de Vieta

x 1 + x 2 = - b/a,

x 1 x 2 = 1* c/a.

Par condition, a - b + c = 0, d'où b = a + c. Ainsi,

x 1 + x 2 = - une + b/une= -1 - c/une,

x 1 x 2 = - 1* (- c/a),

ceux. x 1 = -1 et x 2 = c/a, ce que nous devions prouver.

• * Exemples.
• 1) Résolvez l'équation 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Solution. Puisque a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), alors

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Réponse 1; -208/345.

2) Résolvez l'équation 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Solution. Puisque a + b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), alors

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Réponse 1; 115/132.

B. Si le deuxième coefficient b = 2k est un nombre pair, alors la formule racine

* Exemple.

Résolvons l'équation 3x2 - 14x + 16 = 0.

Solution. On a : a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7 ;

Nous vous rappelons qu'une équation quadratique complète est une équation de la forme :

Résoudre des équations quadratiques complètes est un peu plus difficile (juste un peu) que celles-ci.

Souviens-toi, N'importe quelle équation quadratique peut être résolue à l'aide d'un discriminant !

Même incomplet.

Les autres méthodes vous aideront à le faire plus rapidement, mais si vous rencontrez des problèmes avec les équations quadratiques, maîtrisez d'abord la solution à l'aide du discriminant.

1. Résolution d'équations quadratiques à l'aide d'un discriminant.

Résoudre des équations quadratiques à l'aide de cette méthode est très simple ; l'essentiel est de se souvenir de la séquence d'actions et de quelques formules.

Si, alors l’équation a 2 racines. Besoin de Attention particulière passez à l’étape 2.

Le discriminant D nous indique le nombre de racines de l'équation.

• Si, alors la formule de l'étape sera réduite à. Ainsi, l’équation n’aura qu’une racine.
• Si, alors nous ne pourrons pas extraire la racine du discriminant à l'étape. Cela indique que l'équation n'a pas de racines.

Passons à la signification géométrique de l'équation quadratique.

Le graphique de la fonction est une parabole :

Revenons à nos équations et regardons quelques exemples.

Exemple 9

Résous l'équation

Étape 1 nous sautons.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Cela signifie que l’équation a deux racines.

Étape 3.

Répondre:

Exemple 10

Résous l'équation

L'équation est présentée sous forme standard, donc Étape 1 nous sautons.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Cela signifie que l’équation a une racine.

Répondre:

Exemple 11

Résous l'équation

L'équation est présentée sous forme standard, donc Étape 1 nous sautons.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Cela signifie que nous ne pourrons pas extraire la racine du discriminant. Il n’y a pas de racines de l’équation.

Nous savons maintenant comment écrire correctement ces réponses.

Répondre: pas de racines

2. Résolution d'équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta

Si vous vous souvenez, il existe un type d'équation que l'on dit réduite (lorsque le coefficient a est égal à) :

De telles équations sont très faciles à résoudre à l’aide du théorème de Vieta :

Somme des racines donné l'équation quadratique est égale et le produit des racines est égal.

Il suffit de choisir une paire de nombres dont le produit est égal au terme libre de l'équation, et la somme est égale au deuxième coefficient, pris de signe opposé.

Exemple 12

Résous l'équation

Cette équation peut être résolue à l'aide du théorème de Vieta car .

La somme des racines de l'équation est égale, c'est-à-dire on obtient la première équation :

Et le produit est égal à :

Composons et résolvons le système :

• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal.

et sont la solution au système :

Répondre: ; .

Exemple 13

Résous l'équation

Répondre:

Exemple 14

Résous l'équation

L'équation est donnée, ce qui signifie :

Répondre:

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. NIVEAU MOYEN

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?

En d'autres termes, une équation quadratique est une équation de la forme où - l'inconnue, - des nombres, et.

Le nombre est appelé le plus élevé ou premier coefficientéquation quadratique, - deuxième coefficient, UN - Membre gratuit.

