O prismă dreaptă se numește corectă dacă bazele ei. Direct Prism - Hypermarket de cunoștințe
Citeste si
O ramură a matematicii care studiază proprietățile diferitelor forme (puncte, linii, unghiuri, obiecte bidimensionale și tridimensionale), dimensiunile și dimensiunile acestora. poziție relativă. Pentru confortul predării, geometria este împărțită în planimetrie și geometrie solidă. ÎN… … Enciclopedia Collier
Geometria spațiilor de dimensiune mai mare de trei; termenul se aplică acelor spații a căror geometrie a fost dezvoltată inițial pentru cazul celor trei dimensiuni și abia apoi generalizată la numărul de dimensiuni n> 3, în primul rând spațiu euclidian, ... ... Enciclopedie matematică
Geometria euclidiană cu dimensiuni N este o generalizare a geometriei euclidiene la un spațiu de mai multe dimensiuni. Deși spațiul fizic este tridimensional, iar simțurile umane sunt concepute pentru a percepe trei dimensiuni, N este dimensional ... ... Wikipedia
Acest termen are alte semnificații, vezi Pyramidatsu (sensuri). Fiabilitatea acestei secțiuni a articolului a fost pusă la îndoială. Este necesar să se verifice acuratețea faptelor menționate în această secțiune. Pot exista explicații pe pagina de discuții... Wikipedia
- (Constructive Solid Geometry, CSG) tehnologie utilizată în modelarea solidelor. Geometria blocului structural este adesea, dar nu întotdeauna, o tehnică de modelare în grafica 3D și CAD. Vă permite să creați o scenă complexă sau... Wikipedia
Geometria solidă constructivă (CSG) este o tehnologie utilizată în modelarea solidelor. Geometria blocului structural este adesea, dar nu întotdeauna, o tehnică de modelare în grafica 3D și CAD. Ea ...... Wikipedia
Acest termen are alte semnificații, vezi Domeniul de aplicare (sensuri). Volumul este o funcție aditivă a unei mulțimi (măsuri) care caracterizează capacitatea unei regiuni a spațiului pe care o ocupă. Inițial, a apărut și a fost aplicat fără stricte ... ... Wikipedia
Tip de cub Poliedru regulat Față pătrat Varfurile Muchii Fețe ... Wikipedia
Volumul este o funcție aditivă a unei mulțimi (măsuri) care caracterizează capacitatea unei regiuni a spațiului pe care o ocupă. Inițial, a apărut și a fost aplicat fără o definiție strictă în raport cu corpurile tridimensionale ale spațiului euclidian tridimensional. ... ... Wikipedia
O porțiune de spațiu delimitată de o colecție de un număr finit de poligoane plane (vezi GEOMETRIE) conectate în așa fel încât fiecare latură a oricărui poligon să fie o latură a unui alt poligon (numit ... ... Enciclopedia Collier
Cărți
- Un set de mese. Geometrie. Clasa 10. 14 tabele + metodologie, . Tabelele sunt imprimate pe carton poligrafic gros de 680 x 980 mm. Brosura cu instrucțiuni pentru profesor. Album de studiu de 14 coli...
Poliedre
Obiectul principal de studiu al stereometriei sunt corpurile tridimensionale. Corp este o parte a spațiului delimitată de o suprafață.
poliedru Se numește un corp a cărui suprafață este formată dintr-un număr finit de poligoane plane. Un poliedru se numește convex dacă se află pe o parte a planului fiecărui poligon plat de pe suprafața sa. o parte comună un astfel de plan și suprafață a unui poliedru se numește margine. Fețele unui poliedru convex sunt poligoane convexe plate. Laturile fețelor se numesc marginile poliedrului, și vârfurile vârfurile poliedrului.
De exemplu, un cub este format din șase pătrate care sunt fețele sale. Conține 12 muchii (laturile pătratelor) și 8 vârfuri (vârfurile pătratelor).
Cele mai simple poliedre sunt prismele și piramidele, pe care le vom studia în continuare.
