Berechnung eines Rundträgers für Biegung mit Torsion. Biegung mit Torsion eines Rundträgers Räumliche Biegung eines Rundträgers

Brief Information aus der Theorie

Das Holz unterliegt komplexen Widerstandsbedingungen, wenn mehrere Schnittgrößen in den Querschnitten gleichzeitig ungleich Null sind.

Von größtem praktischem Interesse sind folgende Fälle komplexer Belastung:

1. Schrägbiegung.

2. Biegung mit Zug oder Druck in Querrichtung
Querschnitte entstehen Längskraft und Biegemomente wie z
zum Beispiel bei der exzentrischen Kompression eines Balkens.

3. Biegung mit Torsion, gekennzeichnet durch das Vorhandensein im Hintern
Flussabschnitte mit Biegung (oder zwei Biegungen) und Torsion
Momente.

Schräge Biegung.

Bei der Schrägbiegung handelt es sich um eine Balkenbiegung, bei der die Wirkungsebene des Gesamtbiegemoments im Querschnitt mit keiner der Hauptträgheitsachsen zusammenfällt. Am praktischsten ist es, Schrägbiegung als gleichzeitige Biegung eines Balkens in zwei Hauptebenen zoy und zox zu betrachten, wobei die z-Achse die Achse des Balkens und die x- und y-Achsen die Hauptmittelachsen des Querschnitts sind.

Betrachten wir einen Kragarm mit rechteckigem Querschnitt, der mit der Kraft P belastet wird (Abb. 1).

Wenn wir die Kraft P entlang der Hauptmittelachsen des Querschnitts erweitern, erhalten wir:

P y =Pcos φ, P x =Psin φ

Im aktuellen Balkenabschnitt treten Biegemomente auf

M x = - P y z = -P z cos φ,

M y = P x z = P z sin φ.

Das Vorzeichen des Biegemoments M x wird auf die gleiche Weise wie im vorliegenden Fall bestimmt gerade Biegung. Wir betrachten den Moment M y positiv, wenn an Punkten mit positiver Wert Koordinate x Dieses Moment verursacht Zugspannungen. Das Vorzeichen des Moments M y lässt sich übrigens leicht analog zur Bestimmung des Vorzeichens des Biegemoments M x ermitteln, wenn man den Abschnitt gedanklich so dreht, dass die x-Achse mit der ursprünglichen Richtung der y-Achse übereinstimmt .

Die Spannung an einem beliebigen Punkt im Querschnitt eines Balkens kann mithilfe von Formeln zur Bestimmung der Spannung für den jeweiligen Fall ermittelt werden flache Biegung. Basierend auf dem Prinzip der unabhängigen Kraftwirkung fassen wir die durch die einzelnen Biegemomente verursachten Spannungen zusammen

(1)

In diesen Ausdruck werden die Werte der Biegemomente (mit eigenen Vorzeichen) und die Koordinaten des Punktes eingesetzt, an dem die Spannung berechnet wird.

Um die gefährlichen Punkte des Abschnitts zu bestimmen, muss die Position der Null- oder Neutrallinie (die geometrische Lage der Punkte des Abschnitts, an denen Spannungen σ = 0) bestimmt werden. Maximale Spannungen treten an den Punkten auf, die am weitesten von der Nulllinie entfernt sind.

Die Nullliniengleichung ergibt sich aus Gleichung (1) bei =0:

Daraus folgt, dass die Nulllinie durch den Schwerpunkt des Querschnitts verläuft.

Die in den Balkenabschnitten auftretenden Tangentialspannungen (bei Q x ≠0 und Q y ≠0) können in der Regel vernachlässigt werden. Wenn es notwendig ist, sie zu bestimmen, werden zunächst die Komponenten der Gesamtschubspannung τ x und τ y nach der Formel von D.Ya. Zhuravsky berechnet und diese anschließend geometrisch aufsummiert:

Um die Festigkeit eines Balkens beurteilen zu können, ist es notwendig, die maximalen Normalspannungen im gefährlichen Abschnitt zu ermitteln. Da an den am stärksten belasteten Stellen der Spannungszustand einachsig ist, ergibt sich bei der Berechnung nach der Methode der zulässigen Spannung die Form der Festigkeitsbedingung

Für Kunststoffmaterialien,

Für zerbrechliche Materialien,

n - Sicherheitsfaktor.

Wenn Sie mit der Methode rechnen Grenzzustände, dann hat die Festigkeitsbedingung die Form:

wobei R der Bemessungswiderstand ist,

m – Koeffizient der Arbeitsbedingungen.

In Fällen, in denen das Trägermaterial unterschiedliche Zug- und Druckfestigkeiten aufweist, ist es erforderlich, sowohl die maximale Zug- als auch die maximale Druckspannung zu ermitteln und aus den Beziehungen eine Aussage über die Festigkeit des Trägers zu treffen:

wobei R p und R c die berechneten Zug- bzw. Druckwiderstände des Materials sind.

Um die Durchbiegungen eines Balkens zu bestimmen, ist es zweckmäßig, zunächst die Verschiebungen des Abschnitts in den Hauptebenen in Richtung der x- und y-Achse zu ermitteln.

Die Berechnung dieser Verschiebungen ƒ x und ƒ y kann durch die Aufstellung einer universellen Gleichung für die gekrümmte Achse des Strahls oder durch Energiemethoden erfolgen.

Die Gesamtauslenkung lässt sich als geometrische Summe ermitteln:

Die Balkensteifigkeitsbedingung hat die Form:

wobei - die zulässige Durchbiegung des Balkens ist.

Exzentrische Kompression

In diesem Fall ist die Druckkraft P auf den Balken parallel zur Balkenachse gerichtet und wird an einem Punkt ausgeübt, der nicht mit dem Schwerpunkt des Abschnitts zusammenfällt. Seien X p und Y p die Koordinaten des Angriffspunkts der Kraft P, gemessen relativ zu den Hauptmittelachsen (Abb. 2).

Durch die einwirkende Last entstehen in den Flussquerschnitten folgende Schnittgrößenfaktoren: N= -P, Mx= -Py p, My=-Px p

Die Vorzeichen der Biegemomente sind negativ, da diese an Stellen des ersten Viertels eine Kompression bewirken. Die Spannung an einem beliebigen Punkt des Abschnitts wird durch den Ausdruck bestimmt

(9)

Ersetzen wir die Werte von N, Mx und Mu, erhalten wir

(10)

Da Ух= F, Уу= F (wobei i x und i y die Hauptträgheitsradien sind), kann der letzte Ausdruck auf die Form reduziert werden

(11)

Wir erhalten die Nullliniengleichung, indem wir =0 setzen

1+ (12)

Die durch die Nulllinie auf den Koordinatenachsen abgeschnittenen Segmente werden ausgedrückt als auf die folgende Weise:

Anhand der Abhängigkeiten (13) lässt sich leicht die Lage der Nulllinie im Schnitt ermitteln (Abb. 3) und anschließend die von dieser Linie am weitesten entfernten Punkte ermitteln, die gefährlich sind, da in ihnen maximale Spannungen auftreten.

Der Spannungszustand an den Stellen des Abschnitts ist einachsig, daher ist die Bedingung für die Festigkeit des Balkens ähnlich dem zuvor betrachteten Fall der Schrägbiegung des Balkens – Formeln (5), (6).

Bei der exzentrischen Kompression von Balken, deren Material der Spannung nur schwach standhält, ist es wünschenswert, das Auftreten von Zugspannungen im Querschnitt zu verhindern. Spannungen gleichen Vorzeichens entstehen im Abschnitt, wenn die Nulllinie außerhalb oder innerhalb des Abschnitts verläuft als letztes berühre ihn.

Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die Druckkraft innerhalb eines Bereichs ausgeübt wird, der als Kern des Abschnitts bezeichnet wird. Der Kern des Profils ist ein Bereich, der den Schwerpunkt des Profils abdeckt, und zeichnet sich dadurch aus, dass jede in diesem Bereich wirkende Längskraft an allen Punkten des Balkens Spannungen mit dem gleichen Vorzeichen verursacht.

