proprietățile sinusurilor. Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice

În acest articol, vom arunca o privire cuprinzătoare asupra . Identitățile trigonometrice de bază sunt egalități care stabilesc o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi și vă permit să găsiți oricare dintre acestea. funcții trigonometrice printr-un altul cunoscut.

Enumerăm imediat principalele identități trigonometrice, pe care le vom analiza în acest articol. Le notăm într-un tabel, iar mai jos dăm derivarea acestor formule și dăm explicațiile necesare.

Navigare în pagină.

Relația dintre sinus și cosinus unui unghi

Uneori vorbesc nu despre principalele identități trigonometrice enumerate în tabelul de mai sus, ci despre una singură identitate trigonometrică de bază drăguț . Explicația pentru acest fapt este destul de simplă: egalitățile sunt obținute din identitatea trigonometrică de bază după împărțirea ambelor părți la și, respectiv, și egalitățile Și rezultă din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Vom discuta acest lucru mai detaliat în paragrafele următoare.

Adică, egalitatea este de interes deosebit, căreia i s-a dat numele identității trigonometrice principale.

Înainte de a demonstra identitatea trigonometrică de bază, dăm formularea acesteia: suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este identic egală cu unu. Acum să demonstrăm.

Identitatea trigonometrică de bază este foarte des folosită în transformare expresii trigonometrice . Acesta permite ca suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi să fie înlocuită cu unul. Nu mai rar, identitatea trigonometrică de bază este folosită în ordine inversă: unitatea este înlocuită cu suma pătratelor sinusului și cosinusului oricărui unghi.

Tangenta si cotangenta prin sinus si cosinus

Identități care leagă tangenta și cotangenta cu sinusul și cosinusul unui unghi al formei și urmează imediat din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Într-adevăr, prin definiție, sinusul este ordonata lui y, cosinusul este abscisa lui x, tangenta este raportul dintre ordonată și abscisa, adică , iar cotangenta este raportul dintre abscisă și ordonată, adică .

Datorită acestei evidenţe a identităţilor şi adesea definițiile tangentei și cotangentei sunt date nu prin raportul dintre abscisă și ordonată, ci prin raportul dintre sinus și cosinus. Deci tangenta unui unghi este raportul dintre sinus și cosinusul acestui unghi, iar cotangenta este raportul dintre cosinus și sinus.

Pentru a încheia această secțiune, trebuie remarcat faptul că identitățile și Ține loc pentru toate astfel de unghiuri pentru care funcțiile trigonometrice din ele au sens. Deci formula este valabilă pentru orice altceva decât (altfel numitorul va fi zero și nu am definit împărțirea cu zero), iar formula - for all , diferit de , unde z este oricare .

Relația dintre tangentă și cotangentă

O identitate trigonometrică și mai evidentă decât cele două anterioare este identitatea care leagă tangentei și cotangentei unui unghi al formei . Este clar că are loc pentru orice alte unghiuri decât , altfel nici tangenta, fie cotangenta nu sunt definite.

Dovada formulei foarte simplu. Prin definiție și de unde . Dovada ar fi putut fi realizată într-un mod ușor diferit. Din moment ce şi , Acea .

Deci, tangenta și cotangenta unui unghi, la care au sens, este.

- sigur vor fi sarcini în trigonometrie. Trigonometria este adesea antipatică pentru că trebuie să înghesuiți o cantitate imensă de formule dificile pline de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente. Site-ul a oferit deja o dată sfaturi despre cum să vă amintiți o formulă uitată, folosind exemplul formulelor Euler și Peel.

Și în acest articol vom încerca să arătăm că este suficient să cunoaștem cu fermitate doar cinci dintre cele mai simple formule trigonometrice și să ai despre restul ideea generalași scoate-le pe măsură ce mergi. Este ca și în cazul ADN-ului: desenele complete ale unei ființe vii terminate nu sunt stocate în moleculă. Conține, mai degrabă, instrucțiuni de asamblare din aminoacizii disponibili. Deci este în trigonometrie, știind ceva principii generale, vom obține toate formulele necesare dintr-un mic set dintre cele care trebuie reținute.