Prismă
Definiția și proprietățile unei prisme
prismă se numește poliedru format din două poligoane plate situate în planuri paralele combinate prin translație paralelă și toate segmentele care leagă punctele corespunzătoare acestor poligoane. Poligoanele sunt numite baze de prisme, iar segmentele care leagă vârfurile corespunzătoare ale poligoanelor sunt marginile laterale ale prismei.
Înălțimea prismei numită distanța dintre planele bazelor sale (). Se numește un segment care leagă două vârfuri ale unei prisme care nu aparțin aceleiași fețe diagonala prismei(). Prisma se numește n-cărbune dacă baza sa este un n-gon.
Orice prismă are următoarele proprietăți, care decurg din faptul că bazele prismei sunt combinate prin translație paralelă:
1. Bazele prismei sunt egale.
2. Marginile laterale ale prismei sunt paralele și egale.
Suprafața unei prisme este alcătuită din baze și suprafata laterala. Suprafața laterală a prismei este formată din paralelograme (acest lucru rezultă din proprietățile prismei). Aria suprafeței laterale a unei prisme este suma suprafețelor fețelor laterale.
prismă dreaptă
Prisma se numește Drept dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze. În caz contrar, se numește prisma oblic.
Fețele unei prisme drepte sunt dreptunghiuri. Înălțimea unei prisme drepte este egală cu fețele sale laterale.
suprafața prismă completă este suma suprafeței laterale și a ariilor bazelor.
Prisma corectă se numește prismă dreaptă cu un poligon regulat la bază.
Teorema 13.1. Aria suprafeței laterale a unei prisme drepte este egală cu produsul perimetrului și înălțimea prismei (sau, echivalent, cu marginea laterală).
Dovada. Fețele laterale ale unei prisme drepte sunt dreptunghiuri ale căror baze sunt laturile poligoanelor de la bazele prismei, iar înălțimile sunt marginile laterale ale prismei. Atunci, prin definiție, aria suprafeței laterale este:
,
unde este perimetrul bazei unei prisme drepte.
Paralelipiped
Dacă paralelogramele se află la bazele unei prisme, atunci se numește paralelipiped. Toate fețele unui paralelipiped sunt paralelograme. În acest caz, fețele opuse ale paralelipipedului sunt paralele și egale.
Teorema 13.2. Diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct, iar punctul de intersecție este împărțit la jumătate.
Dovada. Luați în considerare două diagonale arbitrare, de exemplu, și . Deoarece fețele paralelipipedului sunt paralelograme, apoi și , ceea ce înseamnă că după T aproximativ două drepte paralele cu a treia . În plus, aceasta înseamnă că liniile și se află în același plan (planul). Acest plan intersectează plane paralele și de-a lungul liniilor paralele și . Astfel, un patrulater este un paralelogram, iar prin proprietatea unui paralelogram, diagonalele sale și se intersectează și punctul de intersecție este împărțit la jumătate, ceea ce trebuia să fie demonstrat.
Un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi se numește cuboid. Toate fețele unui cuboid sunt dreptunghiuri. Lungimile muchiilor neparalele ale unui paralelipiped dreptunghiular se numesc dimensiunile sale liniare (măsurători). Există trei dimensiuni (lățime, înălțime, lungime).
Teorema 13.3. Într-un cuboid, pătratul oricărei diagonale este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale 
(demonstrat prin aplicarea de două ori a lui Pitagora).
cuboid, în care toate muchiile sunt egale, se numește cub.
Sarcini
13.1 Câte diagonale are n- prismă de carbon
13.2 Într-o prismă triunghiulară înclinată, distanțele dintre muchiile laterale sunt 37, 13 și 40. Aflați distanța dintre fața laterală mai mare și muchia laterală opusă.
13.3 Prin latura bazei inferioare a unei prisme triunghiulare regulate, este trasat un plan care intersectează fețele laterale de-a lungul segmentelor, unghiul dintre care este . Aflați unghiul de înclinare al acestui plan față de baza prismei.
Definiție. Prismă- acesta este un poliedru, ale cărui vârfuri sunt situate în două plane paralele, iar în aceleași două plane există două fețe ale prismei, care sunt poligoane egale cu laturile respectiv paralele și toate muchiile care nu se află în acestea planurile sunt paralele.
