Wie Sie sich vielleicht aus dem Geometrielehrplan Ihrer Schule erinnern, ist ein Dreieck eine Figur, die aus drei Segmenten besteht, die durch drei Punkte verbunden sind, die nicht auf derselben geraden Linie liegen. Ein Dreieck bildet drei Winkel, daher der Name der Figur. Die Definition kann unterschiedlich sein. Ein Dreieck kann auch als Polygon mit drei Winkeln bezeichnet werden, die Antwort wird auch richtig sein. Dreiecke werden in den Abbildungen nach der Anzahl gleicher Seiten und der Größe der Winkel unterteilt. So werden Dreiecke in gleichschenklige, gleichseitige und ungleichseitige sowie rechteckige, spitze und stumpfe Dreiecke unterschieden.

Es gibt viele Formeln zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks. Wählen Sie, wie Sie die Fläche eines Dreiecks ermitteln möchten, d. Welche Formel Sie verwenden, bleibt Ihnen überlassen. Es lohnt sich jedoch, nur einige der Notationen zu beachten, die in vielen Formeln zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks verwendet werden. Also denk daran:

S ist die Fläche des Dreiecks,

a, b, c sind die Seiten des Dreiecks,

h ist die Höhe des Dreiecks,

R ist der Radius des umschriebenen Kreises,

p ist der Halbumfang.

Hier sind die grundlegenden Notationen, die Ihnen nützlich sein können, wenn Sie Ihren Geometriekurs völlig vergessen haben. Nachfolgend sind die verständlichsten und nicht verständlichsten aufgeführt komplexe Optionen Berechnen der unbekannten und mysteriösen Fläche eines Dreiecks. Es ist nicht schwierig und wird sowohl für Ihre Haushaltsbedürfnisse als auch für die Unterstützung Ihrer Kinder nützlich sein. Erinnern wir uns daran, wie man die Fläche eines Dreiecks so einfach wie möglich berechnen kann:

In unserem Fall beträgt die Fläche des Dreiecks: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm². Denken Sie daran, dass die Fläche in Quadratzentimetern (cm²) gemessen wird.

Rechtwinkliges Dreieck und seine Fläche.

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem ein Winkel 90 Grad beträgt (daher auch rechtwinklig genannt). Ein rechter Winkel wird durch zwei senkrechte Linien gebildet (im Fall eines Dreiecks durch zwei senkrechte Strecken). In einem rechtwinkligen Dreieck kann es nur einen rechten Winkel geben, weil... Die Summe aller Winkel eines Dreiecks beträgt 180 Grad. Es stellt sich heraus, dass 2 andere Winkel die verbleibenden 90 Grad teilen sollten, zum Beispiel 70 und 20, 45 und 45 usw. Sie erinnern sich also an die Hauptsache: Es bleibt nur noch herauszufinden, wie Sie die Gegend finden rechtwinkliges Dreieck. Stellen wir uns vor, dass wir ein solches rechtwinkliges Dreieck vor uns haben und dessen Fläche S ermitteln müssen.

1. Der einfachste Weg, die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen, wird mit der folgenden Formel berechnet:

In unserem Fall beträgt die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm².

Im Prinzip besteht keine Notwendigkeit mehr, die Fläche des Dreiecks auf andere Weise zu überprüfen, denn Nur dieses wird nützlich sein und im Alltag helfen. Es gibt aber auch Möglichkeiten, die Fläche eines Dreiecks durch spitze Winkel zu messen.

2. Für andere Berechnungsmethoden benötigen Sie eine Tabelle mit Kosinus, Sinus und Tangens. Urteilen Sie selbst, hier sind einige Möglichkeiten zur Berechnung der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks, die noch verwendet werden können:

Wir entschieden uns für die erste Formel und mit ein paar kleinen Flecken (wir zeichneten sie in ein Notizbuch und benutzten ein altes Lineal und einen Winkelmesser), aber wir bekamen die richtige Berechnung:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Wir haben folgende Ergebnisse erhalten: 3,6=3,7, aber unter Berücksichtigung der Zellverschiebung können wir diese Nuance verzeihen.

Gleichschenkliges Dreieck und seine Fläche.

Wenn Sie vor der Aufgabe stehen, die Formel für ein gleichschenkliges Dreieck zu berechnen, ist es am einfachsten, die Hauptformel und die als klassische Formel für die Fläche eines Dreiecks zu verwenden.