Ne vom baza pe următoarele formule:

Din formulele pentru sinusul și cosinusul sumelor, știind că funcția cosinus este pară și că funcția sinus este impară, înlocuind -b cu b, obținem formule pentru diferențe:

1. Sinus al diferenței: păcat(a-b) = păcatAcos(-b)+cosApăcat(-b) = păcatAcosb-cosApăcatb
2. diferența de cosinus: cos(a-b) = cosAcos(-b)-păcatApăcat(-b) = cosAcosb+păcatApăcatb

Punând a \u003d b în aceleași formule, obținem formulele pentru sinusul și cosinusul unghiurilor duble:

1. Sinusul unui unghi dublu: păcat2a = păcat(a+a) = păcatAcosA+cosApăcatA = 2păcatAcosA
2. Cosinusul unui unghi dublu: cos2a = cos(a+a) = cosAcosA-păcatApăcatA = cos2a-păcat2a

Formulele pentru alte unghiuri multiple se obțin în mod similar:

1. Sinusul unui unghi triplu: păcat3a = păcat(2a+a) = păcat2acosA+cos2apăcatA = (2păcatAcosA)cosA+(cos2a-păcat2a)păcatA = 2păcatAcos2a+păcatAcos2a-păcat 3 a = 3 păcatAcos2a-păcat 3 a = 3 păcatA(1-păcat2a)-păcat 3 a = 3 păcatA-4păcat 3a
2. Cosinusul unui unghi triplu: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosA-păcat2apăcatA = (cos2a-păcat2a)cosA-(2păcatAcosA)păcatA = cos 3a- păcat2acosA-2păcat2acosA = cos 3a-3 păcat2acosA = cos 3 a-3(1- cos2a)cosA = 4cos 3a-3 cosA

Înainte de a trece mai departe, să luăm în considerare o problemă.
Dat: unghiul este acut.
Găsiți-i cosinusul dacă
Soluție dată de un elev:
Deoarece , Acea păcatA= 3,a cosA = 4.
(Din umor matematic)

Deci, definiția tangentei conectează această funcție atât cu sinus, cât și cu cosinus. Dar puteți obține o formulă care oferă legătura tangentei doar cu cosinusul. Pentru a o deriva, luăm identitatea trigonometrică de bază: păcat 2 A+cos 2 A= 1 și împărțiți-l la cos 2 A. Primim:

Deci soluția la această problemă ar fi:

(Deoarece unghiul este acut, semnul + este luat la extragerea rădăcinii)

Formula pentru tangenta sumei este o alta care este greu de retinut. Să-l scoatem astfel:

ieșire imediată și

Din formula cosinus pentru un unghi dublu, puteți obține formulele sinus și cosinus pentru o jumătate de unghi. Pentru a face acest lucru, în partea stângă a formulei cosinus cu unghi dublu:
cos2 A = cos 2 A-păcat 2 A
adăugăm o unitate, iar în dreapta - o unitate trigonometrică, i.e. suma pătratelor sinusului și cosinusului.
cos2a+1 = cos2a-păcat2a+cos2a+păcat2a
2cos 2 A = cos2 A+1
exprimând cosA prin cos2 Ași efectuând o schimbare de variabile, obținem:

Semnul se ia în funcție de cadran.

În mod similar, scăzând unul din partea stângă a egalității și suma pătratelor sinusului și cosinusului din partea dreaptă, obținem:
cos2a-1 = cos2a-păcat2a-cos2a-păcat2a
2păcat 2 A = 1-cos2 A

Și, în sfârșit, pentru a converti suma funcțiilor trigonometrice într-un produs, folosim următorul truc. Să presupunem că trebuie să reprezentăm suma sinusurilor ca produs păcatA+păcatb. Să introducem variabilele x și y astfel încât a = x+y, b+x-y. Apoi
păcatA+păcatb = păcat(x+y)+ păcat(x-y) = păcat X cos y+ cos X păcat y+ păcat X cos y- cos X păcat y=2 păcat X cos y. Să exprimăm acum x și y în termenii a și b.

Deoarece a = x+y, b = x-y, atunci . De aceea

Vă puteți retrage imediat

1. Formula de partiție produse de sinus și cosinus V Cantitate: păcatAcosb = 0.5(păcat(a+b)+păcat(a-b))

Vă recomandăm să practicați și să obțineți formule pentru conversia produsului diferenței sinusurilor și suma și diferența cosinusurilor într-un produs, precum și pentru împărțirea produselor sinusurilor și cosinusurilor într-o sumă. După ce ați făcut aceste exerciții, veți stăpâni temeinic abilitatea de a deriva formule trigonometrice și nu vă veți pierde nici măcar în cel mai dificil control, olimpiada sau testare.

