Fețele adiacente ale unui paralelipiped sunt paralele. Paralepiped dreptunghiular - Knowledge Hypermarket

În această lecție, toată lumea va putea studia subiectul „Cutie dreptunghiulară”. La începutul lecției, vom repeta ce sunt paralelipipedele drepte și arbitrare, amintim proprietățile fețelor și diagonalelor lor opuse ale paralelipipedului. Apoi vom lua în considerare ce este un cuboid și vom discuta principalele sale proprietăți.

Tema: Perpendicularitatea dreptelor și a planurilor

Lecția: Cuboid

O suprafață compusă din două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 și patru paralelograme ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 se numește paralelipiped(Fig. 1).

Orez. 1 Paralelepiped

Adică: avem două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), acestea se află în planuri paralele astfel încât coaste laterale AA 1, BB 1, DD 1, SS 1 sunt paralele. Astfel, o suprafață compusă din paralelograme se numește paralelipiped.

Astfel, suprafața unui paralelipiped este suma tuturor paralelogramelor care alcătuiesc paralelipipedul.

1. Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.

(cifrele sunt egale, adică pot fi combinate prin suprapunere)

De exemplu:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (paralelograme egale prin definiție),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (deoarece AA 1 B 1 B și DD 1 C 1 C sunt fețe opuse ale paralelipipedului),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (deoarece AA 1 D 1 D și BB 1 C 1 C sunt fețe opuse ale paralelipipedului).

2. Diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct și bisectează acel punct.

Diagonalele paralelipipedului AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se intersectează într-un punct O, iar fiecare diagonală este împărțită la jumătate de acest punct (Fig. 2).

Orez. 2 Diagonalele paralelipipedului intersectează și bisectează punctul de intersecție.

3. Există trei cvadruple de margini egale și paralele ale paralelipipedului: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definiție. Un paralelipiped se numește drept dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze.

Lăsați marginea laterală AA 1 să fie perpendiculară pe bază (Fig. 3). Aceasta înseamnă că dreapta AA 1 este perpendiculară pe dreptele AD și AB, care se află în planul bazei. Și, prin urmare, dreptunghiuri se află pe fețele laterale. Și bazele sunt paralelograme arbitrare. Notați, ∠BAD = φ, unghiul φ poate fi oricare.

Orez. 3 Caseta din dreapta

Deci, o cutie dreaptă este o cutie în care marginile laterale sunt perpendiculare pe bazele cutiei.

Definiție. Paralepipedul se numește dreptunghiular, dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe bază. Bazele sunt dreptunghiuri.

Paralepipedul АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 este dreptunghiular (Fig. 4) dacă:

1. AA 1 ⊥ ABCD (marginea laterală este perpendiculară pe planul bazei, adică un paralelipiped drept).

2. ∠BAD = 90°, adică baza este un dreptunghi.

Orez. 4 Cuboid

O cutie dreptunghiulară are toate proprietățile unei cutii arbitrare. Dar există proprietăți suplimentare care sunt derivate din definiția unui cuboid.

Asa de, cuboid este un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe bază. Baza unui cuboid este un dreptunghi.

1. Într-un cuboid, toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri.

ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 sunt dreptunghiuri prin definiție.

2. Coastele laterale sunt perpendiculare pe bază. Aceasta înseamnă că toate fețele laterale ale unui cuboid sunt dreptunghiuri.

3. Toate unghiuri diedrice drepte dreptunghiulare paralelipipedice.

Luați în considerare, de exemplu, unghiul diedric al unui paralelipiped dreptunghic cu muchia AB, adică unghiul diedric dintre planele ABB 1 și ABC.

AB este o muchie, punctul A 1 se află într-un plan - în planul ABB 1, iar punctul D în celălalt - în planul A 1 B 1 C 1 D 1. Apoi se poate nota și unghiul diedric considerat în felul următor: ∠A 1 ABD.