Aber bevor wir die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks ermitteln, wollen wir zunächst herausfinden, um welche Art von Figur es sich handelt. Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem zwei Seiten gleich lang sind. Diese beiden Seiten werden lateral genannt, die dritte Seite wird Basis genannt. Verwechseln Sie ein gleichschenkliges Dreieck nicht mit einem gleichseitigen Dreieck, d. h. ein regelmäßiges Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich sind. In einem solchen Dreieck gibt es keine besonderen Tendenzen hinsichtlich der Winkel bzw. ihrer Größe. Allerdings sind die Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks gleich, unterscheiden sich jedoch vom Winkel zwischen gleichen Seiten. Sie kennen also bereits die erste und wichtigste Formel; es bleibt herauszufinden, welche anderen Formeln zur Bestimmung der Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks bekannt sind:

Vom gegenüberliegenden Scheitelpunkt aus) und dividiere das resultierende Produkt durch zwei. So sieht es aus auf die folgende Weise:

S = ½ * a * h,

Wo:
S – Fläche des Dreiecks,
a ist die Länge seiner Seite,
h ist die zu dieser Seite abgesenkte Höhe.

Seitenlänge und Höhe müssen in den gleichen Maßeinheiten angegeben werden. In diesem Fall wird die Fläche des Dreiecks in den entsprechenden „ “-Einheiten ermittelt.

Beispiel.
Auf einer Seite eines 20 cm langen ungleichseitigen Dreiecks wird eine Senkrechte vom gegenüberliegenden Scheitelpunkt von 10 cm Länge abgesenkt.
Die Fläche des Dreiecks wird benötigt.
Lösung.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Wenn die Längen zweier beliebiger Seiten eines ungleichseitigen Dreiecks und der Winkel zwischen ihnen bekannt sind, verwenden Sie die Formel:

S = ½ * a * b * sinγ,

Dabei sind: a, b die Längen zweier beliebiger Seiten und γ der Winkel zwischen ihnen.

In der Praxis, beispielsweise bei der Vermessung von Grundstücken, ist die Verwendung der oben genannten Formeln manchmal schwierig, da zusätzliche Konstruktionen und Winkelmessungen erforderlich sind.

Wenn Sie die Längen aller drei Seiten eines ungleichseitigen Dreiecks kennen, verwenden Sie die Formel von Heron:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – Längen der Seiten des Dreiecks,
p – Halbumfang: p = (a+b+c)/2.

Wenn zusätzlich zu den Längen aller Seiten auch der Radius des in das Dreieck eingeschriebenen Kreises bekannt ist, dann verwenden Sie die folgende kompakte Formel:

wobei: r – Radius des eingeschriebenen Kreises (ð – Halbumfang).

Um die Fläche eines ungleichseitigen Dreiecks und die Länge seiner Seiten zu berechnen, verwenden Sie die Formel:

wobei: R – Radius des umschriebenen Kreises.

Wenn Sie die Länge einer der Seiten des Dreiecks und drei Winkel kennen (im Prinzip reichen zwei aus – der Wert des dritten berechnet sich aus der Gleichheit der Summe der drei Winkel des Dreiecks – 180°), dann verwenden Sie die Formel:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

wobei α der Wert des Winkels gegenüber der Seite a ist;
β, γ – Werte der verbleibenden zwei Winkel des Dreiecks.

Die Notwendigkeit, verschiedene Elemente zu finden, einschließlich der Fläche Dreieck erschien viele Jahrhunderte v. Chr. unter gelehrten Astronomen Antikes Griechenland. Quadrat Dreieck berechnet werden kann verschiedene Wege mit unterschiedlichen Formeln. Die Berechnungsmethode hängt von den Elementen ab Dreieck bekannt.

Anweisungen

Wenn wir aus der Bedingung die Werte zweier Seiten b, c und den von ihnen gebildeten Winkel kennen, dann die Fläche Dreieck ABC ergibt sich aus der Formel:
S = (bcsin?)/2.

Wenn wir aus der Bedingung die Werte zweier Seiten a, b und den nicht von ihnen gebildeten Winkel kennen, dann die Fläche Dreieck ABC wird wie folgt gefunden:
Den Winkel finden?, Sünde? = bsin?/a, dann verwenden Sie die Tabelle, um den Winkel selbst zu bestimmen.
Den Winkel finden?, ? = 180°-?-?.
Wir finden die Fläche selbst S = (Absin?)/2.