Dacă construim un cerc unitar centrat la origine și stabilim o valoare arbitrară a argumentului x0și numărați din axă Bou colţ X 0, atunci acest unghi pe cercul unitar corespunde unui punct A(Fig. 1) și proiecția sa pe axă Oh va fi un punct M. Lungimea tăiată OM este egal cu valoare absolută abscisa punctuala A. valoare dată argument x0 valoarea funcţiei mapate y= cos X 0 ca abscisa unui punct A. În consecință, punctul ÎN(X 0 ;la 0) aparține graficului funcției la= cos X(Fig. 2). Dacă punct A situat în dreapta axei OU, tocozina va fi pozitivă, dacă la stânga va fi negativă. Dar, în orice caz, ideea A nu poate părăsi cercul. Prin urmare, cosinusul variază de la -1 la 1:

-1 = cos X = 1.

Rotire suplimentară la orice unghi, multiplu de 2 p, returnează un punct A in acelasi loc. Prin urmare, funcția y= cos Xp:

ca ( X+ 2p) = cos X.

Dacă luăm două valori ale argumentului care sunt egale ca valoare absolută, dar opuse ca semn, XȘi - X, găsiți punctele corespunzătoare pe cerc A xȘi Topor. După cum se vede în fig. 3 proiectia lor pe axa Oh este acelasi punct M. De aceea

cos(- X) = cos ( X),

acestea. cosinus este o funcție pară, f(–X) = f(X).

Deci, putem explora proprietățile funcției y= cos X pe segment , și apoi să țină cont de paritatea și periodicitatea acestuia.

La X= 0 punct A se află pe axă Oh, abscisa sa este 1, și deci cos 0 = 1. Cu o creștere X punct A se deplasează în jurul cercului în sus și la stânga, proiecția acestuia, desigur, doar la stânga și pentru x = p/2 cosinus devine 0. Punct Aîn acest moment se ridică la înălțimea maximă, apoi continuă să se deplaseze spre stânga, dar deja coborând. Abscisa ei continuă să scadă până ajunge cea mai mică valoare, egal cu –1 at X= p. Astfel, pe segment, funcția la= cos X scade monoton de la 1 la –1 (Fig. 4, 5).

Din paritatea cosinusului rezultă că pe intervalul [– p, 0], funcția crește monoton de la –1 la 1, luând o valoare zero la x =–p/2. Dacă faceți mai multe perioade, obțineți o curbă ondulată (Fig. 6).

Deci funcția y= cos X ia valori zero la puncte X= p/2 + kp, Unde k- orice număr întreg. Maxime egale cu 1 sunt atinse la puncte X= 2kp, adică cu pasul 2 p, iar minimele egale cu –1 la puncte X= p + 2kp.

Funcția y \u003d sin x.

Pe cercul unității X 0 corespunde punctului A(Fig. 7), și proiecția sa pe axă OU va fi un punct N.W valoarea functiei y 0 = păcat x0 definit ca ordonata unui punct A. Punct ÎN(colţ X 0 ,la 0) aparține graficului funcției y= păcat X(Fig. 8). Este clar că funcția y= păcat X periodic, perioada sa este 2 p:

păcat( X+ 2p) = păcat ( X).

Pentru valorile a două argumente, XȘi - , proiecții ale punctelor lor corespunzătoare A xȘi Topor pe axă OU situat simetric fata de punct DESPRE. De aceea

păcat(- X) = –sin ( X),

acestea. sinus este o funcție impară, f(– X) = –f( X) (Fig. 9).

Dacă punctul A rotiți în jurul unui punct DESPRE in colt p/2 în sens invers acelor de ceasornic (cu alte cuvinte, dacă unghiul X crestere cu p/2), atunci ordonata ei în noua poziție va fi egală cu abscisa în cea veche. Care înseamnă

păcat( X+ p/2) = cos X.

În caz contrar, sinusul este cosinusul, „întârziat” de p/2, deoarece orice valoare a cosinusului se va „repeta” în sinus atunci când argumentul crește cu p/2. Și pentru a construi un grafic sinus, este suficient să deplasați graficul cosinus cu p/2 spre dreapta (Fig. 10). O proprietate extrem de importantă a sinusului este exprimată prin egalitate

Semnificația geometrică a egalității poate fi văzută din Fig. 11. Aici X - aceasta este jumătate din arc AB, și păcatul X - jumătate din acordul corespunzător. Evident, pe măsură ce punctele se apropie AȘi ÎN lungimea coardei se apropie din ce în ce mai mult de lungimea arcului. Din aceeași cifră, este ușor de extras inegalitatea

|păcat X| x|, valabil pentru orice X.

Formula (*) este numită limita minunată de către matematicieni. Din aceasta, în special, rezultă acel păcat X» X la mic X.

