Was sind gerade Strahlen? Die relative Position von Linien auf einer Ebene

Ein Punkt und eine Gerade sind die geometrischen Grundfiguren auf einer Ebene.

Der antike griechische Wissenschaftler Euklid sagte: „Ein Punkt“ ist etwas, das keine Teile hat.“ Das Wort „Punkt“ übersetzt aus Lateinische Sprache bedeutet das Ergebnis einer sofortigen Berührung, eines Stiches. Ein Punkt ist die Grundlage für die Konstruktion jeder geometrischen Figur.

Eine Gerade oder einfach Gerade ist eine Linie, entlang derer der Abstand zwischen zwei Punkten am kürzesten ist. Eine gerade Linie ist unendlich und es ist unmöglich, die gesamte gerade Linie darzustellen und zu messen.

Punkte werden mit lateinischen Großbuchstaben A, B, C, D, E usw. und Geraden mit denselben Buchstaben, jedoch mit Kleinbuchstaben a, b, c, d, e usw., bezeichnet. Eine Gerade kann auch mit bezeichnet werden zwei Buchstaben, die den auf ihr liegenden Punkten entsprechen. Beispielsweise kann die Gerade a mit AB bezeichnet werden.

Wir können sagen, dass die Punkte AB auf der Linie a liegen oder zur Linie a gehören. Und wir können sagen, dass die Gerade a durch die Punkte A und B verläuft.

Protozoen geometrische Figuren auf einer Ebene ist es ein Segment, ein Strahl, eine unterbrochene Linie.

Ein Segment ist ein Teil einer Linie, der aus allen Punkten dieser Linie besteht und durch zwei ausgewählte Punkte begrenzt wird. Diese Punkte sind die Enden des Segments. Ein Segment wird durch die Angabe seiner Enden gekennzeichnet.

Ein Strahl oder eine Halblinie ist ein Teil einer Linie, der aus allen Punkten dieser Linie besteht, die auf einer Seite eines bestimmten Punktes liegen. Dieser Punkt wird als Startpunkt der Halblinie oder Anfang des Strahls bezeichnet. Der Balken hat einen Anfangspunkt, aber kein Ende.

Halblinien oder Strahlen werden durch zwei lateinische Kleinbuchstaben bezeichnet: den Anfangsbuchstaben und jeden anderen Buchstaben, der einem Punkt entspricht, der zur Halblinie gehört. In diesem Fall wird der Startpunkt an erster Stelle platziert.

Es stellt sich heraus, dass die Gerade unendlich ist: Sie hat weder Anfang noch Ende; Ein Strahl hat nur einen Anfang, aber kein Ende, aber ein Segment hat einen Anfang und ein Ende. Daher können wir nur ein Segment messen.

Mehrere Segmente, die nacheinander so miteinander verbunden sind, dass die (benachbarten) Segmente, die einen gemeinsamen Punkt haben, nicht auf derselben Geraden liegen, stellen eine unterbrochene Linie dar.

Eine unterbrochene Linie kann geschlossen oder offen sein. Wenn das Ende des letzten Segments mit dem Anfang des ersten zusammenfällt, haben wir eine geschlossene gestrichelte Linie; wenn nicht, handelt es sich um eine offene Linie.

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Ein Punkt und eine Gerade sind die geometrischen Grundfiguren auf einer Ebene.

Der antike griechische Wissenschaftler Euklid sagte: „Ein Punkt“ ist etwas, das keine Teile hat.“ Das aus dem Lateinischen übersetzte Wort „Punkt“ bedeutet das Ergebnis einer sofortigen Berührung, einer Injektion. Ein Punkt ist die Grundlage für die Konstruktion jeder geometrischen Figur.

Eine Gerade oder einfach Gerade ist eine Linie, entlang derer der Abstand zwischen zwei Punkten am kürzesten ist. Eine gerade Linie ist unendlich und es ist unmöglich, die gesamte gerade Linie darzustellen und zu messen.

Punkte werden mit lateinischen Großbuchstaben A, B, C, D, E usw. und Geraden mit denselben Buchstaben, jedoch mit Kleinbuchstaben a, b, c, d, e usw., bezeichnet. Eine Gerade kann auch mit bezeichnet werden zwei Buchstaben, die den auf ihr liegenden Punkten entsprechen. Beispielsweise kann die Gerade a mit AB bezeichnet werden.