Wenn wir aus der Bedingung die Werte von nur drei Seiten kennen Dreieck a, b und c, dann die Fläche Dreieck ABC ergibt sich aus der Formel:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), wobei p der Halbumfang p = (a+b+c)/2 ist

Aus den Problembedingungen kennen wir die Höhe Dreieck h und die Seite, zu der diese Höhe abgesenkt wird, dann die Fläche Dreieck ABC nach der Formel:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Wenn wir die Bedeutung der Seiten kennen Dreieck a, b, c und der darüber beschriebene Radius Dreieck R, dann die Fläche davon Dreieck ABC wird durch die Formel bestimmt:
S = abc/4R.
Wenn drei Seiten a, b, c und der Radius der eingeschriebenen Seiten bekannt sind, dann die Fläche Dreieck ABC ergibt sich aus der Formel:
S = pr, wobei p der Halbumfang ist, p = (a+b+c)/2.

Wenn ABC gleichseitig ist, wird die Fläche durch die Formel ermittelt:
S = (a^2v3)/4.
Wenn das Dreieck ABC gleichschenklig ist, wird die Fläche durch die Formel bestimmt:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, wobei c – Dreieck.
Wenn das Dreieck ABC rechtwinklig ist, wird die Fläche durch die Formel bestimmt:
S = ab/2, wobei a und b Beine sind Dreieck.
Wenn das Dreieck ABC ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck ist, wird die Fläche durch die Formel bestimmt:
S = c^2/4 = a^2/2, wobei c die Hypotenuse ist Dreieck, a=b – Bein.

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Quellen:

• wie man die Fläche eines Dreiecks misst

Tipp 3: So ermitteln Sie die Fläche eines Dreiecks, wenn der Winkel bekannt ist

Um die Fläche zu ermitteln, reicht es nicht aus, nur einen Parameter (den Winkel) zu kennen tre Quadrat . Wenn zusätzliche Dimensionen vorhanden sind, können Sie zur Bestimmung der Fläche eine der Formeln wählen, in denen auch der Winkelwert als eine der bekannten Variablen verwendet wird. Nachfolgend sind einige der am häufigsten verwendeten Formeln aufgeführt.

Anweisungen

Wenn zusätzlich zur Größe des Winkels (γ), der von den beiden Seiten gebildet wird tre Quadrat , dann sind auch die Längen dieser Seiten (A und B) bekannt Quadrat(S) einer Figur kann als das halbe Produkt der Seitenlängen und des Sinus dieses bekannten Winkels definiert werden: S=½×A×B×sin(γ).

Konzept der Fläche

Der Begriff der Fläche einer beliebigen geometrischen Figur, insbesondere eines Dreiecks, wird mit einer Figur wie einem Quadrat in Verbindung gebracht. Für die Flächeneinheit einer beliebigen geometrischen Figur nehmen wir die Fläche eines Quadrats, dessen Seite gleich eins ist. Der Vollständigkeit halber erinnern wir uns an zwei Grundeigenschaften des Flächenkonzepts geometrische Formen.

Eigenschaft 1: Wenn geometrische Figuren gleich sind, dann sind auch ihre Flächen gleich.

Eigenschaft 2: Jede Figur kann in mehrere Figuren unterteilt werden. Darüber hinaus ist die Fläche der Originalfigur gleich der Summe der Flächen aller ihrer Bestandteile.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 1

Offensichtlich ist eine der Seiten des Dreiecks eine Diagonale eines Rechtecks, dessen eine Seite eine Länge von 5 $ hat (da es 5 $-Zellen gibt) und die andere Seite 6 $ hat (da es 6 $-Zellen gibt). Daher entspricht die Fläche dieses Dreiecks der Hälfte eines solchen Rechtecks. Die Fläche des Rechtecks ​​beträgt

Dann ist die Fläche des Dreiecks gleich

Antwort: 15 $.

Als nächstes betrachten wir mehrere Methoden zum Ermitteln der Flächen von Dreiecken, nämlich die Verwendung der Höhe und der Basis, die Verwendung der Heron-Formel und die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks.

So ermitteln Sie die Fläche eines Dreiecks anhand seiner Höhe und Basis

Satz 1

Die Fläche eines Dreiecks kann als halbes Produkt aus der Länge einer Seite und der Höhe dieser Seite ermittelt werden.

Mathematisch sieht es so aus

$S=\frac(1)(2)αh$

Dabei ist $a$ die Länge der Seite und $h$ die dorthin gezogene Höhe.

Nachweisen.