Luați punctul A pe muchia AB. AA 1 este perpendicular pe muchia AB în planul ABB-1, AD este perpendicular pe muchia AB în planul ABC. Prin urmare, ∠A 1 AD este unghiul liniar al unghiului diedric dat. ∠A 1 AD \u003d 90 °, ceea ce înseamnă că unghiul diedrul la marginea AB este de 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Se dovedește în mod similar că orice unghi diedru al unui paralelipiped dreptunghiular este drept.

Pătratul diagonalei unui cuboid este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Notă. Lungimile celor trei muchii care emană din același vârf al cuboidului sunt măsurătorile cuboidului. Ele sunt uneori numite lungime, lățime, înălțime.

Dat: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - un paralelipiped dreptunghiular (Fig. 5).

Demonstrează: .

Orez. 5 Cuboid

Dovada:

Linia CC 1 este perpendiculară pe planul ABC și, prin urmare, pe dreapta AC. Deci triunghiul CC 1 A este un triunghi dreptunghic. Conform teoremei lui Pitagora:

Considera triunghi dreptunghic ABC. Conform teoremei lui Pitagora:

Dar BC și AD sunt laturi opuse ale dreptunghiului. Deci BC = AD. Apoi:

Deoarece , A , Acea. Deoarece CC 1 = AA 1, atunci ce trebuia să fie demonstrat.

Diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale.

Să desemnăm dimensiunile paralelipipedului ABC ca a, b, c (vezi Fig. 6), apoi AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Paralepipedul este figură geometrică, dintre care toate cele 6 fețe sunt paralelograme.

În funcție de tipul acestor paralelograme, se disting următoarele tipuri de paralelipiped:

• Drept;
• înclinat;
• dreptunghiular.

Un paralelipiped drept este o prismă patruunghiulară ale cărei margini formează un unghi de 90 ° cu planul de bază.

Un paralelipiped dreptunghiular este o prismă patruunghiulară, ale cărei fețe sunt dreptunghiuri. Un cub este un fel de prismă patruunghiulară în care toate fețele și muchiile sunt egale.

Caracteristicile unei figuri predetermina proprietățile acesteia. Acestea includ următoarele 4 afirmații:

Amintirea tuturor proprietăților de mai sus este simplă, ele sunt ușor de înțeles și sunt derivate logic pe baza tipului și caracteristicilor corpului geometric. Cu toate acestea, declarațiile simple pot fi incredibil de utile atunci când rezolvați sarcini tipice USE și vor economisi timpul necesar pentru a trece testul.

Formule paralelepipedice

Pentru a găsi răspunsuri la problemă, nu este suficient să cunoaștem doar proprietățile figurii. Este posibil să aveți nevoie și de câteva formule pentru a găsi aria și volumul unui corp geometric.

Aria bazelor se găsește și ca indicator corespunzător al unui paralelogram sau dreptunghi. Puteți alege singur baza paralelogramului. De regulă, atunci când rezolvați probleme, este mai ușor să lucrați cu o prismă, care se bazează pe un dreptunghi.

Formula pentru găsirea suprafeței laterale a unui paralelipiped poate fi necesară și în sarcinile de testare.

Exemple de rezolvare a sarcinilor tipice USE

Exercitiul 1.

Dat: un cuboid cu dimensiunile de 3, 4 și 12 cm.
Necesar Aflați lungimea uneia dintre diagonalele principale ale figurii.
Soluţie: Orice soluție la o problemă geometrică trebuie să înceapă cu construirea unui desen corect și clar, pe care se va indica „dată” și valoarea dorită. Figura de mai jos este un exemplu design corect condiţiile sarcinii.

Luând în considerare desenul realizat și amintindu-ne toate proprietățile unui corp geometric, ajungem la singurul mod corect de a-l rezolva. Aplicând proprietatea 4 a paralelipipedului, obținem următoarea expresie:

După calcule simple, obținem expresia b2=169, deci b=13. Răspunsul la sarcină a fost găsit, nu ar trebui să dureze mai mult de 5 minute pentru a-l căuta și a-l desena.

