Ecuații de putere și expresii cum se rezolvă. Ecuații online

1º. Ecuații exponențiale se numesc ecuații care conțin o variabilă într-un exponent.

Soluţie ecuații exponențiale pe baza proprietății unui grad: două puteri cu aceeași bază sunt egale dacă și numai dacă exponenții lor sunt egali.

2º. Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale:

1) cea mai simplă ecuație are o soluție;

2) o ecuație de forma logaritmică la bază A reduce la forma;

3) o ecuație de formă este echivalentă cu ecuația ;

4) ecuația formei este echivalentă cu ecuația.

5) o ecuație de formă este redusă prin substituție la o ecuație și apoi se rezolvă o mulțime de ecuații exponențiale simple;

6) ecuație cu reciproce prin substituție se reduc la o ecuație, iar apoi se rezolvă o mulțime de ecuații;

7) ecuaţii omogene în raport cu a g(x)Și b g(x) dat fiind drăguț prin înlocuire se reduc la o ecuație, iar apoi se rezolvă un set de ecuații.

Clasificarea ecuațiilor exponențiale.

1. Ecuații rezolvate mergând la o bază.

Exemplul 18. Rezolvați ecuația .

Rezolvare: Să profităm de faptul că toate bazele puterilor sunt puteri ale numărului 5: .

2. Ecuații rezolvate prin trecerea la un exponent.

Aceste ecuații sunt rezolvate prin transformarea ecuației inițiale în forma , care se reduce la cel mai simplu folosind proprietatea proporției.

Exemplul 19. Rezolvați ecuația:

3. Ecuații rezolvate prin scoaterea din paranteze a factorului comun.

Dacă fiecare exponent dintr-o ecuație diferă de celălalt printr-un anumit număr, atunci ecuațiile se rezolvă prin scoaterea dintre paranteze exponentul cu cel mai mic exponent.

Exemplul 20. Rezolvați ecuația.

Soluție: Să luăm gradul cu cel mai mic exponent din paranteze din partea stângă a ecuației:

Exemplul 21. Rezolvați ecuația

Soluție: Să grupăm separat în partea stângă a ecuației termenii care conțin puteri cu baza 4, în partea dreaptă - cu baza 3, apoi punem puterile cu cel mai mic exponent din paranteze:

4. Ecuații care se reduc la ecuații pătratice (sau cubice)..

Următoarele ecuații sunt reduse la o ecuație pătratică pentru noua variabilă y:

a) tipul înlocuirii, în acest caz;

b) tipul de substituție , și .

Exemplul 22. Rezolvați ecuația .

Soluție: Să facem o schimbare de variabilă și să rezolvăm ecuație pătratică:

.

Răspuns: 0; 1.

5. Ecuații omogene în raport cu funcțiile exponențiale.

O ecuație de formă este ecuație omogenă gradul doi relativ la necunoscute un xȘi b x. Astfel de ecuații sunt reduse împărțind mai întâi ambele părți cu și apoi înlocuindu-le în ecuații pătratice.

Exemplul 23. Rezolvați ecuația.

Rezolvare: Împărțiți ambele părți ale ecuației la:

Punând , obținem o ecuație pătratică cu rădăcini .

Acum problema se rezumă la rezolvarea unui set de ecuații . Din prima ecuație aflăm că . A doua ecuație nu are rădăcini, deoarece pentru orice valoare X.

Raspuns: -1/2.

6. Ecuații raționale în raport cu funcțiile exponențiale.

Exemplul 24. Rezolvați ecuația.

Rezolvare: Împărțiți numărătorul și numitorul fracției la 3 xși în loc de două obținem o funcție exponențială:

7. Ecuații de formă .

Astfel de ecuații cu un set de valori admisibile (APV), determinate de condiție, luând logaritmul ambelor părți ale ecuației sunt reduse la o ecuație echivalentă, care, la rândul ei, sunt echivalente cu un set de două ecuații sau.

Exemplul 25. Rezolvați ecuația: .

.

Material didactic.

Rezolvați ecuațiile:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Aflați produsul rădăcinilor ecuației .

27. Aflați suma rădăcinilor ecuației .

Găsiți sensul expresiei:

28. , unde x 0- rădăcina ecuaţiei;

29. , unde x 0– întreaga rădăcină a ecuației .

Rezolvați ecuația:

31. ; 32. .

Raspunsuri: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4, 0, 0,5; 50; 6,0; 7. -2; 8,2; 9. 1, 3; 10. 8; 11,5; 12,1; 13. ¼; 14,2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18,1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28,11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Subiectul nr. 8.

Inegalități exponențiale.

1º. Se numește o inegalitate care conține o variabilă în exponent inegalitatea exponenţială.

2º. Soluţie inegalități exponențiale tipul se bazează pe următoarele afirmații:

dacă , atunci inegalitatea este echivalentă cu ;

dacă , atunci inegalitatea este echivalentă cu .

La rezolvarea inegalităților exponențiale se folosesc aceleași tehnici ca și la rezolvarea ecuațiilor exponențiale.

Exemplul 26. Rezolvați inegalitatea (metoda de trecere la o singură bază).

Soluție: Pentru că , atunci inegalitatea dată poate fi scrisă ca: . Deoarece , atunci această inegalitate este echivalentă cu inegalitatea .

Rezolvând ultima inegalitate, obținem .

Exemplul 27. Rezolvați inegalitatea: ( prin scoaterea din paranteze a factorului comun).

Rezolvare: Să scoatem din paranteze din partea stângă a inegalității, din partea dreaptă a inegalității și să împărțim ambele părți ale inegalității la (-2), schimbând semnul inegalității la opus:

Din moment ce , atunci când treceți la inegalitatea indicatorilor, semnul inegalității se schimbă din nou la opus. Primim. Astfel, mulțimea tuturor soluțiilor acestei inegalități este intervalul.

Exemplul 28. Rezolvați inegalitatea ( prin introducerea unei noi variabile).

Soluție: Să . Atunci această inegalitate va lua forma: sau , a cărui soluție este intervalul .

De aici. Deoarece funcția crește, atunci .

Material didactic.

Precizați setul de soluții ale inegalității:

1. ; 2. ; 3. ;

6. La ce valori X Punctele din graficul funcției se află sub linia dreaptă?

7. La ce valori X Punctele de pe graficul funcției se află cel puțin până la dreapta?

Rezolvați inegalitatea:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Specificați cea mai mare soluție întreagă a inegalității .

14. Aflați produsul dintre soluțiile celui mai mare întreg și cel mai mic întreg al inegalității .

Rezolvați inegalitatea:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Găsiți domeniul funcției:

27. ; 28. .

29. Găsiți setul de valori ale argumentelor pentru care valorile fiecărei funcție sunt mai mari decât 3:

Și .

Raspunsuri: 11,3; 12,3; 13. -3; 14,1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. (a)=a^(\frac( 1) (n))\) obținem că \(\sqrt(3^3)=((3^3))^(\frac(1)(2))\). Apoi, folosind proprietatea gradului \((a^b)^c=a^(bc)\), obținem \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).

\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

De asemenea, știm că \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Aplicând aceasta în partea stângă, obținem: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).

\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Acum amintiți-vă că: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Această formulă poate fi folosită și în direcția opusă: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Apoi \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).

\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)

Aplicând proprietatea \((a^b)^c=a^(bc)\) în partea dreaptă, obținem: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).

\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)

Și acum bazele noastre sunt egale și nu există coeficienți de interferență etc. Deci putem face tranziția.

