Seitenkante einer sechseckigen Pyramide. Pyramidenentwicklung
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Anweisungen
Ersetzen Sie bei einer quadratischen Pyramidenbasis mit bekannter Seitenlänge (a) und gegebenem Volumen (V) die Fläche in der Berechnungsformel aus dem vorherigen Schritt durch die quadratische Seitenlänge: H = 3*V/a².
Die Formel aus dem ersten Schritt kann umgewandelt werden, um die Höhe (H) einer regelmäßigen Pyramide mit einer beliebig geformten Basis zu berechnen. Die anfänglichen Daten, die dabei berücksichtigt werden sollten, sind das Volumen (V) des Polyeders, die Länge der Kante an der Basis (a) und die Anzahl der Eckpunkte an der Basis (n). Die Fläche eines regelmäßigen Vielecks wird durch ein Viertel des Produkts aus der Anzahl der Eckpunkte, dem Quadrat der Seitenlänge und dem Kotangens des Winkels bestimmt, gleich dem Verhältnis von 180° und der Anzahl der Eckpunkte: ¼* n*a²*ctg(180°/n). Setzen Sie diesen Ausdruck in die Formel aus dem ersten Schritt ein: H = 3*V/(¼*n*a²*ctg(180°/n)) = 12*V/(n*a²*ctg(180°/n)) .
Wenn die Fläche der Basis aus den Bedingungen des Problems unbekannt ist und nur das Volumen (V) und die Länge der Kante (a) angegeben sind, kann die fehlende Variable in der Formel aus dem vorherigen Schritt ersetzt werden durch sein Äquivalent, ausgedrückt in der Länge der Kante. Die Fläche (sie liegt, wie Sie sich erinnern, an der Basis der Pyramide des betreffenden Typs) entspricht einem Viertel des Produkts Quadratwurzel von drei bis zum Quadrat der Seitenlänge. Setzen Sie diesen Ausdruck anstelle der Fläche der Basis in die Formel aus dem vorherigen Schritt ein und erhalten Sie das folgende Ergebnis: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3 ).
Da das Volumen eines Tetraeders auch durch die Kantenlänge ausgedrückt werden kann, können alle Variablen aus der Formel zur Berechnung der Höhe einer Figur entfernt werden, so dass nur die Seite ihrer Fläche übrig bleibt. Das Volumen dieser Pyramide wird berechnet, indem man das Produkt aus der Quadratwurzel aus zwei und der Kubiklänge der Fläche durch 12 dividiert. Setzen Sie diesen Ausdruck in die Formel aus dem vorherigen Schritt ein und erhalten Sie das Ergebnis: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a* √⅔ = ⅓*a*√6.
Das richtige Prisma kann in eine Kugel eingeschrieben werden, und wenn man nur seinen Radius (R) kennt, kann man das Tetraeder berechnen. Die Länge der Kante ist gleich dem Vierfachen des Verhältnisses aus Radius und Quadratwurzel aus sechs. Ersetzen Sie die Variable a in der Formel aus dem vorherigen Schritt durch diesen Ausdruck und erhalten Sie die Gleichheit: H = ⅓*√6*4*R/√6 = 4*r/3.
Eine ähnliche Formel kann erhalten werden, wenn man den Radius (r) des in das Tetraeder eingeschriebenen Kreises kennt. In diesem Fall beträgt die Länge der Kante zwölf Verhältnisse zwischen dem Radius und dem Quadrat von sechs. Setzen Sie diesen Ausdruck in die Formel aus dem dritten Schritt ein: H = ⅓*a*√6 = ⅓*√6*12*R/√6 = 4*R.
Die Pyramide ist eine der mystischsten Figuren der Geometrie. Damit sind Ströme kosmischer Energie verbunden; viele antike Völker wählten diese besondere Form für den Bau ihrer religiösen Gebäude. Aus mathematischer Sicht ist eine Pyramide jedoch nur ein Polyeder mit einem Polygon an der Basis und die Flächen sind Dreiecke mit einer gemeinsamen Spitze. Schauen wir uns an, wie man es findet Quadrat Kanten V Pyramide.