Parce que si l'équation devient immédiatement linéaire, parce que disparaîtra.

Dans ce cas, et peut être égal à zéro. Dans cette chaise, l'équation est appelée incomplet.

Si tous les termes sont en place, l’équation est complet.

Méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes

Tout d'abord, examinons les méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes - elles sont plus simples.

On peut distinguer les types d'équations suivants :

I., dans cette équation le coefficient et le terme libre sont égaux.

II. , dans cette équation le coefficient est égal.

III. , dans cette équation le terme libre est égal à.

Examinons maintenant la solution à chacun de ces sous-types.

Il est évident que équation donnée n'a toujours qu'une seule racine :

Un nombre au carré ne peut pas être négatif, car lorsque vous multipliez deux nombres négatifs ou deux nombres positifs, le résultat sera toujours un nombre positif. C'est pourquoi:

si, alors l'équation n'a pas de solutions ;

si nous avons deux racines

Ces formules n'ont pas besoin d'être mémorisées. La principale chose à retenir est que cela ne peut pas être inférieur.

Exemples de résolution d'équations quadratiques

Exemple 15

Répondre:

N'oubliez jamais les racines avec un signe négatif !

Exemple 16

Le carré d'un nombre ne peut pas être négatif, ce qui signifie que l'équation

pas de racines.

Pour écrire brièvement qu'un problème n'a pas de solution, nous utilisons l'icône d'ensemble vide.

Répondre:

Exemple 17

Ainsi, cette équation a deux racines : et.

Répondre:

Sortons le facteur commun des parenthèses :

Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. Cela signifie que l'équation a une solution lorsque :

Ainsi, cette équation quadratique a deux racines : et.

Exemple:

Résous l'équation.

Solution:

Factorisons le côté gauche de l'équation et trouvons les racines :

Répondre:

Méthodes de résolution d'équations quadratiques complètes

1. Discriminant

Résoudre des équations quadratiques de cette manière est facile, l'essentiel est de se souvenir de la séquence d'actions et de quelques formules. N'oubliez pas que n'importe quelle équation quadratique peut être résolue à l'aide d'un discriminant ! Même incomplet.

Avez-vous remarqué la racine du discriminant dans la formule des racines ?

Mais le discriminant peut être négatif.

Ce qu'il faut faire?

Nous devons accorder une attention particulière à l’étape 2. Le discriminant nous indique le nombre de racines de l’équation.

• Si, alors l'équation a des racines :
• Si alors l’équation a racines identiques, mais essentiellement une racine :

  Ces racines sont appelées racines doubles.

• Si, alors la racine du discriminant n’est pas extraite. Cela indique que l'équation n'a pas de racines.

Pourquoi est-ce possible différentes quantités racines?

Passons à la signification géométrique de l'équation quadratique. Le graphique de la fonction est une parabole :

Dans un cas particulier, qui est une équation quadratique, .

Cela signifie que les racines d'une équation quadratique sont les points d'intersection avec l'axe des abscisses (axis).

Une parabole peut ne pas couper l'axe du tout, ou peut le couper en un (lorsque le sommet de la parabole se trouve sur l'axe) ou en deux points.

De plus, le coefficient est responsable de la direction des branches de la parabole. Si, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, et si, alors vers le bas.

4 exemples de résolution d'équations quadratiques

Exemple 18

Répondre:

Exemple 19

Répondre: .

Exemple 20

Répondre:

Exemple 21

Cela signifie qu'il n'y a pas de solutions.

Répondre: .

2. Théorème de Vieta

Utiliser le théorème de Vieta est très simple.

Tout ce dont tu as besoin c'est ramasser une telle paire de nombres dont le produit est égal au terme libre de l'équation, et la somme est égale au deuxième coefficient, pris avec le signe opposé.

Il est important de rappeler que le théorème de Vieta ne peut s'appliquer que dans équations quadratiques réduites ().

Regardons quelques exemples :

Exemple 22

Résous l'équation.