Exemplu . Rezolvați ecuația exponențială \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
Soluţie:

\(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)		Folosim din nou proprietatea puterii \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) în direcția opusă.
\(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\)		Acum amintiți-vă că \(4=2^2\).
\((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\)		Folosind proprietățile gradelor, transformăm: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\)
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\)		Privim cu atenție ecuația și vedem că înlocuirea \(t=2^x\) se sugerează de la sine.
\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)		Cu toate acestea, am găsit valorile lui \(t\) și avem nevoie de \(x\). Ne întoarcem la X, făcând o înlocuire inversă.
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)		Să transformăm a doua ecuație folosind proprietatea puterii negative...
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)		...si decidem pana la raspuns.
\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

Răspuns : \(-1; 1\).

Întrebarea rămâne - cum să înțelegeți când să folosiți ce metodă? Acest lucru vine cu experiență. Până când l-ați dezvoltat, utilizați recomandarea generală pentru rezolvarea problemelor complexe - „dacă nu știi ce să faci, fă ce poți”. Adică, căutați cum puteți transforma ecuația în principiu și încercați să o faceți - ce se întâmplă dacă ce se întâmplă? Principalul lucru este să faci doar transformări bazate pe matematică.

Ecuații exponențiale fără soluții

Să ne uităm la încă două situații care deseori îi încurcă pe elevi:
- un număr pozitiv la putere este egal cu zero, de exemplu, \(2^x=0\);
- un număr pozitiv este egal cu o putere a unui număr negativ, de exemplu, \(2^x=-4\).

Să încercăm să rezolvăm prin forță brută. Dacă x este un număr pozitiv, atunci pe măsură ce x crește, întreaga putere \(2^x\) va crește doar:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

De asemenea de către. X-urile negative rămân. Reamintind proprietatea \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), verificăm:

\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)

În ciuda faptului că numărul devine mai mic cu fiecare pas, nu va ajunge niciodată la zero. Deci gradul negativ nu ne-a salvat. Ajungem la o concluzie logica:

Un număr pozitiv în orice grad va rămâne un număr pozitiv.

Astfel, ambele ecuații de mai sus nu au soluții.

Ecuații exponențiale cu baze diferite

În practică, uneori întâlnim ecuații exponențiale cu baze diferite care nu sunt reductibile între ele și, în același timp, cu aceiași exponenți. Ele arată astfel: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere pozitive.

De exemplu:

\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)

Astfel de ecuații pot fi rezolvate cu ușurință prin împărțirea la oricare dintre laturile ecuației (de obicei împărțită la partea dreaptă, adică la \(b^(f(x))\). Puteți împărți în acest fel deoarece un număr pozitiv este pozitivă pentru orice putere (adică nu împărțim la zero) obținem:

\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)

Exemplu . Rezolvați ecuația exponențială \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Soluţie:

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)		Aici nu vom putea transforma un cinci într-un trei sau invers (cel puțin fără a folosi ). Aceasta înseamnă că nu putem ajunge la forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Cu toate acestea, indicatorii sunt aceiași. Să împărțim ecuația la partea dreaptă, adică la \(3^(x+7)\) (putem face acest lucru pentru că știm că trei nu vor fi zero în niciun grad).
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)		Acum amintiți-vă proprietatea \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) și utilizați-o din stânga în direcția opusă. În dreapta, pur și simplu reducem fracția.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)		S-ar părea că lucrurile nu s-au îmbunătățit cu nimic. Dar amintiți-vă încă o proprietate a puterii: \(a^0=1\), cu alte cuvinte: „orice număr până la puterea zero este egal cu \(1\).” Este adevărat și invers: „unul poate fi reprezentat ca orice număr la puterea zero”. Să profităm de acest lucru făcând baza din dreapta la fel cu cea din stânga.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)		Voila! Să scăpăm de baze.
		Scriem un răspuns.

Răspuns : \(-7\).

Uneori, „asemănarea” exponenților nu este evidentă, dar utilizarea pricepută a proprietăților exponenților rezolvă această problemă.

Exemplu . Rezolvați ecuația exponențială \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Soluţie:

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Ecuația arată foarte trist... Nu numai că bazele nu pot fi reduse la același număr (șapte nu vor fi în niciun caz egal cu \(\frac(1)(3)\)), dar și exponenții sunt diferiți. .. Totuși, să folosim exponentul stânga deuce.
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Amintindu-ne de proprietatea \((a^b)^c=a^(b·c)\) , transformăm din stânga: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Acum, amintindu-ne de proprietatea gradului negativ \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformăm din dreapta: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)
\(49^(x-2)=3^(x-2)\)		Aleluia! Indicatorii sunt aceiași! Acționând conform schemei deja cunoscute nouă, rezolvăm înainte de răspuns.

Răspuns : \(2\).