Există mai multe tipuri de paralelipipede:

· cuboid este un paralelipiped cu toate fețele - dreptunghiuri;

Un paralelipiped drept este un paralelipiped cu 4 fețe laterale - paralelograme;

· O cutie oblică este o cutie ale cărei fețe laterale nu sunt perpendiculare pe baze.

Elemente esentiale

Două fețe ale unui paralelipiped care nu au o muchie comună sunt numite opuse, iar cele care au o muchie comună sunt numite adiacente. Două vârfuri ale unui paralelipiped care nu aparțin aceleiași fețe sunt numite opuse. Segment de linie, conectarea vârfurilor opuse se numește diagonală paralelipiped. Se numesc lungimile a trei muchii ale unui cuboid care au un vârf comun măsurători.

Proprietăți

· Paralepipedul este simetric față de punctul de mijloc al diagonalei sale.

Orice segment cu capete aparținând suprafeței paralelipipedului și care trece prin mijlocul diagonalei acestuia este împărțit de acesta în jumătate; în special, toate diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct și îl bisectează.

Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.

Pătratul lungimii diagonalei unui paralelipiped dreptunghic este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale

Formule de bază

Paralepipedul drept

· Suprafata laterala S b \u003d R o * h, unde R o este perimetrul bazei, h este înălțimea

· Suprafata totala S p \u003d S b + 2S o, unde S o este aria bazei

· Volum V=S o *h

cuboid

· Suprafata laterala S b \u003d 2c (a + b), unde a, b sunt laturile bazei, c este marginea laterală a paralelipipedului dreptunghiular

· Suprafata totala S p \u003d 2 (ab + bc + ac)

· Volum V=abc, unde a, b, c sunt dimensiunile cuboidului.

· Suprafata laterala S=6*h 2 , unde h este înălțimea muchiei cubului

34. Tetraedru este un poliedru regulat, are 4 fețe care sunt triunghiuri regulate. Vârfurile la tetraedru 4 , converge către fiecare vârf 3 coaste, dar coaste totale 6 . Tetraedrul este, de asemenea, o piramidă.

Triunghiurile care alcătuiesc un tetraedru se numesc fețe (AOC, OSV, ACB, AOB), laturile lor --- margini (AO, OC, OB), iar vârfurile --- vârfuri (A, B, C, O) tetraedru. Se numesc două muchii ale unui tetraedru care nu au vârfuri comune opus... Uneori una dintre fețele tetraedrului este evidențiată și numită bază, și încă trei --- fetele laterale.

Tetraedrul se numește corect dacă toate fețele sale sunt triunghiuri echilaterale. În același timp, un tetraedru obișnuit și un regulat piramidă triunghiulară- nu este același lucru.

La tetraedru regulat toate unghiurile diedrice la muchii și toate unghiurile triedrice la vârfuri sunt egale.

35. Prismă corectă

O prismă este un poliedru în care două fețe (baze) se află în planuri paralele, iar toate muchiile din afara acestor fețe sunt paralele între ele. Fețele altele decât bazele se numesc fețe laterale, iar marginile lor sunt numite margini laterale. Toate marginile laterale sunt egale între ele ca segmente paralele delimitate de două plane paralele. Toate fețele laterale ale prismei sunt paralelograme. Părțile relevante bazele prismei sunt egale și paralele. Se numește prismă dreaptă, în care marginea laterală este perpendiculară pe planul bazei, alte prisme se numesc înclinate. La baza prismă dreaptă minciuni poligon regulat. Într-o astfel de prismă, toate fețele sunt dreptunghiuri egale.

Suprafața unei prisme este formată din două baze și o suprafață laterală. Înălțimea unei prisme este un segment care este o perpendiculară comună pe planurile în care se află bazele prismei. Înălțimea prismei este distanța Hîntre planurile de bază.