Solution:

Cette équation peut être résolue à l'aide du théorème de Vieta car . Autres coefficients : ; .

La somme des racines de l’équation est :

Et le produit est égal à :

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal et vérifions si leur somme est égale :

• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal.

et sont la solution au système :

Ainsi, et sont les racines de notre équation.

Répondre: ; .

Exemple 23

Solution:

Sélectionnons des paires de nombres qui donnent le produit, puis vérifions si leur somme est égale :

et : ils donnent au total.

et : ils donnent au total. Pour l'obtenir, il suffit simplement de changer les signes des racines supposées : et, après tout, du produit.

Répondre:

Exemple 24

Solution:

Le terme libre de l’équation est négatif, et donc le produit des racines est un nombre négatif. Cela n’est possible que si l’une des racines est négative et l’autre positive. La somme des racines est donc égale à différences de leurs modules.

Sélectionnons de telles paires de nombres qui donnent le produit, et dont la différence est égale à :

et : leur différence est égale - ne correspond pas ;

et : - ne convient pas ;

et : - ne convient pas ;

et : - approprié. Il ne reste plus qu'à rappeler qu'une des racines est négative. Puisque leur somme doit être égale, la racine de module plus petit doit être négative : . Nous vérifions:

Répondre:

Exemple 25

Résous l'équation.

Solution:

L'équation est donnée, ce qui signifie :

Le terme libre est négatif, donc le produit des racines est négatif. Et cela n’est possible que lorsqu’une racine de l’équation est négative et l’autre positive.

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal, puis déterminons quelles racines doivent avoir un signe négatif :

Evidemment, seules les racines et conviennent à la première condition :

Répondre:

Exemple 26

Résous l'équation.

Solution:

L'équation est donnée, ce qui signifie :

La somme des racines est négative, ce qui signifie qu’au moins une des racines est négative. Mais comme leur produit est positif, cela signifie que les deux racines ont un signe moins.

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal à :

Évidemment, les racines sont les nombres et.

Répondre:

D'accord, il est très pratique de trouver des racines oralement, au lieu de compter ce méchant discriminant.

Essayez d'utiliser le théorème de Vieta aussi souvent que possible !

Mais le théorème de Vieta est nécessaire pour faciliter et accélérer la recherche des racines.

Pour que vous puissiez bénéficier de son utilisation, vous devez rendre les actions automatiques. Et pour cela, résolvez cinq autres exemples.

Mais ne trichez pas : vous ne pouvez pas utiliser de discriminant ! Seulement le théorème de Vieta !

5 exemples du théorème de Vieta pour le travail indépendant

Exemple 27

Tâche 1. ((x)^(2))-8x+12=0

D'après le théorème de Vieta :

Comme d'habitude, on commence la sélection par le morceau :

Ne convient pas car le montant ;

: le montant est exactement ce dont vous avez besoin.

Répondre: ; .

Exemple 28

Tâche 2.

Et encore notre théorème Vieta préféré : la somme doit être égale et le produit doit être égal.

Mais comme il ne doit pas en être ainsi, mais, on change les signes des racines : et (au total).

Répondre: ; .

Exemple 29

Tâche 3.

Hmm... Où est-ce ?

Vous devez déplacer tous les termes en une seule partie :

La somme des racines est égale au produit.

Bon, arrête ! L'équation n'est pas donnée.

Mais le théorème de Vieta n'est applicable que dans les équations données.

Vous devez donc d’abord donner une équation.

Si vous ne pouvez pas diriger, abandonnez cette idée et résolvez-la d’une autre manière (par exemple, par le biais d’un discriminant).

Permettez-moi de vous rappeler que donner une équation quadratique signifie rendre le coefficient dominant égal :

Alors la somme des racines est égale à et le produit.

Ici, c’est aussi simple que d’éplucher des poires pour choisir : après tout, c’est un nombre premier (désolé pour la tautologie).

Répondre: ; .

