Gewöhnliche und dezimale Brüche und Operationen mit ihnen. Online-Rechner. Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandeln

Sie werden äußerst häufig und in den meisten Fällen verwendet verschiedene Gebiete menschliche Aktivität, sei es wissenschaftliches und angewandtes Rechnen, Entwicklung und Betrieb verschiedene Geräte, wirtschaftliche Berechnung und so weiter. Aus verschiedenen Gründen ist eine Durchführung häufig erforderlich Dezimalkonvertierung, sowie der umgekehrte Vorgang. Es ist zu beachten, dass es ähnlich ist Transformation lassen sich relativ einfach und nach bestimmten Regeln und Techniken herstellen, die es in der Mathematik seit vielen Jahrhunderten gibt.

Einen Dezimalbruch in einen Primbruch umwandeln

Dezimalkonvertierung in den „gewöhnlichen“ Bruch ist es ganz einfach und unkompliziert. Dazu wird die folgende Technik verwendet: Die Zahl rechts vom Dezimalpunkt der ursprünglichen Zahl wird als Zähler des neuen Bruchs verwendet; die Zahl Zehn wird als Nenner verwendet, und zwar mit einer Potenz, die der Zahl entspricht Anzahl der Ziffern des Zählers. Der restliche Gesamtteil bleibt unverändert. Ist der ganzzahlige Teil gleich Null, wird er nach der Transformation einfach weggelassen.

Fünfzig Komma fünfundzwanzig ergibt fünfzig Komma eins und fünfundzwanzig dividiert durch einhundert ergibt fünfzig Komma ein Viertel.

Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln

Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln Tatsächlich ist es das Gegenteil Umwandeln eines Dezimalbruchs in einen Primbruch. Auch die Umsetzung bereitet keine Schwierigkeiten und ist eigentlich recht einfach. Arithmetische Operation. Damit Wandeln Sie einen Bruch in eine Dezimalzahl um Sie müssen den Zähler nach bestimmten Regeln durch seinen Nenner dividieren.

Muss umgesetzt werden Bruchumwandlung fünf Achtel in Dezimal.

Die Division von fünf durch acht ergibt Dezimal Nullkomma sechshundertfünfundzwanzigtausendstel.

Runden des Ergebnisses der Umwandlung eines Bruchs in eine Dezimalzahl

Es ist zu beachten, dass im Gegensatz zu einem Prozess wie z Dezimalkonvertierung, kann dieser Vorgang oft unbegrenzt dauern. In solchen Fällen sagen sie, dass das Ergebnis des Verfahrens einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln ist möglicherweise nicht genau. Die Praxis zeigt jedoch, dass es in den allermeisten Fällen nicht erforderlich ist, ein absolut genaues Ergebnis zu erhalten. In der Regel endet der Divisionsvorgang, wenn er bereits die Werte derjenigen Dezimalbrüche erhalten hat, die im Einzelfall von praktischem Interesse sind.

Sie müssen ein Stück Butter mit einem Gewicht von einem Kilogramm in neun gleich schwere Stücke schneiden. Bei der Durchführung dieses Verfahrens stellt sich heraus, dass die Masse jedes einzelnen von ihnen 1/9 Kilogramm beträgt. Wenn alle Regeln eingehalten werden Transformation Das gemeinsamer Bruch V Dezimalbruch, dann stellt sich heraus, dass die Masse jedes der resultierenden Teile gleich null im Ganzen und eins in der Periode eines Kilogramms ist.

Die Rundung erfolgt nach den Standardregeln der Arithmetik: Hat die erste der „verworfenen“ Ziffern einen Wert von 5 oder mehr, wird die letzte der signifikanten Ziffern um eins erhöht. Ansonsten bleibt es unverändert.

Bruch umrechnen ein Achtel zu einem Dezimalbruch.

Wenn eins durch acht geteilt wird, ist das Ergebnis null Komma einhundertfünfundzwanzig Tausendstel, oder gerundet - null Komma dreizehn Hundertstel.

Autor auf Youtube: Anastasia Ivanova

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Dezimalzahl in Normalzahl umwandeln

Jeder Dezimalbruch kann als regulärer Bruch dargestellt werden. Schreiben Sie dazu einfach den Nenner.

Die Grundregel für die Umwandlung einer Dezimalzahl in einen regulären Bruch besteht darin, die Dezimalzahl zu lesen, sie wird jedoch normalerweise geschrieben. Zum Beispiel:

2,3 – zwei Punkte von drei Zehnern

Da der Bruch vollständig ist, kann er in eine gemischte Zahl oder einen unregelmäßigen Bruch umgewandelt werden:

Einen korrekten Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln

Ein nicht-traditioneller Bruch kann in eine Dezimalzahl umgewandelt werden. Genau wie bei der herkömmlichen Dezimalschreibweise müssen dem Nenner eine oder mehrere Nullen folgen, z. B. 10, 100, 1000 usw.

So konvertieren Sie einen Gesamtbruch in eine Dezimalzahl

Wenn wir einen solchen Nenner mit den Primärfaktoren erweitern, erhalten wir die gleiche Anzahl an Verdopplungen und fünf:

100 = 10 10 = 2 5 2,5

1000 = 10 10 10 = 2 5 2 5 2 5

Es gibt keine anderen Primfaktoren, daher enthalten diese Erweiterungen nicht:

Ein regelmäßiger Bruch kann dargestellt werden als Dezimaleinheiten nur dann, wenn sein Nenner keine anderen Faktoren als 2 und 5 enthält.