Betrachten Sie ein Dreieck $ABC$, in dem $AC=α$. Auf dieser Seite wird die Höhe $BH$ eingezeichnet, die gleich $h$ ist. Bauen wir es wie in Abbildung 2 zum Quadrat $AXYC$ auf.

Die Fläche des Rechtecks ​​$AXBH$ beträgt $h\cdot AH$, und die Fläche des Rechtecks ​​$HBYC$ beträgt $h\cdot HC$. Dann

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Daher ist die erforderliche Fläche des Dreiecks gemäß Eigenschaft 2 gleich

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche des Dreiecks in der Abbildung unten, wenn die Zelle eine Fläche von eins hat

Die Basis dieses Dreiecks ist gleich 9 $ (da 9 $ aus 9 $ Quadraten besteht). Die Höhe beträgt ebenfalls 9$. Dann erhalten wir nach Satz 1

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Antwort: 40,5 $.

Herons Formel

Satz 2

Wenn wir drei Seiten eines Dreiecks $α$, $β$ und $γ$ erhalten, dann kann seine Fläche wie folgt ermittelt werden

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

hier bedeutet $ρ$ den Halbumfang dieses Dreiecks.

Nachweisen.

Betrachten Sie die folgende Abbildung:

Nach dem Satz des Pythagoras erhalten wir aus dem Dreieck $ABH$

Aus dem Dreieck $CBH$ ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras:

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Aus diesen beiden Beziehungen erhalten wir die Gleichheit

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Da $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, dann $α+β+γ=2ρ$, was bedeutet

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Nach Satz 1 erhalten wir

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Dreieck ist eine der häufigsten geometrischen Formen, die wir bereits kennen lernen Grundschule. Jeder Schüler steht im Geometrieunterricht vor der Frage, wie man die Fläche eines Dreiecks ermittelt. Welche Merkmale beim Finden der Fläche einer bestimmten Figur können also identifiziert werden? In diesem Artikel werden wir uns die grundlegenden Formeln ansehen, die zur Lösung einer solchen Aufgabe erforderlich sind, und auch die Arten von Dreiecken analysieren.

Arten von Dreiecken

Sie können die Fläche eines Dreiecks absolut ermitteln verschiedene Wege, weil es in der Geometrie mehr als eine Art von Figuren gibt, die drei Winkel enthalten. Zu diesen Typen gehören:

• Stumpf.
• Gleichseitig (richtig).
• Rechtwinkliges Dreieck.
• Gleichschenklige.

Schauen wir uns jeden einzelnen genauer an vorhandene Typen Dreiecke.

Diese geometrische Figur gilt als die häufigste bei der Lösung geometrischer Probleme. Wenn die Notwendigkeit besteht, ein beliebiges Dreieck zu zeichnen, ist diese Option hilfreich.

In einem spitzen Dreieck sind, wie der Name schon sagt, alle Winkel spitz und ergeben zusammen 180°.

Dieser Dreieckstyp kommt ebenfalls sehr häufig vor, ist aber etwas seltener als ein spitzes Dreieck. Wenn Sie beispielsweise Dreiecke lösen (d. h. mehrere ihrer Seiten und Winkel sind bekannt und Sie müssen die verbleibenden Elemente finden), müssen Sie manchmal feststellen, ob der Winkel stumpf ist oder nicht. Kosinus ist eine negative Zahl.

B, der Wert eines der Winkel übersteigt 90°, sodass die verbleibenden zwei Winkel kleine Werte annehmen können (z. B. 15° oder sogar 3°).

Um die Fläche eines solchen Dreiecks zu ermitteln, müssen Sie einige Nuancen kennen, über die wir später sprechen werden.

Regelmäßige und gleichschenklige Dreiecke

Regelmäßiges Vieleck ist eine Figur, die n Winkel einschließt und deren Seiten und Winkel alle gleich sind. Das ist ein regelmäßiges Dreieck. Da die Summe aller Winkel eines Dreiecks 180° beträgt, beträgt jeder der drei Winkel 60°.

Ein regelmäßiges Dreieck wird aufgrund seiner Eigenschaft auch gleichseitige Figur genannt.

Es ist auch erwähnenswert, dass in ein regelmäßiges Dreieck nur ein Kreis eingeschrieben werden kann und dass nur ein Kreis darum herum beschrieben werden kann und dass ihre Mittelpunkte im selben Punkt liegen.