Exemple 30

Tâche 4.

Le membre libre est négatif.

Qu'est-ce qu'il y a de spécial là-dedans ?

Et le fait est que les racines auront des signes différents.

Et maintenant, lors de la sélection, on vérifie non pas la somme des racines, mais la différence de leurs modules : cette différence est égale, mais un produit.

Ainsi, les racines sont égales à et, mais l'une d'elles est moins.

Le théorème de Vieta nous dit que la somme des racines est égale au deuxième coefficient de signe opposé, c'est-à-dire.

Cela signifie que la racine la plus petite aura un moins : et, depuis.

Répondre: ; .

Exemple 31

Tâche 5.

Que devez-vous faire en premier ?

C'est vrai, donnez l'équation :

Encore une fois : on sélectionne les facteurs du nombre, et leur différence doit être égale à :

Les racines sont égales à et, mais l'une d'elles est moins. Lequel? Leur somme doit être égale, ce qui signifie que le moins aura une racine plus grande.

Répondre: ; .

Résumer

1. Le théorème de Vieta n'est utilisé que dans les équations quadratiques données.
2. En utilisant le théorème de Vieta, vous pouvez trouver les racines par sélection, oralement.
3. Si l'équation n'est pas donnée ou si aucune paire de facteurs appropriée du terme libre n'est trouvée, alors il n'y a pas de racines entières et vous devez la résoudre d'une autre manière (par exemple, via un discriminant).

3. Méthode de sélection d'un carré complet

Si tous les termes contenant l'inconnue sont représentés sous forme de termes issus de formules de multiplication abrégées - le carré de la somme ou de la différence - alors après remplacement des variables, l'équation peut être présentée sous la forme d'une équation quadratique incomplète du type .

Par exemple:

Exemple 32

Résous l'équation: .

Solution:

Répondre:

Exemple 33

Résous l'équation: .

Solution:

Répondre:

En général, la transformation ressemblera à ceci :

Cela implique: .

Cela ne vous rappelle rien ?

C'est une chose discriminatoire ! C'est exactement ainsi que nous avons obtenu la formule discriminante.

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Équation quadratique- c'est une équation de la forme où - l'inconnue, - les coefficients de l'équation quadratique, - le terme libre.

Équation quadratique complète- une équation dans laquelle les coefficients ne sont pas égaux à zéro.

Équation quadratique réduite- une équation dans laquelle le coefficient, soit : .

Équation quadratique incomplète- une équation dans laquelle le coefficient et/ou le terme libre c sont égaux à zéro :

• si le coefficient, l'équation ressemble à : ,
• s'il existe un terme libre, l'équation a la forme : ,
• si et, l'équation ressemble à : .

1. Algorithme de résolution d'équations quadratiques incomplètes

1.1. Équation quadratique incomplète de la forme, où :

1) Exprimons l'inconnu : ,

2) Vérifiez le signe de l'expression :

• si, alors l'équation n'a pas de solutions,
• si, alors l'équation a deux racines.

1.2. Équation quadratique incomplète de la forme, où :

1) Retirons le facteur commun entre parenthèses : ,

2) Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. L’équation a donc deux racines :

1.3. Équation quadratique incomplète de la forme où :

Cette équation n'a toujours qu'une seule racine : .

2. Algorithme de résolution d'équations quadratiques complètes de la forme où

2.1. Solution utilisant le discriminant

1) Réduisons l'équation à vue générale: ,

2) Calculons le discriminant à l'aide de la formule : , qui indique le nombre de racines de l'équation :

3) Trouvez les racines de l'équation :

• si, alors l'équation a des racines, qui sont trouvées par la formule :
• si, alors l'équation a une racine, qui se trouve par la formule :
• si, alors l'équation n'a pas de racines.

2.2. Solution utilisant le théorème de Vieta

La somme des racines de l'équation quadratique réduite (équation de la forme où) est égale, et le produit des racines est égal, c'est-à-dire , UN.