Um den Kern des Abschnitts zu konstruieren, ist es notwendig, die Position der Nulllinie so festzulegen, dass sie den Abschnitt berührt, ohne ihn irgendwo zu schneiden, und den entsprechenden Angriffspunkt der Kraft P zu finden. Durch Zeichnen einer Tangentenschar an die Abschnitt erhalten wir einen ihnen entsprechenden Satz von Polen, deren geometrische Lage den Umriss (Kontur) der Kernabschnitte ergibt.

Gegeben sei zum Beispiel der in Abb. 4, mit den Hauptmittelachsen x und y.

Um den Kern des Abschnitts zu konstruieren, stellen wir fünf Tangenten dar, von denen vier mit den Seiten AB, DE, EF und FA zusammenfallen und die fünfte die Punkte B und D verbindet. Durch Messen oder Berechnen aus dem Schnitt, abgeschnitten durch die angegebenen Tangenten I-I, . . . ., 5-5 auf den x-, y-Achsen und Ersetzen dieser Werte in Abhängigkeit (13) bestimmen wir die Koordinaten x p, y p für die fünf Pole 1, 2....5, entsprechend den fünf Positionen der Nulllinie. Die Tangente I-I kann durch Drehung um Punkt A auf Position 2-2 verschoben werden, während sich Pol I geradlinig bewegen muss und sich durch Drehung der Tangente auf Punkt 2 bewegt. Folglich entsprechen alle Pole den Zwischenpositionen der Die Tangente zwischen I-I und 2-2 liegt auf der Geraden 1-2. Ebenso kann nachgewiesen werden, dass auch die übrigen Seiten des Kerns des Abschnitts rechteckig sein werden, d. h. Der Kern des Abschnitts ist ein Polygon, zu dessen Konstruktion es ausreicht, die Pole 1, 2, ... 5 mit Geraden zu verbinden.

Biegen mit Torsion eines Rundträgers.

Beim Biegen mit Torsion nach innen Querschnitt Bei Holz sind im allgemeinen Fall fünf Schnittgrößenfaktoren ungleich Null: M x, M y, M k, Q x und Q y. Allerdings kann der Einfluss der Querkräfte Q x und Q y in den meisten Fällen vernachlässigt werden, wenn der Abschnitt nicht dünnwandig ist.

Aus der Größe des resultierenden Biegemoments lassen sich Normalspannungen in einem Querschnitt ermitteln

Weil die neutrale Achse steht senkrecht zum Wirkungshohlraum des Moments M u.

In Abb. Abbildung 5 zeigt die Biegemomente M x und M y in Form von Vektoren (die Richtungen M x und M y sind positiv gewählt, d. h. so, dass an den Punkten des ersten Quadranten die Spannungsabschnitte zugbelastet sind).

Die Richtung der Vektoren M x und M y ist so gewählt, dass ein Beobachter sie vom Ende des Vektors aus entgegen dem Uhrzeigersinn gerichtet sieht. In diesem Fall fällt die Neutrallinie mit der Richtung des resultierenden Momentenvektors M u zusammen und die am stärksten belasteten Punkte des Abschnitts A und B liegen in der Wirkungsebene dieses Moments.

Diese Kombination von Schnittgrößenfaktoren ist typisch für die Wellenberechnung. Das Problem ist flach, da das Konzept der „Schrägbiegung“ für einen Träger mit kreisförmigem Querschnitt, bei dem eine beliebige Mittelachse die Hauptachse ist, nicht anwendbar ist. Im allgemeinen Fall äußerer Kräfte erfährt ein solcher Balken eine Kombination der folgenden Verformungsarten: direkte Querbiegung, Torsion und zentrale Spannung (Kompression). In Abb. Abbildung 11.5 zeigt einen Balken, der mit äußeren Kräften belastet ist, die alle vier Verformungsarten verursachen.

Mithilfe von Schnittkraftdiagrammen können Sie gefährliche Abschnitte identifizieren, und Spannungsdiagramme helfen Ihnen, gefährliche Stellen in diesen Abschnitten zu identifizieren. Tangentialspannungen aus Querkräften erreichen ihr Maximum in der Achse des Balkens und sind für einen Balken mit massivem Querschnitt unbedeutend und können im Vergleich zu Tangentialspannungen aus Torsion, die ihr Maximum an Randpunkten erreichen (Punkt B), vernachlässigt werden.

Ein gefährlicher Abschnitt ist die Einbettung, wo gleichzeitig solche vorhanden sind sehr wichtig Längs- und Querkräfte, Biege- und Drehmomentmomente.

Der gefährliche Punkt in diesem Abschnitt wird der Punkt sein, an dem σ x und τ xy einen signifikanten Wert erreichen (Punkt B). An diesem Punkt wirken die größte Normalspannung aus Biegung und Schubspannung aus Torsion sowie die Normalspannung aus Dehnung

Nachdem wir die Hauptspannungen mit der Formel ermittelt haben:

wir finden σ red =

(bei Verwendung des Kriteriums der höchsten Tangentialspannungen m = 4, bei Verwendung des Kriteriums der spezifischen Energie der Formänderung m = 3).

Wenn wir die Ausdrücke σ α und τ xy einsetzen, erhalten wir:

oder unter Berücksichtigung der Tatsache, dass W ð =2 W z, A= (siehe 10.4),

Erfährt die Welle eine Biegung in zwei zueinander senkrechten Ebenen, so ist in der Formel anstelle von M z M tot = einzusetzen

Die reduzierte Spannung σ red darf die bei der Prüfung im linearen Spannungszustand unter Berücksichtigung des Sicherheitsfaktors ermittelte zulässige Spannung σ zul nicht überschreiten. Bei gegebenen Abmessungen und zulässigen Spannungen wird eine Nachweisrechnung durchgeführt. Aus dem Zustand werden die für eine sichere Festigkeit notwendigen Maße ermittelt

11.5. Berechnung momentloser Rotationsschalen

In der Technik werden häufig Strukturelemente verwendet, die aus Sicht der Festigkeits- und Steifigkeitsberechnungen als dünne Schalen klassifiziert werden können. Die Schale gilt als dünn, wenn das Verhältnis ihrer Dicke zur Gesamtgröße weniger als 1/20 beträgt. Für dünne Schalen gilt die Hypothese der geraden Normalen: Die Normalensegmente zur Mittelfläche bleiben nach der Verformung gerade und nicht dehnbar. In diesem Fall liegt eine lineare Verteilung der Verformungen vor und daher normaler Stress(bei kleinen elastischen Verformungen) entlang der Dicke der Schale.

Die Oberfläche der Schale entsteht durch Drehung einer flachen Kurve um eine Achse, die in der Ebene der Kurve liegt. Ersetzt man die Kurve durch eine Gerade, so erhält man bei Drehung parallel zur Achse eine kreiszylindrische Schale, bei Drehung schräg zur Achse eine Kegelschale.

In Berechnungsschemata wird die Schale durch ihre Mittelfläche dargestellt (gleicher Abstand zu den Vorderflächen). Die mittlere Oberfläche ist normalerweise mit einem krummlinigen orthogonalen Koordinatensystem Ө und φ verbunden. Der Winkel θ () bestimmt die Lage der Parallelen zur Schnittlinie der Mittelfläche mit einer Ebene, die normal zur Rotationsachse verläuft.

Abb.11.6 Abb. 11.7

Durch die Normale zur Mitte der Oberfläche können Sie viele Ebenen zeichnen, die normal dazu sind, und in Abschnitten damit Linien mit unterschiedlichen Krümmungsradien bilden. Zwei dieser Radien haben Extremwerte. Die Linien, denen sie entsprechen, werden Hauptkrümmungslinien genannt. Eine der Linien ist ein Meridian, sein Krümmungsradius wird mit bezeichnet r 1. Krümmungsradius der zweiten Kurve – r 2(Der Krümmungsmittelpunkt liegt auf der Rotationsachse). Radiuszentren r 1 Und r 2 können zusammenfallen (Kugelschale), auf einer oder verschiedenen Seiten der Mittelfläche liegen, einer der Mittelpunkte kann ins Unendliche gehen (Zylinder- und Kegelschale).