Aplicație

Rezolvarea oricărui tip de ecuații online pe site pentru elevi și școlari pentru consolidarea materialului studiat.Rezolvarea ecuațiilor online. Ecuații online. Există ecuații algebrice, parametrice, transcendentale, funcționale, diferențiale și alte tipuri de ecuații.Unele clase de ecuații au soluții analitice, care sunt convenabile deoarece nu numai că dau valoarea exactă a rădăcinii, dar vă permit și să scrieți soluția în forma unei formule, care poate include parametri. Expresiile analitice permit nu numai să se calculeze rădăcinile, ci și să se analizeze existența și cantitatea lor în funcție de valorile parametrilor, ceea ce este adesea chiar mai important pentru utilizare practică decât valorile specifice ale rădăcinilor. Rezolvarea ecuațiilor online.. Ecuații online. Rezolvarea unei ecuații este sarcina de a găsi astfel de valori ale argumentelor la care se realizează această egalitate. Condiții suplimentare (întreg, real etc.) pot fi impuse valorilor posibile ale argumentelor. Rezolvarea ecuațiilor online.. Ecuații online. Puteți rezolva ecuația online instantaneu și cu mare precizie a rezultatului. Argumentele pentru funcțiile specificate (numite uneori „variabile”) sunt numite „necunoscute” în cazul unei ecuații. Valorile necunoscutelor la care se realizează această egalitate se numesc soluții sau rădăcini ale acestei ecuații. Se spune că rădăcinile satisfac această ecuație. Rezolvarea unei ecuații online înseamnă a găsi mulțimea tuturor soluțiilor sale (rădăcini) sau a demonstra că nu există rădăcini. Rezolvarea ecuațiilor online.. Ecuații online. Ecuațiile ale căror seturi de rădăcini coincid se numesc echivalente sau egale. Ecuațiile care nu au rădăcini sunt de asemenea considerate echivalente. Echivalența ecuațiilor are proprietatea de simetrie: dacă o ecuație este echivalentă cu alta, atunci a doua ecuație este echivalentă cu prima. Echivalența ecuațiilor are proprietatea tranzitivității: dacă o ecuație este echivalentă cu alta, iar a doua este echivalentă cu o a treia, atunci prima ecuație este echivalentă cu a treia. Proprietatea de echivalență a ecuațiilor ne permite să efectuăm transformări cu ele, pe care se bazează metodele de rezolvare a acestora. Rezolvarea ecuațiilor online.. Ecuații online. Site-ul vă va permite să rezolvați ecuația online. Ecuațiile pentru care sunt cunoscute soluții analitice includ ecuații algebrice nu mai mari de gradul al patrulea: ecuația liniară, ecuația pătratică, ecuația cubică și ecuația de gradul al patrulea. Ecuațiile algebrice de grade superioare în cazul general nu au o soluție analitică, deși unele dintre ele pot fi reduse la ecuații de grade inferioare. Ecuațiile care includ funcții transcendentale sunt numite transcendentale. Dintre acestea, soluțiile analitice sunt cunoscute pentru unele ecuații trigonometrice, deoarece zerourile funcțiilor trigonometrice sunt bine cunoscute. În cazul general, când nu se poate găsi o soluție analitică, se folosesc metode numerice. Metodele numerice nu oferă o soluție exactă, ci permit doar să restrângă intervalul în care se află rădăcina la o anumită valoare predeterminată. Rezolvarea ecuațiilor online.. Ecuații online.. În loc de o ecuație online, ne vom imagina cum aceeași expresie formează o relație liniară, nu numai de-a lungul unei tangente drepte, ci și chiar în punctul de inflexie al graficului. Această metodă este indispensabilă în orice moment în studiul subiectului. Se întâmplă adesea ca rezolvarea ecuațiilor să se apropie de valoarea finală folosind numere infinite și scriind vectori. Este necesar să verificați datele inițiale și aceasta este esența sarcinii. În caz contrar, condiția locală este convertită într-o formulă. Inversarea în linie dreaptă dintr-o funcție dată, pe care calculatorul de ecuații o va calcula fără prea multă întârziere în execuție, offset-ul va servi drept privilegiu al spațiului. Vom vorbi despre succesul elevilor în mediul științific. Cu toate acestea, ca toate cele de mai sus, ne va ajuta în procesul de găsire și atunci când rezolvați complet ecuația, stocați răspunsul rezultat la capetele segmentului de linie dreaptă. Liniile din spațiu se intersectează într-un punct și acest punct se numește intersectat de drepte. Intervalul de pe linie este indicat așa cum a fost specificat anterior. Cel mai înalt post pentru studiul matematicii va fi publicat. Atribuirea unei valori de argument de pe o suprafață specificată parametric și rezolvarea ecuației online va putea contura principiile accesului productiv la o funcție. Fâșia Möbius, sau infinitul, așa cum este numită, arată ca o cifră opt. Aceasta este o suprafață cu o singură față, nu pe două fețe. Conform principiului general cunoscut de toată lumea, vom accepta în mod obiectiv ecuațiile liniare ca denumire de bază așa cum este în domeniul cercetării. Doar două valori ale argumentelor date secvențial sunt capabile să dezvăluie direcția vectorului. Presupunând că o altă soluție a ecuațiilor online este mult mai mult decât rezolvarea ei înseamnă obținerea unei versiuni cu drepturi depline a invariantului ca rezultat. Fără o abordare integrată, este dificil pentru elevi să învețe acest material. Ca și înainte, pentru fiecare caz special, calculatorul nostru de ecuații online convenabil și inteligent va ajuta pe toată lumea în momentele dificile, deoarece trebuie doar să specificați parametrii de intrare, iar sistemul însuși va calcula răspunsul. Înainte de a începe introducerea datelor, vom avea nevoie de un instrument de introducere, care poate fi făcut fără prea multe dificultăți. Numărul fiecărei estimări de răspuns va duce la o ecuație pătratică la concluziile noastre, dar acest lucru nu este atât de ușor de făcut, deoarece este ușor să demonstrăm contrariul. Teoria, datorită caracteristicilor sale, nu este susținută de cunoștințe practice. A vedea un calculator de fracții în stadiul publicării răspunsului nu este o sarcină ușoară în matematică, deoarece alternativa de a scrie un număr pe o mulțime ajută la creșterea creșterii funcției. Totuși, ar fi incorect să nu vorbim despre pregătirea studenților, așa că vom spune fiecare cât trebuie făcut. Ecuația cubică găsită anterior va aparține pe bună dreptate domeniului definiției și va conține spațiul valorilor numerice, precum și variabile simbolice. După ce au învățat sau memorat teorema, studenții noștri se vor arăta numai în cele mai bune condiții și ne vom bucura pentru ei. Spre deosebire de intersecțiile de câmpuri multiple, ecuațiile noastre online sunt descrise de un plan de mișcare prin înmulțirea a două și trei linii numerice combinate. Un set în matematică nu este definit în mod unic. Cea mai bună soluție, potrivit elevilor, este o înregistrare completă a expresiei. După cum s-a spus în limbajul științific, abstracția expresiilor simbolice nu intră în starea de fapt, dar soluția ecuațiilor dă un rezultat clar în toate cazurile cunoscute. Durata lecției profesorului depinde de nevoile acestei propuneri. Analiza a arătat necesitatea tuturor tehnicilor de calcul în multe domenii și este absolut clar că un calculator de ecuații este un instrument indispensabil în mâinile talentate ale unui student. O abordare loială a studiului matematicii determină importanța vederilor din diferite direcții. Doriți să identificați una dintre teoremele cheie și să rezolvați ecuația în așa fel, în funcție de răspunsul căruia va fi nevoie în continuare de aplicarea acesteia. Analytics în acest domeniu câștigă amploare. Să începem de la început și să obținem formula. După ce a depășit nivelul de creștere al funcției, linia de-a lungul tangentei la punctul de inflexiune va duce cu siguranță la faptul că rezolvarea ecuației online va fi unul dintre aspectele principale în construirea aceluiași grafic din argumentul funcției. O abordare amator are dreptul de a fi aplicată dacă această condiție nu contrazice concluziile studenților. Este subsarcina care pune analiza condițiilor matematice ca ecuații liniare în domeniul de definire existent al obiectului care este adus în plan secund. Compensarea în direcția ortogonalității anulează avantajul unei singure valori absolute. Modul de rezolvare a ecuațiilor online oferă același număr de soluții dacă deschideți mai întâi parantezele cu semnul plus și apoi cu semnul minus. În acest caz, vor exista de două ori mai multe soluții, iar rezultatul va fi mai precis. Un calculator de ecuații online stabil și corect este succesul în atingerea scopului propus în sarcina stabilită de profesor. Se pare că este posibil să alegeți metoda potrivită din cauza diferențelor semnificative dintre opiniile marilor oameni de știință. Ecuația pătratică rezultată descrie curba liniilor, așa-numita parabolă, iar semnul îi va determina convexitatea în sistemul de coordonate pătrate. Din ecuație obținem atât discriminantul, cât și rădăcinile înseși conform teoremei lui Vieta. Primul pas este reprezentarea expresiei ca o fracție proprie sau improprie și utilizarea unui calculator de fracții. În funcție de aceasta, se va face planul pentru calculele noastre ulterioare. Matematica cu abordare teoretică va fi utilă în fiecare etapă. Cu siguranță vom prezenta rezultatul ca o ecuație cubică, deoarece îi vom ascunde rădăcinile în această expresie pentru a simplifica sarcina unui student la o universitate. Orice metode sunt bune dacă sunt potrivite pentru analize superficiale. Operațiile aritmetice suplimentare nu vor duce la erori de calcul. Determină răspunsul cu o precizie dată. Folosind soluția ecuațiilor, să recunoaștem - găsirea variabilei independente a unei anumite funcții nu este atât de ușoară, mai ales în perioada studierii dreptelor paralele la infinit. Având în vedere excepția, necesitatea este foarte evidentă. Diferența de polaritate este clară. Din experiența predării la institute, profesorul nostru a învățat principala lecție în care au fost studiate ecuațiile online în sensul matematic deplin. Aici vorbeam despre eforturi mai mari și abilități speciale în aplicarea teoriei. În favoarea concluziilor noastre, nu trebuie privit printr-o prismă. Până de curând, se credea că un set închis crește rapid peste regiune așa cum este și soluția ecuațiilor trebuie pur și simplu investigată. În prima etapă, nu am luat în considerare toate opțiunile posibile, dar această abordare este mai justificată ca niciodată. Acțiunile suplimentare cu paranteze justifică unele avansuri de-a lungul axelor ordonatelor și absciselor, care nu pot fi ratate cu ochiul liber. În sensul unei creșteri proporționale extinse a funcției, există un punct de inflexiune. Încă o dată vom demonstra cum se va aplica condiția necesară pe tot parcursul intervalului de scădere a uneia sau alteia poziții descendente a vectorului. Într-un spațiu restrâns, vom selecta o variabilă din blocul inițial al scriptului nostru. Un sistem construit ca bază de-a lungul a trei vectori este responsabil pentru absența momentului principal de forță. Cu toate acestea, calculatorul de ecuații a generat și a ajutat la găsirea tuturor termenilor ecuației construite, atât deasupra suprafeței, cât și de-a lungul liniilor paralele. Să desenăm un cerc în jurul punctului de plecare. Astfel, vom începe să ne deplasăm în sus de-a lungul liniilor de secțiune, iar tangenta va descrie cercul pe toată lungimea sa, rezultând o curbă numită evolventă. Apropo, hai să spunem puțină istorie despre această curbă. Faptul este că din punct de vedere istoric în matematică nu a existat nici un concept de matematică în sine în înțelegerea ei pură, așa cum este astăzi. Anterior, toți oamenii de știință erau angajați într-o singură sarcină comună, adică știința. Mai târziu, câteva secole mai târziu, când lumea științifică a fost plină de o cantitate colosală de informații, omenirea a identificat totuși multe discipline. Ele rămân încă neschimbate. Și totuși, în fiecare an, oamenii de știință din întreaga lume încearcă să demonstreze că știința este nelimitată și nu vei rezolva ecuația decât dacă ai cunoștințe