Se numesc două fețe egale baze de prisme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Toate celelalte fețe ale prismei sunt numite fetele laterale(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Toate fețele laterale se formează suprafața laterală a prismei .
Toate fețele laterale ale unei prisme sunt paralelograme .
Marginile care nu se află la baze se numesc margini laterale ale prismei ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Diagonala prismei se numește un segment, ale cărui capete sunt două vârfuri ale prismei care nu se află pe una dintre fețele sale (AD 1).
Se numește lungimea segmentului care leagă bazele prismei și perpendicular pe ambele baze în același timp înălțimea prismei .
Desemnare:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Mai intai, in ordinea parcurgerii, sunt indicate varfurile unei baze, iar apoi, in aceeasi ordine, varfurile celeilalte; capetele fiecaruia coasta laterala sunt notate cu aceleași litere, numai vârfurile aflate într-o bază sunt notate cu litere fără index, iar în cealaltă - cu index)
Numele prismei este asociat cu numărul de unghiuri din figura aflată la baza acesteia, de exemplu, în figura 1, baza este un pentagon, deci prisma se numește prismă pentagonală. Dar de atunci o astfel de prismă are 7 fețe, apoi ea heptaedru(2 fețe sunt bazele prismei, 5 fețe sunt paralelograme, sunt fețele sale laterale)
Printre prismele drepte se remarcă vedere privată: prisme regulate.
Se numește prismă dreaptă corect, dacă temeiurile sale poligoane regulate.
Paralelipiped
Paralelipiped- Aceasta este o prismă patruunghiulară, la baza căreia se află un paralelogram (paralepiped oblic). Paralepipedul drept- un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe planurile bazei.cuboid- un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi.
Proprietăți și teoreme:
Unele proprietăți ale unui paralelipiped sunt similare cu proprietățile binecunoscute ale unui paralelogram.Un paralelipiped dreptunghiular având dimensiuni egale se numește cub
.Un cub are toate fețele pătrate egale.Pătratul unei diagonale este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale 
,
unde d este diagonala pătratului;
a - latura pătratului.
Ideea de prismă este dată de:
- variat structuri arhitecturale;
- Jucării pentru copii;
- cutii de ambalare;
- articole de designer etc.
Suprafața totală și laterală a prismei
Pătrat suprafata intreaga prisme este suma ariilor tuturor fețelor sale Suprafata laterala se numește suma ariilor fețelor sale laterale. bazele prismei sunt poligoane egale, apoi ariile lor sunt egale. De aceeaS complet \u003d S lateral + 2S principal,
Unde S plin- suprafata totala, partea S- suprafata laterala, S principal- suprafata de baza
Aria suprafeței laterale a unei prisme drepte este egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea prismei.
partea S\u003d P principal * h,
Unde partea S este aria suprafeței laterale a unei prisme drepte,
P principal - perimetrul bazei unei prisme drepte,
h este înălțimea prismei drepte, egală cu marginea laterală.
Volumul prismei
Volumul unei prisme este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.
Lectura: Prisma, bazele sale, marginile laterale, înălțimea, suprafata laterala; prismă dreaptă; prismă dreaptă
Prismă
Dacă ați învățat cu noi figuri plate din întrebările anterioare, atunci sunteți complet pregătit să studiați figurile tridimensionale. Primul solid pe care îl vom învăța va fi o prismă.
Prismă este un corp voluminos care are un numar mare de chipuri.
Această figură are două poligoane la baze, care sunt situate în planuri paralele, iar toate fețele laterale sunt sub forma unui paralelogram.
Fig 1. Fig. 2
Deci, să ne dăm seama în ce constă o prismă. Pentru a face acest lucru, acordați atenție Fig.1
După cum am menționat mai devreme, prisma are două baze care sunt paralele una cu cealaltă - acestea sunt pentagoanele ABCEF și GMNJK. În plus, aceste poligoane sunt egale între ele.
Toate celelalte fețe ale prismei se numesc fețe laterale - sunt formate din paralelograme. De exemplu, BMNC, AGKF, FKJE etc.
Suprafața comună a tuturor fețelor laterale se numește suprafata laterala.