Suprafața laterală S b prisma se numește suma ariilor fețelor sale laterale. Suprafata intreaga S n al unei prisme se numește suma ariilor tuturor fețelor sale. S n = S b + 2 S,Unde S este aria bazei prismei, S b – suprafata laterala.

36. Un poliedru care are o singură față, numit bază, este un poligon,
iar celelalte fețe sunt triunghiuri cu un vârf comun, se numește piramidă .

Se numesc fețe altele decât baza latură.
Vârful comun al fețelor laterale se numește vârful piramidei.
Marginile care leagă vârful piramidei cu vârful bazei se numesc latură.
Înălțimea piramidei numită perpendiculară trasată de la vârful piramidei până la baza acesteia.

Piramida se numește corect, dacă baza sa este un poligon regulat și înălțimea lui trece prin centrul bazei.

apotema fata laterala piramida corecta numită înălțimea acestei fețe, trasă din vârful piramidei.

Un plan paralel cu baza piramidei o taie într-o piramidă similară și trunchi de piramidă.

Proprietățile piramidelor regulate

• Marginile laterale ale unei piramide regulate sunt egale.
• Fețele laterale ale unei piramide obișnuite sunt triunghiuri isoscele egale între ele.

Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci

Înălțimea este proiectată spre centrul cercului circumscris;

nervurile laterale formează unghiuri egale cu planul bazei.

Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul de bază la un unghi, atunci

Înălțimea este proiectată în centrul cercului înscris;

înălțimile fețelor laterale sunt egale;

Aria suprafeței laterale este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea feței laterale

37. Funcția y=f(x), unde x aparține mulțimii numere naturale, se numește o funcție de argument natural sau succesiune numerică. Desemnați-l y=f(n) sau (y n)

Se pot seta secvențe căi diferite, verbal, așa este dată șirul numere prime:

2, 3, 5, 7, 11 etc

Se consideră că secvența este dată analitic dacă este dată formula celui de-al n-lea membru al său:

1, 4, 9, 16, …, n2, …

2) y n = C. O astfel de succesiune se numește constantă sau staționară. De exemplu:

2, 2, 2, 2, …, 2, …

3) y n \u003d 2 n. De exemplu,

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , …, 2n , …

Se spune că o secvență este mărginită de sus dacă toți membrii ei sunt cel mult un anumit număr. Cu alte cuvinte, o secvență poate fi numită mărginită dacă există un astfel de număr M încât inegalitatea y n este mai mică sau egală cu M. Numărul M se numește limita superioară a șirului. De exemplu, secvenţa: -1, -4, -9, -16, ..., -n2; limitat de sus.

În mod similar, se poate spune că o secvență este mărginită de jos dacă toți membrii ei sunt mai mari decât un anumit număr. Dacă o secvență este mărginită atât deasupra cât și dedesubt, se spune că este mărginită.

Se spune că o secvență este în creștere dacă fiecare termen succesiv este mai mare decât cel anterior.

O secvență se numește descrescătoare dacă fiecare termen succesiv este mai mic decât cel anterior. Secvențele crescătoare și descrescătoare sunt definite de un singur termen - secvențe monotone.

Luați în considerare două secvențe:

1) y n: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …

2) x n: 1, ½, 1/3, 1/4, …, 1/n, …

Dacă înfățișăm membrii acestei secvențe pe o linie reală, atunci vom observa că, în al doilea caz, membrii șirului se condensează în jurul unui punct, iar în primul caz nu este cazul. ÎN cazuri similare spunem că șirul y n diverge și șirul x n converge.

Numărul b se numește limita șirului y n dacă orice vecinătate preselectată a punctului b conține toți membrii șirului, începând de la un anumit număr.

În acest caz, putem scrie:

Dacă coeficientul modulo al progresiei este mai mic de unu, atunci limita acestei secvențe, deoarece x tinde spre infinit, este egală cu zero.

Dacă secvența converge, atunci doar la o limită

Dacă șirul converge, atunci este mărginit.

Teorema Weierstrass: Dacă o secvență converge monoton, atunci este mărginită.