Machen wir mit:

Wenn der Nenner auf die Hauptfaktoren erweitert wird, ergibt sich ein Produkt aus 2 2:

Wenn Sie es mit zwei Vieren multiplizieren und die Zahl fünf mit zwei gleichsetzen, erhalten Sie einen der erforderlichen Nenner – 100.

Um eine entsprechende Passage zu erhalten, muss der Zähler mit dem Produkt aus zwei und fünf multipliziert werden:

Schauen wir uns eine andere Fraktion an:

Wenn der Nenner auf die Hauptfaktoren erweitert wird, ist das Produkt 2,7 und enthält die Zahl 7:

Im Nenner wird ein Faktor 7 vorhanden sein, um ihn oder die ganzen Zahlen zu multiplizieren, so dass niemals ein Produkt entsteht, das nur zwei und fünf enthält.

Daher kann dieser Bruch nicht auf einen der notwendigen Nenner reduziert werden: 10, 100, 1000 usw. Das bedeutet, dass er nicht als Dezimalzahl dargestellt werden kann.

Ein regulärer inkompatibler Bruch kann nicht als Dezimalzahl dargestellt werden, wenn sein Nenner mindestens einen Hauptfaktor von eins bis zwei enthält.

Beachten Sie, dass sich die Regel nur auf irreversible Brüche bezieht, da einige Brüche als Dezimalabkürzungen dargestellt werden können.

Schauen wir uns zwei Teile an:

Jetzt müssen Sie nur noch die Phrasenbrüche mit 5 multiplizieren, um 10 im Nenner zu erhalten, und Sie können den Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln:

So wandeln Sie einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch um

Es scheint, dass die Umwandlung eines Dezimalbruchs in einen regulären Bruch ein elementares Thema ist, aber viele Schüler verstehen es nicht!

Deshalb werfen wir heute einen detaillierten Blick auf mehrere Algorithmen gleichzeitig, mit deren Hilfe Sie alle Brüche in Sekundenschnelle verstehen.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass es mindestens zwei Formen gibt, denselben Bruch zu schreiben: den gemeinsamen und den dezimalen Bruch.

Dezimalbrüche sind alle Arten von Konstruktionen der Form 0,75; 1,33; und sogar −7,41. Hier sind Beispiele für gewöhnliche Brüche, die dieselben Zahlen ausdrücken:

Nun wollen wir es herausfinden: Wie kommt man von der Dezimalschreibweise zur regulären Schreibweise?

Und vor allem: Wie geht das möglichst schnell?

Grundlegender Algorithmus

Tatsächlich gibt es mindestens zwei Algorithmen. Und wir werden uns jetzt beide ansehen. Beginnen wir mit dem ersten – dem einfachsten und verständlichsten.

Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, müssen Sie drei Schritte ausführen:

1. Schreiben Sie den ursprünglichen Bruch in einen neuen Bruch um: Der ursprüngliche Dezimalbruch bleibt im Zähler und Sie müssen einen im Nenner einsetzen. In diesem Fall wird auch das Vorzeichen der ursprünglichen Zahl in den Zähler gestellt.

   Zum Beispiel:

2. Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs mit 10, bis der Dezimalpunkt aus dem Zähler verschwindet. Ich möchte Sie daran erinnern: Bei jeder Multiplikation mit 10 wird der Dezimalpunkt um eine Stelle nach rechts verschoben. Da auch der Nenner multipliziert wird, erscheinen anstelle der Zahl 1 natürlich 10, 100 usw.
3. Schließlich reduzieren wir den resultierenden Bruch nach dem Standardschema: Teilen Sie Zähler und Nenner durch die Zahlen, deren Vielfache sie sind. Im ersten Beispiel ist beispielsweise 0,75=75/100 und sowohl 75 als auch 100 sind durch 25 teilbar.

   Daher erhalten wir $0,75=\frac(75)(100)=\frac(3\cdot 25)(4\cdot 25)=\frac(3)(4)$ – das ist die ganze Antwort. :)

Ein wichtiger Hinweis zu negativen Zahlen. Steht im Originalbeispiel ein Minuszeichen vor dem Dezimalbruch, dann sollte in der Ausgabe auch ein Minuszeichen vor dem gemeinsamen Bruch stehen.

Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln

Hier noch einige Beispiele:

Besonderes Augenmerk möchte ich auf das letzte Beispiel richten. Wie Sie sehen, enthält der Bruch 0,0025 viele Nullen nach dem Komma. Aus diesem Grund müssen Sie Zähler und Nenner bis zu viermal mit 10 multiplizieren. Ist es in diesem Fall möglich, den Algorithmus irgendwie zu vereinfachen?

Natürlich kannst du. Und jetzt schauen wir uns einen alternativen Algorithmus an – er ist etwas schwieriger zu verstehen, funktioniert aber mit ein wenig Übung viel schneller als der Standardalgorithmus.

Schnellerer Weg

Auch dieser Algorithmus besteht aus 3 Schritten.