Fiecare pereche de fețe adiacente are o latură comună. O astfel de latură comună se numește margine. De exemplu, MB, CE, AB etc.
Dacă bazele superioare și inferioare ale prismei sunt conectate printr-o perpendiculară, atunci se va numi înălțimea prismei. În figură, înălțimea este marcată ca o linie dreaptă OO 1.
Există două tipuri principale de prisme: oblică și dreaptă.
Dacă marginile laterale ale prismei nu sunt perpendiculare pe baze, atunci se numește o astfel de prismă oblic.
Dacă toate marginile unei prisme sunt perpendiculare pe baze, atunci se numește o astfel de prismă Drept.
Dacă bazele unei prisme sunt poligoane regulate (cele cu laturile egale), atunci o astfel de prismă se numește corect.
Dacă bazele prismei nu sunt paralele între ele, atunci o astfel de prismă va fi numită trunchiată.
Îl puteți vedea în Fig.2
Formule pentru găsirea volumului, aria unei prisme
Există trei formule de bază pentru găsirea volumului. Ele diferă unele de altele prin aplicarea lor:
Formule similare pentru găsirea suprafeței unei prisme:
În programa școlară pentru cursul de geometrie solidă, studiul figurilor tridimensionale începe de obicei cu un corp geometric simplu - un poliedru prismă. Rolul bazelor sale este îndeplinit de 2 poligoane egale situate în planuri paralele. Un caz special este o prismă patruunghiulară obișnuită. Bazele sale sunt 2 patrulatere regulate identice, față de care laturile sunt perpendiculare, având formă de paralelograme (sau dreptunghiuri dacă prisma nu este înclinată).
Cum arată o prismă
O prismă patruunghiulară obișnuită este un hexagon, la baza căruia sunt 2 pătrate, iar fețele laterale sunt reprezentate prin dreptunghiuri. Un alt nume pentru asta figură geometrică- un paralelipiped drept.
Mai jos este prezentat un desen care prezintă o prismă pătrangulară.
Se vede si in poza elemente esentiale, care alcătuiesc corpul geometric. Ele sunt denumite în mod obișnuit ca:
Uneori, în problemele de geometrie, puteți găsi conceptul de secțiune. Definiția va suna astfel: o secțiune reprezintă toate punctele unui corp volumetric care aparțin planului de tăiere. Secțiunea este perpendiculară (traversează marginile figurii la un unghi de 90 de grade). Pentru o prismă dreptunghiulară se ia în considerare și o secțiune diagonală (numărul maxim de secțiuni care pot fi construite este de 2), trecând prin 2 muchii și diagonalele bazei.
Dacă secțiunea este desenată în așa fel încât planul de tăiere să nu fie paralel nici cu bazele, nici cu fețele laterale, rezultatul este o prismă trunchiată.
Pentru a găsi elementele prismatice reduse sunt folosite diverse rapoarte și formule. Unele dintre ele sunt cunoscute din cursul planimetriei (de exemplu, pentru a găsi aria bazei unei prisme, este suficient să amintim formula pentru aria unui pătrat).
Suprafața și volumul
Pentru a determina volumul unei prisme folosind formula, trebuie să cunoașteți aria bazei și înălțimea biților:
V = Sprim h
Deoarece baza unei prisme tetraedrice obișnuite este un pătrat cu latura A, Puteți scrie formula într-o formă mai detaliată:
V = a² h
Dacă vorbim despre un cub - o prismă obișnuită cu lungime, lățime și înălțime egale, volumul se calculează după cum urmează:
Pentru a înțelege cum să găsiți suprafața laterală a unei prisme, trebuie să vă imaginați măturarea acesteia.
Din desen se poate observa că suprafața laterală este formată din 4 dreptunghiuri egale. Aria sa este calculată ca produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea figurii:
Sside = Poz h
Deoarece perimetrul unui pătrat este P = 4a, formula ia forma:
Sside = 4a h
Pentru cub:
Sside = 4a²
Pentru a calcula suprafața totală a unei prisme, adăugați 2 zone de bază în zona laterală:
Plin = Sside + 2Sbase
Așa cum este aplicată unei prisme regulate patruunghiulare, formula are forma:
Sfull = 4a h + 2a²
Pentru suprafața unui cub:
Plin = 6a²
Cunoscând volumul sau suprafața, puteți calcula elementele individuale ale unui corp geometric.