despre științele naturii. S-ar putea să nu fie posibil să-i punem capăt definitiv. Să te gândești la asta este la fel de inutil ca să încălzi aerul de afară. Să găsim intervalul la care argumentul, dacă valoarea lui este pozitivă, va determina modulul valorii într-o direcție în creștere bruscă. Reacția vă va ajuta să găsiți cel puțin trei soluții, dar va trebui să le verificați. Să începem cu faptul că trebuie să rezolvăm ecuația online folosind serviciul unic al site-ului nostru. Să introducem ambele părți ale ecuației date, să facem clic pe butonul „SOLVE” și să obținem răspunsul exact în doar câteva secunde. În cazuri speciale, să luăm o carte de matematică și să ne verificăm de două ori răspunsul, și anume, să ne uităm doar la răspuns și totul va deveni clar. Același proiect pentru un paralelipiped artificial redundant va zbura. Există un paralelogram cu laturile sale paralele și explică multe principii și abordări pentru studierea relației spațiale a procesului ascendent de acumulare a spațiului gol în formule naturale. Ecuațiile liniare ambigue arată dependența variabilei dorite de soluția noastră generală la un moment dat și trebuie cumva să derivăm și să aducem fracția improprie într-un caz netrivial. Marcați zece puncte pe linia dreaptă și trasați o curbă prin fiecare punct în direcția dată, cu punctul convex în sus. Fără dificultăți speciale, calculatorul nostru de ecuații va prezenta o expresie într-o asemenea formă încât verificarea ei pentru validitatea regulilor să fie evidentă chiar și la începutul înregistrării. Sistemul de reprezentări speciale ale stabilității pentru matematicieni este primul, cu excepția cazului în care formulă prevede altfel. Vom răspunde la aceasta printr-o prezentare detaliată a unui raport pe tema stării izomorfe a unui sistem plastic de corpuri și rezolvarea de ecuații online va descrie mișcarea fiecărui punct material din acest sistem. La nivelul cercetării aprofundate, va fi necesar să se clarifice în detaliu problema inversiunilor cel puțin ale stratului inferior al spațiului. Urcând în secțiunea în care funcția este discontinuă, vom aplica metoda generală a unui excelent cercetător, de altfel, compatriotul nostru, și vom povesti mai jos despre comportamentul avionului. Datorită caracteristicilor puternice ale unei funcții definite analitic, folosim calculatorul de ecuații online numai pentru scopul propus, în limitele de autoritate derivate. Raționând în continuare, ne vom concentra revizuirea asupra omogenității ecuației în sine, adică partea dreaptă a acesteia este egală cu zero. Să ne asigurăm încă o dată că decizia noastră în matematică este corectă. Pentru a evita obținerea unei soluții banale, vom face câteva ajustări la condițiile inițiale pentru problema stabilității condiționate a sistemului. Să creăm o ecuație pătratică, pentru care scriem două intrări folosind o formulă binecunoscută și găsim rădăcinile negative. Dacă o rădăcină este cu cinci unități mai mare decât a doua și a treia rădăcină, atunci prin modificarea argumentului principal denaturăm condițiile inițiale ale subsarcinii. Prin însăși natura sa, ceva neobișnuit în matematică poate fi întotdeauna descris la cea mai apropiată sutime dintr-un număr pozitiv. Calculatorul de fracții este de câteva ori superior analogilor săi pe resurse similare în cel mai bun moment al încărcării serverului. Pe suprafața vectorului viteză care crește de-a lungul axei ordonatelor, desenăm șapte linii, îndoite în direcții opuse una față de cealaltă. Comensurabilitatea argumentului funcției atribuite este înaintea citirilor contorului soldului de recuperare. În matematică, putem reprezenta acest fenomen printr-o ecuație cubică cu coeficienți imaginari, precum și în progresia bipolară a liniilor descrescătoare. Punctele critice ale diferenței de temperatură în multe dintre semnificația și progresia lor descriu procesul de descompunere a unei funcții fracționale complexe în factori. Dacă vi se spune să rezolvați o ecuație, nu vă grăbiți să o faceți imediat, cu siguranță evaluați mai întâi întregul plan de acțiune și abia apoi luați abordarea corectă. Cu siguranță vor exista beneficii. Ușurința de lucru este evidentă și același lucru este valabil și în matematică. Rezolvați ecuația online. Toate ecuațiile online reprezintă un anumit tip de înregistrare a numerelor sau a parametrilor și o variabilă care trebuie determinată. Calculați chiar această variabilă, adică găsiți valori specifice sau intervale ale unui set de valori la care se va menține identitatea. Condițiile inițiale și finale depind direct. Soluția generală a ecuațiilor include de obicei unele variabile și constante, prin stabilirea cărora vom obține familii întregi de soluții pentru o anumită enunțare a problemei. În general, acest lucru justifică eforturile investite în creșterea funcționalității unui cub spațial cu latura egală cu 100 de centimetri. Puteți aplica o teoremă sau o lemă în orice stadiu al construirii unui răspuns. Site-ul produce treptat un calculator de ecuații dacă este necesar să se arate cea mai mică valoare la orice interval de însumare a produselor. În jumătate din cazuri, o astfel de minge, fiind goală, nu mai îndeplinește cerințele pentru stabilirea unui răspuns intermediar. Cel puțin pe axa ordonatelor în direcția reprezentării vectoriale descrescătoare, această proporție va fi fără îndoială mai optimă decât expresia anterioară. La ora în care se efectuează o analiză completă a punctelor pe funcții liniare, vom reuni, de fapt, toate numerele noastre complexe și spațiile plane bipolare. Prin înlocuirea unei variabile în expresia rezultată, veți rezolva ecuația pas cu pas și veți oferi cel mai detaliat răspuns cu mare precizie. Ar fi o formă bună din partea unui elev să-și verifice încă o dată acțiunile la matematică. Proporția în raportul fracțiilor a înregistrat integritatea rezultatului în toate domeniile importante de activitate ale vectorului zero. Trivialitatea este confirmată la sfârșitul acțiunilor finalizate. Cu o sarcină simplă, elevii s-ar putea să nu aibă dificultăți dacă rezolvă ecuația online în cel mai scurt timp posibil, dar nu uitați de toate regulile diferite. O mulțime de submulțimi se intersectează într-o regiune de notație convergentă. În diferite cazuri, produsul nu este factorizat în mod eronat. Veți fi ajutat să rezolvați ecuația online în prima noastră secțiune, dedicată noțiunilor de bază ale tehnicilor matematice pentru secțiuni importante pentru studenții din universități și colegii tehnice. Nu va trebui să așteptăm câteva zile pentru răspunsuri, deoarece procesul de cea mai bună interacțiune a analizei vectoriale cu găsirea secvențială a soluțiilor a fost brevetat la începutul secolului trecut. Se pare că eforturile de a stabili relații cu echipa din jur nu au fost în zadar; evident că mai întâi era nevoie de altceva. Câteva generații mai târziu, oamenii de știință din întreaga lume i-au făcut pe oameni să creadă că matematica este regina științelor. Fie că este răspunsul din stânga sau din dreapta, totuși, termenii exhaustivi trebuie să fie scrisi pe trei rânduri, deoarece în cazul nostru cu siguranță vom vorbi doar despre analiza vectorială a proprietăților matricei. Ecuațiile neliniare și liniare, împreună cu ecuațiile biquadratice, au ocupat un loc special în cartea noastră despre cele mai bune metode de calcul a traiectoriei mișcării în spațiul tuturor punctelor materiale ale unui sistem închis. O analiză liniară a produsului scalar a trei vectori consecutivi ne va ajuta să aducem ideea la viață. La sfârșitul fiecărei instrucțiuni, sarcina este simplificată prin implementarea excepțiilor numerice optimizate în suprapunerile de spațiu numeric efectuate. O judecată diferită nu va contrasta răspunsul găsit în forma arbitrară a unui triunghi într-un cerc. Unghiul dintre doi vectori conține procentul necesar al marjei, iar rezolvarea ecuațiilor online dezvăluie adesea o anumită rădăcină comună a ecuației, spre deosebire de condițiile inițiale. Excepția joacă rolul de catalizator în întregul proces inevitabil al găsirii unei soluții pozitive în domeniul definirii unei funcții. Dacă nu se spune că nu poți folosi un computer, atunci un calculator de ecuații online este potrivit pentru problemele tale dificile. Trebuie doar să introduceți datele dumneavoastră condiționate în formatul corect, iar serverul nostru va emite un răspuns cu drepturi depline în cel mai scurt timp posibil. O funcție exponențială crește mult mai repede decât una liniară. Talmudele literaturii inteligente de bibliotecă mărturisesc acest lucru. Va efectua un calcul în sens general, așa cum ar face o ecuație pătratică dată cu trei coeficienți complexi. Parabola din partea superioară a semiplanului caracterizează mișcarea paralelă rectilinie de-a lungul axelor punctului. Aici merită menționată diferența de potențial în spațiul de lucru al corpului. În schimbul unui rezultat suboptim, calculatorul nostru de fracțiuni ocupă pe bună dreptate prima poziție în evaluarea matematică a revizuirii programelor funcționale pe partea serverului. Ușurința în utilizare a acestui serviciu va fi apreciată de milioane de utilizatori de Internet. Dacă nu știi cum să-l folosești, vom fi bucuroși să te ajutăm. De asemenea, am dori să notăm și să evidențiem în mod special ecuația cubică dintr-un număr de probleme de școală primară, atunci când este necesar să-i găsim rapid rădăcinile și să construim un grafic al funcției pe un plan. Gradele superioare de reproducere sunt una dintre problemele matematice complexe ale institutului și se alocă un număr suficient de ore pentru studiul acestuia. Ca toate ecuațiile liniare, ale noastre nu fac excepție după multe reguli obiective; priviți din puncte de vedere diferite și se dovedește a fi simplu și suficient pentru a stabili condițiile inițiale. Intervalul de creștere coincide cu intervalul de convexitate al funcției. Rezolvarea ecuațiilor online. Studiul teoriei se bazează pe ecuații online din numeroase secțiuni privind studiul disciplinei principale. În cazul acestei abordări în problemele incerte, este foarte simplu să prezentați soluția ecuațiilor într-o formă predeterminată și nu numai să trageți concluzii, ci și să preziceți rezultatul unei astfel de soluții pozitive. Un serviciu în cele mai bune tradiții ale matematicii ne va ajuta să învățăm domeniul, așa cum este obișnuit în Est. În cele mai bune momente ale intervalului de timp, sarcinile similare au fost înmulțite cu un factor comun de zece. Abundența înmulțirilor mai multor variabile în calculatorul de ecuații a început să se înmulțească mai degrabă prin calitate decât cu variabile cantitative, cum ar fi masa sau greutatea corporală. Pentru a evita cazurile de dezechilibru al sistemului material, ne este destul de evidentă derivarea unui transformator tridimensional pe convergența banală a matricelor matematice nedegenerate. Finalizați sarcina și rezolvați ecuația în coordonatele date, deoarece concluzia este necunoscută în prealabil, la fel ca toate variabilele incluse în timpul post-spațial. Pentru o scurtă perioadă de timp, mutați factorul comun din paranteze și împărțiți în avans ambele părți la cel mai mare factor comun. Din subsetul de numere acoperit rezultat, extrageți într-o manieră detaliată treizeci și trei de puncte la rând într-o perioadă scurtă. În măsura în care este posibil ca fiecare elev să rezolve o ecuație online în cel mai bun mod posibil, privind în viitor, să spunem un lucru important, dar cheie, fără de care va fi dificil să trăiești în viitor. În secolul trecut, marele om de știință a observat o serie de modele în teoria matematicii. În practică, rezultatul nu a fost chiar impresia așteptată a evenimentelor. Cu toate acestea, în principiu, tocmai această soluție a ecuațiilor online ajută la îmbunătățirea înțelegerii și percepției unei abordări holistice a studiului și a consolidării practice a materialului teoretic acoperit de studenți. Este mult mai ușor să faci asta în timpul studiilor.