Beim Aufstellen der Grundgleichungen beziehen wir Kräfte und Verschiebungen auf Normalschnitte der Schale in den Ebenen der Hauptkrümmung. Lassen Sie uns Gleichungen für interne Anstrengungen erstellen. Betrachten wir ein unendlich kleines Schalenelement (Abb. 11.6), das durch zwei benachbarte Meridionalebenen (mit den Winkeln θ und θ+dθ) und zwei benachbarte parallele Kreise normal zur Rotationsachse (mit den Winkeln φ und φ+dφ) geschnitten wird. Als System von Projektionsachsen und -momenten wählen wir ein rechtwinkliges Achsensystem X, j, z. Achse j tangential zum Meridian, Achse gerichtet z- ganz normal.

Aufgrund der Achsensymmetrie (Last P=0) wirken nur Normalkräfte auf das Element. N φ – lineare Meridiankraft, die tangential zum Meridian gerichtet ist: N θ – lineare Ringkraft, die tangential zum Kreis gerichtet ist. Die Gleichung ΣХ=0 wird zu einer Identität. Projizieren wir alle Kräfte auf die Achse z:

2N θ r 1 dφsinφ+r o dθdφ+P z r 1 dφr o dθ=0.

Wenn wir die Infinitesimalgröße höherer Ordnung ()r o dθ dφ vernachlässigen und die Gleichung durch r 1 r o dφ dθ dividieren, dann erhalten wir unter Berücksichtigung dessen eine Gleichung aufgrund von P. Laplace:

Anstelle der Gleichung ΣY=0 für das betrachtete Element stellen wir eine Gleichgewichtsgleichung für den oberen Teil der Schale auf (Abb. 11.6). Projizieren wir alle Kräfte auf die Rotationsachse:

ude: R v - vertikale Projektion der resultierenden äußeren Kräfte, die auf den abgeschnittenen Teil der Schale wirken. Also,

Wenn wir die Werte von N φ in die Laplace-Gleichung einsetzen, finden wir N θ. Die Bestimmung der Kräfte in einer Rotationsschale nach der Momententheorie ist ein statisch definierbares Problem. Dies wurde dadurch möglich, dass wir sofort das Gesetz der Spannungsänderungen entlang der Dicke der Schale postulierten – wir betrachteten sie als konstant.

Im Fall einer Kugelkuppel gilt r 1 = r 2 = r und r o = r. Wenn die Belastung als Intensität angegeben wird P auf die horizontale Projektion der Schale

Dadurch wird die Kuppel in meridionaler Richtung gleichmäßig komprimiert. Komponenten der Flächenlast entlang der Normalen z ist gleich P z =P. Wir setzen die Werte von N φ und P z in die Laplace-Gleichung ein und finden daraus:

Die ringförmigen Druckkräfte erreichen ihr Maximum an der Kuppelspitze bei φ = 0. Bei φ = 45 º - N θ =0; bei φ > 45-N θ =0 wird zugfest und erreicht ein Maximum bei φ = 90.

Die horizontale Komponente der Meridiankraft ist gleich:

Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung einer momentfreien Schale. Die Hauptleitung ist mit Gas gefüllt, dessen Druck gleich ist R.

Hier ist r 1 = R, r 2 = a gemäß der bisher akzeptierten Annahme, dass Spannungen gleichmäßig über die Dicke verteilt sind δ Hülse

wobei: σ m – normale Meridianspannungen und

σ t - Umfangsnormalspannungen (Breite, Ring).

Unter Biegung versteht man eine Belastungsart, bei der Biegemomente in den Trägerquerschnitten auftreten. Wenn das Biegemoment im Abschnitt der einzige Kraftfaktor ist, wird die Biegung als rein bezeichnet. Treten in den Balkenquerschnitten neben dem Biegemoment auch Querkräfte auf, spricht man von Querbiegung.

Es wird angenommen, dass das Biegemoment und die Scherkraft in einer der Hauptebenen des Balkens liegen (nehmen wir an, dass diese Ebene ZOY ist). Diese Art der Biegung wird als flach bezeichnet.

In allen unten betrachteten Fällen liegt eine Wohnung vor Querbiegung Balken

Um die Festigkeit oder Steifigkeit eines Balkens zu berechnen, ist es notwendig, die Schnittgrößen zu kennen, die in seinen Abschnitten auftreten. Zu diesem Zweck werden Diagramme der Querkräfte (Diagramm Q) und Biegemomente (M) erstellt.

Beim Biegen wird die gerade Achse des Balkens gebogen; die neutrale Achse verläuft durch den Schwerpunkt des Abschnitts. Zur Sicherheit werden wir bei der Erstellung von Diagrammen von Querkräften und Biegemomenten Vorzeichenregeln für diese festlegen. Nehmen wir an, dass das Biegemoment als positiv angesehen wird, wenn sich das Balkenelement konvex nach unten biegt, d. h. so, dass sich seine komprimierten Fasern im oberen Teil befinden.

Wenn das Moment den Balken konvex nach oben biegt, wird dieses Moment als negativ betrachtet.

Beim Erstellen eines Diagramms werden wie üblich positive Werte von Biegemomenten in Richtung der Y-Achse aufgetragen, was dem Erstellen eines Diagramms auf einer komprimierten Faser entspricht.

Daher lässt sich die Vorzeichenregel für das Diagramm der Biegemomente wie folgt formulieren: Die Ordinaten der Momente werden von der Seite der Balkenschichten aufgetragen.

Das Biegemoment in einem Abschnitt ist gleich der Summe der auf diesen Abschnitt bezogenen Momente aller Kräfte, die auf einer Seite (auf beiden Seiten) des Abschnitts wirken.

Um die Querkräfte (Q) zu bestimmen, stellen wir eine Vorzeichenregel auf: Die Querkraft gilt als positiv, wenn die äußere Kraft dazu neigt, den abgeschnittenen Teil des Balkens stündlich zu drehen. Pfeil relativ zum Achsenpunkt, der dem gezeichneten Abschnitt entspricht.

Die Querkraft (Q) in einem beliebigen Querschnitt eines Balkens ist numerisch gleich der Summe der Projektionen auf die Achse der auf seinen abgeschnittenen Teil ausgeübten äußeren Kräfte.

Betrachten wir einige Beispiele für die Erstellung von Diagrammen von Querkräften und Biegemomenten. Alle Kräfte wirken senkrecht zur Achse der Balken, sodass die horizontale Komponente der Reaktion Null ist. Die verformte Achse des Balkens und die Kräfte liegen in der Hauptebene ZOY.

Ein Balken der Länge wird an seinem linken Ende eingespannt und mit einer konzentrierten Kraft F und einem Moment m=2F belastet.

Konstruieren wir Diagramme der Querkräfte Q und Biegemomente M daraus.

In unserem Fall auf einem Balken mit rechte Seite Es werden keine Verbindungen hergestellt. Daher, um nicht zu bestimmen Unterstützungsreaktionen ist es ratsam, das Gleichgewicht des rechten abgeschnittenen Teils des Strahls zu berücksichtigen. Der gegebene Balken hat zwei Belastungsabschnitte. Grenzen von Abschnittsabschnitten, in denen äußere Kräfte wirken. 1. Abschnitt – NE, 2. – VA.

Wir führen in Abschnitt 1 einen beliebigen Abschnitt durch und betrachten das Gleichgewicht des rechten abgeschnittenen Teils der Länge Z 1.

Aus der Gleichgewichtsbedingung folgt:

Q=F ; M out = -FZ 1 ()

Die Scherkraft ist positiv, weil Die äußere Kraft F neigt dazu, das abgeschnittene Teil im Uhrzeigersinn zu drehen. Das Biegemoment gilt als negativ, weil Es biegt den betreffenden Teil des Balkens mit seiner Konvexität nach oben.

Beim Aufstellen von Gleichgewichtsgleichungen legen wir gedanklich die Lage des Abschnitts fest; Aus den Gleichungen () folgt, dass die Querkraft im Abschnitt I nicht von Z 1 abhängt und ein konstanter Wert ist. Wir tragen die positive Kraft Q=F auf einer Skala nach oben von der Mittellinie des Balkens senkrecht dazu ein.