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Anweisungen
Pyramidentyp: regelmäßig (an der Basis - regelmäßiges Vieleck, und die Scheitelpunkte darauf sind sein Mittelpunkt), beliebig (jedes Polygon liegt an der Basis und die Projektion des Scheitelpunkts fällt nicht unbedingt mit seinem Mittelpunkt zusammen), rechteckig (eine der Seitenkanten bildet einen rechten Winkel mit der Basis) und . Abhängig von den Seiten des Polygons an der Basis der Pyramide wird es drei-, vier-, fünf- oder beispielsweise zehneckig genannt.
Für alle Arten von Pyramiden, außer Pyramidenstümpfen: Multiplizieren Sie die Länge der Basis des Dreiecks und die Höhe, die von der Spitze der Pyramide darauf abgesenkt wird. Teilen Sie das resultierende Produkt durch 2 – das ist das gewünschte Ergebnis Quadrat Seite Kanten Pyramiden.
PyramidenstumpfFalten Sie beide Basen des Trapezes, das die Fläche einer solchen Pyramide darstellt. Teilen Sie den resultierenden Betrag durch zwei. Multiplizieren Sie den resultierenden Wert mit der Höhe Kanten-Trapez. Der resultierende Wert ist Quadrat Seite Kanten Pyramiden dieser Art.
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Die Fläche der Mantelfläche und der Basis, der Umfang der Basis der Pyramide und ihr Volumen sind durch bestimmte Formeln verbunden. Dies ermöglicht manchmal die Berechnung der Werte der fehlenden Daten, die zur Bestimmung der Fläche einer Fläche in der Pyramide erforderlich sind.
Das Volumen jeder nicht abgeschnittenen Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus der Höhe der Pyramide und der Grundfläche. Für eine regelmäßige Pyramide gilt: Die Fläche der Mantelfläche entspricht dem halben Umfang der Grundfläche multipliziert mit der Höhe einer der Flächen. Ersetzen Sie bei der Berechnung des Volumens eines Pyramidenstumpfes anstelle der Grundfläche einen Wert, der der Summe der Flächen der oberen und unteren Grundfläche und der Quadratwurzel ihres Produkts entspricht.
Quellen:
- Stereometrie
- wie man die Seitenfläche einer Pyramide findet
Eine Pyramide heißt rechteckig, wenn eine ihrer Kanten senkrecht zur Grundfläche steht, also in einem Winkel von 90° steht. Diese Kante entspricht auch der Höhe der rechteckigen Pyramide. Die Formel für das Volumen einer Pyramide wurde erstmals von Archimedes abgeleitet.
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Anweisungen
In einer rechteckigen Höhe gibt es eine Kante, die in einem Winkel von 90 ° zur Basis steht. Die Fläche der rechteckigen Grundfläche wird mit S bezeichnet, und die Höhe wird ebenfalls mit S bezeichnet Pyramiden, − h. Dann, um die Lautstärke davon zu ermitteln Pyramiden, ist es notwendig, die Fläche seiner Grundfläche mit seiner Höhe zu multiplizieren und durch 3 zu dividieren. Somit ergibt sich das Volumen eines Rechtecks Pyramiden berechnet nach der Formel: V=(S*h)/3.
Erstellen Sie gemäß den angegebenen Parametern. Beschriften Sie die Basis mit dem lateinischen ABCDE und die Oberseite Pyramiden- S. Da sich die Zeichnung in der Projektion auf einer Ebene befindet, geben Sie zur Vermeidung von Verwirrung die Daten an, die Sie bereits kennen: SE = 30 cm; S(ABCDE)=45 cm².
Berechnen Sie das Volumen eines Rechtecks Pyramiden, unter Verwendung der Formel. Wenn man die Daten ersetzt und Berechnungen durchführt, stellt sich heraus, dass das Volumen ein Rechteck ist Pyramiden wird gleich sein: V=(45*30)/3=cm³.
Wenn die Problemstellung keine Daten zu und Höhe enthält Pyramiden, dann müssen Sie zusätzliche Berechnungen durchführen, um diese Werte zu erhalten. Die Fläche der Basis wird abhängig davon berechnet, ob das Polygon an seiner Basis liegt.
