Legea lui Hooke a tensiunii și compresiei. Diagrama tensiunii relative la deformare a oțelului moale

Legile lui R. Hooke și S. Poisson

Să luăm în considerare deformațiile tijei prezentate în Fig. 2.2.

Orez. 2.2 Longitudinal și deformatii transversale când este întins

Să notăm prin alungirea absolută a tijei. Când este întins, aceasta este o valoare pozitivă. Prin – deformare transversală absolută. Când este întins, aceasta este o valoare negativă. Semnele și se modifică în consecință în timpul compresiei.

Relaţie

(epsilon) sau , (2.2)

numită alungire relativă. Este pozitiv sub tensiune.

Relaţie

Sau , (2.3)

numită deformare transversală relativă. Este negativ când este întins.

R. Hooke a descoperit în 1660 o lege care spunea: „Ce este alungirea, așa este forța”. În scrierea modernă, legea lui R. Hooke este scrisă după cum urmează:

adică tensiunea este proporţională cu deformarea relativă. Aici, modulul de elasticitate al lui E. Young de primul fel este o constantă fizică în limitele legii lui R. Hooke. Pentru diverse materiale este diferit. De exemplu, pentru oțel este egal cu 2 10 6 kgf/cm 2 (2 10 5 MPa), pentru lemn – 1 10 5 kgf/cm 2 (1 10 4 MPa), pentru cauciuc – 100 kgf/cm 2 ( 10 MPa), etc.

Având în vedere că , a , obținem

unde este forța longitudinală la secțiunea de forță;

– lungimea secțiunii de putere;

– rigiditate in tensiune si compresie.

Adică deformația absolută este proporțională cu forța longitudinală care acționează asupra secțiunii de forță, lungimea acestei secțiuni și este invers proporțională cu rigiditatea la tracțiune-compresiune.

Când se calculează pe baza acțiunii sarcinilor externe

unde este forța longitudinală externă;

– lungimea secţiunii tijei asupra căreia acţionează. În acest caz se aplică principiul independenţei acţiunii forţelor*).

S. Poisson a demonstrat că raportul este constant, diferit pentru diferite materiale, adică

sau , (2.7)

unde este raportul lui S. Poisson. Aceasta este, în general, o valoare negativă. În cărțile de referință, valoarea sa este dată „modulo”. De exemplu, pentru oțel este 0,25...0,33, pentru fontă - 0,23...0,27, pentru cauciuc - 0,5, pentru plută - 0, adică. Cu toate acestea, pentru lemn poate fi mai mare de 0,5.

Studiu experimental procesele de deformare şi

Distrugerea întinse și tije comprimate

Omul de știință rus V.V. Kirpichev a demonstrat că deformațiile probelor similare din punct de vedere geometric sunt similare dacă forțele care acționează asupra lor sunt plasate în mod similar și că, pe baza rezultatelor testării unei probe mici, se pot judeca caracteristicile mecanice ale materialului. În acest caz, desigur, se ia în calcul factorul de scară, pentru care se introduce un factor de scară, determinat experimental.

Diagrama de tracțiune a oțelului moale

Încercările se efectuează pe mașini de tracțiune cu înregistrarea simultană a diagramei de rupere în coordonatele – forță, – deformare absolută (Fig. 2.3, a). Apoi experimentul este recalculat pentru a construi o diagramă condiționată în coordonate (Fig. 2.3, b).

Din diagramă (Fig. 2.3, a) se pot observa următoarele:

– Legea lui Hooke este valabilă până la punct;

– din punct în punct, deformațiile rămân elastice, dar legea lui Hooke nu mai este valabilă;

– de la punct la punct, deformațiile cresc fără a crește sarcina. Aici, cadrul de ciment al granulelor de ferită ale metalului este distrus, iar sarcina este transferată acestor boabe. Apar linii de forfecare Chernov–Luders (la un unghi de 45° față de axa probei);

– din punct în punct – etapa de călire secundară a metalului. În momentul în care sarcina atinge un maxim, apoi apare o îngustare în secțiunea slăbită a probei - „gâtul”;

– la punctul – proba este distrusă.