Das Biegemoment hängt von Z 1 ab.

Wenn Z 1 =O M von =O, wenn Z 1 = M von =

Den resultierenden Wert () notieren wir, d.h. Diagramm M von ist auf einer komprimierten Faser aufgebaut.

Kommen wir zum zweiten Abschnitt

Wir schneiden Abschnitt II in einem beliebigen Abstand Z 2 vom freien rechten Ende des Balkens ab und betrachten das Gleichgewicht des abgeschnittenen Teils der Länge Z 2 . Die Änderung der Scherkraft und des Biegemoments basierend auf Gleichgewichtsbedingungen kann durch die folgenden Gleichungen ausgedrückt werden:

Q=FM von = - FZ 2 +2F

Die Größe und das Vorzeichen der Scherkraft haben sich nicht geändert.

Die Größe des Biegemoments hängt von Z 2 ab.

Wenn Z 2 = M von =, wenn Z 2 =

Das Biegemoment erwies sich sowohl zu Beginn als auch am Ende von Abschnitt II als positiv. Im Abschnitt II biegt sich der Balken konvex nach unten.

Wir zeichnen auf einer Skala die Größe der Momente entlang der Mittellinie des Balkens auf (d. h. das Diagramm basiert auf einer komprimierten Faser). Das größte Biegemoment tritt in dem Abschnitt auf, in dem ein äußeres Moment m einwirkt Absolutwert gleicht

Beachten Sie, dass über die Länge des Balkens Q verbleibt konstanter Wert, das Biegemoment M ändert sich linear und wird im Diagramm durch geneigte Geraden dargestellt. Aus den Diagrammen Q und M von wird deutlich, dass in dem Abschnitt, in dem eine äußere Querkraft wirkt, das Diagramm Q einen Sprung um den Betrag dieser Kraft aufweist und das Diagramm M von einen Knick aufweist. In dem Abschnitt, in dem ein äußeres Biegemoment aufgebracht wird, weist das Miz-Diagramm einen Sprung um den Wert dieses Moments auf. Dies spiegelt sich im Q-Diagramm nicht wider. Aus Diagramm M sehen wir das

max M von =

Daher liegt der gefährliche Abschnitt auf der linken Seite extrem nah an der sogenannten.

Erstellen Sie für den in Abb. 13, a dargestellten Balken Diagramme der Querkräfte und Biegemomente. Über seine Länge wird der Balken mit einer gleichmäßig verteilten Last der Intensität q(KN/cm) belastet.

Am Träger A (feststehendes Scharnier) tritt eine vertikale Reaktion R a auf (die horizontale Reaktion ist Null), und am Träger B (bewegliches Scharnier) tritt eine vertikale Reaktion R v auf.

Bestimmen wir die vertikalen Reaktionen der Stützen, indem wir eine Momentengleichung relativ zu den Stützen A und B aufstellen.

Überprüfen wir die Richtigkeit der Reaktionsdefinition:

diese. die Auflagerreaktionen werden korrekt ermittelt.

Der gegebene Träger hat zwei Belastungsabschnitte: Abschnitt I – AC.

Abschnitt II – NE.

Im ersten Abschnitt a, im aktuellen Abschnitt Z 1, ergibt sich aus der Gleichgewichtsbedingung des abgeschnittenen Teils

Gleichung der Biegemomente an einem Balkenabschnitt:

Das Moment aus der Reaktion R a biegt den Balken in Abschnitt 1 mit der konvexen Seite nach unten, daher wird das Biegemoment aus der Reaktion Ra mit einem Pluszeichen in die Gleichung eingegeben. Die Last qZ 1 biegt den Balken mit seiner Konvexität nach oben, daher wird das daraus resultierende Moment mit einem Minuszeichen in die Gleichung eingetragen. Das Biegemoment variiert nach dem Gesetz einer quadratischen Parabel.

Daher ist es notwendig herauszufinden, ob ein Extremum vorliegt. Zwischen der Querkraft Q und dem Biegemoment besteht ein differentieller Zusammenhang, den wir weiter analysieren werden.

Wie Sie wissen, hat eine Funktion ein Extremum, bei dem die Ableitung Null ist. Um zu bestimmen, bei welchem ​​Wert von Z 1 das Biegemoment extrem sein wird, ist es daher notwendig, die Gleichung der Querkraft auf Null zu setzen.

Da die Querkraft in diesem Abschnitt das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, ist das Biegemoment in diesem Abschnitt maximal. Wenn Q das Vorzeichen von Minus auf Plus ändert, ist das Biegemoment in diesem Abschnitt minimal.

Also das Biegemoment bei

ist das Maximum.

Deshalb bauen wir eine Parabel aus drei Punkten

Wenn Z 1 =0 M von =0

Den zweiten Abschnitt schneiden wir im Abstand Z 2 vom Träger B ab. Aus der Gleichgewichtsbedingung des rechten abgeschnittenen Teils des Balkens ergibt sich:

Wenn der Wert Q=const ist,

Das Biegemoment beträgt:

bei, bei, d.h. KOMME AUS

variiert nach einem linearen Gesetz.

Ein Balken auf zwei Stützen mit einer Spannweite von 2 und einer linken Konsolenlänge wird wie in Abb. 14, a. gezeigt belastet, wobei q(KN/cm) die lineare Last ist. Stütze A ist gelenkig feststehend, Stütze B ist eine bewegliche Rolle. Konstruieren Sie Diagramme von Q und M aus.

Die Lösung des Problems sollte mit der Bestimmung der Reaktionen der Stützen beginnen. Aus der Bedingung, dass die Summe der Projektionen aller Kräfte auf der Z-Achse gleich Null ist, folgt, dass die horizontale Komponente der Reaktion am Träger A gleich 0 ist.

Zur Überprüfung verwenden wir die Gleichung

Die Gleichgewichtsgleichung ist erfüllt, daher werden die Reaktionen korrekt berechnet. Fahren wir mit der Definition interner Leistungsfaktoren fort. Ein gegebener Balken hat drei Belastungsabschnitte:

• 1. Abschnitt - SA,
• Abschnitt 2 – AD,
• Abschnitt 3 – Fernost.

Schneiden wir 1 Abschnitt im Abstand Z 1 vom linken Ende des Balkens ab.

bei Z 1 =0 Q=0 M IZ =0

bei Z 1 = Q= -q M VON =

Somit erhält man im Diagramm der Querkräfte eine geneigte Gerade und im Diagramm der Biegemomente eine Parabel, deren Scheitelpunkt am linken Ende des Balkens liegt.

Im Abschnitt II (a Z 2 2a) betrachten wir zur Bestimmung der Schnittgrößenfaktoren das Gleichgewicht des linken abgeschnittenen Teils des Balkens mit der Länge Z 2. Aus der Gleichgewichtsbedingung ergibt sich:

Die Scherkraft in diesem Bereich ist konstant.

In Abschnitt III()

Aus dem Diagramm sehen wir, dass das größte Biegemoment im Abschnitt unter der Kraft F auftritt und gleich ist. Dieser Abschnitt wird der gefährlichste sein.

In Diagramm M von gibt es einen Stoß an der Stütze B, der dem in diesem Abschnitt aufgebrachten externen Moment entspricht.

Betrachtet man die oben konstruierten Diagramme, erkennt man leicht einen gewissen natürlichen Zusammenhang zwischen den Diagrammen der Biegemomente und den Diagrammen der Querkräfte. Lass es uns beweisen.

Die Ableitung der Scherkraft über die Länge des Balkens ist gleich dem Modul der Lastintensität.

Wenn wir die Größe höherer Ordnung der Kleinheit verwerfen, erhalten wir:

diese. Die Scherkraft ist die Ableitung des Biegemoments über die Länge des Trägers.

Unter Berücksichtigung der erhaltenen unterschiedliche Abhängigkeiten Es können allgemeine Schlussfolgerungen gezogen werden. Wenn der Strahl mit einer gleichmäßig verteilten Last der Intensität q=const belastet wird, ist die Funktion Q offensichtlich linear und M quadratisch.