Gehen Sie wie folgt vor, um aus einer Dezimalzahl einen Bruch zu erhalten:

1. Zählen Sie, wie viele Nachkommastellen es gibt. Beispielsweise hat der Bruch 1,75 zwei solcher Ziffern und 0,0025 vier. Bezeichnen wir diese Größe mit dem Buchstaben $n$.
2. Schreiben Sie die ursprüngliche Zahl als Bruch der Form $\frac(a)(((10)^(n)))$ um, wobei $a$ alle Ziffern des ursprünglichen Bruchs sind (ohne die „Start“-Nullen auf dem). links, falls vorhanden) und $n$ ist die gleiche Anzahl von Nachkommastellen, die wir im ersten Schritt berechnet haben.

   Mit anderen Worten: Sie müssen die Ziffern des ursprünglichen Bruchs durch eins dividieren, gefolgt von $n$ Nullen.

3. Reduzieren Sie nach Möglichkeit den resultierenden Bruch.

Das ist alles! Auf den ersten Blick ist dieses Schema komplizierter als das vorherige. Tatsächlich ist es jedoch einfacher und schneller. Urteile selbst:

Wie Sie sehen können, gibt es im Bruch 0,64 zwei Nachkommastellen – 6 und 4.

Daher $n=2$. Wenn wir das Komma und die Nullen auf der linken Seite entfernen (in diesem Fall nur eine Null), erhalten wir die Zahl 64. Fahren wir mit dem zweiten Schritt fort: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, daher ist der Nenner genau einhundert. Nun, dann müssen wir nur noch Zähler und Nenner reduzieren. :)

Noch ein Beispiel:

Hier ist alles etwas komplizierter.

Erstens gibt es bereits 3 Nachkommazahlen, d.h. $n=3$, also musst du durch $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$ dividieren. Zweitens, wenn wir das Komma aus der Dezimalschreibweise entfernen, erhalten wir Folgendes: 0,004 → 0004. Denken Sie daran, dass die Nullen auf der linken Seite entfernt werden müssen, sodass wir tatsächlich die Zahl 4 haben. Dann ist alles einfach: dividieren, reduzieren und erhalten die Antwort.

Zum Schluss noch das letzte Beispiel:

Die Besonderheit dieses Bruchs ist das Vorhandensein eines ganzen Teils.

Daher ist die Ausgabe, die wir erhalten, ein unechter Bruchteil von 47/25. Sie können natürlich versuchen, 47 durch 25 mit Rest zu dividieren und so den ganzen Teil wieder zu isolieren.

Aber warum sollten Sie Ihr Leben verkomplizieren, wenn dies bereits in der Phase der Transformation möglich ist? Nun, lass es uns herausfinden.

Was tun mit dem ganzen Teil?

Eigentlich ist alles ganz einfach: Wenn wir einen echten Bruch erhalten wollen, müssen wir bei der Transformation den ganzen Teil daraus entfernen und ihn dann, wenn wir das Ergebnis erhalten, rechts vor der Bruchlinie wieder hinzufügen .

Betrachten Sie zum Beispiel dieselbe Zahl: 1,88. Lassen Sie uns mit eins punkten (den ganzen Teil) und uns den Bruch 0,88 ansehen.

Es lässt sich leicht umwandeln:

Dann erinnern wir uns an die „verlorene“ Einheit und fügen sie vorne hinzu:

\[\frac(22)(25)\zu 1\frac(22)(25)\]

Das ist alles! Es stellte sich heraus, dass die Antwort dieselbe war wie nach der Auswahl des gesamten Teils beim letzten Mal. Noch ein paar Beispiele:

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\bis 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\bis 13\frac(4)(5).

Das ist das Schöne an der Mathematik: Egal welchen Weg man einschlägt, wenn alle Berechnungen richtig durchgeführt werden, wird die Antwort immer dieselbe sein. :)

Abschließend möchte ich noch eine Technik betrachten, die vielen hilft.

Transformationen „nach Gehör“

Lassen Sie uns darüber nachdenken, was eine Dezimalzahl ist.

Genauer gesagt, wie wir es lesen. Zum Beispiel die Zahl 0,64 – wir lesen sie als „Nullpunkt 64 Hundertstel“, oder? Na ja, oder einfach nur „64 Hundertstel“. Das Schlüsselwort hier ist „Hundertstel“, also „Hundertstel“. Nummer 100.

Was ist mit 0,004? Das ist „null Komma 4 Tausendstel“ oder einfach „vier Tausendstel“.

So oder so lautet das Schlüsselwort „Tausende“, d.h. 1000.

Was ist also die große Sache? Und Tatsache ist, dass es diese Zahlen sind, die in der zweiten Stufe des Algorithmus letztendlich in den Nennern „auftauchen“. Diese. 0,004 ist „vier Tausendstel“ oder „4 geteilt durch 1000“:

Versuchen Sie es selbst zu üben – es ist ganz einfach. Die Hauptsache ist, den ursprünglichen Bruch richtig zu lesen. Zum Beispiel ist 2,5 „2 ganze, 5 Zehntel“, also

Und etwa 1,125 ist „1 Ganzes, 125 Tausendstel“, also

Im letzten Beispiel wird natürlich jemand einwenden, dass nicht jedem Schüler klar ist, dass 1000 durch 125 teilbar ist.

Aber hier müssen Sie bedenken, dass 1000 = 103 und 10 = 2 ∙ 5, also

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]

Somit wird jede Zehnerpotenz nur in die Faktoren 2 und 5 zerlegt – nach diesen Faktoren muss im Zähler gesucht werden, damit am Ende alles reduziert wird.