Neben dem gleichseitigen Typ kann man auch ein gleichschenkliges Dreieck unterscheiden, das sich davon geringfügig unterscheidet. In einem solchen Dreieck sind zwei Seiten und zwei Winkel einander gleich und die dritte Seite (an die die angrenzende Seite angrenzt). gleiche Winkel) ist die Basis.

Die Abbildung zeigt ein gleichschenkliges Dreieck DEF, dessen Winkel D und F gleich sind und DF die Basis ist.

Rechtwinkliges Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck wird so genannt, weil einer seiner Winkel gerade ist, also 90° beträgt. Die beiden anderen Winkel ergeben zusammen 90°.

Die größte Seite eines solchen Dreiecks, die dem 90°-Winkel gegenüberliegt, ist die Hypotenuse, während die restlichen beiden Seiten die Schenkel sind. Für diese Art von Dreiecken gilt der Satz des Pythagoras:

Die Summe der Quadrate der Längen der Beine ist gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse.

Die Abbildung zeigt ein rechtwinkliges Dreieck BAC mit Hypotenuse AC und den Schenkeln AB und BC.

Um die Fläche eines Dreiecks mit rechtem Winkel zu ermitteln, müssen Sie die Zahlenwerte seiner Schenkel kennen.

Kommen wir zu den Formeln zum Ermitteln der Fläche einer bestimmten Figur.

Grundformeln zum Finden von Flächen

In der Geometrie lassen sich zwei Formeln unterscheiden, die geeignet sind, die Fläche der meisten Dreiecksarten zu ermitteln, nämlich für spitze, stumpfe, regelmäßige und gleichschenklige Dreiecke. Schauen wir uns jeden von ihnen an.

Nach Seite und Höhe

Diese Formel ist universell, um die Fläche der betrachteten Figur zu ermitteln. Dazu reicht es aus, die Länge der Seite und die Länge der darauf gezeichneten Höhe zu kennen. Die Formel selbst (halbes Produkt aus Grundfläche und Höhe) lautet wie folgt:

wobei A die Seite ist gegebenes Dreieck und H ist die Höhe des Dreiecks.

Um beispielsweise die Fläche eines spitzen Dreiecks ACB zu ermitteln, müssen Sie seine Seite AB mit der Höhe CD multiplizieren und den resultierenden Wert durch zwei teilen.

Allerdings ist es nicht immer einfach, auf diese Weise die Fläche eines Dreiecks zu ermitteln. Um diese Formel beispielsweise für ein stumpfes Dreieck zu verwenden, müssen Sie eine seiner Seiten verlängern und erst dann eine Höhe dazu zeichnen.

In der Praxis wird diese Formel häufiger verwendet als andere.

Auf beiden Seiten und an der Ecke

Diese Formel ist wie die vorherige für die meisten Dreiecke geeignet und ist in ihrer Bedeutung eine Folge der Formel zur Ermittlung der Seitenfläche und Höhe eines Dreiecks. Das heißt, die betreffende Formel kann leicht aus der vorherigen abgeleitet werden. Seine Formulierung sieht so aus:

S = ½*sinO*A*B,

Dabei sind A und B die Seiten des Dreiecks und O der Winkel zwischen den Seiten A und B.

Erinnern wir uns daran, dass der Sinus eines Winkels in einer speziellen Tabelle angezeigt werden kann, die nach dem herausragenden sowjetischen Mathematiker V. M. Bradis benannt ist.

Kommen wir nun zu anderen Formeln, die nur für außergewöhnliche Dreieckstypen geeignet sind.

Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks

Zusätzlich zur universellen Formel, die die Notwendigkeit beinhaltet, die Höhe in einem Dreieck zu ermitteln, kann die Fläche eines Dreiecks, das einen rechten Winkel enthält, anhand seiner Schenkel ermittelt werden.

Somit ist die Fläche eines Dreiecks, das einen rechten Winkel enthält, die Hälfte des Produkts seiner Schenkel, oder:

wobei a und b die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind.

Regelmäßiges Dreieck

Diese Art von geometrischer Figur unterscheidet sich dadurch, dass ihre Fläche nur mit dem angegebenen Wert einer ihrer Seiten ermittelt werden kann (da alle Seiten eines regelmäßigen Dreiecks gleich sind). Wenn Sie also vor der Aufgabe stehen, „die Fläche eines Dreiecks bei gleichen Seiten zu ermitteln“, müssen Sie die folgende Formel verwenden:

S = A 2 *√3 / 4,

wobei A die Seite des gleichseitigen Dreiecks ist.