Wird der Strahl mit konzentrierten Kräften oder Momenten belastet, so ist in den Intervallen zwischen den Angriffspunkten die Intensität q=0. Daher ist Q=const und M von ist lineare Funktion Z. An den Angriffspunkten konzentrierter Kräfte erfährt das Q-Diagramm einen Sprung um den Betrag der äußeren Kraft und im M-Diagramm entsteht ein entsprechender Knick (Diskontinuität in der Ableitung).

An der Stelle, an der das äußere Biegemoment angreift, ist im Momentendiagramm eine Lücke zu beobachten, deren Größe dem aufgebrachten Moment entspricht.

Wenn Q>0, dann wächst M, und wenn Q<0, то М из убывает.

Differentialabhängigkeiten werden verwendet, um die Gleichungen zu überprüfen, aus denen die Diagramme Q und M erstellt werden, und um den Typ dieser Diagramme zu klären.

Das Biegemoment ändert sich nach dem Gesetz einer Parabel, deren Konvexität immer auf die äußere Belastung gerichtet ist.

Bei der Berechnung von Wellen wird am häufigsten die Kombination aus Biegung und Torsion von Trägern mit kreisförmigem Querschnitt berücksichtigt. Fälle von Biegung mit Torsion von Trägern mit nicht kreisförmigem Querschnitt sind weitaus seltener.

In § 1.9 wird festgelegt, dass eine Schrägbiegung des Balkens nicht möglich ist, wenn die Trägheitsmomente des Abschnitts relativ zu den Hauptachsen einander gleich sind. In dieser Hinsicht ist ein schräges Biegen von Rundträgern nicht möglich. Daher erfährt ein Rundträger im allgemeinen Fall äußerer Kräfte eine Kombination der folgenden Verformungsarten: direkte Querbiegung, Torsion und zentrale Spannung (oder Kompression).

Betrachten wir einen solchen Sonderfall der Berechnung eines Balkens mit kreisförmigem Querschnitt, bei dem in seinen Querschnitten die Längskraft gleich Null ist. In diesem Fall arbeitet der Balken unter der kombinierten Wirkung von Biegung und Torsion. Um den gefährlichen Punkt des Balkens zu finden, ist es notwendig, festzustellen, wie sich die Werte der Biege- und Drehmomentmomente über die Länge des Balkens ändern, d. h. Diagramme der gesamten Biegemomente M und Drehmomente zu erstellen. Wir werden darüber nachdenken die Konstruktion dieser Diagramme anhand eines konkreten Beispiels der in Abb. gezeigten Welle. 22,9, a. Die Welle ruht auf den Lagern A und B und wird vom Motor C angetrieben.

Auf der Welle sind Riemenscheiben E und F montiert, durch die gespannte Antriebsriemen geschleudert werden. Nehmen wir an, dass sich die Welle in Lagern ohne Reibung dreht; Wir vernachlässigen das Eigengewicht der Welle und der Riemenscheiben (falls ihr Eigengewicht erheblich ist, sollte es berücksichtigt werden). Richten wir die Achse des Wellenquerschnitts vertikal und die Achse horizontal aus.

Die Beträge der Kräfte können mit den Formeln (1.6) und (2.6) ermittelt werden, wenn beispielsweise die von jeder Riemenscheibe übertragene Leistung, die Winkelgeschwindigkeit der Welle und die Übersetzungsverhältnisse bekannt sind. Nach der Bestimmung der Beträge der Kräfte Diese Kräfte werden parallel zu sich selbst zur Längsachse der Welle übertragen. In diesem Fall werden in den Abschnitten, in denen sich die Riemenscheiben E und F befinden, Torsionsmomente auf die Welle ausgeübt und sind jeweils gleich. Diese Momente werden durch das vom Motor übertragene Moment ausgeglichen (Abb. 22.9, b). Anschließend werden die Kräfte in vertikale und horizontale Komponenten zerlegt. Vertikale Kräfte führen zu vertikalen Reaktionen in den Lagern, horizontale Kräfte zu horizontalen Reaktionen. Die Größen dieser Reaktionen werden wie bei einem auf zwei Stützen liegenden Balken bestimmt.

Das Diagramm der in der vertikalen Ebene wirkenden Biegemomente wird aus vertikalen Kräften erstellt (Abb. 22.9, c). Es ist in Abb. dargestellt. 22.9, d. In ähnlicher Weise wird aus horizontalen Kräften (Abb. 22.9, e) ein Diagramm der in der horizontalen Ebene wirkenden Biegemomente erstellt (Abb. 22.9, f).

Aus den Diagrammen können Sie (in jedem beliebigen Querschnitt) das Gesamtbiegemoment M mithilfe der Formel ermitteln

Unter Verwendung der mit dieser Formel erhaltenen Werte von M wird ein Diagramm der gesamten Biegemomente erstellt (Abb. 22.9, g). In den Abschnitten der Welle, in denen gerade Begrenzungsdiagramme die Achsen der Diagramme an Punkten schneiden, die auf derselben Vertikalen liegen, wird das Diagramm M durch Geraden und in anderen Bereichen durch Kurven begrenzt.

(siehe Scan)

Beispielsweise ist in dem betreffenden Abschnitt der Welle die Länge des Diagramms M durch eine Gerade begrenzt (Abb. 22.9, g), da die Diagramme in diesem Abschnitt durch Geraden begrenzt sind und die Achsen der Diagramme schneiden an Punkten, die auf derselben Vertikalen liegen.

Der Punkt O des Schnittpunkts der Geraden mit der Achse des Diagramms liegt auf derselben Vertikalen. Eine ähnliche Situation ist typisch für einen Wellenabschnitt mit einer Länge

Das Diagramm der gesamten (Gesamt-)Biegemomente M charakterisiert die Größe dieser Momente in jedem Abschnitt der Welle. Die Wirkungsebenen dieser Momente in verschiedenen Abschnitten der Welle sind unterschiedlich, aber die Ordinaten des Diagramms für alle Abschnitte sind herkömmlicherweise an der Zeichenebene ausgerichtet.

Das Drehmomentdiagramm ist analog zur reinen Torsion aufgebaut (siehe § 1.6). Für die betreffende Welle ist es in Abb. dargestellt. 22,9, z.

Der gefährliche Abschnitt der Welle wird anhand von Diagrammen der gesamten Biegemomente M und Drehmomente ermittelt. Wenn in dem Abschnitt eines Balkens mit konstantem Durchmesser mit dem größten Biegemoment M auch das größte Drehmoment wirkt, ist dieser Abschnitt gefährlich. Insbesondere befindet sich bei der betrachteten Welle ein solcher Abschnitt rechts von der Riemenscheibe F in einem verschwindend geringen Abstand von dieser.

Wenn das maximale Biegemoment M und das maximale Drehmoment in unterschiedlichen Querschnitten wirken, kann sich ein Abschnitt als gefährlich erweisen, in dem keiner der beiden Werte am größten ist. Bei Trägern mit variablem Durchmesser kann der gefährlichste Abschnitt derjenige sein, in dem deutlich geringere Biege- und Torsionsmomente wirken als in anderen Abschnitten.

In Fällen, in denen der gefährliche Abschnitt nicht direkt aus den Diagrammen M bestimmt werden kann und es notwendig ist, die Festigkeit des Trägers in mehreren seiner Abschnitte zu überprüfen und auf diese Weise gefährliche Spannungen festzustellen.

Sobald ein gefährlicher Abschnitt des Balkens ermittelt wurde (oder mehrere Abschnitte identifiziert wurden, von denen sich einer als gefährlich herausstellen kann), müssen gefährliche Stellen darin gefunden werden. Betrachten wir dazu die Spannungen, die im Querschnitt des Balkens entstehen, wenn gleichzeitig ein Biegemoment M und ein Drehmoment auf ihn wirken

Bei Balken mit rundem Querschnitt, deren Länge um ein Vielfaches größer ist als der Durchmesser, sind die Werte der höchsten Tangentialspannungen aus Querkraft gering und werden bei der Berechnung der Festigkeit von Balken unter kombinierter Einwirkung nicht berücksichtigt von Biegung und Torsion.