Damit ist die Lektion abgeschlossen.

Kommen wir zu einer komplexeren Umkehroperation – siehe „Übergang von einem gewöhnlichen Bruch zu einer Dezimalzahl“.

Ein Dezimalbruch besteht aus zwei durch Kommas getrennten Teilen. Der erste Teil ist eine ganze Einheit, der zweite Teil sind Zehner (wenn es eine Zahl nach dem Komma gibt), Hunderter (zwei Zahlen nach dem Komma, wie zwei Nullen in einem Hundert), Tausendstel usw. Schauen wir uns Beispiele für Dezimalbrüche an: 0, 2; 7, 54; 235.448; 5.1; 6,32; 0,5. Das sind alles Dezimalbrüche. Wie wandle ich einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch um?

Beispiel eins

Wir haben einen Bruch, zum Beispiel 0,5. Wie oben erwähnt besteht es aus zwei Teilen. Die erste Zahl, 0, gibt an, wie viele ganze Einheiten der Bruch hat. In unserem Fall gibt es keine. Die zweite Zahl zeigt Zehner. Der Bruch lautet sogar null Komma fünf. Dezimalzahl in Bruch umwandeln Jetzt wird es nicht mehr schwer, wir schreiben 5/10. Wenn Sie sehen, dass die Zahlen einen gemeinsamen Faktor haben, können Sie den Bruch reduzieren. Wir haben diese Zahl 5, dividieren beide Seiten des Bruchs durch 5 und erhalten - 1/2.

Beispiel zwei

Nehmen wir einen komplexeren Bruch – 2,25. Es liest sich so: zwei Komma zwei und fünfundzwanzig Hundertstel. Bitte beachten Sie - Hundertstel, da es zwei Nachkommazahlen gibt. Jetzt können Sie konvertieren gemeinsamer Bruch. Wir schreiben auf - 2 25/100. Der ganze Teil ist 2, der Bruchteil ist 25/100. Wie im ersten Beispiel kann dieser Teil gekürzt werden. Der gemeinsame Teiler für die Zahlen 25 und 100 ist die Zahl 25. Beachten Sie, dass wir immer den größten gemeinsamen Teiler wählen. Wenn wir beide Seiten des Bruchs durch GCD dividieren, erhalten wir 1/4. 2,25 ist also 2 1/4.

Beispiel drei

Und um das Material zu festigen, nehmen wir den Dezimalbruch 4,112 – vier Komma eins und einhundertzwölf Tausendstel. Warum Tausendstel, denke ich, ist klar. Jetzt notieren wir 4 112/1000. Mit dem Algorithmus ermitteln wir den gcd der Zahlen 112 und 1000. In unserem Fall ist dies die Zahl 6. Wir erhalten 4 14/125.

Abschluss

1. Wir zerlegen den Bruch in ganze und gebrochene Teile.
2. Mal sehen, wie viele Nachkommastellen es gibt. Wenn eins Zehner ist, zwei Hunderter, drei Tausendstel usw.
3. Wir schreiben den Bruch in gewöhnlicher Form.
4. Reduzieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs.
5. Wir schreiben den resultierenden Bruch auf.
6. Wir überprüfen, indem wir den oberen Teil des Bruchs durch den unteren Teil dividieren. Wenn es einen ganzzahligen Teil gibt, addieren Sie ihn zum resultierenden Dezimalbruch. Die Originalversion ist großartig geworden, was bedeutet, dass Sie alles richtig gemacht haben.

Anhand von Beispielen habe ich gezeigt, wie man einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln kann. Wie Sie sehen, ist dies sehr einfach und unkompliziert.

Es kommt vor, dass Sie zur Vereinfachung von Berechnungen einen gewöhnlichen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln müssen und umgekehrt. Wir werden in diesem Artikel darüber sprechen, wie das geht. Schauen wir uns die Regeln für die Umwandlung gewöhnlicher Brüche in Dezimalzahlen und umgekehrt an und geben wir auch Beispiele.

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Wir werden darüber nachdenken, gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln und dabei einer bestimmten Reihenfolge zu folgen. Schauen wir uns zunächst an, wie gewöhnliche Brüche mit einem Nenner, der ein Vielfaches von 10 ist, in Dezimalzahlen umgewandelt werden: 10, 100, 1000 usw. Brüche mit solchen Nennern sind tatsächlich eine umständlichere Schreibweise von Dezimalbrüchen.

Als nächstes schauen wir uns an, wie man gewöhnliche Brüche mit einem beliebigen Nenner, nicht nur Vielfachen von 10, in Dezimalbrüche umwandelt. Beachten Sie, dass bei der Umwandlung gewöhnlicher Brüche in Dezimalzahlen nicht nur endliche Dezimalzahlen, sondern auch unendliche periodische Dezimalbrüche erhalten werden.

Lass uns anfangen!

Übersetzung gewöhnlicher Brüche mit Nennern 10, 100, 1000 usw. auf Dezimalstellen

Nehmen wir zunächst einmal an, dass einige Brüche eine gewisse Vorbereitung erfordern, bevor sie in die Dezimalform umgewandelt werden können. Was ist es? Vor der Zahl im Zähler müssen Sie so viele Nullen hinzufügen, dass die Anzahl der Ziffern im Zähler der Anzahl der Nullen im Nenner entspricht. Für den Bruch 3100 muss beispielsweise links von der 3 im Zähler einmal die Zahl 0 addiert werden. Fraktion 610 bedarf gemäß der oben genannten Regel keiner Änderung.