Orez. 2.3 Diagrame de rupere a oțelului sub tensiune și compresiune

Diagramele vă permit să obțineți următoarele caracteristici mecanice principale ale oțelului:

- limita de proporționalitate - cea mai mare tensiune, până la care este valabilă legea lui Hooke (2100...2200 kgf/cm 2 sau 210...220 MPa);

– limită elastică – efortul cel mai mare la care deformările rămân încă elastice (2300 kgf/cm 2 sau 230 MPa);

– limita de curgere – efort la care deformarile cresc fara cresterea sarcinii (2400 kgf/cm 2 sau 240 MPa);

- rezistență la tracțiune – solicitarea corespunzătoare celei mai mari sarcini suportate de eșantion în timpul experimentului (3800...4700 kgf/cm 2 sau 380...470 MPa);

Raportul dintre alungirea absolută a unei tije și lungimea sa inițială se numește alungire relativă (- epsilon) sau deformare longitudinală. Deformarea longitudinală este o mărime adimensională. Formula de deformare fără dimensiuni:

În tensiune, deformarea longitudinală este considerată pozitivă, iar în compresie, este considerată negativă.
Dimensiunile transversale ale tijei se modifică, de asemenea, ca urmare a deformării; atunci când sunt întinse, scad, iar când sunt comprimate, cresc. Dacă materialul este izotrop, atunci deformațiile sale transversale sunt egale:
.
S-a stabilit experimental că în timpul tensiunii (compresiunii) în limitele deformațiilor elastice, raportul dintre deformația transversală și longitudinală este o valoare constantă pentru un material dat. Modulul raportului dintre deformarea transversală și longitudinală, numit raportul lui Poisson sau raportul deformarii transversale, se calculează prin formula:

Pentru diferite materiale, raportul lui Poisson variază în anumite limite. De exemplu, pentru plută, pentru cauciuc, pentru oțel, pentru aur.

legea lui Hooke
Forța elastică care apare într-un corp în timpul deformării sale este direct proporțională cu mărimea acestei deformări.
Pentru o tijă de tracțiune subțire, legea lui Hooke are forma:

Aici, este forța cu care tija este întinsă (comprimată), este alungirea (compresiunea) absolută a tijei și este coeficientul de elasticitate (sau rigiditate).
Coeficientul de elasticitate depinde atât de proprietățile materialului, cât și de dimensiunile tijei. Este posibil să izolați dependența de dimensiunile tijei (aria secțiunii transversale și lungimea) în mod explicit scriind coeficientul de elasticitate ca

Mărimea se numește modulul elastic de primul fel sau modulul Young și este o caracteristică mecanică a materialului.
Dacă se introduce alungirea relativă

Și stresul normal în secțiune transversală

Apoi legea lui Hooke în unități relative va fi scrisă ca

În această formă este valabil pentru orice volum mic de material.
De asemenea, atunci când se calculează tije drepte, se folosește notația legii lui Hooke în formă relativă

Modulul Young
Modulul Young (modulul elastic) - cantitate fizica, care caracterizează proprietățile unui material de a rezista la tensiune/compresie în timpul deformării elastice.
Se calculează modulul Young în felul următor:

Unde:
E - modul elastic,
F - putere,
S este aria suprafeței pe care este distribuită forța,
l este lungimea tijei deformabile,
x este modulul de modificare a lungimii tijei ca urmare a deformării elastice (măsurat în aceleași unități cu lungimea l).
Folosind modulul lui Young, se calculează viteza de propagare a undei longitudinale într-o tijă subțire:

Unde este densitatea substanței.
coeficientul lui Poisson
Raportul lui Poisson (notat ca sau) - valoare absolută raportul dintre deformația relativă transversală și longitudinală a unei probe de material. Acest coeficient nu depinde de dimensiunea corpului, ci de natura materialului din care este realizată proba.
Ecuația
,
Unde
- Coeficientul lui Poisson;
- deformare in sens transversal (negativa pentru tensiunea axiala, pozitiva pentru compresia axiala);
- deformare longitudinală (pozitivă pentru tensiune axială, negativă pentru compresie axială).