In Abb. Abbildung 23.9 zeigt den Querschnitt eines Rundträgers. In diesem Abschnitt wirken ein Biegemoment M und ein Drehmoment. Die y-Achse steht senkrecht zur Wirkungsebene des Biegemoments. Die y-Achse ist daher die neutrale Achse des Abschnitts.

Im Querschnitt des Balkens entstehen Normalspannungen durch Biegung und Schubspannungen durch Torsion.

Normalspannungen a werden durch die Formel bestimmt. Das Diagramm dieser Spannungen ist in Abb. dargestellt. 23.9. Die absolut größten Normalspannungen treten an den Punkten A und B auf. Diese Spannungen sind gleich

wobei das axiale Widerstandsmoment des Balkenquerschnitts ist.

Tangentialspannungen werden durch die Formel bestimmt. Das Diagramm dieser Spannungen ist in Abb. dargestellt. 23.9.

An jedem Punkt des Abschnitts sind sie senkrecht zum Radius gerichtet, der diesen Punkt mit der Mitte des Abschnitts verbindet. Die höchsten Schubspannungen treten an Punkten entlang des Profilumfangs auf; Sie sind gleich

wo ist das polare Widerstandsmoment des Balkenquerschnitts.

Bei einem Kunststoffmaterial sind die Punkte A und B des Querschnitts gefährlich, in denen sowohl Normal- als auch Tangentialspannungen gleichzeitig den größten Wert erreichen. Bei einem spröden Material ist der gefährliche Punkt derjenige, an dem Zugspannungen aus dem Biegemoment M entstehen.

Der Spannungszustand eines in der Nähe von Punkt A isolierten Elementarquaders ist in Abb. dargestellt. 24,9, a. Entlang der Flächen des Parallelepipeds, die mit den Balkenquerschnitten zusammenfallen, wirken Normalspannungen und Tangentialspannungen. Aufgrund des Gesetzes der Paarung tangentialer Spannungen entstehen Spannungen auch an der Ober- und Unterseite des Parallelepipeds. Die verbleibenden zwei Gesichter sind stressfrei. In diesem Fall handelt es sich also um einen besonderen Typ des ebenen Spannungszustands, der im Kapitel ausführlich besprochen wird. 3. Die Hauptspannungen amax und werden durch die Formeln (12.3) bestimmt.

Nachdem wir die Werte in sie eingesetzt haben, erhalten wir

Die Spannungen haben unterschiedliche Vorzeichen und daher

Ein elementares Parallelepiped, das in der Nähe von Punkt A durch die Hauptflächen hervorgehoben ist, ist in Abb. dargestellt. 24,9, geb.

Die Berechnung der Festigkeit von Balken beim Biegen mit Torsion erfolgt, wie bereits erwähnt (siehe Anfang von § 1.9), unter Verwendung von Festigkeitstheorien. In diesem Fall erfolgt die Berechnung von Trägern aus Kunststoffmaterialien üblicherweise auf der Grundlage der dritten oder vierten Festigkeitstheorie und aus spröden – nach Mohrs Theorie.

Nach der dritten Krafttheorie [siehe. Formel (6.8)], wobei die Ausdrücke in diese Ungleichung eingesetzt werden [siehe. Formel (23.9)] erhalten wir

Bei der Berechnung eines Rundträgers unter Biege- und Torsionseinwirkung (Abb. 34.3) müssen Normal- und Tangentialspannungen berücksichtigt werden, da die maximalen Spannungswerte in beiden Fällen an der Oberfläche auftreten. Die Berechnung sollte nach der Festigkeitstheorie erfolgen und den komplexen Spannungszustand durch einen ebenso gefährlichen einfachen ersetzen.

Maximale Torsionsspannung im Abschnitt

Maximale Biegespannung im Abschnitt

Nach einer Festigkeitstheorie wird abhängig vom Material des Balkens die Vergleichsspannung für den gefährlichen Abschnitt berechnet und der Balken anhand der zulässigen Biegespannung für das Material des Balkens auf Festigkeit geprüft.

Für einen Rundträger ergeben sich folgende Schnittwiderstandsmomente:

Bei der Berechnung nach der dritten Festigkeitstheorie, der Theorie der maximalen Schubspannung, wird die Vergleichsspannung nach der Formel berechnet

Die Theorie ist auf Kunststoffmaterialien anwendbar.

Bei der Berechnung nach der Theorie der Formänderungsenergie wird die Vergleichsspannung nach der Formel berechnet

Die Theorie ist auf duktile und spröde Materialien anwendbar.

Theorie der maximalen Schubspannung:

Äquivalente Spannung bei Berechnung nach Theorie der Formänderungsenergie:

Wo ist das entsprechende Moment?

Kraftzustand

Beispiele für Problemlösungen

Beispiel 1. Berechnen Sie für einen gegebenen Spannungszustand (Abb. 34.4) unter Verwendung der Hypothese maximaler Tangentialspannungen den Sicherheitsfaktor, wenn σ T = 360 N/mm 2.

1. Wie wird der Stresszustand an einem Punkt charakterisiert und wie wird er dargestellt?

2. Welche Bereiche und welche Spannungen werden als Hauptbereiche bezeichnet?

3. Listen Sie die Arten von Stresszuständen auf.

4. Was kennzeichnet den verformten Zustand an einem Punkt?

5. In welchen Fällen treten Grenzspannungszustände in duktilen und spröden Werkstoffen auf?

6. Was ist eine Ersatzspannung?

7. Erklären Sie den Zweck von Krafttheorien.

8. Schreiben Sie Formeln zur Berechnung äquivalenter Spannungen in Berechnungen unter Verwendung der Theorie der maximalen Tangentialspannungen und der Theorie der Formänderungsenergie. Erklären Sie, wie Sie sie verwenden.

VORTRAG 35

Thema 2.7. Berechnung eines Balkens mit rundem Querschnitt mit einer Kombination von Grundverformungen

Kennen Sie die Formeln für äquivalente Spannungen basierend auf den Hypothesen der höchsten Tangentialspannungen und der Energie der Formänderung.

Sie können die Festigkeit eines Trägers mit rundem Querschnitt unter einer Kombination grundlegender Verformungen berechnen.

Formeln zur Berechnung der Vergleichsspannungen

Äquivalente Spannung gemäß der Hypothese der maximalen Schubspannung

Äquivalente Spannung gemäß der Formänderungsenergiehypothese

Festigkeitszustand unter der kombinierten Wirkung von Biegung und Torsion

Wo M EKV- äquivalentes Moment.

Äquivalentes Moment gemäß der Hypothese maximaler Tangentialspannungen

Äquivalentes Moment gemäß der Formänderungsenergiehypothese

Wellenberechnungsfunktion

Bei den meisten Wellen kommt es zu einer Kombination aus Biege- und Torsionsverformung. Typischerweise handelt es sich bei den Schäften um gerade Stäbe mit rundem oder ringförmigem Querschnitt. Bei der Wellenberechnung werden Tangentialspannungen aus der Einwirkung von Querkräften aufgrund ihrer Geringfügigkeit nicht berücksichtigt.

Berechnungen werden an gefährlichen Querschnitten durchgeführt. Bei der räumlichen Belastung einer Welle wird die Hypothese der Unabhängigkeit der Krafteinwirkung verwendet und Biegemomente in zwei zueinander senkrechten Ebenen berücksichtigt und das Gesamtbiegemoment durch geometrische Summation bestimmt.

Beispiele für Problemlösungen

Beispiel 1. Im gefährlichen Querschnitt eines Rundträgers entstehen innere Kraftfaktoren (Abb. 35.1) M x; Mein; Mz.

M x Und Mein- Biegemomente in Ebenen Oh Und zOx entsprechend; Mz- Drehmoment. Überprüfen Sie die Festigkeit anhand der Hypothese maximaler Tangentialspannungen, wenn [ σ ] = 120 MPa. Ausgangsdaten: M x= 0,9 kN·m; M y = 0,8 kN·m; M z = 2,2 kN*m; D= 60 mm.

Lösung

Wir erstellen Diagramme der Normalspannungen aus der Wirkung von Biegemomenten relativ zu den Achsen Oh Und OU und ein Diagramm der Scherspannungen aufgrund von Torsion (Abb. 35.2).