Herons Formel

Die letzte Möglichkeit, die Fläche eines Dreiecks zu ermitteln, ist die Heron-Formel. Um es verwenden zu können, müssen Sie die Länge der drei Seiten der Figur kennen. Herons Formel sieht so aus:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

wobei a, b und c die Seiten eines gegebenen Dreiecks sind.

Manchmal wird das Problem gestellt: „Die Fläche eines regelmäßigen Dreiecks besteht darin, die Länge seiner Seite zu ermitteln.“ In diesem Fall müssen wir die uns bereits bekannte Formel zum Ermitteln der Fläche eines regelmäßigen Dreiecks verwenden und daraus den Wert der Seite (oder ihres Quadrats) ableiten:

A 2 = 4S / √3.

Prüfungsaufgaben

Es gibt viele Formeln in GIA-Aufgaben in der Mathematik. Darüber hinaus ist es häufig erforderlich, die Fläche eines Dreiecks auf kariertem Papier zu ermitteln.

In diesem Fall ist es am bequemsten, die Höhe einer der Seiten der Figur zu zeichnen, ihre Länge aus den Zellen zu bestimmen und die universelle Formel zum Ermitteln der Fläche zu verwenden:

Nachdem Sie die im Artikel vorgestellten Formeln studiert haben, werden Sie also keine Probleme haben, die Fläche eines Dreiecks jeglicher Art zu finden.

Anweisungen

Partys und Winkel gelten als Grundelemente A. Ein Dreieck wird vollständig durch eines seiner folgenden Grundelemente definiert: entweder drei Seiten oder eine Seite und zwei Winkel oder zwei Seiten und einen Winkel zwischen ihnen. Für die Existenz Dreieck gegeben durch drei Seiten a, b, c, ist es notwendig und ausreichend, die Ungleichungen zu erfüllen, die Ungleichungen genannt werden Dreieck:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Zum Bauen Dreieck Auf drei Seiten a, b, c ist es notwendig, vom Punkt C des Segments CB = a aus mit einem Zirkel einen Kreis mit Radius b zu zeichnen. Zeichnen Sie dann auf die gleiche Weise einen Kreis vom Punkt B aus mit einem Radius gleich der Seite c. Ihr Schnittpunkt A ist der dritte Scheitelpunkt des Gewünschten Dreieck ABC, wobei AB=c, CB=a, CA=b – Seiten Dreieck. Das Problem gilt, wenn die Seiten a, b, c die Ungleichungen erfüllen Dreieck in Schritt 1 angegeben.

Auf diese Weise konstruierter Bereich S Dreieck ABC mit bekannten Seiten a, b, c wird mit der Formel von Heron berechnet:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
wobei a, b, c Seiten sind Dreieck, p – Halbumfang.
p = (a+b+c)/2

Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, d. h. alle seine Seiten gleich sind (a=b=c).Fläche Dreieck berechnet nach der Formel:
S=(a^2 v3)/4

Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, das heißt, einer seiner Winkel gleich 90° ist und die Seiten, die es bilden, Schenkel sind, ist die dritte Seite die Hypotenuse. In diesem Fall Quadrat entspricht dem Produkt der Beine dividiert durch zwei.
S=ab/2

Finden Quadrat Dreieck, können Sie eine der vielen Formeln verwenden. Wählen Sie eine Formel abhängig davon, welche Daten bereits bekannt sind.

Du wirst brauchen

• Kenntnis der Formeln zur Bestimmung der Fläche eines Dreiecks

Anweisungen

Wenn Sie die Größe einer der Seiten und den Wert der zu dieser Seite abgesenkten Höhe aus dem gegenüberliegenden Winkel kennen, können Sie die Fläche wie folgt ermitteln: S = a*h/2, wobei S die Fläche ist des Dreiecks ist a eine der Seiten des Dreiecks und h die Höhe zur Seite a.

Es gibt eine bekannte Methode zur Bestimmung der Fläche eines Dreiecks, wenn seine drei Seiten bekannt sind. Es ist Herons Formel. Um die Aufzeichnung zu vereinfachen, wird ein Zwischenwert eingeführt – Halbumfang: p = (a+b+c)/2, wobei a, b, c – . Dann lautet Herons Formel wie folgt: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ Potenzierung.

Nehmen wir an, Sie kennen eine Seite eines Dreiecks und drei Winkel. Dann ist es leicht, die Fläche des Dreiecks zu ermitteln: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), wobei β der Winkel gegenüber der Seite a und α und γ die zur Seite benachbarten Winkel sind.