Wir können sagen, dass die Punkte AB auf der Linie a liegen oder zur Linie a gehören. Und wir können sagen, dass die Gerade a durch die Punkte A und B verläuft.

Die einfachsten geometrischen Figuren auf einer Ebene sind ein Segment, ein Strahl, eine gestrichelte Linie.

Ein Segment ist ein Teil einer Linie, der aus allen Punkten dieser Linie besteht und durch zwei ausgewählte Punkte begrenzt wird. Diese Punkte sind die Enden des Segments. Ein Segment wird durch die Angabe seiner Enden gekennzeichnet.

Ein Strahl oder eine Halblinie ist ein Teil einer Linie, der aus allen Punkten dieser Linie besteht, die auf einer Seite eines bestimmten Punktes liegen. Dieser Punkt wird als Startpunkt der Halblinie oder Anfang des Strahls bezeichnet. Der Balken hat einen Anfangspunkt, aber kein Ende.

Halblinien oder Strahlen werden durch zwei lateinische Kleinbuchstaben bezeichnet: den Anfangsbuchstaben und jeden anderen Buchstaben, der einem Punkt entspricht, der zur Halblinie gehört. In diesem Fall wird der Startpunkt an erster Stelle platziert.

Es stellt sich heraus, dass die Gerade unendlich ist: Sie hat weder Anfang noch Ende; Ein Strahl hat nur einen Anfang, aber kein Ende, aber ein Segment hat einen Anfang und ein Ende. Daher können wir nur ein Segment messen.

Mehrere Segmente, die nacheinander so miteinander verbunden sind, dass die (benachbarten) Segmente, die einen gemeinsamen Punkt haben, nicht auf derselben Geraden liegen, stellen eine unterbrochene Linie dar.

Eine unterbrochene Linie kann geschlossen oder offen sein. Wenn das Ende des letzten Segments mit dem Anfang des ersten zusammenfällt, haben wir eine geschlossene gestrichelte Linie; wenn nicht, handelt es sich um eine offene Linie.

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Wir werden uns mit den einzelnen Themen befassen und am Ende wird es Tests zu den Themen geben.

Punkt in der Mathematik

Was ist ein Punkt in der Mathematik? Ein mathematischer Punkt hat keine Dimensionen und wird mit Großbuchstaben bezeichnet: A, B, C, D, F usw.

In der Abbildung sehen Sie ein Bild der Punkte A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Segment in Mathematik

Was ist ein Segment in der Mathematik? Im Mathematikunterricht hört man folgende Erklärung: Ein mathematischer Abschnitt hat eine Länge und endet. Ein Segment ist in der Mathematik die Menge aller Punkte, die auf einer geraden Linie zwischen den Enden des Segments liegen. Die Enden des Segments sind zwei Grenzpunkte.

In der Abbildung sehen wir Folgendes: Segmente ,,,, und sowie zwei Punkte B und S.

Direkt in Mathematik

Was ist eine Gerade in der Mathematik? Die Definition einer geraden Linie in der Mathematik lautet, dass eine gerade Linie kein Ende hat und sich in beide Richtungen auf unbestimmte Zeit fortsetzen kann. Eine Gerade wird in der Mathematik durch zwei beliebige Punkte auf einer Geraden bezeichnet. Um einem Schüler das Konzept einer geraden Linie zu erklären, kann man sagen, dass eine gerade Linie ein Segment ist, das keine zwei Enden hat.

Die Abbildung zeigt zwei Geraden: CD und EF.

Strahl in der Mathematik

Was ist ein Strahl? Definition eines Strahls in der Mathematik: Ein Strahl ist ein Teil einer Linie, die einen Anfang und kein Ende hat. Der Name des Balkens enthält zwei Buchstaben, zum Beispiel DC. Darüber hinaus gibt der erste Buchstabe immer den Startpunkt des Balkens an, sodass Buchstaben nicht vertauscht werden können.

Die Abbildung zeigt die Strahlen: DC, KC, EF, MT, MS. Die Balken KC und KD sind ein Balken, weil sie haben einen gemeinsamen Ursprung.

Zahlenstrahl in der Mathematik

Definition einer Zahlenlinie in der Mathematik: Eine Linie, deren Punkte Zahlen markieren, wird Zahlenlinie genannt.

