După cum vă amintiți din programa școlară de geometrie, un triunghi este o figură formată din trei segmente conectate prin trei puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă. Triunghiul formează trei unghiuri, de unde și numele figurii. Definiția poate fi diferită. Un triunghi poate fi numit și poligon cu trei colțuri, răspunsul va fi la fel de adevărat. Triunghiurile sunt împărțite în funcție de numărul de laturi egale și de dimensiunea unghiurilor din figuri. Așadar, distingeți triunghiuri precum isoscel, echilateral și scalen, precum și dreptunghiular, în unghi acut și, respectiv, în unghi obtuz.

Există multe formule pentru calcularea ariei unui triunghi. Alegeți cum să găsiți aria unui triunghi, de ex. ce formulă să folosești, doar tu. Dar merită remarcată doar o parte din notația care este folosită în multe formule pentru calcularea ariei unui triunghi. Deci, amintiți-vă:

S este aria triunghiului,

a, b, c sunt laturile triunghiului,

h este înălțimea triunghiului,

R este raza cercului circumscris,

p este semiperimetrul.

Iată notațiile de bază care vă pot fi utile dacă ați uitat complet cursul geometriei. Mai jos sunt cele mai de înțeles și nu opțiuni complexe calcularea ariei necunoscute și misterioase a unui triunghi. Nu este dificil și vă va fi de folos atât pentru nevoile casnice, cât și pentru a vă ajuta copiii. Să ne amintim cum să calculăm aria unui triunghi la fel de ușor ca decojirea perelor:

În cazul nostru, aria triunghiului este: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm pătrați. Amintiți-vă că aria se măsoară în centimetri pătrați (cm2).

Triunghi dreptunghic și aria lui.

Un triunghi dreptunghic este un triunghi cu un unghi egal cu 90 de grade (deci numit triunghi dreptunghic). Un unghi drept este format din două drepte perpendiculare (în cazul unui triunghi, două segmente perpendiculare). Într-un triunghi dreptunghic, poate exista un singur unghi drept, deoarece suma tuturor unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade. Se pare că alte 2 unghiuri ar trebui să împartă cele 90 de grade rămase între ele, de exemplu, 70 și 20, 45 și 45 etc. Deci, v-ați amintit principalul lucru, rămâne să aflați cum să găsiți zona triunghi dreptunghic. Imaginați-vă că avem un astfel de triunghi dreptunghic în fața noastră și trebuie să găsim aria lui S.

1. Cel mai simplu mod de a determina aria unui triunghi dreptunghic este calculat folosind următoarea formulă:

În cazul nostru, aria unui triunghi dreptunghic este: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm pătrați.

În principiu, nu mai este necesar să se verifice aria unui triunghi în alte moduri, deoarece în viața de zi cu zi va veni la îndemână și doar acesta va ajuta. Dar există și opțiuni pentru măsurarea ariei unui triunghi prin unghiuri ascuțite.

2. Pentru alte metode de calcul, trebuie să aveți un tabel de cosinus, sinusuri și tangente. Judecă singur, iată câteva opțiuni pentru calcularea ariilor unui triunghi dreptunghic pe care le poți folosi în continuare:

Am decis să folosim prima formulă și cu pete mici (am desenat într-un caiet și am folosit o riglă și un raportor vechi), dar am obținut calculul corect:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Am obținut astfel de rezultate 3,6=3,7, dar ținând cont de deplasarea celulei, putem ierta această nuanță.

Triunghiul isoscel și aria sa.

Dacă vă confruntați cu sarcina de a calcula formula unui triunghi isoscel, atunci cea mai ușoară modalitate este să utilizați cea principală și, așa cum este considerată formula clasică pentru aria unui triunghi.