Funcții la=tg X y=ctg X. Alte două funcții trigonometrice - tangenta și cotangenta sunt cel mai ușor de definit ca rapoarte ale sinusului și cosinusului deja cunoscute de noi:

Ca și sinus și cosinus, tangenta și cotangenta sunt funcții periodice, dar perioadele lor sunt egale p, adică sunt jumătate din cele ale sinusului și cosinusului. Motivul este clar: dacă sinusul și cosinusul își schimbă semnele, atunci raportul lor nu se va schimba.

Deoarece există un cosinus în numitorul tangentei, tangenta nu este definită în acele puncte în care cosinusul este 0 - când X= p/2 +kp. În toate celelalte puncte crește monoton. Direct X= p/2 + kp pentru tangenta sunt asimptotele verticale. La puncte kp tangentă şi pantă sunt 0 și, respectiv, 1 (Fig. 12).

Cotangenta nu este definită acolo unde sinusul este 0 (când x = kp). În alte puncte scade monoton, iar liniile x = kp – asimptotele sale verticale. La puncte x = p/2 +kp cotangenta se întoarce la 0, iar panta în aceste puncte este -1 (Fig. 13).

Paritate și periodicitate.

O funcție este numită chiar dacă f(–X) = f(X). Funcțiile cosinus și secant sunt pare, iar funcțiile sinus, tangentă, cotangentă și cosecantă sunt impare:

Proprietățile de paritate decurg din simetria punctelor P a si R- A (Fig. 14) în jurul axei X. Cu o astfel de simetrie, ordonata punctului își schimbă semnul (( X;la) merge la ( X; -y)). Toate funcțiile - periodic, sinus, cosinus, secanta și cosecantă au o perioadă de 2 p, și tangentă și cotangentă - p:

Periodicitatea sinusului și cosinusului rezultă din faptul că toate punctele P a + 2 kp, Unde k= 0, ±1, ±2,…, coincid, iar periodicitatea tangentei și cotangentei se datorează faptului că punctele P un + kp cad alternativ în două puncte diametral opuse ale cercului, dând același punct pe axa tangentelor.

Principalele proprietăți ale funcțiilor trigonometrice pot fi rezumate într-un tabel:

Formule de turnare.

Conform acestor formule, valoarea funcției trigonometrice a argumentului a, unde p/2 a p , poate fi redus la valoarea funcției argumentului a , unde 0 a p /2, atât același cât și suplimentar acestuia.

Argumentul b	- A	+ a	p- A	p+ a	+ a	+ a	2p- A
sinb	ca a	ca a	păcat a	– păcatul a	-cos a	-cos a	– păcatul a
cosb	păcat a	– păcatul a	-cos a	-cos a	– păcatul a	păcat a	ca a

Prin urmare, în tabelele de funcții trigonometrice, valorile sunt date numai pentru unghiurile ascuțite și este suficient să ne limităm, de exemplu, la sinus și tangentă. Tabelul conține doar cele mai utilizate formule pentru sinus și cosinus. Din ele se obține ușor formule pentru tangentă și cotangentă. Când turnați o funcție dintr-un argument de formă kp/2 ± a , unde k este un întreg, la o funcție din argumentul a :

1) numele funcției este salvat dacă k chiar și se modifică în „complementar” dacă k ciudat;

2) semnul din partea dreaptă coincide cu semnul funcției reductibile în punct kp/2 ± a dacă unghiul a este acut.

De exemplu, la turnarea ctg (a - p/2) asigurați-vă că un - p/2 la 0 a p /2 se află în al patrulea cadran, unde cotangenta este negativă și, conform regulii 1, schimbăm numele funcției: ctg (a - p/2) = –tg a .

Formule de adunare.

Formule cu mai multe unghiuri.

Aceste formule sunt derivate direct din formulele de adunare:

sin 2a \u003d 2 sin a cos a;

cos 2a \u003d cos 2 a - sin 2 a \u003d 2 cos 2 a - 1 \u003d 1 - 2 sin 2 a;

sin 3a \u003d 3 sin a - 4 sin 3 a;

cos 3a \u003d 4 cos 3 a - 3 cos a;

Formula pentru cos 3a a fost folosită de Francois Viet la rezolvarea unei ecuații cubice. El a fost primul care a găsit expresii pentru cos n a şi păcatul n a , care au fost obținute ulterior mai mult calea usoara din formula lui De Moivre.

Dacă înlocuiți a cu un /2 în formulele cu argument dublu, acestea pot fi convertite în formule cu jumătate de unghi:

Formule de substituție universală.