Die Abbildung zeigt den Zahlenstrahl sowie die OD- und ED-Strahlen

In diesem Artikel werden wir uns ausführlich mit einem der Grundkonzepte der Geometrie befassen – dem Konzept einer geraden Linie auf einer Ebene. Definieren wir zunächst die grundlegenden Begriffe und Bezeichnungen. Als nächstes besprechen wir die relative Lage einer Geraden und eines Punktes sowie zweier Geraden in einer Ebene und stellen die notwendigen Axiome vor. Abschließend werden wir Möglichkeiten zur Definition einer geraden Linie in einer Ebene betrachten und grafische Darstellungen bereitstellen.

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Eine gerade Linie in einer Ebene ist ein Konzept.

Bevor Sie das Konzept einer geraden Linie in einer Ebene erläutern, sollten Sie klar verstehen, was eine Ebene ist. Konzept eines Flugzeugs ermöglicht es Ihnen, beispielsweise eine ebene Fläche auf einem Tisch oder einer Wand zu Hause zu schaffen. Es ist jedoch zu bedenken, dass die Abmessungen des Tisches begrenzt sind und die Ebene über diese Grenzen hinaus bis ins Unendliche reicht (als ob wir einen beliebig großen Tisch hätten).

Wenn wir einen gut gespitzten Bleistift nehmen und mit seiner Spitze die Oberfläche des „Tisches“ berühren, erhalten wir das Bild eines Punktes. So kommen wir Darstellung eines Punktes auf einer Ebene.

Jetzt können Sie fortfahren das Konzept einer geraden Linie in einer Ebene.

Legen Sie ein Blatt sauberes Papier auf die Tischoberfläche (auf eine Ebene). Um eine gerade Linie zu zeichnen, müssen wir ein Lineal nehmen und mit einem Bleistift eine Linie zeichnen, soweit es die Größe des Lineals und des verwendeten Blattes Papier zulässt. Es ist zu beachten, dass wir auf diese Weise nur einen Teil der Linie erhalten. Wir können uns nur eine ganze gerade Linie vorstellen, die bis ins Unendliche reicht.

Die relative Position einer Linie und eines Punktes.

Wir sollten mit dem Axiom beginnen: Auf jeder Geraden und in jeder Ebene gibt es Punkte.

Punkte werden normalerweise in lateinischen Großbuchstaben angegeben, zum Beispiel die Punkte A und F. Gerade Linien wiederum werden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet, zum Beispiel die Geraden a und d.

Möglich zwei Optionen für die relative Position einer Linie und eines Punktes auf einer Ebene: Entweder liegt der Punkt auf der Geraden (in diesem Fall sagt man auch, dass die Gerade durch den Punkt geht), oder der Punkt liegt nicht auf der Geraden (man sagt auch, dass der Punkt nicht zur Geraden gehört). Linie geht nicht durch den Punkt).

Um anzuzeigen, dass ein Punkt zu einer bestimmten Linie gehört, verwenden Sie das Symbol „“. Wenn zum Beispiel Punkt A auf der Geraden a liegt, können wir schreiben. Wenn Punkt A nicht zur Linie a gehört, dann schreiben Sie.

Die folgende Aussage ist wahr: Es gibt nur eine Gerade, die durch zwei beliebige Punkte geht.

Diese Aussage ist ein Axiom und sollte als Tatsache akzeptiert werden. Außerdem ist das ganz offensichtlich: Wir markieren zwei Punkte auf dem Papier, legen ein Lineal darauf und zeichnen eine gerade Linie. Eine gerade Linie, die durch zwei gegebene Punkte (zum Beispiel durch die Punkte A und B) verläuft, kann mit diesen beiden Buchstaben bezeichnet werden (in unserem Fall gerade Linie AB oder BA).

Es versteht sich, dass es auf einer in einer Ebene definierten Geraden unendlich viele verschiedene Punkte gibt und alle diese Punkte in derselben Ebene liegen. Diese Aussage wird durch das Axiom begründet: Liegen zwei Punkte einer Geraden in einer bestimmten Ebene, dann liegen alle Punkte dieser Geraden in dieser Ebene.