Găsirea elementelor prisme
Adesea apar probleme in care se da volumul sau se cunoaste valoarea suprafetei laterale, unde este necesar sa se determine lungimea laturii bazei sau inaltimea. În astfel de cazuri, formulele pot fi derivate:
- lungimea laturii de baza: a = Sside / 4h = √(V / h);
- înălțimea sau lungimea coastei laterale: h = Latura / 4a = V / a²;
- suprafata de baza: Sprim = V/h;
- zona feței laterale: Latură gr = Sside / 4.
Pentru a determina câtă zonă are o secțiune diagonală, trebuie să cunoașteți lungimea diagonalei și înălțimea figurii. Pentru un pătrat d = a√2. Prin urmare:
Sdiag = ah√2
Pentru a calcula diagonala prismei se folosește formula:
dprize = √(2a² + h²)
Pentru a înțelege cum să aplicați rapoartele de mai sus, puteți exersa și rezolva câteva sarcini simple.
Exemple de probleme cu soluții
Iată câteva dintre sarcinile care apar la examenele finale de stat la matematică.
Exercitiul 1.
Într-o cutie care are forma potrivită prismă pătrangulară, nisip turnat. Înălțimea nivelului său este de 10 cm.Care va fi nivelul nisipului dacă îl mutați într-un recipient de aceeași formă, dar cu o lungime de bază de 2 ori mai mare?
Ar trebui să motiveze în felul următor. Cantitatea de nisip din primul și al doilea container nu s-a schimbat, adică volumul său în ele este același. Puteți defini lungimea bazei ca A. În acest caz, pentru prima casetă, volumul substanței va fi:
V₁ = ha² = 10a²
Pentru a doua cutie, lungimea bazei este 2a, dar înălțimea nivelului nisipului este necunoscută:
V₂ = h(2a)² = 4ha²
Deoarece V₁ = V2, expresiile pot fi echivalate:
10a² = 4ha²
După reducerea ambelor părți ale ecuației cu a², obținem:
Ca urmare, noul nivel de nisip va fi h = 10 / 4 = 2,5 cm.
Sarcina 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ este o prismă regulată. Se știe că BD = AB₁ = 6√2. Găsiți suprafața totală a corpului.
Pentru a înțelege mai ușor ce elemente sunt cunoscute, puteți desena o figură.
Deoarece vorbim despre o prismă regulată, putem concluziona că baza este un pătrat cu diagonala de 6√2. Diagonala feței laterale are aceeași valoare, prin urmare, fața laterală are și forma unui pătrat egal cu baza. Se dovedește că toate cele trei dimensiuni - lungime, lățime și înălțime - sunt egale. Putem concluziona că ABCDA₁B₁C₁D₁ este un cub.
Lungimea oricărei muchii este determinată prin diagonala cunoscută:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Suprafața totală se găsește prin formula pentru cub:
Sfull = 6a² = 6 6² = 216
Sarcina 3.
Camera este in renovare. Se știe că podeaua are forma unui pătrat cu o suprafață de 9 m². Înălțimea camerei este de 2,5 m. Care este cel mai mic cost al tapetării unei camere dacă 1 m² costă 50 de ruble?
Deoarece podeaua și tavanul sunt pătrate, adică patrulatere regulate, iar pereții săi sunt perpendiculari pe suprafețele orizontale, putem concluziona că este o prismă regulată. Este necesar să se determine aria suprafeței sale laterale.
Lungimea camerei este a = √9 = 3 m.
Pătratul va fi acoperit cu tapet Latura = 4 3 2,5 = 30 m².
Cel mai mic cost al tapetului pentru această cameră va fi 50 30 = 1500 ruble.
Astfel, pentru a rezolva probleme pentru o prismă dreptunghiulară, este suficient să poți calcula aria și perimetrul unui pătrat și a unui dreptunghi, precum și să cunoști formulele de aflare a volumului și a suprafeței.
Cum să găsiți aria unui cub