Folosind aceste formule, o expresie care implică diferite funcții trigonometrice din același argument poate fi rescrisă ca o expresie rațională dintr-o singură funcție tg (a/2), aceasta fiind utilă atunci când se rezolvă unele ecuații:

Formule de conversie a sumelor în produse și a produselor în sume.

Înainte de apariția computerelor, aceste formule erau folosite pentru a simplifica calculele. Calculele au fost făcute folosind tabele logaritmice, iar mai târziu - o regulă de calcul, deoarece. logaritmii sunt cel mai potrivit pentru înmulțirea numerelor, astfel încât toate expresiile originale au fost reduse la o formă convenabilă pentru logaritmi, de exemplu. pentru lucrari precum:

2 păcat A sin b = cos ( a-b) – cos ( a+b);

2 cos A cos b= cos ( a-b) + cos ( a+b);

2 păcat A cos b= păcat ( a-b) + păcat ( a+b).

Formulele pentru funcțiile tangentă și cotangentă pot fi obținute din cele de mai sus.

Formule de reducere a gradului.

Din formulele unui argument multiplu se derivă formule:

Cu ajutorul acestor formule, ecuațiile trigonometrice pot fi reduse la ecuații de grade inferioare. În același mod, se pot deriva formule de reducere pentru mai mult grade înalte sinus și cosinus.

Fiecare funcție trigonometrică în fiecare punct al domeniului său de definiție este continuă și diferențiabilă la infinit. Mai mult, derivatele funcțiilor trigonometrice sunt funcții trigonometrice, iar atunci când sunt integrate, se obțin și funcții trigonometrice sau logaritmii acestora. Integralele combinațiilor raționale de funcții trigonometrice sunt întotdeauna funcții elementare.

Reprezentarea funcțiilor trigonometrice sub formă de serii de puteri și produse infinite.

Toate funcțiile trigonometrice pot fi extinse în serii de puteri. În acest caz, funcțiile sin X b cos X apar pe rânduri. convergent pentru toate valorile X:

Aceste serii pot fi folosite pentru a obține expresii aproximative pentru păcat X si cos X pentru valori mici X:

la | x| p/2;

la 0x| p

(B n sunt numere Bernoulli).

funcţiile păcatului X si cos X pot fi reprezentate ca produse infinite:

Sistemul trigonometric 1, cos X, păcat X, cos 2 X, păcatul 2 X, ¼, cos nx, păcat nx, ¼, forme pe intervalul [– p, p] sistem ortogonal de funcții, care face posibilă reprezentarea funcțiilor sub formă de serii trigonometrice.

sunt definite ca continuări analitice ale funcțiilor trigonometrice corespunzătoare ale unui argument real în planul complex. Da, păcat z si cos z poate fi definit folosind seria pentru sin X si cos X, dacă în loc de X a pune z:

Aceste serii converg pe întregul plan, deci păcat z si cos z sunt funcții întregi.

Tangenta și cotangenta sunt determinate de formulele:

funcții tg z si ctg z sunt funcții meromorfe. Stalpi tg z si sec z sunt simple (de ordinul I) și sunt situate la puncte z=p/2 + pn, stâlpi ctg zşi cosec z sunt de asemenea simple și sunt situate în puncte z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Toate formulele care sunt valabile pentru funcțiile trigonometrice ale unui argument real sunt valabile și pentru unul complex. În special,

păcat(- z) = -sin z,

cos(- z) = cos z,

tg(- z) = –tg z,

ctg (- z) = -ctg z,

acestea. se păstrează paritatea pară și impară. Formulele sunt de asemenea salvate

păcat( z + 2p) = păcat z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

acestea. se păstrează și periodicitatea, iar perioadele sunt aceleași ca pentru funcțiile unui argument real.

Funcțiile trigonometrice pot fi exprimate în termenii unei funcții exponențiale a unui argument pur imaginar:

Înapoi, e iz exprimat în termeni de cos zși păcatul z dupa formula:

e iz= cos z + i păcat z

Aceste formule sunt numite formule Euler. Leonhard Euler le-a introdus în 1743.

Funcțiile trigonometrice pot fi exprimate și în termeni de funcții hiperbolice:

z = –i SH iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

unde sh, ch și th sunt sinus hiperbolic, cosinus și tangentă.

Funcții trigonometrice ale argumentului complex z = x + iy, Unde XȘi y- numerele reale, pot fi exprimate în termeni de funcții trigonometrice și hiperbolice ale argumentelor reale, de exemplu:

păcat( x+iy) = păcat X cap y + i cos X SH y;

ca ( x+iy) = cos X cap y + i păcat X SH y.