Die maximale Scherspannung tritt an der Oberfläche auf. Maximale Normalspannungen ab Moment M x entstehen an einem Punkt A, maximale Normalspannungen ab Moment Mein am Punkt IN. Normalspannungen summieren sich, weil sich Biegemomente in zueinander senkrechten Ebenen geometrisch addieren.

Gesamtbiegemoment:

Wir berechnen das äquivalente Moment mithilfe der Theorie der maximalen Tangentialspannungen:

Kraftzustand:

Schnittwiderstandsmoment: W oce in oe = 0,1 60 3 = 21600 mm 3.

Überprüfung der Festigkeit:

Haltbarkeit ist garantiert.

Beispiel 2. Berechnen Sie aus der Festigkeitsbedingung den erforderlichen Wellendurchmesser. Auf der Welle sind zwei Räder montiert. Auf die Räder wirken zwei Umfangskräfte F t 1 = 1,2 kN; F t 2= 2kN und zwei Radialkräfte in der vertikalen Ebene F r 1= 0,43 kN; F r 2 = 0,72 kN (Abb. 35.3). Die Raddurchmesser sind jeweils gleich d 1= 0,1 m; d 2= 0,06 m.

Annahme für Wellenmaterial [ σ ] = 50 MPa.

Die Berechnung erfolgt nach der Hypothese maximaler Tangentialspannungen. Vernachlässigen Sie das Gewicht der Welle und der Räder.

Lösung

Notiz. Wir nutzen das Prinzip der unabhängigen Krafteinwirkung und erstellen Konstruktionsdiagramme der Welle in vertikaler und horizontaler Ebene. Wir ermitteln die Reaktionen in den Stützen in der horizontalen und vertikalen Ebene getrennt. Wir erstellen Diagramme der Biegemomente (Abb. 35.4). Unter dem Einfluss von Umfangskräften verdreht sich die Welle. Bestimmen Sie das auf die Welle wirkende Drehmoment.

Lassen Sie uns ein Konstruktionsdiagramm der Welle erstellen (Abb. 35.4).

1. Drehmoment an der Welle:

2. Wir betrachten die Biegung in zwei Ebenen: horizontal (Abb. H) und vertikal (Abb. V).

In der horizontalen Ebene ermitteln wir die Reaktionen im Lager:

MIT Und IN:

In der vertikalen Ebene bestimmen wir die Reaktionen im Lager:

Bestimmen Sie Biegemomente an Punkten C und B:

Gesamtbiegemomente an Punkten C und B:

Am Punkt IN maximales Biegemoment; auch hier wirkt Drehmoment.

Wir berechnen den Wellendurchmesser anhand des am stärksten belasteten Abschnitts.

3. Äquivalentes Moment an einem Punkt IN nach der dritten Krafttheorie

4. Bestimmen Sie den Durchmesser des Schafts mit kreisförmigem Querschnitt aus der Festigkeitsbedingung

Wir runden den resultierenden Wert: D= 36 mm.

Notiz. Verwenden Sie bei der Auswahl der Wellendurchmesser den Standarddurchmesserbereich (Anhang 2).

5. Bestimmen Sie die erforderlichen Abmessungen der Welle mit ringförmigem Querschnitt bei c = 0,8, wobei d der Außendurchmesser der Welle ist.

Der Durchmesser einer Ringwelle lässt sich mit der Formel ermitteln

Akzeptieren wir d = 42 mm.

Die Überlastung ist unbedeutend. d BH = 0,8d = 0,8 · 42 = 33,6 mm.

Runden Sie auf den Wert dBH= 33 mm.

6. Vergleichen wir in beiden Fällen die Metallkosten nach Schachtquerschnittsfläche.

Querschnittsfläche einer Vollwelle

Querschnittsfläche der Hohlwelle

Die Querschnittsfläche einer Vollwelle ist fast doppelt so groß wie die einer Ringwelle:

Beispiel 3. Bestimmen Sie die Querschnittsabmessungen der Welle (Abb. 2.70, A) Steuerantrieb. Pedalzugkraft P 3, vom Mechanismus übertragene Kräfte P 1, P 2, P 4. Wellenmaterial - StZ-Stahl mit Streckgrenze σ t = 240 N/mm 2, erforderlicher Sicherheitsfaktor [ N] = 2,5. Die Berechnung erfolgt anhand der Hypothese der Formänderungsenergie.

Lösung

Betrachten wir das Gleichgewicht der Welle, nachdem wir zuvor die Kräfte eingeleitet haben R 1, R 2, R 3, R 4 zu Punkten, die auf seiner Achse liegen.

Kraft übertragen P 1 an Punkten parallel zu sich selbst ZU Und E, ist es notwendig, Kräftepaare mit Momenten zu addieren, die den Kräftemomenten entsprechen P 1 relativ zu Punkten ZU Und E, d.h.

Diese Kräftepaare (Momente) werden herkömmlicherweise in Abb. dargestellt. 2,70 , B in Form von bogenförmigen Linien mit Pfeilen. Ebenso bei der Kraftübertragung R 2, R 3, R 4 zu Punkten K, E, L, H müssen ein paar Kräfte mit Momenten hinzufügen

Stützen der in Abb. gezeigten Welle. 2.70, a, sind als räumliche Gelenklager zu betrachten, die Bewegungen in Richtung der Achsen verhindern X Und bei(Das gewählte Koordinatensystem ist in Abb. 2.70 dargestellt, B).

Unter Verwendung des in Abb. gezeigten Berechnungsschemas. 2,70, V, erstellen wir die Gleichgewichtsgleichungen:

daher die Unterstützungsreaktionen AN Und N V richtig definiert.

Drehmomentdiagramme M z und Biegemomente Mein sind in Abb. dargestellt. 2,70, G. Der gefährliche Abschnitt liegt links von Punkt L.

Die Festigkeitsbedingung hat die Form:

wobei das äquivalente Moment gemäß der Formänderungsenergiehypothese ist

Erforderlicher Wellenaußendurchmesser

Wir nehmen d = 45 mm, dann d 0 = 0,8 * 45 = 36 mm.

Beispiel 4.Überprüfen Sie die Festigkeit der Zwischenwelle (Abb. 2.71) des Stirnradgetriebes, wenn die Welle Kraft überträgt N= 12,2 kW bei Drehzahl P= 355 U/min. Der Schaft besteht aus St5-Stahl mit Streckgrenze σ t = 280 N/mm². Erforderlicher Sicherheitsfaktor [ N] = 4. Wenden Sie bei der Berechnung die Hypothese der höchsten Tangentialspannungen an.

Notiz. Bezirksbemühungen P 1 Und R 2 liegen in einer horizontalen Ebene und sind tangential zu den Kreisen der Zahnräder gerichtet. Radialkräfte T 1 Und T 2 liegen in der vertikalen Ebene und werden in der entsprechenden Umfangskraft wie folgt ausgedrückt: T = 0,364R.

Lösung

In Abb. 2,71, A eine schematische Zeichnung der Welle wird dargestellt; in Abb. 2.71, b zeigt das Diagramm der Welle und der im Getriebe auftretenden Kräfte.

Bestimmen wir das von der Welle übertragene Moment:

Offensichtlich, m = m 1 = m 2(Torsionsmomente, die bei gleichmäßiger Drehung auf die Welle ausgeübt werden, sind gleich groß und entgegengesetzt gerichtet).

Bestimmen wir die Kräfte, die auf die Zahnräder wirken.

Umfangskräfte:

Radialkräfte:

Berücksichtigen Sie die Balance der Welle AB, nachdem er zuvor Kräfte mitgebracht hatte P 1 Und R 2 zu Punkten, die auf der Wellenachse liegen.

Kraft übertragen P 1 parallel zu sich selbst zu einem Punkt L, müssen Sie ein paar Kräfte addieren, deren Moment dem Kraftmoment entspricht P 1 relativ zum Punkt L, d.h.

Dieses Kräftepaar (Moment) wird herkömmlicherweise in Abb. dargestellt. 2,71, V in Form einer bogenförmigen Linie mit einem Pfeil. Ebenso bei der Kraftübertragung R 2 genau ZU Sie müssen mit einem Moment ein paar Kräfte anbringen (hinzufügen).