=

Universitatea de Stat din Belgorod

DEPARTAMENT algebră, teoria numerelor și geometrie

Tema de lucru: Ecuații de putere exponențială și inegalități.

Munca de absolvent student al Facultății de Fizică și Matematică

Consilier stiintific:

______________________________

Revizor: ________________________________

________________________

Belgorod. 2006

Introducere			3
Subiect eu.	Analiza literaturii pe tema de cercetare.
Subiect II.	Funcțiile și proprietățile lor utilizate în rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților.
	I.1.	Funcția de putere și proprietățile acesteia.
	I.2.	Funcția exponențială și proprietățile acesteia.
Subiect III.	Rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială, algoritm și exemple.
Subiect IV.	Rezolvarea inegalităților exponențiale, plan de soluții și exemple.
Subiect V.	Experiență în conducerea cursurilor cu școlari pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților exponențiale”.
V. 1.	Material educativ.
V. 2.	Sarcini pentru decizie independentă.
Concluzie.	Concluzii si oferte.
Bibliografie.
Aplicații

Introducere.

„...bucuria de a vedea și înțelege...”

A. Einstein.

În această lucrare, am încercat să transmit experiența mea de profesor de matematică, să transmit cel puțin într-o oarecare măsură atitudinea mea față de predarea ei - un efort uman în care știința matematică, pedagogia, didactica, psihologia și chiar filozofia se împletesc în mod surprinzător.

Am avut ocazia să lucrez cu copii și absolvenți, cu copii la extremele dezvoltării intelectuale: cei care erau înscriși la psihiatru și care erau cu adevărat interesați de matematică

Am avut ocazia să rezolv multe probleme metodologice. Voi încerca să vorbesc despre cele pe care am reușit să le rezolv. Dar și mai eșuate, și chiar și în cele care par a fi rezolvate, apar noi întrebări.