Sinusul și cosinusul unui argument complex pot lua valori reale mai mari decât 1 în valoare absolută. De exemplu:

Dacă un unghi necunoscut intră în ecuație ca argument al funcțiilor trigonometrice, atunci ecuația se numește trigonometrică. Astfel de ecuații sunt atât de comune încât metodele lor soluțiile sunt foarte detaliate și atent proiectate. CU folosind diverse metode și formule, ecuațiile trigonometrice sunt reduse la ecuații de formă f(X)= a, Unde f- oricare dintre cele mai simple funcții trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă sau cotangentă. Apoi exprimă argumentul X această funcţie prin valoarea ei cunoscută A.

Deoarece funcțiile trigonometrice sunt periodice, la fel A din gama de valori există infinit de valori ale argumentului, iar soluția ecuației nu poate fi scrisă ca o singură funcție a A. Prin urmare, în domeniul de definire a fiecăreia dintre funcțiile trigonometrice principale, se selectează o secțiune în care își ia toate valorile, fiecare o singură dată, și se găsește o funcție care este inversă acesteia în această secțiune. Astfel de funcții sunt notate prin atribuirea prefixului arc (arc) numelui funcției originale și sunt numite trigonometric invers. funcții sau doar funcții arc.

Funcții trigonometrice inverse.

Pentru păcat X, cos X, tg X si ctg X poate fi definit funcții inverse. Ele sunt desemnate respectiv arcsin X(a se citi „arxine X"), arcos X, arctg Xși arcctg X. Prin definiție, arcsin X există un astfel de număr y, Ce

păcat la = X.

Același lucru este valabil și pentru alte funcții trigonometrice inverse. Dar această definiție suferă de o oarecare inexactitate.

Dacă reflectăm păcatul X, cos X, tg X si ctg X faţă de bisectoarea primului şi al treilea cadran al planului de coordonate, atunci funcţiile devin ambigue datorită periodicităţii lor: aceluiaşi sinus (cosinus, tangentă, cotangentă) îi corespunde un număr infinit de unghiuri.

Pentru a scăpa de ambiguitate, o secțiune a curbei cu o lățime de p, în timp ce este necesar să se observe o corespondență unu-la-unu între argument și valoarea funcției. Sunt selectate zonele din apropierea originii. Pentru sinusuri ca „intervalul unu-la-unu” este luat segmentul [- p/2, p/2], pe care sinusul crește monoton de la –1 la 1, pentru cosinus - segmentul , pentru tangentă și respectiv cotangentă, intervalele (– p/2, p/2) și (0, p). Fiecare curbă din interval este reflectată în jurul bisectoarei și acum puteți defini funcții trigonometrice inverse. De exemplu, să fie dată valoarea argumentului x 0 , astfel încât 0 J X 0 Ј 1. Apoi valoarea funcției y 0 = arcsin X 0 va fi singura valoare la 0 , astfel încât - p/2 J la 0 Ј p/2 și X 0 = păcat y 0 .

Astfel, arcsinusul este o funcție a arcsinusului A, definit pe intervalul [–1, 1] și egal pentru fiecare A o astfel de valoare a, - p/2 a p /2 că sin a = A. Este foarte convenabil să îl reprezentați folosind un cerc unitar (Fig. 15). Când | a| 1 există două puncte pe cerc cu ordonată A, simetric față de axă y. Una dintre ele este unghiul A= arcsin A, iar celălalt este unghiul p - a. CUținând cont de periodicitatea sinusului, soluția ecuației sin X= A se scrie astfel:

x =(–1)n arc sin A + 2p n,

Unde n= 0, ±1, ±2,...

Se rezolvă și alte ecuații trigonometrice simple:

cos X = A, –1 =A= 1;

x=±arcos A + 2p n,

Unde P= 0, ±1, ±2,... (Fig. 16);

tg X = A;

X= arctg A + p n,

Unde n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 17);

ctg X= A;

X= arcctg A + p n,

Unde n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 18).

Principalele proprietăți ale funcțiilor trigonometrice inverse:

arc sin X(Fig. 19): domeniul de definire este segmentul [–1, 1]; gamă - [- p/2, p/2], o funcție crescătoare monoton;

arccos X(Fig. 20): domeniul de definire este segmentul [–1, 1]; intervalul de valori -; funcția monotonă descrescătoare;

arctg X(Fig. 21): domeniu de definiție - toate numerele reale; interval de valori – interval (– p/2, p/2); funcția crescândă monoton; Drept la= –p/2 și y \u003d p / 2 - asimptote orizontale;

arcctg X(Fig. 22): domeniu de definiție - toate numerele reale; interval de valori - interval (0, p); funcția monotonă descrescătoare; Drept y= 0 și y = p sunt asimptotele orizontale.