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beachten Sie

Am meisten allgemeine Formel, die für alle Fälle geeignet ist, ist Herons Formel.

Quellen:

Tipp 3: So ermitteln Sie die Fläche eines Dreiecks anhand von drei Seiten

Das Ermitteln der Fläche eines Dreiecks ist eines der häufigsten Probleme in der Schulplanimetrie. Die Kenntnis der drei Seiten eines Dreiecks reicht aus, um die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen. In besonderen Fällen gleichseitiger Dreiecke reicht es aus, die Längen von zwei bzw. einer Seite zu kennen.

Du wirst brauchen

• Seitenlängen von Dreiecken, Heronsche Formel, Kosinussatz

Anweisungen

Herons Formel für die Fläche eines Dreiecks lautet wie folgt: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Wenn wir den Halbumfang p schreiben, erhalten wir: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Eine Formel für die Fläche eines Dreiecks kann man aus Überlegungen beispielsweise durch Anwendung des Kosinussatzes ableiten.

Nach dem Kosinussatz gilt AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Mit den eingeführten Notationen können diese auch in der Form geschrieben werden: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Daher ist cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Die Fläche eines Dreiecks wird auch durch die Formel S = a*c*sin(ABC)/2 unter Verwendung zweier Seiten und des Winkels zwischen ihnen ermittelt. Der Sinus des Winkels ABC kann dadurch ausgedrückt werden, indem man die grundlegende trigonometrische Identität verwendet: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Indem man den Sinus in die Formel für die Fläche einsetzt und ausschreibt , können Sie die Formel für die Fläche des Dreiecks ABC ermitteln.

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Für Reparatur Möglicherweise ist eine Messung erforderlich Quadrat Wände Es ist einfacher zu berechnen erforderliche Menge Farbe oder Tapete. Für Messungen verwenden Sie am besten ein Maßband oder Maßband. Anschließend sollten Messungen vorgenommen werden Wände wurden eingeebnet.

Du wirst brauchen

• -Roulette;
• -Leiter.

Anweisungen

Zählen Quadrat Wände müssen Sie die genaue Höhe der Decken kennen und auch die Länge entlang des Bodens messen. Dies geschieht wie folgt: Nehmen Sie einen Zentimeter und legen Sie ihn über die Fußleiste. Normalerweise reicht ein Zentimeter nicht für die gesamte Länge aus. Befestigen Sie es daher in der Ecke und wickeln Sie es dann auf die maximale Länge ab. Setzen Sie an dieser Stelle eine Markierung mit einem Bleistift, notieren Sie das erhaltene Ergebnis und führen Sie weitere Messungen auf die gleiche Weise, beginnend mit dem letzten Messpunkt, durch.

Die Standarddecken betragen je nach Haus 2 Meter 80 Zentimeter, 3 Meter und 3 Meter 20 Zentimeter. Wenn das Haus vor den 50er Jahren gebaut wurde, ist die tatsächliche Höhe höchstwahrscheinlich etwas niedriger als angegeben. Wenn Sie rechnen Quadrat Für Reparaturarbeiten kann ein kleiner Vorrat nicht schaden - berücksichtigen Sie dies anhand der Norm. Wenn Sie dennoch die tatsächliche Höhe wissen müssen, nehmen Sie Messungen vor. Das Prinzip ähnelt der Längenmessung, allerdings benötigen Sie eine Trittleiter.

Multiplizieren Sie die resultierenden Indikatoren – das ist Quadrat dein Wände. Es stimmt, beim Malen oder zum Malen ist es notwendig, etwas zu subtrahieren Quadrat Tür und Fensteröffnungen. Legen Sie dazu einen Zentimeter entlang der Öffnung. Wenn es sich um eine Tür handelt, die Sie später austauschen möchten, führen Sie dies mit der ausgebauten Tür durch Türrahmen, nur unter Berücksichtigung Quadrat direkt zur Öffnung selbst. Die Fläche des Fensters wird entlang des Umfangs seines Rahmens berechnet. Nachdem Quadrat Wenn Sie Fenster und Türöffnung berechnet haben, subtrahieren Sie das Ergebnis von der resultierenden Gesamtfläche des Raums.

Bitte beachten Sie, dass die Messung der Länge und Breite des Raumes von zwei Personen durchgeführt wird, dies erleichtert das Anbringen eines Zentimeter- oder Maßbandes und dementsprechend ein genaueres Ergebnis. Führen Sie die gleiche Messung mehrmals durch, um sicherzustellen, dass die erhaltenen Zahlen korrekt sind.