Schauen wir uns noch ein Beispiel an und formulieren anschließend eine Regel, die zunächst besonders praktisch ist, obwohl noch nicht viel Erfahrung mit der Umrechnung von Brüchen vorhanden ist. Der Bruch 1610000 sieht nach dem Hinzufügen von Nullen im Zähler also wie 001510000 aus.

So konvertieren Sie einen gewöhnlichen Bruch mit einem Nenner von 10, 100, 1000 usw. in Dezimalzahl?

Regel zum Umwandeln gewöhnlicher echter Brüche in Dezimalzahlen

1. Schreiben Sie 0 auf und setzen Sie ein Komma dahinter.
2. Wir schreiben die Zahl aus dem Zähler auf, die nach dem Hinzufügen von Nullen erhalten wurde.

Kommen wir nun zu den Beispielen.

Beispiel 1: Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Lassen Sie uns den Bruch 39.100 in eine Dezimalzahl umwandeln.

Zuerst schauen wir uns den Bruch an und stellen fest, dass keine vorbereitenden Maßnahmen erforderlich sind – die Anzahl der Ziffern im Zähler stimmt mit der Anzahl der Nullen im Nenner überein.

Der Regel folgend schreiben wir 0, setzen einen Dezimalpunkt dahinter und schreiben die Zahl aus dem Zähler. Wir erhalten den Dezimalbruch 0,39.

Schauen wir uns die Lösung eines anderen Beispiels zu diesem Thema an.

Beispiel 2. Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Schreiben wir den Bruch 105 10000000 als Dezimalzahl.

Die Anzahl der Nullen im Nenner beträgt 7 und der Zähler ist nur dreistellig. Fügen wir vor der Zahl im Zähler vier weitere Nullen hinzu:

0000105 10000000

Nun schreiben wir 0 auf, setzen einen Dezimalpunkt dahinter und notieren die Zahl vom Zähler. Wir erhalten den Dezimalbruch 0,0000105.

Die in allen Beispielen betrachteten Brüche sind gewöhnliche echte Brüche. Aber wie wandelt man einen unechten Bruch in eine Dezimalzahl um? Nehmen wir gleich an, dass für das Hinzufügen von Nullen für solche Brüche keine Vorbereitung erforderlich ist. Lassen Sie uns eine Regel formulieren.

Regel zur Umwandlung gewöhnlicher unechter Brüche in Dezimalzahlen

1. Notieren Sie die Zahl, die im Zähler steht.
2. Wir verwenden einen Dezimalpunkt, um so viele Ziffern auf der rechten Seite zu trennen, wie Nullen im Nenner des ursprünglichen Bruchs vorhanden sind.

Nachfolgend finden Sie ein Beispiel für die Verwendung dieser Regel.

Beispiel 3. Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Lassen Sie uns den Bruch 56888038009 100000 von einem gewöhnlichen unregelmäßigen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln.

Schreiben wir zunächst die Zahl aus dem Zähler auf:

Nun trennen wir rechts fünf Ziffern durch einen Dezimalpunkt (die Anzahl der Nullen im Nenner beträgt fünf). Wir bekommen:

Die nächste Frage, die sich natürlich stellt, ist: Wie wandelt man eine gemischte Zahl in einen Dezimalbruch um, wenn der Nenner ihres Bruchteils die Zahl 10, 100, 1000 usw. ist? Um eine solche Zahl in einen Dezimalbruch umzuwandeln, können Sie die folgende Regel verwenden.

Regel zur Umrechnung gemischter Zahlen in Dezimalzahlen

1. Bei Bedarf bereiten wir den Nachkommateil der Zahl vor.
2. Wir schreiben den gesamten Teil der ursprünglichen Zahl auf und setzen dahinter ein Komma.
3. Wir schreiben die Zahl aus dem Zähler des Bruchteils zusammen mit den hinzugefügten Nullen auf.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 4: Gemischte Zahlen in Dezimalzahlen umwandeln

Lassen Sie uns die gemischte Zahl 23 17 10000 in einen Dezimalbruch umwandeln.

Im Bruchteil haben wir den Ausdruck 17 10000. Bereiten wir es vor und fügen wir links vom Zähler zwei weitere Nullen hinzu. Wir bekommen: 0017 10000.

Jetzt schreiben wir den ganzen Teil der Zahl auf und setzen ein Komma dahinter: 23, . .

Notieren Sie nach dem Dezimalpunkt die Zahl vom Zähler zusammen mit Nullen. Wir erhalten das Ergebnis:

23 17 10000 = 23 , 0017

Konvertieren gewöhnlicher Brüche in endliche und unendliche periodische Brüche

Natürlich können Sie in Dezimalzahlen und gewöhnliche Brüche umrechnen, deren Nenner ungleich 10, 100, 1000 usw. ist.

Oft lässt sich ein Bruch leicht auf einen neuen Nenner reduzieren und dann die im ersten Absatz dieses Artikels dargelegte Regel anwenden. Beispielsweise reicht es aus, Zähler und Nenner des Bruchs 25 mit 2 zu multiplizieren, und wir erhalten den Bruch 410, der sich leicht in die Dezimalform 0,4 umwandeln lässt.