Dar și mai importante decât experiența în sine sunt reflecțiile și îndoielile profesorului: de ce este exact așa, această experiență?

Și vara este diferită acum, iar dezvoltarea educației a devenit mai interesantă. „Sub Jupiters” astăzi nu este o căutare a unui sistem optim mitic de predare a „toată lumea și totul”, ci copilul însuși. Dar apoi – de necesitate – profesorul.

La cursul școlar de algebră și începutul analizei, clasele 10 - 11, la promovarea Examenului de stat unificat pentru un curs de liceu și la examenele de admitere la universități se întâlnesc ecuații și inegalități care conțin o necunoscută în bază și exponenți - acestea sunt ecuații exponențiale și inegalități.

Ei primesc puțină atenție la școală; practic nu există teme pe această temă în manuale. Totuși, stăpânirea metodologiei de rezolvare a acestora, mi se pare, este foarte utilă: crește abilitățile mentale și creative ale elevilor, iar în fața noastră se deschid orizonturi complet noi. La rezolvarea problemelor, studenții dobândesc primele abilități ale muncii de cercetare, cultura lor matematică este îmbogățită, iar abilitățile lor de gândire logică se dezvoltă. Elevii dezvoltă calități de personalitate precum determinarea, stabilirea de obiective și independența, care le vor fi utile în viața ulterioară. Și, de asemenea, există repetarea, extinderea și asimilarea profundă a materialului educațional.

Am început să lucrez la acest subiect pentru teza mea scriindu-mi lucrările de curs. În cursul căreia am studiat și analizat în profunzime literatura matematică pe această temă, am identificat cea mai potrivită metodă de rezolvare a ecuațiilor exponențiale și a inegalităților.

Constă în faptul că, pe lângă abordarea general acceptată la rezolvarea ecuațiilor exponențiale (baza este luată mai mare decât 0) și la rezolvarea acelorași inegalități (baza este luată mai mare de 1 sau mai mare de 0, dar mai mică de 1) , sunt luate în considerare și cazurile când bazele sunt negative, egale cu 0 și 1.

O analiză a lucrărilor de examen scrise ale elevilor arată că lipsa de acoperire a întrebării valorii negative a argumentului unei funcții exponențiale din manualele școlare le provoacă o serie de dificultăți și duce la erori. Și au probleme și la etapa de sistematizare a rezultatelor obținute, unde, din cauza trecerii la o ecuație - o consecință sau o inegalitate - o consecință, pot apărea rădăcini străine. Pentru a elimina erorile, folosim un test folosind ecuația sau inegalitatea originală și un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale sau un plan pentru rezolvarea inegalităților exponențiale.

Pentru ca studenții să treacă cu succes examenele finale și de admitere, cred că este necesar să se acorde mai multă atenție rezolvării ecuațiilor exponențiale și inegalităților la cursuri, sau suplimentar la opțiuni și cluburi.

Prin urmare subiect , teza mea este definită după cum urmează: „Ecuații și inegalități exponențiale ale puterii”.

Goluri din această lucrare sunt:

1. Analizați literatura pe această temă.

2. Oferiți o analiză completă a soluției ecuațiilor exponențiale și inegalităților.

3. Furnizați un număr suficient de exemple de diferite tipuri pe această temă.

4. Verificați la orele de clasă, opționale și de club cum vor fi percepute metodele propuse pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților. Oferiți recomandări adecvate pentru studierea acestui subiect.

Subiect Cercetarea noastră este de a dezvolta o metodologie pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților.

Scopul și subiectul studiului au necesitat rezolvarea următoarelor probleme:

1. Studiați literatura pe tema: „Ecuații și inegalități exponențiale ale puterii.”

2. Stăpânește tehnicile de rezolvare a ecuațiilor exponențiale și a inegalităților.

3. Selectați materialul de instruire și dezvoltați un sistem de exerciții la diferite niveluri pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților exponențiale”.

Pe parcursul cercetării tezei au fost analizate peste 20 de lucrări privind utilizarea diferitelor metode de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților exponențiale. De aici ajungem.

Planul tezei:

Introducere.

Capitolul I. Analiza literaturii pe tema de cercetare.

Capitolul II. Funcțiile și proprietățile lor utilizate în rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților.

II.1. Funcția de putere și proprietățile acesteia.

II.2. Funcția exponențială și proprietățile acesteia.

Capitolul III. Rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială, algoritm și exemple.

Capitolul IV. Rezolvarea inegalităților exponențiale, plan de soluții și exemple.

Capitolul V. Experiența de a conduce cursuri cu școlari pe această temă.

1.Material de instruire.

2. Sarcini pentru soluție independentă.

Concluzie. Concluzii si oferte.

Lista literaturii folosite.

Capitolul I analizează literatura de specialitate

Această lecție este destinată celor care abia încep să învețe ecuațiile exponențiale. Ca întotdeauna, să începem cu definiția și exemplele simple.

Dacă citiți această lecție, atunci bănuiesc că aveți deja o înțelegere minimă a celor mai simple ecuații - liniare și pătratice: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ etc. A fi capabil să rezolvi astfel de construcții este absolut necesar pentru a nu „răpi” în subiectul care va fi discutat acum.

Deci, ecuații exponențiale. Permiteți-mi să vă dau câteva exemple:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Unele dintre ele ți se pot părea mai complexe, în timp ce altele, dimpotrivă, sunt prea simple. Dar toate au o caracteristică importantă în comun: notația lor conține funcția exponențială $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Astfel, să introducem definiția:

O ecuație exponențială este orice ecuație care conține o funcție exponențială, adică. expresie de forma $((a)^(x))$. Pe lângă funcția indicată, astfel de ecuații pot conține orice alte construcții algebrice - polinoame, rădăcini, trigonometrie, logaritmi etc.

Bine atunci. Am rezolvat definiția. Acum întrebarea este: cum să rezolvi toate prostiile astea? Răspunsul este atât simplu, cât și complex.

Să începem cu vestea bună: din experiența mea de a preda mulți studenți, pot spune că cei mai mulți dintre ei găsesc ecuații exponențiale mult mai ușor decât aceleași logaritmi, și cu atât mai mult trigonometrie.

Dar există o veste proastă: uneori, scriitorii de probleme pentru tot felul de manuale și examene sunt loviți de „inspirație”, iar creierul lor inflamat de droguri începe să producă ecuații atât de brutale încât rezolvarea lor devine problematică nu numai pentru elevi - chiar și pentru mulți profesori. ramane blocat in astfel de probleme.

Totuși, să nu vorbim despre lucruri triste. Și să revenim la acele trei ecuații care au fost date chiar la începutul poveștii. Să încercăm să le rezolvăm pe fiecare dintre ele.