Höhe Pyramiden Finden Sie heraus, ob Sie die Hypotenuse eines der rechteckigen EDS oder EAS und den Winkel kennen, in dem die Seitenfläche SD oder SA zu ihrer Basis geneigt ist. Berechnen Sie den SE-Zweig mithilfe des Sinussatzes. Es wird die Höhe des Rechtecks sein Pyramiden.
beachten Sie
Bei der Berechnung von Größen wie Höhe, Volumen, Fläche sollten Sie bedenken, dass jede davon ihre eigene Maßeinheit hat. Die Fläche wird also in cm², die Höhe in cm und das Volumen in cm³ gemessen.
Ein Kubikzentimeter ist eine Volumeneinheit, die dem Volumen eines Würfels mit einer Kantenlänge von 1 cm entspricht. Wenn wir die Daten in unsere Formel einsetzen, erhalten wir: cm³= (cm²*cm)/3.
Hilfreicher Rat
Wenn das Problem darin besteht, das Volumen einer rechteckigen Pyramide zu ermitteln, sind in der Regel alle notwendigen Daten bekannt – zumindest um die Grundfläche und die Höhe der Figur zu ermitteln.
Die Berechnung der Volumina räumlicher Figuren ist eine davon wichtige Aufgaben Stereometrie. In diesem Artikel werden wir uns mit der Frage der Bestimmung des Volumens eines Polyeders wie einer Pyramide befassen und auch ein sechseckiges regelmäßiges Volumen angeben.
Sechseckige Pyramide
Schauen wir uns zunächst die Zahl an, die im Artikel besprochen wird.
Lassen Sie uns ein beliebiges Sechseck haben, dessen Seiten nicht unbedingt einander gleich sind. Nehmen wir außerdem an, dass wir einen Punkt im Raum gewählt haben, der nicht in der Ebene des Sechsecks liegt. Indem wir alle Ecken des letzteren mit dem ausgewählten Punkt verbinden, erhalten wir eine Pyramide. In der Abbildung unten sind zwei verschiedene Pyramiden mit sechseckiger Grundfläche dargestellt.
Man erkennt, dass die Figur neben dem Sechseck aus sechs Dreiecken besteht, deren Verbindungspunkt Scheitelpunkt genannt wird. Der Unterschied zwischen den dargestellten Pyramiden besteht darin, dass die Höhe h der rechten Figur die sechseckige Grundfläche nicht in ihrem geometrischen Mittelpunkt schneidet, während die Höhe der linken Figur genau in diesem Mittelpunkt liegt. Aufgrund dieses Kriteriums wurde die linke Pyramide als gerade und die rechte Pyramide als geneigt bezeichnet.
Da die Basis der linken Figur in der Abbildung durch ein Sechseck mit gleichen Seiten und Winkeln gebildet wird, wird sie regelmäßig genannt. Weiter im Artikel wir werden reden nur über diese Pyramide.
Um das Volumen einer beliebigen Pyramide zu berechnen, gilt folgende Formel:
Hier ist h die Länge der Höhe der Figur, S o ist die Fläche ihrer Basis. Verwenden wir diesen Ausdruck, um das Volumen einer sechseckigen regelmäßigen Pyramide zu bestimmen.
Da die Basis der betreffenden Figur ein gleichseitiges Sechseck ist, können Sie zur Berechnung ihrer Fläche den folgenden allgemeinen Ausdruck für ein n-Eck verwenden:
S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)
Hier ist n eine ganze Zahl, die der Anzahl der Seiten (Winkel) des Polygons entspricht, a ist die Länge seiner Seite, die Kotangensfunktion wird anhand der entsprechenden Tabellen berechnet.
Wenn wir den Ausdruck für n = 6 anwenden, erhalten wir:
S 6 = 6/4 * a 2 * ctg(pi/6) = √3/2 * a 2
Jetzt bleibt nur noch, diesen Ausdruck zu ersetzen allgemeine Formel für Band V:
V 6 = S 6 * h = √3/2 * h * a 2
Um das Volumen der betreffenden Pyramide zu berechnen, ist es daher notwendig, ihre beiden linearen Parameter zu kennen: die Länge der Basisseite und die Höhe der Figur.