Limita unei secvențe staționare este egală cu orice membru al secvenței.

Proprietăți:

1) Limita sumei este egală cu suma limitelor

2) Limita produsului este egală cu produsul limitelor

3) Limita câtului este egală cu câtul limitelor

4) Factorul constant poate fi scos din semnul limitei

Întrebarea 38
suma unei progresii geometrice infinite

Progresie geometrică- o succesiune de numere b 1 , b 2 , b 3 ,.. (membrii progresiei), in care fiecare numar ulterior, incepand cu al doilea, se obtine din cel precedent inmultindu-l cu un anumit numar q (cel numitorul progresiei), unde b 1 ≠0, q ≠0.

Suma unei progresii geometrice infinite este numărul limită la care converge secvența de progresie.

Cu alte cuvinte, indiferent cât timp progresie geometrică, suma membrilor săi nu depășește un anumit număr și este practic egală cu acest număr. Se numește suma unei progresii geometrice.

Nu orice progresie geometrică are o sumă atât de limitativă. Poate fi doar într-o astfel de progresie, al cărei numitor este un număr fracționar mai mic decât 1.

Sau (echivalent) un poliedru cu șase fețe și fiecare dintre ele - paralelogram.

Tipuri de cutie

Există mai multe tipuri de paralelipipede:

• Un cuboid este un cuboid ale cărui fețe sunt toate dreptunghiuri.
• Un paralelipiped drept este un paralelipiped cu 4 fețe laterale care sunt dreptunghiuri.
• O cutie oblică este o cutie ale cărei fețe laterale nu sunt perpendiculare pe baze.

Elemente esentiale

Două fețe ale unui paralelipiped care nu au o muchie comună sunt numite opuse, iar cele care au o muchie comună sunt numite adiacente. Două vârfuri ale unui paralelipiped care nu aparțin aceleiași fețe sunt numite opuse. Segmentul de dreaptă care leagă vârfuri opuse se numește diagonala paralelipipedului. Lungimile a trei muchii ale unui cuboid care au un vârf comun se numesc dimensiunile sale.

Proprietăți

• Paralepipedul este simetric față de punctul de mijloc al diagonalei sale.
• Orice segment cu capete aparținând suprafeței paralelipipedului și care trece prin mijlocul diagonalei acestuia este împărțit de acesta în jumătate; în special, toate diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct și îl bisectează.
• Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.
• Pătratul lungimii diagonalei unui cuboid este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Formule de bază

Paralepipedul drept

Suprafata laterala S b \u003d R o * h, unde R o este perimetrul bazei, h este înălțimea

Suprafata totala S p \u003d S b + 2S o, unde S o este aria bazei

Volum V=S o *h

cuboid

Suprafata laterala S b \u003d 2c (a + b), unde a, b sunt laturile bazei, c este marginea laterală a paralelipipedului dreptunghiular

Suprafata totala S p \u003d 2 (ab + bc + ac)

Volum V=abc, unde a, b, c sunt dimensiunile cuboidului.

cub

Suprafață: $S=6a^2$
Volum: $V=a^3$, Unde $A$- marginea cubului.

Cutie arbitrară

Volumul și rapoartele dintr-o casetă de oblic sunt adesea definite folosind algebră vectorială. Volumul unui paralelipiped este egal cu valoarea absolută a produsului mixt a trei vectori definiți de cele trei laturi ale paralelipipedului care emană dintr-un vârf. Raportul dintre lungimile laturilor paralelipipedului și unghiurile dintre ele dă afirmația că determinantul Gram al acestor trei vectori este egal cu pătratul produsului lor mixt: 215 .