Man nennt die Menge aller Punkte, die zwischen zwei auf einer Geraden gegebenen Punkten liegen, zusammen mit diesen Punkten gerades Liniensegment oder einfach Segment. Die das Segment begrenzenden Punkte werden als Segmentenden bezeichnet. Ein Segment wird durch zwei Buchstaben gekennzeichnet, die den Endpunkten des Segments entsprechen. Angenommen, die Punkte A und B seien die Enden eines Segments, dann kann dieses Segment als AB oder BA bezeichnet werden. Bitte beachten Sie, dass diese Bezeichnung für ein Segment mit der Bezeichnung für eine Gerade übereinstimmt. Um Verwirrung zu vermeiden, empfehlen wir, der Bezeichnung das Wort „Segment“ oder „gerade“ hinzuzufügen.

Um kurz festzuhalten, ob ein bestimmter Punkt zu einem bestimmten Segment gehört oder nicht, werden die gleichen Symbole und verwendet. Um zu zeigen, dass ein bestimmtes Segment auf einer Geraden liegt oder nicht, verwenden Sie die Symbole bzw. Wenn beispielsweise das Segment AB zur Zeile a gehört, können Sie kurz schreiben.

Wir sollten uns auch mit dem Fall befassen, dass drei verschiedene Punkte zur gleichen Linie gehören. In diesem Fall liegt ein und nur ein Punkt zwischen den beiden anderen. Diese Aussage ist ein weiteres Axiom. Lassen Sie die Punkte A, B und C auf derselben Linie liegen und Punkt B liegt zwischen den Punkten A und C. Dann können wir sagen, dass die Punkte A und C auf gegenüberliegenden Seiten von Punkt B liegen. Wir können auch sagen, dass die Punkte B und C auf derselben Seite von Punkt A liegen und die Punkte A und B auf derselben Seite von Punkt C.

Um das Bild zu vervollständigen, stellen wir fest, dass jeder Punkt auf einer Linie diese Linie in zwei Teile teilt – zwei Strahl. Für diesen Fall ist ein Axiom gegeben: Ein beliebiger Punkt O, der zu einer Linie gehört, teilt diese Linie in zwei Strahlen, und zwei beliebige Punkte eines Strahls liegen auf derselben Seite des Punktes O und zwei beliebige Punkte verschiedener Strahlen liegen auf gegenüberliegenden Seiten des Punktes O.

Die relative Position von Linien auf einer Ebene.

Beantworten wir nun die Frage: „Wie können zwei Geraden relativ zueinander auf einer Ebene liegen?“

Erstens können zwei gerade Linien in einer Ebene übereinstimmen.

Dies ist möglich, wenn die Linien mindestens zwei gemeinsame Punkte haben. Tatsächlich gibt es aufgrund des im vorherigen Absatz genannten Axioms nur eine gerade Linie, die durch zwei Punkte verläuft. Mit anderen Worten: Wenn zwei Geraden durch zwei gegebene Punkte verlaufen, dann fallen sie zusammen.

Zweitens können zwei gerade Linien in einer Ebene kreuzen.

In diesem Fall haben die Geraden einen gemeinsamen Punkt, der als Schnittpunkt der Geraden bezeichnet wird. Der Schnittpunkt von Geraden wird mit dem Symbol „“ bezeichnet, der Eintrag bedeutet beispielsweise, dass sich die Geraden a und b im Punkt M schneiden. Sich kreuzende Linien führen uns zum Konzept des Winkels zwischen sich kreuzenden Linien. Unabhängig davon lohnt es sich, die Lage von Geraden in einer Ebene zu berücksichtigen, wenn der Winkel zwischen ihnen neunzig Grad beträgt. In diesem Fall werden die Leitungen aufgerufen aufrecht(Wir empfehlen den Artikel senkrechte Linien, Rechtwinkligkeit von Linien). Wenn die Linie a senkrecht zur Linie b verläuft, kann die Kurzschreibweise verwendet werden.

Drittens können zwei Geraden in einer Ebene parallel sein.

Aus praktischer Sicht ist es zweckmäßig, eine Gerade in einer Ebene zusammen mit Vektoren zu betrachten. Von besonderer Bedeutung sind Vektoren ungleich Null, die auf einer bestimmten Geraden oder einer der parallelen Geraden liegen; sie werden aufgerufen Richtungsvektoren einer Geraden. Der Artikel Richtungsvektor einer Geraden in einer Ebene gibt Beispiele für Richtungsvektoren und zeigt Möglichkeiten für deren Verwendung bei der Lösung von Problemen.