Beispiel einer Problemlösung
Lassen Sie uns zeigen, wie der resultierende Ausdruck für V 6 zur Lösung des folgenden Problems verwendet werden kann.
Es ist bekannt, dass das richtige Volumen 100 cm 3 beträgt. Es ist notwendig, die Seite der Basis und die Höhe der Figur zu bestimmen, wenn bekannt ist, dass sie durch die folgende Gleichung miteinander in Beziehung stehen:
Da die Formel für das Volumen nur a und h enthält, können Sie jeden dieser Parameter einsetzen, ausgedrückt durch den anderen. Wenn wir beispielsweise a ersetzen, erhalten wir:
V 6 = √3/2*h*(2*h) 2 =>
h = ∛(V 6 /(2*√3))
Um die Höhe einer Figur zu ermitteln, müssen Sie die dritte Wurzel aus dem Volumen ziehen, die der Längendimension entspricht. Ersetzen wir den Wert des Volumens V 6 der Pyramide aus den Problembedingungen, erhalten wir die Höhe:
h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm
Da die Seite der Basis entsprechend der Problemstellung doppelt so groß ist wie der gefundene Wert, erhalten wir den Wert dafür:
a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm
Volumen sechseckige Pyramide lässt sich nicht nur anhand der Höhe der Figur und der Seitenhöhe ihrer Basis ermitteln. Um sie zu berechnen, reicht es aus, zwei verschiedene lineare Parameter der Pyramide zu kennen, beispielsweise das Apothem und die Länge der Seitenkante.
Probleme mit Pyramiden. In diesem Artikel werden wir uns weiterhin mit Problemen mit Pyramiden befassen. Sie lassen sich keiner Klasse oder Art von Aufgaben zuordnen und es können keine allgemeinen (algorithmischen) Lösungsempfehlungen gegeben werden. Lediglich die restlichen Aufgaben, die vorher nicht berücksichtigt wurden, werden hier gesammelt.
Ich werde die Theorie auflisten, die Sie benötigen, um Ihr Gedächtnis aufzufrischen, bevor Sie sie lösen: Pyramiden, Eigenschaften der Ähnlichkeit von Figuren und Körpern, Eigenschaften regelmäßiger Pyramiden, Satz des Pythagoras, Formel für die Fläche eines Dreiecks (es ist die zweite). Betrachten wir die Aufgaben:
Von einer dreieckigen Pyramide mit einem Volumen von 80 wird eine dreieckige Pyramide durch eine Ebene abgeschnitten, die durch die Spitze der Pyramide und die Mittellinie der Basis verläuft. Finden Sie das Volumen der abgeschnittenen dreieckigen Pyramide.
Das Volumen einer Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus der Fläche ihrer Grundfläche und ihrer Höhe:
Diese Pyramiden (ursprünglich und abgeschnitten) haben eine gemeinsame Höhe, sodass ihre Volumina mit den Flächen ihrer Grundflächen in Beziehung stehen. Die Mittellinie des ursprünglichen Dreiecks schneidet ein Dreieck ab, dessen Fläche viermal kleiner ist, das heißt:
Weitere Informationen hierzu finden Sie hier.
Das bedeutet, dass das Volumen der abgeschnittenen Pyramide viermal kleiner sein wird.
Es wird also gleich 20 sein.
Antwort: 20
* ein ähnliches Problem, es wird die Formel für die Fläche eines Dreiecks verwendet.
Das Volumen einer dreieckigen Pyramide beträgt 15. Die Ebene geht durch die Seite der Basis dieser Pyramide und schneidet die gegenüberliegende Seitenkante an einem Punkt, der sie im Verhältnis 1:2 teilt, gerechnet von der Spitze der Pyramide. Finden Sie das größte Volumen der Pyramiden, in das die Ebene die ursprüngliche Pyramide teilt.
Lasst uns eine Pyramide bauen und die Eckpunkte markieren.Markieren wir den Punkt E auf der Kante AS, sodass AE doppelt so groß ist wie ES (die Bedingung besagt, dass ES im Verhältnis 1 zu 2 zu AE steht), und konstruieren wir die angegebene Ebene, die durch die Kante AC und den Punkt E verläuft:
Lassen Sie uns analysieren, welches Volumen der Pyramide größer sein wird: EABC oder SEBC?