2.3. Solution par la méthode de sélection d'un carré complet

Certains problèmes de mathématiques nécessitent la capacité de calculer la valeur de la racine carrée. Ces problèmes incluent la résolution d’équations du second ordre. Dans cet article, nous présenterons méthode efficace calculs racines carrées et utilisez-le lorsque vous travaillez avec des formules pour les racines d'une équation quadratique.

Qu'est-ce qu'une racine carrée ?

En mathématiques, ce concept correspond au symbole √. Les données historiques indiquent qu'elle a été utilisée pour la première fois en Allemagne vers la première moitié du XVIe siècle (premier ouvrage allemand sur l'algèbre de Christoph Rudolf). Les scientifiques pensent que le symbole est une lettre latine transformée r (radix signifie « racine » en latin).

La racine de tout nombre est égale à la valeur dont le carré correspond à l'expression radicale. Dans le langage mathématique, cette définition ressemblera à ceci : √x = y, si y 2 = x.

La racine d'un nombre positif (x > 0) est aussi un nombre positif (y > 0), mais si vous prenez la racine d'un nombre négatif (x< 0), то его результатом уже будет nombre complexe, y compris l'unité imaginaire i.

Voici deux exemples simples :

√9 = 3, puisque 3 2 = 9 ; √(-9) = 3i, puisque i 2 = -1.

Formule itérative de Heron pour trouver les valeurs des racines carrées

Les exemples ci-dessus sont très simples et le calcul des racines n’est pas difficile. Des difficultés commencent à apparaître lors de la recherche des valeurs racines pour toute valeur qui ne peut pas être représentée par un carré entier naturel, par exemple √10, √11, √12, √13, sans compter qu'en pratique il faut trouver des racines pour les nombres non entiers : par exemple √(12,15), √(8,5) et ainsi de suite.

Dans tous les cas ci-dessus, une méthode spéciale de calcul de la racine carrée doit être utilisée. Actuellement, plusieurs méthodes de ce type sont connues : par exemple, l'expansion en série de Taylor, la division en colonnes et quelques autres. De toutes les méthodes connues, la plus simple et la plus efficace est peut-être l'utilisation de la formule itérative de Heron, également connue sous le nom de méthode babylonienne de détermination des racines carrées (il existe des preuves que les anciens Babyloniens l'utilisaient dans leurs calculs pratiques).

Soit qu'il soit nécessaire de déterminer la valeur de √x. Trouver une formule racine carrée a la forme suivante :

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), où lim n->∞ (a n) => x.

Décryptons cette notation mathématique. Pour calculer √x, vous devez prendre un nombre a 0 (cela peut être arbitraire, mais pour réception rapide Le résultat doit être choisi de telle sorte que (a 0) 2 soit aussi proche que possible de x. Remplacez-le ensuite dans la formule spécifiée pour calculer la racine carrée et obtenez un nouveau nombre 1, qui sera plus proche de la valeur souhaitée. Après cela, vous devez remplacer un 1 dans l’expression et obtenir un 2. Cette procédure doit être répétée jusqu'à ce que la précision requise soit atteinte.

Un exemple d'utilisation de la formule itérative de Heron

L'algorithme décrit ci-dessus pour obtenir la racine carrée d'un nombre donné peut sembler assez compliqué et déroutant pour beaucoup, mais en réalité tout s'avère beaucoup plus simple, puisque cette formule converge très rapidement (surtout si un nombre réussi a 0 est choisi) .

Donnons un exemple simple : vous devez calculer √11. Choisissons un 0 = 3, puisque 3 2 = 9, qui est plus proche de 11 que 4 2 = 16. En substituant dans la formule, nous obtenons :

une 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333 ;

une 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668 ;

une 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Il ne sert à rien de poursuivre les calculs, puisque nous avons constaté qu'un 2 et un 3 ne commencent à différer qu'à la 5ème décimale. Ainsi, il suffisait d'appliquer la formule seulement 2 fois pour calculer √11 avec une précision de 0,0001.