Prima ecuație: $((2)^(x))=4$. Ei bine, la ce putere trebuie să ridici numărul 2 pentru a obține numărul 4? Probabil al doilea? La urma urmei, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - și am obținut egalitatea numerică corectă, adică. într-adevăr $x=2$. Ei bine, mulțumesc, Cap, dar această ecuație a fost atât de simplă încât până și pisica mea a putut să o rezolve. :)

Să ne uităm la următoarea ecuație:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Dar aici este puțin mai complicat. Mulți elevi știu că $((5)^(2))=25$ este tabla înmulțirii. Unii bănuiesc, de asemenea, că $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ este în esență definiția puterilor negative (similar cu formula $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

În cele din urmă, doar câțiva selectați realizează că aceste fapte pot fi combinate și pot da următorul rezultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Astfel, ecuația noastră originală va fi rescrisă după cum urmează:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Dar acest lucru este deja complet rezolvabil! În stânga în ecuație există o funcție exponențială, în dreapta în ecuație există o funcție exponențială, nu este nimic altceva în afară de ei. Prin urmare, putem „arunca” bazele și echivalăm în mod prostesc indicatorii:

Am obținut cea mai simplă ecuație liniară pe care orice student o poate rezolva în doar câteva linii. Bine, în patru rânduri:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Dacă nu înțelegeți ce sa întâmplat în ultimele patru rânduri, asigurați-vă că reveniți la subiectul „ecuații liniare” și repetați-l. Pentru că, fără o înțelegere clară a acestui subiect, este prea devreme pentru a vă ocupa de ecuații exponențiale.

\[((9)^(x))=-3\]

Deci cum putem rezolva asta? Primul gând: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, deci ecuația originală poate fi rescrisă după cum urmează:

\[((\stanga(((3)^(2)) \dreapta))^(x))=-3\]

Apoi ne amintim că atunci când ridicăm o putere la o putere, exponenții sunt înmulțiți:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Iar pentru o astfel de decizie vom primi doi sincer meritati. Căci, cu equanimitatea unui Pokemon, am trimis semnul minus în fața celor trei chiar la puterea acestor trei. Dar nu poți face asta. Si de aceea. Aruncăm o privire la grade diferite tripleti:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrice)\]

Când am compilat această tabletă, nu am pervertit nimic: m-am uitat la puterile pozitive, și la cele negative, și chiar la cele fracționale... ei bine, unde este cel puțin un număr negativ aici? El a plecat! Și nu poate fi, deoarece funcția exponențială $y=((a)^(x))$, în primul rând, ia întotdeauna doar valori pozitive (indiferent cât de mult este înmulțit sau împărțit cu doi, va fi totuși un număr pozitiv), iar în al doilea rând, baza unei astfel de funcții - numărul $a$ - este prin definiție un număr pozitiv!

Ei bine, atunci cum se rezolvă ecuația $((9)^(x))=-3$? Dar în niciun caz: nu există rădăcini. Și în acest sens, ecuațiile exponențiale sunt foarte asemănătoare cu ecuațiile pătratice - poate să nu existe și rădăcini. Dar dacă în ecuațiile pătratice numărul de rădăcini este determinat de discriminant (discriminant pozitiv - 2 rădăcini, negativ - fără rădăcini), atunci în ecuațiile exponențiale totul depinde de ceea ce se află în dreapta semnului egal.

Astfel, să formulăm concluzia cheie: cea mai simplă ecuație exponențială de forma $((a)^(x))=b$ are rădăcină dacă și numai dacă $b>0$. Cunoscând acest simplu fapt, puteți determina cu ușurință dacă ecuația care vi se propune are rădăcini sau nu. Acestea. Merită să o rezolvi deloc sau să notezi imediat că nu există rădăcini.

Aceste cunoștințe ne vor ajuta de multe ori când trebuie să decidem mai mult sarcini complexe. Deocamdată, destule versuri - este timpul să studiem algoritmul de bază pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.

Cum se rezolvă ecuații exponențiale

Deci, haideți să formulăm problema. Este necesar să se rezolve ecuația exponențială:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Conform algoritmului „naiv” pe care l-am folosit mai devreme, este necesar să reprezentăm numărul $b$ ca putere a numărului $a$:

În plus, dacă în locul variabilei $x$ există vreo expresie, vom obține o nouă ecuație care poate fi deja rezolvată. De exemplu:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Și, în mod ciudat, această schemă funcționează în aproximativ 90% din cazuri. Atunci ce rămâne cu restul de 10%? Restul de 10% sunt ecuații exponențiale ușor „schizofrenice” de forma:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Ei bine, la ce putere trebuie să ridici 2 pentru a obține 3? Primul? Dar nu: $((2)^(1))=2$ nu este suficient. Al doilea? Nici: $((2)^(2))=4$ este prea mult. Care atunci?

Elevii cunoscători probabil au ghicit deja: în astfel de cazuri, când nu este posibil să o rezolvi „frumos”, intră în joc „artileria grea” - logaritmi. Permiteți-mi să vă reamintesc că folosind logaritmi, orice număr pozitiv poate fi reprezentat ca o putere a oricărui alt număr pozitiv (cu excepția unuia):

Îți amintești această formulă? Când le spun studenților mei despre logaritmi, avertizez mereu: această formulă (care este și identitatea logaritmică de bază sau, dacă doriți, definiția unui logaritm) vă va bântui foarte mult timp și va „apari” cel mai mult. locuri neașteptate. Ei bine, ea a ieșit la suprafață. Să ne uităm la ecuația noastră și la această formulă:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Dacă presupunem că $a=3$ este numărul nostru original din dreapta și $b=2$ este însăși baza functie exponentiala, la care dorim să reducem partea dreaptă, obținem următoarele:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Am primit un răspuns ușor ciudat: $x=((\log )_(2))3$. Într-o altă sarcină, mulți ar avea îndoieli cu un astfel de răspuns și ar începe să-și verifice soluția: ce se întâmplă dacă o eroare s-ar fi strecurat pe undeva? Mă grăbesc să vă mulțumesc: nu există nicio eroare aici, iar logaritmii din rădăcinile ecuațiilor exponențiale sunt o situație complet tipică. Așa că obișnuiește-te. :)

Acum să rezolvăm cele două ecuații rămase prin analogie:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Asta e tot! Apropo, ultimul răspuns poate fi scris diferit:

Am introdus un multiplicator în argumentul logaritmului. Dar nimeni nu ne împiedică să adăugăm acest factor la bază:

În plus, toate cele trei opțiuni sunt corecte - este simplu forme diferiteînregistrări de același număr. Pe care să o alegeți și să scrieți în această soluție este la latitudinea dvs. de a decide.

Astfel, am învățat să rezolvăm orice ecuație exponențială de forma $((a)^(x))=b$, unde numerele $a$ și $b$ sunt strict pozitive. Cu toate acestea, realitatea dură a lumii noastre este aceea sarcini simple te vei întâlni foarte, foarte rar. De cele mai multe ori veți întâlni ceva de genul acesta:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Deci cum putem rezolva asta? Se poate rezolva deloc asta? Și dacă da, cum?

Nu vă panicați. Toate aceste ecuații se reduc rapid și ușor la formulele simple pe care le-am luat deja în considerare. Trebuie doar să vă amintiți câteva trucuri de la cursul de algebră. Și, desigur, nu există reguli pentru a lucra cu diplome. Îți voi spune despre toate acestea acum. :)

Conversia ecuațiilor exponențiale

Primul lucru de reținut: orice ecuație exponențială, oricât de complexă ar fi, într-un fel sau altul trebuie redusă la cele mai simple ecuații - cele pe care le-am luat deja în considerare și pe care știm să le rezolvăm. Cu alte cuvinte, schema de rezolvare a oricărei ecuații exponențiale arată astfel:

1. Scrieți ecuația inițială. De exemplu: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Fă niște prostii ciudate. Sau chiar niște prostii numite „conversia unei ecuații”;
3. La ieșire, obțineți cele mai simple expresii de forma $((4)^(x))=4$ sau altceva de genul acesta. Mai mult, o ecuație inițială poate da mai multe astfel de expresii simultan.

Totul este clar cu primul punct - chiar și pisica mea poate scrie ecuația pe o bucată de hârtie. Al treilea punct pare să fie, de asemenea, mai mult sau mai puțin clar - am rezolvat deja o grămadă de astfel de ecuații mai sus.

Dar ce zici de al doilea punct? Ce fel de transformări? Transformă ce în ce? Si cum?