Diese Methode zur Umwandlung eines Bruchs in eine Dezimalzahl kann jedoch nicht immer verwendet werden. Im Folgenden betrachten wir, was zu tun ist, wenn die Anwendung der betrachteten Methode nicht möglich ist.

Grundsätzlich neuer Weg Die Umwandlung eines gewöhnlichen Bruchs in eine Dezimalzahl reduziert sich auf die Division des Zählers durch den Nenner mit einer Spalte. Diese Operation ist der Division natürlicher Zahlen mit einer Spalte sehr ähnlich, hat jedoch ihre eigenen Eigenschaften.

Beim Dividieren wird der Zähler als Dezimalbruch dargestellt – rechts von der letzten Ziffer des Zählers wird ein Komma gesetzt und Nullen hinzugefügt. Im resultierenden Quotienten wird ein Dezimalpunkt eingefügt, wenn die Division des ganzzahligen Teils des Zählers endet. Wie genau diese Methode funktioniert, wird anhand der Beispiele deutlich.

Beispiel 5. Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Lassen Sie uns den gemeinsamen Bruch 621 4 in die Dezimalform umwandeln.

Stellen wir die Zahl 621 aus dem Zähler als Dezimalbruch dar und fügen nach dem Dezimalpunkt ein paar Nullen hinzu. 621 = 621,00

Teilen wir nun 621,00 mithilfe einer Spalte durch 4. Die ersten drei Schritte der Division sind die gleichen wie bei der Division natürlicher Zahlen, und wir erhalten.

Wenn wir den Dezimalpunkt im Dividenden erreichen und der Rest ungleich Null ist, setzen wir einen Dezimalpunkt in den Quotienten und dividieren weiter, ohne auf das Komma im Dividenden zu achten.

Als Ergebnis erhalten wir den Dezimalbruch 155, 25, der das Ergebnis der Umkehrung des gemeinsamen Bruchs 621 4 ist

621 4 = 155 , 25

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an, um das Material zu verstärken.

Beispiel 6. Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Lassen Sie uns den gemeinsamen Bruch 21 800 umkehren.

Teilen Sie dazu den Bruch 21.000 in einer Spalte durch 800. Die Division des ganzen Teils endet mit dem ersten Schritt, also setzen wir unmittelbar danach einen Dezimalpunkt in den Quotienten und setzen die Division fort, ohne auf das Komma im Dividenden zu achten, bis wir einen Rest von Null erhalten.

Als Ergebnis erhalten wir: 21.800 = 0,02625.

Was aber, wenn wir beim Dividieren immer noch keinen Rest von 0 erhalten. In solchen Fällen kann die Division auf unbestimmte Zeit fortgesetzt werden. Ab einem bestimmten Schritt werden die Rückstände jedoch periodisch wiederholt. Dementsprechend werden die Zahlen im Quotienten wiederholt. Das bedeutet, dass ein gewöhnlicher Bruch in einen dezimalen unendlichen periodischen Bruch umgewandelt wird. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels veranschaulichen.

Beispiel 7. Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Lassen Sie uns den gemeinsamen Bruch 19 44 in eine Dezimalzahl umwandeln. Dazu führen wir eine Division nach Spalten durch.

Wir sehen, dass sich bei der Division die Reste 8 und 36 wiederholen. In diesem Fall wiederholen sich die Zahlen 1 und 8 im Quotienten. Dies ist der Punkt im Dezimalbruch. Bei der Aufnahme werden diese Zahlen in Klammern gesetzt.

Somit wird der ursprüngliche gewöhnliche Bruch in einen unendlichen periodischen Dezimalbruch umgewandelt.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Betrachten wir einen irreduziblen gewöhnlichen Bruch. Welche Form wird es annehmen? Welche gewöhnlichen Brüche werden in endliche Dezimalzahlen umgewandelt und welche werden in unendliche periodische Brüche umgewandelt?

Nehmen wir zunächst an, dass ein Bruch, der auf einen der Nenner 10, 100, 1000... reduziert werden kann, die Form eines letzten Dezimalbruchs hat. Damit ein Bruch auf einen dieser Nenner reduziert werden kann, muss sein Nenner ein Teiler von mindestens einer der Zahlen 10, 100, 1000 usw. sein. Aus den Regeln zum Zerlegen von Zahlen in Primfaktoren Daraus folgt, dass der Teiler der Zahlen 10, 100, 1000 usw. darf, wenn man es in Primfaktoren zerlegt, nur die Zahlen 2 und 5 enthalten.

Fassen wir zusammen, was gesagt wurde:

1. Ein gewöhnlicher Bruch kann auf eine letzte Dezimalzahl reduziert werden, wenn sein Nenner in die Primfaktoren 2 und 5 zerlegt werden kann.
2. Wenn neben den Zahlen 2 und 5 noch weitere Zahlen in der Nennerentwicklung vorhanden sind Primzahlen, wird der Bruch auf die Form eines unendlichen periodischen Dezimalbruchs reduziert.

Geben wir ein Beispiel.

Beispiel 8. Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Welcher dieser Brüche 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 wird in einen letzten Dezimalbruch umgewandelt und welcher - nur in einen periodischen. Beantworten wir diese Frage, ohne einen Bruch direkt in eine Dezimalzahl umzuwandeln.