Pentru oricine z = x+iy, Unde XȘi y sunt numere reale, există inegalități

½| e\ey–e-y| ≤|sin z|≤½( e y +e-y),

½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

din care y® Ґ urmează formulele asimptotice (uniform în raport cu X)

|păcat z| » 1/2 e |y| ,

|cos z| » 1/2 e |y| .

Funcțiile trigonometrice au apărut pentru prima dată în legătură cu cercetările în astronomie și geometrie. Raporturile segmentelor dintr-un triunghi și dintr-un cerc, care sunt în esență funcții trigonometrice, se găsesc deja în secolul al III-lea. î.Hr e. în lucrările matematicienilor din Grecia Antică – Euclid, Arhimede, Apollonius din Perga și alții, totuși, aceste rapoarte nu au fost un obiect de studiu independent, așa că nu au studiat funcțiile trigonometrice ca atare. Ele au fost considerate inițial ca segmente și în această formă au fost folosite de Aristarh (sfârșitul secolului al IV-lea - a doua jumătate a secolului al III-lea î.Hr.), Hiparh (secolul al II-lea î.Hr.), Menelaus (secolul I d.Hr.) și Ptolemeu (secolul al II-lea d.Hr.) când rezolvarea triunghiurilor sferice. Ptolemeu a alcătuit primul tabel de acorduri pentru unghiuri acute până la 30 ", cu o precizie de 10 -6. Acesta a fost primul tabel de sinusuri. Ca raport, funcția sin a se găsește deja în Ariabhata (sfârșitul secolului al V-lea). Funcțiile tg a și ctg a se găsesc la al- Battani (a doua jumătate a secolului IX - începutul secolului al X-lea) și Abul-Wefa (secolul al X-lea), care folosește și sec a și cosec a... Aryabhata știa deja formula ( sin 2 a + cos 2 a) \u003d 1, precum și formulele sin și cos semiunghiulare, cu ajutorul cărora a construit tabele de sinusuri pentru unghiuri prin 3 ° 45 "; pe baza valorilor cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru cele mai simple argumente. Bhaskara (secolul al XII-lea) a oferit o metodă de construire a tabelelor prin 1 folosind formule de adunare. Formulele pentru transformarea sumei și diferențelor funcțiilor trigonometrice ale diferitelor argumente într-un produs au fost derivate de Regiomontanus (secolul al XV-lea) și J. Napier în legătură cu invenția acestuia din urmă a logaritmilor (1614). Regiomontanus a dat un tabel cu valorile sinusurilor prin 1". Expansiunea funcțiilor trigonometrice în serii de puteri a fost obținută de I. Newton (1669). În formă modernă teoria funcţiilor trigonometrice a fost introdusă de L. Euler (secolul al XVIII-lea). El deține definiția lor pentru argumente reale și complexe, simbolismul acum acceptat, stabilirea unei legături cu functie exponentialași ortogonalitatea sistemului de sinusuri și cosinusuri.

Identități trigonometrice sunt egalități care stabilesc o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi, ceea ce vă permite să găsiți oricare dintre aceste funcții, cu condiția ca oricare alta să fie cunoscută.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Această identitate spune că suma pătratului sinusului unui unghi și pătratul cosinusului unui unghi este egală cu unu, ceea ce face posibilă calcularea sinusului unui unghi atunci când cosinusul lui este cunoscut și invers. .

La conversia expresiilor trigonometrice, se folosește foarte des această identitate, ceea ce vă permite să înlocuiți suma pătratelor cosinusului și sinusului unui unghi cu unul și, de asemenea, să efectuați operația de înlocuire în ordine inversă.

Găsirea tangentei și cotangentei prin sinus și cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Aceste identități sunt formate din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. La urma urmei, dacă te uiți, atunci, prin definiție, ordonata lui y este sinusul, iar abscisa lui x este cosinusul. Atunci tangenta va fi egală cu raportul \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), și raportul \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- va fi o cotangentă.

Adăugăm că numai pentru astfel de unghiuri \alpha pentru care funcțiile trigonometrice incluse în ele au sens, identitățile vor avea loc, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

De exemplu: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) este valabil pentru unghiurile \alpha care sunt diferite de \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pentru un unghi \alpha altul decât \pi z , z este un număr întreg.

Relația dintre tangentă și cotangentă

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Această identitate este valabilă numai pentru unghiurile \alpha care sunt diferite de \frac(\pi)(2) z. În caz contrar, nici cotangenta, fie tangenta nu vor fi determinate.