În analiza matematică

ÎN analiză matematică sub un cuboid n-dimensional $B$ intelege multe puncte $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ drăguț $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Scrieți o recenzie despre articolul „Paralelepiped”

Note

Legături

Corect Corect neconvex convex formule, teoreme, teorii Alte

Un fragment care caracterizează Paralelepipedul

- On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l "angine ... [Se spune că rivalii s-au împăcat datorită acestei boli.]
Cuvîntul angine a fost repetat cu mare plăcere.
- Le vieux comte est touchant a ce qu "on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Bătrânul conte este foarte înduioșător, spun ei. A plâns ca un copil când doctorul a spus acel caz periculos.]
Oh, ar fi une perte teribil. C "est une femme ravissante. [Oh, asta ar fi o mare pierdere. O femeie atât de drăguță.]
„Vous parlez de la pauvre comtesse”, a spus Anna Pavlovna, apropiindu-se. - J "ai envoye savoir de ses nouvelles. On m" a dit qu "elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c" est la plus charmante femme du monde, - spuse Anna Pavlovna zâmbind peste entuziasmul ei. - Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m "empeche pas de l" estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Vorbiți despre biata contesă... Am trimis să aflu despre sănătatea ei. Mi s-a spus că e puțin mai bine. Oh, fără îndoială, aceasta este cea mai frumoasă femeie din lume. Aparținem unor tabere diferite, dar asta nu mă împiedică să o respect după meritele ei. E atât de nefericită.] a adăugat Anna Pavlovna.
Crezând că prin aceste cuvinte Anna Pavlovna a ridicat ușor vălul secretului asupra bolii contesei, un tânăr nepăsător și-a permis să-și exprime surpriza că nu sunt chemați medici celebri, dar un șarlatan care putea să ofere mijloace periculoase o trata pe contesa.
„Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes”, i-a atacat brusc Anna Pavlovna pe cei neexperimentați tânăr. Mais je sais de bonne source que ce medecin este un om tres savant et tres habile. C "est le medecin intime de la Reine d" Espagne. [Veștile tale pot fi mai exacte decât ale mele... dar știu din surse bune că acest doctor este o persoană foarte învățată și pricepută. Acesta este medicul de viață al reginei Spaniei.] - Și astfel distrugând tânărul, Anna Pavlovna s-a întors către Bilibin, care într-un alt cerc, ridicând pielea și, se pare, pe cale să o dizolve, să spună un mot, a vorbit despre austrieci.
- Je trouve que c "est charmant! [Îmi găsesc fermecător!] - a spus el despre o lucrare diplomatică, sub care steagurile austriece luate de Wittgenstein erau trimise la Viena, le heros de Petropol [eroul din Petropolis] (după cum el a fost numit la Petersburg).
- Cum, cum e? Anna Pavlovna se întoarse spre el, stârnind tăcerea pentru a auzi mot, pe care îl știa deja.
Și Bilibin a repetat următoarele cuvinte autentice din depeșa diplomatică pe care o întocmise:
- L "Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens", a spus Bilibin, "drapeaux amis et egares qu" il a trouve hors de la route, [Împăratul trimite bannere austriece, bannere prietenoase și greșite pe care le-a găsit în afara drumului real.] - a terminat Bilibin slăbind pielea.
- Fermecător, fermecător, [Fermecător, fermecător,] - spuse prințul Vasily.
- C "est la route de Varsovie peut etre, [Acesta este drumul Varșovia, poate.] - spuse prințul Hippolyte cu voce tare și pe neașteptate. Toți se uitau la el, neînțelegând ce voia să spună cu asta. Prințul Hippolyte s-a uitat și el în jur cu surpriză veselă în jurul lui.El, ca și ceilalți, nu a înțeles ce înseamnă cuvintele pe care le-a spus.În timpul carierei sale diplomatice, a observat de mai multe ori că cuvintele rostite brusc în acest fel s-au dovedit a fi foarte spirituale și, pentru orice eventualitate, el spuse aceste cuvinte: „Poate că va ieși foarte bine”, se gândi el, „dar dacă nu, vor putea să-l aranjeze acolo.” Anna Pavlovna și ea, zâmbind și scuturând degetul către Ippolit, l-a invitat la masă pe prințul Vasily și, aducându-i două lumânări și un manuscris, l-a rugat să înceapă.