Stützen der in Abb. gezeigten Welle. 2,71, A sind als räumliche Scharnierlager zu betrachten, die lineare Bewegungen in den Richtungen der Achsen verhindern X Und bei(Das ausgewählte Koordinatensystem ist in Abb. 2.71 dargestellt, B).

Unter Verwendung des in Abb. gezeigten Berechnungsschemas. 2,71, G, erstellen wir die Gleichgewichtsgleichungen für die Welle in der vertikalen Ebene:

Erstellen wir eine Verifizierungsgleichung:

Daher werden die Auflagerreaktionen in der vertikalen Ebene korrekt bestimmt.

Betrachten Sie das Gleichgewicht der Welle in der horizontalen Ebene:

Erstellen wir eine Verifizierungsgleichung:

Daher werden die Auflagerreaktionen in der horizontalen Ebene korrekt bestimmt.

Drehmomentdiagramme M z und Biegemomente M x Und Mein sind in Abb. dargestellt. 2,71, D.

Der Abschnitt ist gefährlich ZU(siehe Abb. 2.71, G,D). Äquivalentes Moment gemäß der Hypothese der größten Tangentialspannungen

Vergleichsspannung nach der Hypothese der höchsten Tangentialspannungen für eine gefährliche Stelle der Welle

Sicherheitsfaktor

das ist deutlich mehr [ N] = 4, daher ist die Festigkeit der Welle gewährleistet.

Bei der Berechnung der Wellenfestigkeit wurde die zeitliche Spannungsänderung nicht berücksichtigt, weshalb ein so hoher Sicherheitsfaktor ermittelt wurde.

Beispiel 5. Bestimmen Sie die Abmessungen des Balkenquerschnitts (Abb. 2.72, A). Das Material des Trägers ist Stahl 30XGS mit bedingten Streckgrenzen bei Zug und Druck σ o, 2ð = σ tr = 850 N/mm 2, σ 0,2 c = σ Tc = 965 N/mm 2. Sicherheitsfaktor [ N] = 1,6.

Lösung

Der Balken arbeitet unter der kombinierten Wirkung von Spannung (Druck) und Torsion. Bei einer solchen Belastung entstehen in den Querschnitten zwei innere Kraftfaktoren: Längskraft und Drehmoment.

Diagramme der Längskräfte N und Drehmomente Mz in Abb. dargestellt. 2,72, b, c. Bestimmen Sie in diesem Fall anhand von Diagrammen die Lage des gefährlichen Abschnitts N Und Mz unmöglich, da die Querschnittsabmessungen der Balkenabschnitte unterschiedlich sind. Um die Lage des gefährlichen Abschnitts zu bestimmen, sollten Diagramme der normalen und maximalen Schubspannungen entlang der Balkenlänge erstellt werden.

Nach der Formel

Wir berechnen die Normalspannungen in den Balkenquerschnitten und erstellen ein Diagramm o (Abb. 2.72, G).

Nach der Formel

Wir berechnen die maximalen Tangentialspannungen in den Balkenquerschnitten und erstellen ein Diagramm t Tah(Abb* 2.72, D).

Möglicherweise gefährliche Punkte sind die Konturpunkte von Querschnitten von Abschnitten AB Und CD(siehe Abb. 2.72, A).

In Abb. 2,72, e Diagramme werden angezeigt σ Und τ für Abschnittsquerschnitte AB.

Erinnern wir uns daran, dass in diesem Fall (ein Balken mit rundem Querschnitt arbeitet unter der kombinierten Wirkung von Zug, Druck und Torsion) alle Punkte der Querschnittskontur gleichermaßen gefährlich sind.

In Abb. 2,72, Und

In Abb. 2,72, H Die Diagramme a und t sind für Querschnitte des Abschnitts dargestellt CD.

In Abb. 2,72, Und Es werden die Spannungen an den ursprünglichen Standorten an der Gefahrenstelle angezeigt.

Hauptspannungen an einer gefährlichen Stelle in einem Abschnitt CD:

Nach Mohrs Festigkeitshypothese beträgt die Vergleichsspannung für den Gefahrenpunkt des betrachteten Abschnitts

Als gefährlich erwiesen sich die Konturpunkte der Querschnitte des Abschnitts AB.

Die Festigkeitsbedingung hat die Form:

Beispiel 2.76. Ermitteln Sie den zulässigen Kraftwert R aus dem Zustand der Festigkeit der Rute Sonne(Abb. 2.73). Das Stabmaterial ist Gusseisen mit einer Zugfestigkeit σ vr = 150 N/mm 2 und einer Druckfestigkeit σ sun = 450 N/mm 2. Erforderlicher Sicherheitsfaktor [ N] = 5.

Notiz. Gebrochenes Holz ABC in einer horizontalen Ebene gelegen, und die Stange AB senkrecht zu Sonne. Befugnisse R, 2R, 8R in einer vertikalen Ebene liegen; Stärke 0,5 R, 1,6 R- horizontal und senkrecht zur Stange Sonne; Stärke 10R, 16R fallen mit der Achse der Stange zusammen Sonne; Ein Kräftepaar mit einem Moment m = 25Pd befindet sich in einer vertikalen Ebene senkrecht zur Stabachse Sonne.

Lösung

Lasst uns Kraft bringen R und 0,5P zum Schwerpunkt des Querschnitts B.

Um die Kraft P parallel zu sich selbst auf Punkt B zu übertragen, müssen Sie ein paar Kräfte addieren, deren Moment dem Kraftmoment entspricht R relativ zum Punkt IN, also ein Paar mit Moment m 1 = 10 Pd.

Stärke 0,5R wir bewegen uns entlang seiner Wirkungslinie zum Punkt B.

Auf die Stange wirkende Lasten Sonne, in Abb. dargestellt. 2,74, A.

Wir erstellen Diagramme der inneren Kraftfaktoren für den Stab Sonne. Unter der angegebenen Belastung des Stabes entstehen in dessen Querschnitten sechs davon: Längskraft N, Scherkräfte Qx Und Qy, Drehmoment Mz Biegemomente Mx Und Mu.

Diagramme N, Mz, Mx, Mu sind in Abb. dargestellt. 2,74, B(Die Ordinaten der Diagramme werden als ausgedrückt R Und D).

Diagramme Qy Und Qx wir bauen nicht, da die den Querkräften entsprechenden Tangentialspannungen gering sind.

Im betrachteten Beispiel ist die Lage des gefährlichen Abschnitts nicht offensichtlich. Vermutlich Abschnitt K (Abschnittsende). ICH) und S.

Hauptspannungen am Punkt L:

Nach Mohrs Festigkeitshypothese beträgt die Vergleichsspannung für Punkt L

Bestimmen wir den Betrag und die Wirkungsebene des Biegemoments Mie im Abschnitt C, separat dargestellt in Abb. 2,74, D. Die gleiche Abbildung zeigt Diagramme σ И, σ N, τ für Abschnitt C.

Betont die ursprünglichen Standorte an der Stelle N(Abb. 2.74, e)

Hauptbetonungen an einem Punkt N:

Nach Mohrs Festigkeitshypothese die äquivalente Spannung für einen Punkt N

Spannungen an den ursprünglichen Standorten im Punkt E (Abb. 2.74, Und):

Hauptspannungen am Punkt E:

Nach Mohrs Festigkeitshypothese beträgt die Vergleichsspannung für Punkt E

Der Punkt erwies sich als gefährlich L, wofür

Die Festigkeitsbedingung hat die Form:

Testfragen und Aufgaben

1. Welcher Spannungszustand entsteht im Querschnitt der Welle unter der kombinierten Wirkung von Biegung und Torsion?

2. Schreiben Sie die Festigkeitsbedingung für die Berechnung der Welle auf.

3. Schreiben Sie Formeln zur Berechnung des äquivalenten Moments bei der Berechnung gemäß der Hypothese maximaler Tangentialspannungen und der Hypothese der Formänderungsenergie.

4. Wie wird der gefährliche Abschnitt bei der Schachtberechnung ausgewählt?