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Das Volumen eines Dreiecks zu ermitteln ist wirklich keine triviale Aufgabe. Tatsache ist, dass ein Dreieck eine zweidimensionale Figur ist, d.h. es liegt vollständig in einer Ebene, hat also einfach kein Volumen. Natürlich kann man nichts finden, was es nicht gibt. Aber lasst uns nicht aufgeben! Wir können die folgende Annahme akzeptieren: Das Volumen einer zweidimensionalen Figur ist ihre Fläche. Wir werden nach der Fläche des Dreiecks suchen.

Du wirst brauchen

• Blatt Papier, Bleistift, Lineal, Taschenrechner

Anweisungen

Zeichnen Sie mit Lineal und Bleistift auf ein Blatt Papier. Durch sorgfältige Untersuchung des Dreiecks können Sie sicherstellen, dass es sich tatsächlich nicht um ein Dreieck handelt, da es auf einer Ebene gezeichnet ist. Beschriften Sie die Seiten des Dreiecks: Eine Seite sei „a“, die andere Seite „b“ und die dritte Seite „c“. Beschriften Sie die Eckpunkte des Dreiecks mit den Buchstaben „A“, „B“ und „C“.

Messen Sie eine beliebige Seite des Dreiecks mit einem Lineal und notieren Sie das Ergebnis. Stellen Sie anschließend vom gegenüberliegenden Scheitelpunkt aus eine Senkrechte zur gemessenen Seite her. Diese Senkrechte entspricht der Höhe des Dreiecks. Im in der Abbildung gezeigten Fall wird die Senkrechte „h“ vom Scheitelpunkt „A“ zur Seite „c“ wiederhergestellt. Messen Sie die resultierende Höhe mit einem Lineal und notieren Sie das Messergebnis.

Es kann für Sie schwierig sein, die exakte Senkrechte wiederherzustellen. In diesem Fall sollten Sie eine andere Formel verwenden. Messen Sie alle Seiten des Dreiecks mit einem Lineal. Berechnen Sie anschließend den Halbumfang des Dreiecks „p“, indem Sie die resultierenden Längen der Seiten addieren und ihre Summe in zwei Hälften teilen. Wenn Sie über den Wert des Halbumfangs verfügen, können Sie die Formel von Heron verwenden. Dazu müssen Sie extrahieren Quadratwurzel aus dem Folgenden: p(p-a)(p-b)(p-c).

Sie haben die erforderliche Fläche des Dreiecks erhalten. Das Problem, das Volumen eines Dreiecks zu ermitteln, ist nicht gelöst, das Volumen jedoch, wie oben erwähnt, nicht. In der dreidimensionalen Welt kann man ein Volumen finden, das im Wesentlichen ein Dreieck ist. Wenn wir uns vorstellen, dass unser ursprüngliches Dreieck zu einer dreidimensionalen Pyramide geworden ist, dann ist das Volumen einer solchen Pyramide das Produkt der Länge ihrer Basis und der Fläche des Dreiecks, die wir erhalten haben.

beachten Sie

Je sorgfältiger Sie messen, desto genauer werden Ihre Berechnungen.

Quellen:

• Rechner „Alles zu allem“ – ein Portal für Richtwerte
• Dreiecksvolumen im Jahr 2019

Die drei Punkte, die ein Dreieck im kartesischen Koordinatensystem eindeutig definieren, sind seine Eckpunkte. Wenn Sie ihre Position relativ zu jeder der Koordinatenachsen kennen, können Sie alle Parameter dieser flachen Figur berechnen, einschließlich der durch ihren Umfang begrenzten Quadrat. Dies kann auf verschiedene Arten erfolgen.

Anweisungen

Verwenden Sie die Formel von Heron, um die Fläche zu berechnen Dreieck. Dabei geht es um die Abmessungen der drei Seiten der Figur. Beginnen Sie Ihre Berechnungen also mit . Die Länge jeder Seite muss gleich der Wurzel der Summe der Quadrate der Längen ihrer Projektionen auf die Koordinatenachsen sein. Wenn wir die Koordinaten A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) und C(X₃,Y₃,Z₃) bezeichnen, können die Längen ihrer Seiten wie folgt ausgedrückt werden: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Um die Berechnungen zu vereinfachen, führen Sie eine Hilfsvariable ein – Semiperimeter (P). Aus der Tatsache, dass dies die Hälfte der Summe der Längen aller Seiten ist: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).