Raportul dintre alungirea absolută a unei tije și lungimea sa inițială se numește alungire relativă (- epsilon) sau deformare longitudinală. Deformarea longitudinală este o mărime adimensională. Formula de deformare fără dimensiuni:

În tensiune, deformarea longitudinală este considerată pozitivă, iar în compresie, este considerată negativă.
Dimensiunile transversale ale tijei se modifică, de asemenea, ca urmare a deformării; atunci când sunt întinse, scad, iar când sunt comprimate, cresc. Dacă materialul este izotrop, atunci deformațiile sale transversale sunt egale:
.
S-a stabilit experimental că în timpul tensiunii (compresiunii) în limitele deformațiilor elastice, raportul dintre deformația transversală și longitudinală este o valoare constantă pentru un material dat. Modulul raportului dintre deformarea transversală și longitudinală, numit raportul lui Poisson sau raportul deformarii transversale, se calculează prin formula:

Pentru diferite materiale, raportul lui Poisson variază în anumite limite. De exemplu, pentru plută, pentru cauciuc, pentru oțel, pentru aur.

legea lui Hooke
Forța elastică care apare într-un corp în timpul deformării sale este direct proporțională cu mărimea acestei deformări.
Pentru o tijă de tracțiune subțire, legea lui Hooke are forma:

Aici, este forța cu care tija este întinsă (comprimată), este alungirea (compresiunea) absolută a tijei și este coeficientul de elasticitate (sau rigiditate).
Coeficientul de elasticitate depinde atât de proprietățile materialului, cât și de dimensiunile tijei. Este posibil să izolați dependența de dimensiunile tijei (aria secțiunii transversale și lungimea) în mod explicit scriind coeficientul de elasticitate ca

Mărimea se numește modulul elastic de primul fel sau modulul Young și este o caracteristică mecanică a materialului.
Dacă se introduce alungirea relativă

Și stresul normal în secțiune transversală

Apoi legea lui Hooke în unități relative va fi scrisă ca

În această formă este valabil pentru orice volum mic de material.
De asemenea, atunci când se calculează tije drepte, se folosește notația legii lui Hooke în formă relativă

Modulul Young
Modulul Young (modulul de elasticitate) este o mărime fizică care caracterizează proprietățile unui material de a rezista la tensiune/compresie în timpul deformării elastice.
Modulul lui Young se calculează după cum urmează:

Unde:
E - modul elastic,
F - putere,
S este aria suprafeței pe care este distribuită forța,
l este lungimea tijei deformabile,
x este modulul de modificare a lungimii tijei ca urmare a deformării elastice (măsurat în aceleași unități cu lungimea l).
Folosind modulul lui Young, se calculează viteza de propagare a undei longitudinale într-o tijă subțire:

Unde este densitatea substanței.
coeficientul lui Poisson
Raportul lui Poisson (notat cu sau) este valoarea absolută a raportului dintre deformația relativă transversală și longitudinală a unei probe de material. Acest coeficient nu depinde de dimensiunea corpului, ci de natura materialului din care este realizată proba.
Ecuația
,
Unde
- Coeficientul lui Poisson;
- deformare in sens transversal (negativa pentru tensiunea axiala, pozitiva pentru compresia axiala);
- deformare longitudinală (pozitivă pentru tensiune axială, negativă pentru compresie axială).

Când forțele de tracțiune acționează de-a lungul axei grinzii, lungimea acesteia crește, iar dimensiunile transversale scad. Când acționează forțele de compresiune, are loc fenomenul opus. În fig. Figura 6 prezintă un fascicul întins de două forțe P. Ca urmare a tensiunii, fasciculul s-a prelungit cu o cantitate Δ l, Care e numit alungire absolută,și primim contracție transversală absolută Δа .

Se numește raportul dintre alungirea și scurtarea absolută față de lungimea sau lățimea inițială a grinzii deformare relativă. În acest caz, se numește deformarea relativă deformare longitudinală, A - deformare transversală relativă. Raportul dintre deformarea transversală relativă și deformarea longitudinală relativă se numește coeficientul lui Poisson: (3.1)

Raportul lui Poisson pentru fiecare material ca constantă elastică este determinat experimental și se află în limitele: ; pentru oțel.