Der Bruch 47 20 wird, wie leicht zu erkennen ist, durch Multiplikation von Zähler und Nenner mit 5 auf einen neuen Nenner 100 reduziert.

47 20 = 235 100. Daraus schließen wir, dass dieser Bruch in einen letzten Dezimalbruch umgewandelt wird.

Die Faktorisierung des Nenners des Bruchs 7 · 12 ergibt 12 = 2 · 2 · 3. Da sich der Primfaktor 3 von 2 und 5 unterscheidet, kann dieser Bruch nicht als endlicher Dezimalbruch dargestellt werden, sondern hat die Form eines unendlichen periodischen Bruchs.

Der Bruch 21 56 muss zunächst reduziert werden. Nach Reduktion um 7 erhalten wir den irreduziblen Bruch 3 · 8, dessen Nenner faktorisiert wird, um 8 = 2 · 2 · 2 zu ergeben. Daher handelt es sich um einen letzten Dezimalbruch.

Im Fall des Bruchs 31 17 ist die Faktorisierung des Nenners die Primzahl 17 selbst. Dementsprechend kann dieser Bruch in einen unendlichen periodischen Dezimalbruch umgewandelt werden.

Ein gewöhnlicher Bruch kann nicht in einen unendlichen und nichtperiodischen Dezimalbruch umgewandelt werden

Oben haben wir nur über endliche und unendliche periodische Brüche gesprochen. Aber kann jeder gewöhnliche Bruch in einen unendlichen nichtperiodischen Bruch umgewandelt werden?

Wir antworten: Nein!

Wichtig!

Wenn man einen unendlichen Bruch in eine Dezimalzahl umwandelt, ist das Ergebnis entweder eine endliche Dezimalzahl oder eine unendliche periodische Dezimalzahl.

Der Rest einer Division ist immer kleiner als der Divisor. Mit anderen Worten, nach dem Teilbarkeitssatz, wenn wir einige teilen natürliche Zahl durch die Zahl q, so kann der Rest der Division auf keinen Fall größer als q-1 sein. Nach Abschluss der Teilung ist eine der folgenden Situationen möglich:

1. Wir erhalten einen Rest von 0 und hier endet die Division.
2. Wir erhalten einen Rest, der sich bei der anschließenden Division wiederholt, was zu einem unendlichen periodischen Bruch führt.

Bei der Umwandlung eines Bruchs in eine Dezimalzahl gibt es keine anderen Optionen. Nehmen wir außerdem an, dass die Länge der Periode (Anzahl der Ziffern) in einem unendlichen periodischen Bruch immer kleiner ist als die Anzahl der Ziffern im Nenner des entsprechenden gewöhnlichen Bruchs.

Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Jetzt ist es an der Zeit, den umgekehrten Vorgang der Umwandlung eines Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch zu betrachten. Lassen Sie uns eine Übersetzungsregel formulieren, die drei Stufen umfasst. Wie wandle ich einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch um?

Regel zum Umwandeln von Dezimalbrüchen in gewöhnliche Brüche

1. Im Zähler schreiben wir die Zahl aus dem ursprünglichen Dezimalbruch und verwerfen das Komma und alle Nullen auf der linken Seite, falls vorhanden.
2. Im Nenner schreiben wir eine Eins, gefolgt von so vielen Nullen, wie Nachkommastellen im ursprünglichen Dezimalbruch vorhanden sind.
3. Reduzieren Sie bei Bedarf den resultierenden gewöhnlichen Bruch.

Schauen wir uns die Anwendung dieser Regel anhand von Beispielen an.

Beispiel 8. Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandeln

Stellen wir uns die Zahl 3,025 als einen gewöhnlichen Bruch vor.

1. Wir schreiben den Dezimalbruch selbst in den Zähler und verwerfen das Komma: 3025.
2. In den Nenner schreiben wir eine und danach drei Nullen – genau so viele Nachkommastellen sind im ursprünglichen Bruch enthalten: 3025 1000.
3. Der resultierende Bruch 3025 1000 kann um 25 reduziert werden, was zu: 3025 1000 = 121 40 führt.

Beispiel 9. Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandeln

Lassen Sie uns den Bruch 0,0017 vom Dezimalbruch in den gewöhnlichen Bruch umwandeln.

1. Im Zähler schreiben wir den Bruch 0, 0017 und verwerfen das Komma und die Nullen auf der linken Seite. Es werden 17 sein.
2. Wir schreiben eine Eins in den Nenner und danach vier Nullen: 17 10000. Dieser Bruch ist irreduzibel.

Wenn ein Dezimalbruch einen ganzzahligen Teil hat, kann ein solcher Bruch sofort in eine gemischte Zahl umgewandelt werden. Wie kann man das machen?

Lassen Sie uns noch eine Regel formulieren.

Regel zum Umwandeln von Dezimalzahlen in gemischte Zahlen.

1. Die Zahl vor dem Komma im Bruch wird als ganzzahliger Teil der gemischten Zahl geschrieben.
2. Im Zähler schreiben wir die Zahl nach dem Komma im Bruch und verwerfen die Nullen auf der linken Seite, falls vorhanden.
3. Im Nenner des Bruchteils addieren wir eine und so viele Nullen, wie Nachkommastellen im Bruchteil vorhanden sind.