Sie sollten auch auf Vektoren ungleich Null achten, die auf einer der Linien senkrecht zu dieser Linie liegen. Solche Vektoren heißen Normallinienvektoren. Die Verwendung von Normallinienvektoren wird im Artikel Normallinienvektor auf einer Ebene beschrieben.

Wenn drei oder mehr Geraden auf einer Ebene gegeben sind, dann entsteht eine Menge Verschiedene Optionen ihre relative Position. Alle Linien können parallel sein, andernfalls schneiden sich einige oder alle von ihnen. In diesem Fall können sich alle Linien in einem einzigen Punkt schneiden (siehe den Artikel über eine Reihe von Linien) oder dies auch tun verschiedene Punkte Kreuzungen.

Wir werden hier nicht näher darauf eingehen, sondern ohne Beweise einige bemerkenswerte und sehr oft verwendete Fakten präsentieren:

• wenn zwei Geraden parallel zu einer dritten Geraden sind, dann sind sie parallel zueinander;
• Stehen zwei Geraden senkrecht auf einer dritten Geraden, dann sind sie parallel zueinander;
• Wenn eine bestimmte Gerade auf einer Ebene eine von zwei parallelen Geraden schneidet, dann schneidet sie auch die zweite Gerade.

Methoden zum Definieren einer geraden Linie auf einer Ebene.

Jetzt listen wir die wichtigsten Möglichkeiten auf, wie Sie eine bestimmte gerade Linie auf einer Ebene definieren können. Dieses Wissen ist aus praktischer Sicht sehr nützlich, da die Lösung vieler Beispiele und Probleme darauf basiert.

Erstens kann eine Gerade durch die Angabe zweier Punkte auf einer Ebene definiert werden.

Tatsächlich wissen wir aus dem im ersten Absatz dieses Artikels besprochenen Axiom, dass eine gerade Linie durch zwei Punkte verläuft, und zwar nur durch einen.

Wenn die Koordinaten zweier divergierender Punkte in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene angegeben werden, ist es möglich, die Gleichung einer Geraden aufzuschreiben, die durch zwei gegebene Punkte verläuft.

Zweitens kann eine Linie angegeben werden, indem der Punkt, durch den sie verläuft, und die Linie, zu der sie parallel ist, angegeben werden. Diese Methode ist fair, da durch dieser Punkt Ebene gibt es nur eine Gerade parallel zu einer gegebenen Geraden. Der Beweis dieser Tatsache wurde im Geometrieunterricht im Gymnasium erbracht.

Wenn auf diese Weise eine Gerade in einer Ebene relativ zum eingeführten rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem definiert wird, ist es möglich, ihre Gleichung aufzustellen. Darüber wird im Artikel „Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt parallel zu einer gegebenen Geraden verläuft“ geschrieben.

Drittens kann eine Gerade durch Angabe des Punktes, durch den sie verläuft, und ihres Richtungsvektors angegeben werden.

Wenn eine Gerade in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf diese Weise gegeben ist, ist es einfach, die kanonische Gleichung einer Geraden in einer Ebene und die parametrischen Gleichungen einer Geraden in einer Ebene zu konstruieren.

Die vierte Möglichkeit, eine Linie anzugeben, besteht darin, den Punkt anzugeben, durch den sie verläuft, und die Linie, zu der sie senkrecht steht. Tatsächlich, durch angegebenen Punkt Ebene gibt es nur eine Linie senkrecht zur gegebenen Linie. Lassen wir diese Tatsache ohne Beweise.

Schließlich kann eine Linie in einer Ebene angegeben werden, indem der Punkt, durch den sie verläuft, und der Normalenvektor der Linie angegeben werden.

Wenn die Koordinaten eines auf einer gegebenen Geraden liegenden Punktes und die Koordinaten des Normalenvektors der Geraden bekannt sind, ist es möglich, die allgemeine Geradengleichung aufzustellen.

Referenzliste.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Klassen 7 – 9: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Lehrbuch für die Klassen 10-11 der Sekundarschule.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Höhere Mathematik. Band eins: Elemente der linearen Algebra und der analytischen Geometrie.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytische Geometrie.

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