În limitele deformațiilor elastice, s-a stabilit că solicitarea normală este direct proporțională cu deformația longitudinală relativă. Această dependență se numește legea lui Hooke:

, (3.2)

Unde E- coeficient de proporționalitate, numit modulul de elasticitate normal.

Tensiunile și tensiunile în timpul tensiunii și compresiunii sunt legate între ele printr-o relație liniară, care se numește legea lui Hooke , numit după fizicianul englez R. Hooke (1653-1703), care a stabilit această lege.
Legea lui Hooke poate fi formulată după cum urmează: tensiunea normală este direct proporţională cu alungirea sau scurtarea relativă .

Din punct de vedere matematic, această dependență se scrie după cum urmează:

σ = Eε.

Aici E – coeficientul de proporționalitate, care caracterizează rigiditatea materialului lemnos, adică capacitatea acestuia de a rezista la deformare; el este numit modulul longitudinal de elasticitate , sau modulul de elasticitate de primul fel .
Modulul de elasticitate, ca și tensiunea, este exprimat în pascali (Pa) .

Valori E pentru diferite materiale sunt stabilite experimental, iar valorile acestora pot fi găsite în cărțile de referință corespunzătoare.
Deci, pentru oțel E = (1,96...2,16) x 105 MPa, pentru cupru E = (1,00...1,30) x 105 MPa etc.

Trebuie remarcat faptul că legea lui Hooke este valabilă doar în anumite limite de încărcare.
Dacă substituim valorile obținute anterior ale alungirii relative și tensiunii în formula legii lui Hooke: ε = Δl/l ,σ = N/A , atunci puteți obține următoarea dependență:

Δl = N l / (E A).

Produsul modulului elastic și al ariei secțiunii transversale E × A , aflat la numitor, se numește rigiditatea secțiunii în tensiune și compresiune; caracterizează atât proprietățile fizice și mecanice ale materialului grinzii, cât și dimensiunile geometrice ale secțiunii transversale a acestei grinzi.

Formula de mai sus poate fi citită după cum urmează: alungirea sau scurtarea absolută a unei grinzi este direct proporțională cu forța longitudinală și lungimea grinzii și invers proporțională cu rigiditatea secțiunii grinzii.
Expresie E A/l numit rigiditatea grinzii în tensiune și compresiune .

Formulele de mai sus ale legii lui Hooke sunt valabile numai pentru grinzile și secțiunile lor care au o secțiune transversală constantă, realizate din același material și la o forță constantă. Pentru o grindă care are mai multe secțiuni care diferă în ceea ce privește materialul, dimensiunile secțiunii transversale și forța longitudinală, modificarea lungimii întregii grinzi este determinată ca suma algebrică a prelungirii sau scurtării secțiunilor individuale:

Δl = Σ (Δl i)

Deformare

Deformare(Engleză) deformare) este o modificare a formei și dimensiunii unui corp (sau a unei părți a corpului) sub influența forțelor externe, cu modificări de temperatură, umiditate, transformări de fază și alte influențe care provoacă o modificare a poziției particulelor corpului. Pe măsură ce tensiunea crește, deformarea poate duce la fractură. Capacitatea materialelor de a rezista la deformare și distrugere sub influența tipuri variate sarcinile sunt caracterizate proprietăți mecanice aceste materiale.

La apariția cutare sau cutare tip de deformare Natura tensiunilor aplicate organismului are o mare influență. Singur procesele de deformare sunt asociate cu acţiunea predominantă a componentei tangenţiale a tensiunii, altele - cu acţiunea componentei sale normale.

Tipuri de deformare

După natura sarcinii aplicate corpului tipuri de deformareîmpărțit astfel:

• Tensiune la tracțiune;
• Tensiune de compresie;
• Deformare prin forfecare (sau forfecare);
• Deformare la torsiune;
• Deformare la încovoiere.

LA cele mai simple tipuri de deformare includ: deformare la tracțiune, deformare prin compresie, deformare prin forfecare. De asemenea, se disting următoarele tipuri de deformare: deformarea compresiei integrale, torsiune, încovoiere, care sunt diverse combinații ale celor mai simple tipuri de deformare (forfecare, compresie, tensiune), deoarece forța aplicată unui corp supus deformarii este de obicei nu perpendicular pe suprafața sa, ci direcționat într-un unghi , ceea ce provoacă atât tensiuni normale, cât și forfecare. Studierea tipurilor de deformare Sunt implicate științe precum fizica stării solide, știința materialelor și cristalografia.