De nos jours, les calculatrices et les ordinateurs sont largement utilisés pour calculer les racines, cependant, il est utile de se souvenir de la formule marquée afin de pouvoir calculer manuellement leur valeur exacte.

Équations du second ordre

Comprendre ce qu'est une racine carrée et la capacité de la calculer est utilisé pour résoudre des équations quadratiques. Ces équations sont appelées égalités à une inconnue, Forme générale ce qui est illustré dans la figure ci-dessous.

Ici, c, b et a représentent des nombres, et a ne doit pas être égal à zéro, et les valeurs de c et b peuvent être complètement arbitraires, y compris égales à zéro.

Toutes les valeurs de x qui satisfont à l'égalité indiquée sur la figure sont appelées ses racines (ce concept ne doit pas être confondu avec la racine carrée √). Puisque l'équation considérée est du 2ème ordre (x 2), alors il ne peut y avoir plus de deux racines pour elle. Regardons plus loin dans l'article comment trouver ces racines.

Trouver les racines d'une équation quadratique (formule)

Cette méthode de résolution du type d'égalités considéré est également appelée méthode universelle, ou méthode discriminante. Il peut être utilisé pour toutes les équations quadratiques. La formule du discriminant et des racines de l'équation quadratique est la suivante :

Il montre que les racines dépendent de la valeur de chacun des trois coefficients de l’équation. De plus, le calcul de x 1 ne diffère du calcul de x 2 que par le signe devant la racine carrée. L'expression radicale, qui est égale à b 2 - 4ac, n'est rien d'autre que le discriminant de l'égalité en question. Le discriminant dans la formule des racines d'une équation quadratique joue rôle important, puisqu'il détermine le nombre et le type de solutions. Ainsi, s'il est égal à zéro, alors il n'y aura qu'une seule solution, s'il est positif, alors l'équation a deux racines réelles, et enfin, un discriminant négatif conduit à deux racines complexes x 1 et x 2.

Théorème de Vieta ou quelques propriétés des racines des équations du second ordre

A la fin du XVIe siècle, l'un des fondateurs de l'algèbre moderne, un Français, étudiant les équations du second ordre, put obtenir les propriétés de ses racines. Mathématiquement, ils peuvent s'écrire ainsi :

x 1 + x 2 = -b/a et x 1 * x 2 = c/a.

Les deux égalités peuvent être facilement obtenues par n'importe qui ; pour ce faire, il suffit d'effectuer les opérations mathématiques appropriées avec les racines obtenues grâce à la formule avec le discriminant.

La combinaison de ces deux expressions peut à juste titre être appelée la deuxième formule des racines d'une équation quadratique, qui permet de deviner ses solutions sans utiliser de discriminant. Il convient de noter ici que même si les deux expressions sont toujours valides, il n’est pratique de les utiliser pour résoudre une équation que si elle peut être factorisée.

La tâche de consolider les connaissances acquises

Résolvons un problème mathématique dans lequel nous démontrerons toutes les techniques abordées dans l'article. Les conditions du problème sont les suivantes : vous devez trouver deux nombres dont le produit est -13 et la somme est 4.

Cette condition rappelle immédiatement le théorème de Vieta ; en utilisant les formules de la somme des racines carrées et de leur produit, on écrit :

x 1 + x 2 = -b / a = 4 ;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Si nous supposons que a = 1, alors b = -4 et c = -13. Ces coefficients nous permettent de créer une équation du second ordre :

x2 - 4x - 13 = 0.

Utilisons la formule avec le discriminant et obtenons les racines suivantes :

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Autrement dit, le problème se réduisait à trouver le nombre √68. Notez que 68 = 4 * 17, alors, en utilisant la propriété racine carrée, nous obtenons : √68 = 2√17.