Pe baza punctelor de mai sus, obținem asta tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg\alpha=\frac(x)(y). De aici rezultă că tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Astfel, tangenta și cotangenta unui unghi la care au sens sunt numere reciproc reciproce.

Relații dintre tangentă și cosinus, cotangentă și sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- suma pătratului tangentei unghiului \alpha și 1 este egală cu pătratul invers al cosinusului acestui unghi. Această identitate este valabilă pentru toate \alpha, altele decât \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- suma lui 1 și pătratul cotangentei unghiului \alpha , este egal cu pătratul invers al sinusului unghi dat. Această identitate este valabilă pentru orice \alpha, altul decât \pi z .

Exemple cu soluții la probleme folosind identități trigonometrice

Exemplul 1

Găsiți \sin \alpha și tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12Și \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Afișează soluția

Soluţie

Funcțiile \sin \alpha și \cos \alpha sunt legate prin formula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Înlocuind în această formulă \cos \alpha = -\frac12, primim:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Această ecuație are 2 soluții:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

După condiție \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . În al doilea trimestru, sinusul este pozitiv, deci \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Pentru a găsi tg \alpha , folosim formula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Exemplul 2

Găsiți \cos \alpha și ctg \alpha dacă și \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Afișează soluția

Soluţie

Înlocuind în formulă \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 număr condiționat \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), primim \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Această ecuație are două soluții \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

După condiție \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . În al doilea trimestru, cosinusul este negativ, deci \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Pentru a găsi ctg \alpha , folosim formula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Cunoaștem valorile corespunzătoare.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Inițial, sinusul și cosinusul au apărut din cauza necesității de a calcula cantități în triunghiuri dreptunghiulare. S-a observat că, dacă nu se modifică valoarea gradului de măsură a unghiurilor dintr-un triunghi dreptunghic, atunci raportul de aspect, oricât de mult se schimbă aceste laturi în lungime, rămâne întotdeauna același.

Așa au fost introduse conceptele de sinus și cosinus. Sinusul unghi ascutitîntr-un triunghi dreptunghic, acesta este raportul catetului opus față de ipotenuză, iar cosinusul este raportul catetului adiacent la ipotenuză.

Teoreme ale cosinusurilor și sinusurilor

Dar cosinusurile și sinusurile pot fi folosite nu numai în triunghiuri dreptunghiulare. Pentru a afla valoarea unui unghi obtuz sau ascuțit, latura oricărui triunghi, este suficient să aplicați teorema cosinusului și sinusului.

Teorema cosinusului este destul de simplă: „Pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul acestor laturi cu cosinusul unghiului dintre ele”.

Există două interpretări ale teoremei sinusului: mică și extinsă. Potrivit micului: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse”. Această teoremă este adesea extinsă datorită proprietății cercului circumscris unui triunghi: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse, iar raportul lor este egal cu diametrul cercului circumscris”.

Derivate

O derivată este un instrument matematic care arată cât de repede se schimbă o funcție în raport cu o modificare a argumentului său. Derivatele sunt folosite în geometrie și într-o serie de discipline tehnice.

Când rezolvați probleme, trebuie să cunoașteți valorile tabulare ale derivatelor funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus. Derivata sinusului este cosinusul, iar derivata cosinusului este sinusul, dar cu semnul minus.

Aplicație în matematică

Mai ales de multe ori sinusurile și cosinusurile sunt folosite în rezolvare triunghiuri dreptunghiulareși sarcinile asociate acestora.

Comoditatea sinusurilor și cosinusurilor se reflectă și în tehnologie. Unghiurile și laturile au fost ușor de evaluat folosind teoremele cosinusului și sinusului, împărțind forme și obiecte complexe în triunghiuri „simple”. Inginerii și, adesea ocupându-se de calculele raporturilor de aspect și măsurilor de grade, au petrecut mult timp și efort calculând cosinus și sinusuri ale unghiurilor care nu sunt de tip tabel.

Apoi au venit în ajutor tabelele Bradis, conținând mii de valori de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente de diferite unghiuri. ÎN ora sovietică unii profesori și-au forțat pupiile să memoreze paginile tabelelor Bradys.

Radian - valoarea unghiulară a arcului, pe lungimea egală cu raza sau 57,295779513 ° grade.

Gradul (în geometrie) - 1/360-a parte a unui cerc sau 1/90-a parte a unui cerc unghi drept.

π = 3,141592653589793238462… (valoarea aproximativă a lui pi).

Tabel cosinus pentru unghiuri: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.