În solide, în special metale, există două tipuri principale de deformaţii- deformare elastică și plastică, entitate fizică care sunt diferite.

Forfecarea este un tip de deformare atunci când în secțiuni transversale apar numai forțe de forfecare.. O astfel de stare tensionată corespunde acțiunii asupra tijei a două poziții egale, direcționate opus și infinit apropiate. forțe tăietoare(Fig. 2.13, a, b), provocând o forfecare de-a lungul unui plan situat între forțe.

Orez. 2.13. Deformare și forfecare

Forfecarea este precedată de deformare - deformare unghi dreptîntre două drepte reciproc perpendiculare. În același timp, pe marginile elementului selectat (Fig. 2.13, V) apar tensiuni tangenţiale. Se numește cantitatea de deplasare a fețelor schimbare absolută. Valoarea deplasării absolute depinde de distanță hîntre planurile de acţiune ale forţelor F. Deformarea prin forfecare este caracterizată mai pe deplin de unghiul cu care se modifică unghiurile drepte ale elementului - deplasare relativă:

. (2.27)

Folosind metoda secțiunilor discutată anterior, este ușor de verificat că doar forțele tăietoare apar pe fețele laterale ale elementului selectat. Q=F, care sunt tensiunile tangențiale rezultate:

Ținând cont de faptul că eforturile de forfecare sunt distribuite uniform peste secțiune transversală A, valoarea lor este determinată de relația:

. (2.29)

S-a stabilit experimental că, în limitele deformațiilor elastice, mărimea tensiunilor tangențiale este proporțională cu forfecarea relativă. (Legea lui Hooke sub forfecare):

Unde G– modulul de elasticitate sub forfecare (modul de elasticitate de al doilea fel).

Există o relație între elasticitatea longitudinală și modulele de forfecare

,

unde este raportul lui Poisson.

Valori aproximative ale modulului de elasticitate la forfecare, MPa: oțel – 0,8·10 5 ; fontă - 0,45 10 5; cupru – 0,4·10 4; aluminiu – 0,26·10 5; anvelope - 4.

2.4.1.1. Calcule de rezistență la forfecare

Forfecarea pură în structurile reale este extrem de dificil de implementat, deoarece din cauza deformării elementelor conectate, are loc o îndoire suplimentară a tijei, chiar și la o distanță relativ mică între planurile de acțiune a forței. Cu toate acestea, într-un număr de structuri, tensiunile normale în secțiuni sunt mici și pot fi neglijate. În acest caz, condiția pentru fiabilitatea rezistenței piesei are forma:

, (2.31)

unde sunt tensiunile de forfecare admise, care sunt de obicei atribuite în funcție de valoarea tensiunii de întindere admisibile:

– pentru materiale plastice sub sarcină statică =(0,5...0,6) ;

– pentru cele fragile – =(0,7 ... 1,0) .

2.4.1.2. Calcule de rigiditate la forfecare

Acestea se reduc la limitarea deformațiilor elastice. Prin rezolvarea în comun a expresiei (2.27)–(2.30), se determină mărimea deplasării absolute:

, (2.32)

unde este rigiditatea la forfecare.

Torsiune

2.4.2.1. Construirea diagramelor de cuplu

2.4.2.2. Deformare torsională

2.4.2.4. Caracteristicile geometrice ale secțiunilor

2.4.2.5. Calcule de rezistență și rigiditate la torsiune

Torsiunea este un tip de deformare atunci când este singur factor de putere– cuplu.

Deformarea de torsiune are loc atunci când o grindă este încărcată cu perechi de forțe, ale căror planuri de acțiune sunt perpendiculare pe axa sa longitudinală.