Utilisons maintenant la formule de racine carrée considérée : a 0 = 4, alors :

une 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125 ;

une 2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Il n'est pas nécessaire de calculer un 3 puisque les valeurs trouvées ne diffèrent que de 0,02. Ainsi, √68 = 8,246. En le substituant dans la formule pour x 1,2, nous obtenons :

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 et x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Comme on peut le voir, la somme des nombres trouvés est en réalité égale à 4, mais si l'on trouve leur produit, alors il sera égal à -12,999, ce qui satisfait aux conditions du problème avec une précision de 0,001.

Formules pour les racines d'une équation quadratique. Les cas de réalité, multiples et racines complexes. Factoriser un trinôme quadratique. Interprétation géométrique. Exemples de détermination des racines et de factorisation.

Contenu

Voir également: Résoudre des équations quadratiques en ligne

Formules de base

Considérons l'équation quadratique :
(1) .
Racines d'une équation quadratique(1) sont déterminés par les formules :
; .
Ces formules peuvent être combinées comme ceci :
.
Lorsque les racines d'une équation quadratique sont connues, alors un polynôme du deuxième degré peut être représenté comme un produit de facteurs (factorisé) :
.

Ensuite, nous supposons qu'il s'agit de nombres réels.
Considérons discriminant d'une équation quadratique:
.
Si le discriminant est positif, alors l'équation quadratique (1) a deux racines réelles différentes :
; .
Alors la factorisation du trinôme quadratique a la forme :
.
Si le discriminant est égal à zéro, alors l'équation quadratique (1) a deux racines réelles multiples (égales) :
.
Factorisation :
.
Si le discriminant est négatif, alors l'équation quadratique (1) a deux racines conjuguées complexes :
;
.
Voici l'unité imaginaire, ;
et sont les parties réelles et imaginaires des racines :
; .
Alors

.

Interprétation graphique

Si vous construisez graphique d'une fonction
,
qui est une parabole, alors les points d'intersection du graphique avec l'axe seront les racines de l'équation
.
Lorsque , le graphique coupe l'axe des abscisses (axis) en deux points ().
Lorsque , le graphique touche l'axe des x en un point ().
Lorsque , le graphique ne traverse pas l’axe des x ().

Formules utiles liées aux équations quadratiques

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique

Nous effectuons des transformations et appliquons les formules (f.1) et (f.3) :




,
Où
; .

Ainsi, nous avons obtenu la formule d'un polynôme du deuxième degré sous la forme :
.
Cela montre que l'équation

effectué à
Et .
Autrement dit, et sont les racines de l'équation quadratique
.

Exemples de détermination des racines d'une équation quadratique

Exemple 1

(1.1) .

.
En comparant avec notre équation (1.1), on retrouve les valeurs des coefficients :
.
On trouve le discriminant :
.
Puisque le discriminant est positif, l’équation a deux racines réelles :
;
;
.

De là on obtient la factorisation du trinôme quadratique :

.

Graphique de la fonction y = 2 x 2 + 7 x + 3 coupe l'axe des x en deux points.

Traçons la fonction
.
Le graphique de cette fonction est une parabole. Il croise l'axe des abscisses (axis) en deux points :
Et .
Ces points sont les racines de l'équation originale (1.1).

;
;
.

Exemple 2

Trouvez les racines d'une équation quadratique :
(2.1) .

Écrivons l'équation quadratique sous forme générale :
.
En comparant avec l'équation originale (2.1), on retrouve les valeurs des coefficients :
.
On trouve le discriminant :
.
Puisque le discriminant est nul, l'équation a deux racines multiples (égales) :
;
.

Alors la factorisation du trinôme a la forme :
.

Graphique de la fonction y = x 2 - 4 x + 4 touche l’axe des x à un moment donné.

Traçons la fonction
.
Le graphique de cette fonction est une parabole. Il touche l'axe des x (axe) en un point :
.
Ce point est la racine de l’équation originale (2.1). Car cette racine est factorisée deux fois :
,
alors une telle racine est généralement appelée un multiple. Autrement dit, ils croient qu'il existe deux racines égales :
.