*Das Volumen einer Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus der Fläche ihrer Grundfläche und ihrer Höhe:
Wenn wir die beiden resultierenden Pyramiden betrachten und in beiden die Fläche EBC als Basis nehmen, wird deutlich, dass das Volumen der Pyramide AEBS größer sein wird als das Volumen der Pyramide SEBC. Warum?
Der Abstand von Punkt A zur EBC-Ebene ist größer als der Abstand von Punkt S. Und dieser Abstand spielt für uns die Rolle der Höhe.
Ermitteln wir also das Volumen der Pyramide EABC.
Das Volumen der ursprünglichen Pyramide ist uns gegeben; die Pyramiden SABC und EABC haben eine gemeinsame Basis. Wenn wir das Höhenverhältnis ermitteln, können wir das Volumen leicht bestimmen.
Aus dem Verhältnis der Segmente ES und AE ergibt sich, dass AE zwei Drittel von ES beträgt. Die Höhen der Pyramiden SABC und EABC stehen im gleichen Verhältnis -Die Höhe der Pyramide EABC entspricht 2/3 der Höhe der Pyramide SABC.
Also, wenn
Das
Antwort: 10
Das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide beträgt 6. Die Seite der Grundfläche beträgt 1. Finden Sie die Seitenkante.
IN richtige Pyramide Die Spitze wird in die Mitte der Basis projiziert.Lassen Sie uns zusätzliche Konstruktionen durchführen:
Wir können eine Seitenkante finden von rechtwinkliges Dreieck SOC. Dazu müssen Sie SO und OS kennen.
SO ist die Höhe der Pyramide, wir können sie mit der Volumenformel berechnen:
Berechnen wir die Fläche der Basis. Dies ist ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seite gleich 1. Die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks ist gleich der Fläche von sechs gleichseitigen Dreiecken mit derselben Seite, mehr dazu (Abschnitt 6), also:
Bedeutet
OS = BC = 1, da in einem regelmäßigen Sechseck das Segment, das seinen Mittelpunkt mit der Spitze verbindet, gleich der Seite dieses Sechsecks ist.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt also:
Antwort: 7
VolumenDas Volumen eines Tetraeders beträgt 200. Finden Sie das Volumen eines Polyeders, dessen Eckpunkte die Mittelpunkte der Kanten des gegebenen Tetraeders sind.
Das Volumen des angegebenen Polyeders ist gleich der Differenz zwischen den Volumina des ursprünglichen Tetraeders V 0 und vier gleichen Tetraedern, die jeweils durch Abschneiden einer Ebene erhalten werden, die durch die Mittelpunkte der Kanten mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt verläuft:
Lassen Sie uns herausfinden, was gleich dem Volumen geschnittenes Tetraeder.
Beachten Sie, dass das ursprüngliche Tetraeder und das „abgeschnittene“ Tetraeder ähnliche Körper sind. Es ist bekannt, dass das Verhältnis der Volumina ähnlicher Körper gleich k 3 ist, wobei k der Ähnlichkeitskoeffizient ist. In diesem Fall ist es gleich 2 (da alle linearen Abmessungen des ursprünglichen Tetraeders doppelt so groß sind wie die entsprechenden Abmessungen des geschnittenen Tetraeders):
Berechnen wir das Volumen des geschnittenen Tetraeders:
Somit ist das erforderliche Volumen gleich:
Antwort: 100
Die Oberfläche des Tetraeders beträgt 120. Finden Sie die Oberfläche des Polyeders, dessen Eckpunkte die Mittelpunkte der Kanten des gegebenen Tetraeders sind.
Erster Weg:
Die benötigte Fläche besteht aus 8 gleichseitigen Dreiecken, deren Seite halb so groß ist wie die Kante des ursprünglichen Tetraeders. Die Oberfläche des ursprünglichen Tetraeders besteht aus 16 solcher Dreiecke (auf jeder der 4 Flächen des Tetraeders befinden sich 4 Dreiecke), sodass die erforderliche Fläche der Hälfte der Oberfläche des gegebenen Tetraeders entspricht und 60 beträgt.