2.4.2.1. Construirea diagramelor de cuplu

Pentru a determina tensiunile și deformațiile grinzii, se construiește o diagramă de cuplu care arată distribuția cuplurilor de-a lungul lungimii grinzii. Prin aplicarea metodei secțiunilor și luând în considerare orice piesă aflată în echilibru, va deveni evident că momentul forțelor elastice interne (cuplul) trebuie să echilibreze acțiunea momentelor externe (de rotație) pe partea grinzii luate în considerare. Se obișnuiește să se considere un moment pozitiv dacă observatorul privește secțiunea luată în considerare din partea normalului extern și vede un cuplu. T, îndreptată în sens invers acelor de ceasornic. În direcția opusă, momentului i se atribuie un semn minus.

De exemplu, condiția de echilibru pentru partea stângă a fasciculului are forma (Fig. 2.14):

– în secțiune transversală A-A:

– în secțiune transversală B-B:

.

Limitele secțiunilor la construirea diagramei sunt planurile de acțiune ale cuplurilor.

Orez. 2.14. Schema de calcul grindă (arbore) în torsiune

2.4.2.2. Deformare torsională

Dacă este pornit suprafata laterala aplicați o plasă pe o tijă cu secțiune transversală rotundă (Fig. 2.15, A) din cercuri și generatoare echidistante și se aplică perechi de forțe cu momente la capete libere Tîn planuri perpendiculare pe axa tijei, apoi cu deformare mică (Fig. 2.15, b) poate fi găsit:

Orez. 2.15. Model de deformare la torsiune

· generatoarele cilindrului se transformă în linii elicoidale pas mare;

· pătratele formate de grilă se transformă în romburi, adică. are loc o schimbare a secțiunilor transversale;

· secțiunile, rotunde și plate înainte de deformare, își păstrează forma după deformare;

· distanța dintre secțiunile transversale practic nu se modifică;

· o secțiune se rotește față de alta cu un anumit unghi.

Pe baza acestor observații, teoria torsiunei fasciculului se bazează pe următoarele ipoteze:

· secțiunile transversale ale grinzii, plane și normale față de axa acesteia înainte de deformare, rămân plane și normale față de ax după deformare;

Secțiuni transversale egal distanțate se rotesc una față de alta cu unghiuri egale;

· razele secțiunilor transversale nu se îndoaie în timpul deformării;

· în secțiuni transversale apar doar tensiuni de forfecare. Tensiuni normale mic. Lungimea fasciculului poate fi considerată neschimbată;

· materialul grinzii în timpul deformării respectă legea lui Hooke în forfecare: .

În conformitate cu aceste ipoteze, torsiunea unei tije cu secțiune transversală circulară este reprezentată ca rezultat al forfecelor cauzate de rotirea reciprocă a secțiunilor.

Pe o tijă de secțiune transversală circulară cu o rază r, etanșat la un capăt și încărcat cu cuplu T la celălalt capăt (Fig. 2.16, A), să notăm generatria pe suprafața laterală ANUNȚ, care sub influența momentului va lua poziția AD 1. La distanta Z din încorporare, selectați un element cu lungime dZ. Ca urmare a torsiunii, capătul din stânga acestui element se va roti după unghi, iar capătul drept după unghi (). formativ Soare elementul va lua poziția B 1 C 1, deviând de la poziția inițială cu un unghi. Datorită micii acestui unghi

Raportul reprezintă unghiul de răsucire pe unitatea de lungime a tijei și se numește unghi relativ de răsucire. Apoi

Orez. 2.16. Schema de calcul pentru determinarea tensiunilor
la torsiunea unei tije de sectiune transversala circulara

Ținând cont de (2.33), legea lui Hooke sub torsiune poate fi descrisă prin expresia:

. (2.34)

Datorită ipotezei că razele secțiunilor transversale circulare nu se îndoaie, solicitările de forfecare tangențiale în vecinătatea oricărui punct al corpului situat la distanță de centru (Fig. 2.16, b), sunt egale cu produsul

acestea. proporțional cu distanța sa față de axă.

Valoarea unghiului relativ de răsucire conform formulei (2.35) poate fi găsită din condiția ca forța circumferențială elementară () pe o zonă elementară de dimensiune dA, situat la o distanta de axa grinzii, creeaza un moment elementar fata de axa (Fig. 2.16, b):

Suma momentelor elementare care acționează pe întreaga secțiune transversală A, egal cu cuplul M Z. Asumand:

.

Integrala este o caracteristică pur geometrică și se numește momentul polar de inerție al secțiunii.