;
.

Exemple 3

Trouvez les racines d'une équation quadratique :
(3.1) .

Écrivons l'équation quadratique sous forme générale :
(1) .
Réécrivons l'équation originale (3.1) :
.
En comparant avec (1), on retrouve les valeurs des coefficients :
.
On trouve le discriminant :
.
Le discriminant est négatif, . Il n’y a donc pas de véritables racines.

Vous pouvez trouver des racines complexes :
;
;
.

Alors


.

Le graphique de la fonction ne traverse pas l'axe des x. Il n’y a pas de véritables racines.

Traçons la fonction
.
Le graphique de cette fonction est une parabole. Il ne coupe pas l'axe des x (axe). Il n’y a donc pas de véritables racines.

Il n’y a pas de véritables racines. Racines complexes :
;
;
.

Voir également:

Tutoriel vidéo 2 : Résoudre des équations quadratiques

Conférence: Équations du second degré

L'équation

L'équation- c'est une sorte d'égalité dans les expressions de laquelle il y a une variable.

Résous l'équation- signifie trouver un nombre au lieu d'une variable qui le mettra dans une égalité correcte.

Une équation peut avoir une solution, plusieurs ou aucune.

Pour résoudre n’importe quelle équation, il faut la simplifier autant que possible sous la forme :

Linéaire: a*x = b;

Carré: a*x 2 + b*x + c = 0.

Autrement dit, toutes les équations doivent être converties sous forme standard avant d'être résolues.

Toute équation peut être résolue de deux manières : analytique et graphique.

Sur le graphique, la solution de l'équation est considérée comme étant les points auxquels le graphique coupe l'axe OX.

Équations du second degré

Une équation peut être dite quadratique si, simplifiée, elle prend la forme :

a*x 2 + b*x + c = 0.

Où une, b, c sont des coefficients de l’équation qui diffèrent de zéro. UN "X"- racine de l'équation. On pense qu’une équation quadratique a deux racines ou peut ne pas avoir de solution du tout. Les racines résultantes peuvent être les mêmes.

"UN"- le coefficient qui précède la racine carrée.

"b"- se tient devant l'inconnu au premier degré.

"Avec" est le terme libre de l'équation.

Si par exemple on a une équation de la forme :

2x2 -5x+3=0

Dans celui-ci, « 2 » est le coefficient du terme principal de l'équation, « -5 » est le deuxième coefficient et « 3 » est le terme libre.

Résoudre une équation quadratique

Il existe une grande variété de façons de résoudre une équation quadratique. Cependant, dans un cours de mathématiques scolaire, la solution est étudiée à l’aide du théorème de Vieta, ainsi qu’à l’aide d’un discriminant.

Solution discriminante :

Lors de la résolution avec cette méthode il faut calculer le discriminant à l'aide de la formule :

Si lors de vos calculs vous constatez que le discriminant est inférieur à zéro, cela signifie que cette équation n'a pas de solution.

Si le discriminant est nul, alors l’équation a deux solutions identiques. Dans ce cas, le polynôme peut être réduit en utilisant la formule de multiplication abrégée dans le carré de la somme ou de la différence. Alors résolvez-le comme équation linéaire. Ou utilisez la formule :

Si le discriminant Au dessus de zéro, alors vous devez utiliser la méthode suivante :

Théorème de Vieta

Si l'équation est donnée, c'est-à-dire que le coefficient du terme principal est égal à un, alors vous pouvez utiliser Théorème de Vieta.

Supposons donc que l'équation soit :

Les racines de l’équation se trouvent comme suit :

Équation quadratique incomplète

Il existe plusieurs options pour obtenir une équation quadratique incomplète dont la forme dépend de la présence de coefficients.

1. Si les deuxième et troisième coefficients sont nuls (b = 0, c = 0), alors l'équation quadratique ressemblera à :

Cette équation aura seule décision. L'égalité ne sera vraie que si la solution de l'équation est nulle.