Ei bine, hai să aflăm. În primul rând, aș dori să notez următoarele. Toate ecuațiile exponențiale sunt împărțite în două tipuri:

1. Ecuația este compusă din funcții exponențiale cu aceeași bază. Exemplu: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formula conține funcții exponențiale cu baze diferite. Exemple: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ și $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 USD.

Să începem cu ecuațiile de primul tip - sunt cele mai ușor de rezolvat. Și în rezolvarea lor, vom fi ajutați de o astfel de tehnică precum evidențierea expresiilor stabile.

Izolarea unei expresii stabile

Să ne uităm din nou la această ecuație:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ce vedem? Cei patru sunt crescuți în grade diferite. Dar toate aceste puteri sunt simple sume ale variabilei $x$ cu alte numere. Prin urmare, este necesar să ne amintim regulile de lucru cu grade:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(align)\]

Mai simplu spus, adunarea poate fi convertită într-un produs de puteri, iar scăderea poate fi convertită cu ușurință în împărțire. Să încercăm să aplicăm aceste formule la grade din ecuația noastră:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Să rescriem ecuația originală ținând cont de acest fapt și apoi să colectăm toți termenii din stânga:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -unsprezece; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

Primii patru termeni conțin elementul $((4)^(x))$ - să-l scoatem din paranteză:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Rămâne să împărțim ambele părți ale ecuației la fracția $-\frac(11)(4)$, adică. în esență înmulțiți cu fracția inversată - $-\frac(4)(11)$. Primim:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(align)\]

Asta e tot! Am redus ecuația inițială la cea mai simplă formă și am obținut răspunsul final.

În același timp, în procesul de rezolvare am descoperit (și chiar l-am scos din paranteză) factorul comun $((4)^(x))$ - aceasta este o expresie stabilă. Poate fi desemnată ca o nouă variabilă sau pur și simplu o puteți exprima cu atenție și obține răspunsul. În orice caz, principiul cheie al soluției este următorul:

Găsiți în ecuația originală o expresie stabilă care conține o variabilă care este ușor de distins de toate funcțiile exponențiale.

Vestea bună este că aproape fiecare ecuație exponențială vă permite să izolați o expresie atât de stabilă.

Dar vestea proastă este că aceste expresii pot fi destul de complicate și pot fi destul de greu de identificat. Deci, haideți să vedem încă o problemă:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Poate că cineva va avea acum o întrebare: „Pașa, ești lapidat? Există baze diferite aici – 5 și 0,2.” Dar să încercăm să convertim puterea la baza 0.2. De exemplu, să scăpăm de fracția zecimală reducând-o la una obișnuită:

\[(((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

După cum puteți vedea, numărul 5 a apărut în continuare, deși la numitor. În același timp, indicatorul a fost rescris ca negativ. Și acum să ne amintim unul dintre cele mai importante reguli lucreaza cu grade:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Aici, desigur, am mințit puțin. Pentru că pentru o înțelegere completă, formula pentru a scăpa de indicatorii negativi trebuia scrisă astfel:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))))=((\left(\frac(5)(1) \ dreapta))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Pe de altă parte, nimic nu ne-a împiedicat să lucrăm doar cu fracții:

\[((\left(\frac(1)(5) \right)))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ dreapta))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Dar, în acest caz, trebuie să puteți ridica o putere la o altă putere (permiteți-mi să vă reamintesc: în acest caz, indicatorii sunt adunați împreună). Dar nu a trebuit să „inversez” fracțiile - poate că acest lucru va fi mai ușor pentru unii. :)

În orice caz, ecuația exponențială originală va fi rescrisă astfel:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Deci, se dovedește că ecuația inițială poate fi rezolvată chiar mai simplu decât cea considerată anterior: aici nici măcar nu trebuie să selectați o expresie stabilă - totul a fost redus de la sine. Rămâne doar să ne amintim că $1=((5)^(0))$, din care obținem:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(align)\]

Asta e solutia! Am primit răspunsul final: $x=-2$. În același timp, aș dori să notez o tehnică care a simplificat foarte mult toate calculele pentru noi:

În ecuațiile exponențiale, asigurați-vă că scăpați de zecimale, convertiți-le în cele obișnuite. Acest lucru vă va permite să vedeți aceleași baze de grade și să simplificați foarte mult soluția.

Să trecem acum la mai multe ecuații complexe, în care există baze diferite care nu sunt deloc reductibile între ele folosind grade.

Utilizarea proprietății Degrees

Permiteți-mi să vă reamintesc că avem două ecuații mai deosebit de dure:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Principala dificultate aici este că nu este clar ce să dea și pe ce bază. Unde sunt expresiile stabile? Unde sunt aceleași temeiuri? Nu există nimic din toate acestea.

Dar să încercăm să mergem într-un alt drum. Dacă nu există baze identice gata făcute, puteți încerca să le găsiți prin factorizarea bazelor existente.

Să începem cu prima ecuație:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Dar puteți face opusul - faceți numărul 21 din numerele 7 și 3. Acest lucru este deosebit de ușor de făcut în stânga, deoarece indicatorii ambelor grade sunt aceiași:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(align)\]

Asta e tot! Ați scos exponentul în afara produsului și ați obținut imediat o ecuație frumoasă care poate fi rezolvată în câteva rânduri.

Acum să ne uităm la a doua ecuație. Totul este mult mai complicat aici:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

În acest caz, fracțiile s-au dovedit a fi ireductibile, dar dacă ceva ar putea fi redus, asigurați-vă că îl reduceți. Adesea, vor apărea motive interesante cu care puteți lucra deja.

Din păcate, nu a apărut nimic special pentru noi. Dar vedem că exponenții din stânga în produs sunt opuși:

Permiteți-mi să vă reamintesc: pentru a scăpa de semnul minus din indicator, trebuie doar să „întoarceți” fracția. Ei bine, să rescriem ecuația inițială:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

În a doua linie, pur și simplu am scos exponentul total din produsul din paranteză conform regulii $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) \cdot b \right))^ (x))$, iar în ultimul au înmulțit pur și simplu numărul 100 cu o fracție.

Acum rețineți că numerele din stânga (la bază) și din dreapta sunt oarecum similare. Cum? Da, este evident: sunt puteri de același număr! Avem:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac((((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac() 10)(3) \dreapta))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \dreapta))^(2)). \\\end(align)\]

Astfel, ecuația noastră va fi rescrisă după cum urmează:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\dreapta))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

În acest caz, în dreapta puteți obține și o diplomă cu aceeași bază, pentru care este suficient să „întoarceți” pur și simplu fracția:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Ecuația noastră va lua în sfârșit forma:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Asta e soluția. Ideea lui principală se rezumă la faptul că, chiar și cu baze diferite, încercăm, prin cârlig sau prin escroc, să reducem aceste baze la același lucru. Transformările elementare ale ecuațiilor și regulile de lucru cu puteri ne ajută în acest sens.

Dar ce reguli și când să folosiți? Cum înțelegeți că într-o ecuație trebuie să împărțiți ambele părți cu ceva, iar în alta trebuie să factorizați baza funcției exponențiale?

Răspunsul la această întrebare va veni odată cu experiența. Încearcă-ți mâna la început ecuații simple, iar apoi complică treptat sarcinile - și foarte curând abilitățile tale vor fi suficiente pentru a rezolva orice ecuație exponențială din același examen de stat unificat sau orice muncă independentă/test.

Și pentru a vă ajuta în această sarcină dificilă, vă sugerez să descărcați un set de ecuații de pe site-ul meu pentru a o rezolva singur. Toate ecuațiile au răspunsuri, așa că vă puteți testa întotdeauna.