Zweiter Weg:
Da die Oberfläche des Tetraeders bekannt ist, können wir seine Kante ermitteln, dann die Länge der Kante des Polyeders bestimmen und dann seine Oberfläche berechnen.
Datum: 19.01.2015
Wenn Sie brauchen Schritt-für-Schritt-Anleitung Wie man einen Pyramidenscan baut, dann bitte ich Sie, an unserer Lektion teilzunehmen. Bewerten Sie zunächst, ob Ihre Pyramide auf ähnliche Weise wie in Abbildung 1 bereitgestellt wird.
Wenn Sie es um 90 Grad gedreht haben, befindet sich die in der Abbildung als „bekannte reale Werte“ markierte Kante in Ihrem Fall auf der Profilprojektion, die Sie erstellen müssen. In meinem Fall ist dies nicht erforderlich, wir haben bereits alle für den Bau notwendigen Mengen. Es ist wichtig, nicht zu vergessen, dass in dieser Zeichnung nur die Kanten SA und SD in der Aufprojektion in voller Größe dargestellt werden. Alle anderen werden mit Längenverzerrung projiziert. Darüber hinaus werden in der Draufsicht auch alle Seiten des Sechsecks in voller Größe projiziert. Lassen Sie uns auf dieser Grundlage fortfahren.
1. Für mehr Schönheit zeichnen wir die erste Linie horizontal (Abbildung 1). Dann zeichnen wir einen breiten Bogen mit dem Radius R=a, d.h. Radius gleich der Länge der Seitenkante der Pyramide. Lassen Sie uns Punkt A ermitteln. Mit einem Zirkel machen wir eine Kerbe in den Bogen von dort, mit dem Radius r=b (die Länge der Seite der Basis der Pyramide). Kommen wir zu Punkt B. Wir haben bereits die erste Seite der Pyramide!
2. Von Punkt B aus machen wir eine weitere Kerbe mit demselben Radius – wir erhalten Punkt C und verbinden ihn mit den Punkten B und S, so erhalten wir die zweite Seitenfläche der Pyramide (Abbildung 2).
3. Wiederholen Sie diese Schritte erforderliche Menge Mal (es hängt alles davon ab, wie viele Gesichter Ihre Pyramide hat) erhalten wir einen Fächer wie diesen (Abbildung 3). Bei korrekter Konstruktion sollten Sie alle Basispunkte erhalten und die extremen Punkte sollten wiederholt werden.
4. Dies ist nicht immer erforderlich, aber dennoch notwendig: Addieren Sie die Basis der Pyramide zur Entwicklung der Seitenfläche. Ich glaube, jeder, der bis hierher gelesen hat, weiß, wie man ein Sechs-Acht-Fünfeck zeichnet (wie man ein Fünfeck zeichnet, wird in der Lektion ausführlich beschrieben). Die Schwierigkeit liegt darin, dass die Figur an der richtigen Stelle gezeichnet werden muss Und zwar im richtigen Winkel. Wir zeichnen eine Achse durch die Mitte jeder Fläche. Vom Schnittpunkt mit der Grundgeraden tragen wir den Abstand m ein, wie in Abbildung 4 dargestellt. 
Indem wir durch diesen Punkt eine Senkrechte ziehen, erhalten wir die Achsen des zukünftigen Sechsecks. Aus dem resultierenden Mittelpunkt zeichnen wir einen Kreis, wie Sie es bei der Konstruktion der Draufsicht getan haben. Bitte beachten Sie, dass der Kreis durch zwei Punkte auf der Seitenfläche verlaufen muss (in meinem Fall sind das F und A)
5. Abbildung 5 zeigt die endgültige Ansicht der Entwicklung eines sechseckigen Prismas. 
Damit ist der Bau der Pyramide abgeschlossen. Bauen Sie Ihre Entwicklungen auf, lernen Sie, Lösungen zu finden, seien Sie akribisch und geben Sie niemals auf. Vielen Dank für Ihren Besuch. Vergessen Sie nicht, uns Ihren Freunden zu empfehlen:) Alles Gute!
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