Nehmen wir ein Beispiel

Beispiel 10. Konvertieren einer Dezimalzahl in eine gemischte Zahl

Stellen wir uns den Bruch 155, 06005 als gemischte Zahl vor.

1. Wir schreiben die Zahl 155 als ganzzahligen Teil.
2. Im Zähler schreiben wir die Zahlen nach dem Komma und verwerfen die Null.
3. Wir schreiben eine und fünf Nullen in den Nenner

Lernen wir eine gemischte Zahl: 155 6005 100000

Der Nachkommateil kann um 5 gekürzt werden. Wir kürzen es und erhalten das Endergebnis:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Unendliche periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Schauen wir uns Beispiele an, wie man periodische Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandelt. Bevor wir beginnen, klären wir Folgendes: Jeder periodische Dezimalbruch kann in einen gewöhnlichen Bruch umgewandelt werden.

Der einfachste Fall liegt vor, wenn die Periode des Bruchs Null ist. Ein periodischer Bruch mit einer Nullperiode wird durch einen letzten Dezimalbruch ersetzt, und der Prozess der Umkehrung eines solchen Bruchs wird auf die Umkehrung des letzten Dezimalbruchs reduziert.

Beispiel 11. Umwandeln eines periodischen Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch

Lassen Sie uns den periodischen Bruch 3, 75 (0) invertieren.

Wenn wir die Nullen auf der rechten Seite entfernen, erhalten wir den letzten Dezimalbruch 3,75.

Wenn wir diesen Bruch mit dem in den vorherigen Absätzen beschriebenen Algorithmus in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln, erhalten wir:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Was passiert, wenn die Periode des Bruchs von Null verschieden ist? Der periodische Teil sollte als Summe der Terme einer geometrischen Progression betrachtet werden, die abnimmt. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels erklären:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Es gibt eine Formel für die Summe der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression. Wenn der erste Term der Folge b ist und der Nenner q so ist, dass 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Schauen wir uns einige Beispiele an, die diese Formel verwenden.

Beispiel 12. Umwandeln eines periodischen Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch

Wir haben einen periodischen Bruch 0, (8) und müssen ihn in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Hier haben wir eine unendliche Abnahme geometrischer Verlauf mit dem ersten Term 0, 8 und dem Nenner 0, 1.

Wenden wir die Formel an:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Dies ist der erforderliche gewöhnliche Bruch.

Um das Material zu festigen, betrachten Sie ein anderes Beispiel.

Beispiel 13. Umwandeln eines periodischen Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch

Lassen Sie uns den Bruch 0, 43 (18) umkehren.

Zuerst schreiben wir den Bruch als unendliche Summe:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Schauen wir uns die Begriffe in Klammern an. Dieser geometrische Verlauf lässt sich wie folgt darstellen:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Wir addieren das Ergebnis zum Endbruch 0, 43 = 43 100 und erhalten das Ergebnis:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Nachdem wir diese Brüche addiert und reduziert haben, erhalten wir die endgültige Antwort:

0 , 43 (18) = 19 44

Zum Abschluss dieses Artikels sagen wir, dass nichtperiodische unendliche Dezimalbrüche nicht in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden können.

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Sehr oft stehen Kinder im Mathematiklehrplan der Schule vor dem Problem, wie man einen regulären Bruch in eine Dezimalzahl umwandelt. Um einen gewöhnlichen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, erinnern wir uns zunächst daran, was ein gemeinsamer Bruch und eine Dezimalzahl sind. Ein gewöhnlicher Bruch ist ein Bruch der Form m/n, wobei m der Zähler und n der Nenner ist. Beispiel: 8/13; 6/7 usw. Brüche werden in regelmäßige, unechte und gemischte Zahlen unterteilt. Ein echter Bruch liegt vor, wenn der Zähler kleiner als der Nenner ist: m/n, wobei m 3. Ein unechter Bruch kann immer als gemischte Zahl dargestellt werden, nämlich: 4/3 = 1 und 1/3;

Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln

Schauen wir uns nun an, wie man übersetzt gemischte Fraktion zur Dezimalstelle. Jeder gewöhnliche Bruch, egal ob echter oder unechter Bruch, kann in eine Dezimalzahl umgewandelt werden. Dazu müssen Sie den Zähler durch den Nenner dividieren. Beispiel: einfacher Bruch (richtig) 1/2. Teilen Sie Zähler 1 durch Nenner 2, um 0,5 zu erhalten. Nehmen wir das Beispiel 45/12; es ist sofort klar, dass es sich um einen unregelmäßigen Bruch handelt. Hier ist der Nenner kleiner als der Zähler. Umwandeln eines unechten Bruchs in eine Dezimalzahl: 45: 12 = 3,75.

Gemischte Zahlen in Dezimalzahlen umwandeln

Beispiel: 25/8. Zuerst wandeln wir die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um: 25/8 = 3x8+1/8 = 3 und 1/8; Teilen Sie dann den Zähler gleich 1 durch den Nenner gleich 8 mithilfe einer Spalte oder eines Taschenrechners und erhalten Sie einen Dezimalbruch gleich 0,125. Der Artikel enthält die einfachsten Beispiele für die Umrechnung in Dezimalbrüche. Nachdem ich die Übersetzungstechnik verstanden habe einfache Beispiele, können Sie die schwierigsten davon leicht lösen.