Dar mai întâi, înainte de a găsi aria unui triunghi isoscel, vom afla ce fel de figură este. Un triunghi isoscel este un triunghi ale cărui două laturi au aceeași lungime. Aceste două laturi se numesc laturi, a treia latură se numește bază. Nu confundați un triunghi isoscel cu unul echilateral, adică. un triunghi echilateral cu toate cele trei laturi egale. Într-un astfel de triunghi, nu există tendințe speciale la unghiuri, sau mai degrabă la dimensiunea lor. Cu toate acestea, unghiurile de la bază într-un triunghi isoscel sunt egale, dar diferite de unghiul dintre laturile egale. Deci, știți deja prima și principala formulă, rămâne să aflați ce alte formule pentru determinarea ariei unui triunghi isoscel sunt cunoscute:

Din vârful opus) și împarte produsul rezultat la doi. În forma asta arată în felul următor:

S = ½ * a * h,

Unde:
S este aria triunghiului,
a este lungimea laturii sale,
h este înălțimea coborâtă în această parte.

Lungimea laterală și înălțimea trebuie prezentate în aceleași unități. În acest caz, aria triunghiului se va dovedi în unitățile "" corespunzătoare.

Exemplu.
Pe una dintre laturile unui triunghi scalen de 20 cm lungime se coboară o perpendiculară de la vârful opus de 10 cm lungime.
Este necesară aria triunghiului.
Soluţie.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Dacă cunoașteți lungimile oricăror două laturi ale unui triunghi scalen și unghiul dintre ele, atunci utilizați formula:

S = ½ * a * b * sinγ,

unde: a, b sunt lungimile a două laturi arbitrare, iar γ este unghiul dintre ele.

În practică, de exemplu, atunci când se măsoară terenul, utilizarea formulelor de mai sus este uneori dificilă, deoarece necesită construcții suplimentare și măsurarea unghiurilor.

Dacă cunoașteți lungimile tuturor celor trei laturi ale unui triunghi scalen, atunci utilizați formula lui Heron:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului,
р – semiperimetru: p = (a+b+c)/2.

Dacă, pe lângă lungimile tuturor laturilor, este cunoscută raza cercului înscris în triunghi, atunci utilizați următoarea formulă compactă:

unde: r este raza cercului înscris (p este semiperimetrul).

Pentru a calcula aria unui triunghi scalen al cercului circumscris și lungimea laturilor acestuia, utilizați formula:

unde: R este raza cercului circumscris.

Dacă se cunoaște lungimea uneia dintre laturile triunghiului și a trei unghiuri (în principiu, două sunt suficiente - valoarea celui de-al treilea este calculată din egalitatea sumei celor trei unghiuri ale triunghiului - 180º), atunci utilizați formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

unde α este valoarea unghiului opus laturii a;
β, γ sunt valorile celor două unghiuri rămase ale triunghiului.

Necesitatea de a găsi diverse elemente, inclusiv zonă triunghi, a apărut cu multe secole înaintea erei noastre printre astronomi Grecia antică. Pătrat triunghi poate fi calculat căi diferite folosind formule diferite. Metoda de calcul depinde de ce elemente triunghi cunoscut.

Instruire

Dacă din condiție cunoaștem valorile celor două laturi b, c și unghiul format de acestea?, atunci aria triunghi ABC se găsește după formula:
S = (bcsin?)/2.

Dacă din condiție cunoaștem valorile celor două laturi a, b și unghiul neformat de acestea?, atunci aria triunghi ABC se găsește după cum urmează:
Găsirea unghiului?, păcat? = bsin? / a, mai departe pe tabel determinăm unghiul însuși.
Găsiți un unghi? = 180°-?-?.
Găsiți aria în sine S = (absin?)/2.

Dacă din condiție cunoaștem valorile doar a trei laturi triunghi a, b și c, apoi aria triunghi ABC se găsește după formula:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , unde p este semiperimetrul p = (a+b+c)/2

Dacă din starea problemei știm înălțimea triunghi h și latura la care se coboară această înălțime, apoi zona triunghi ABC prin formula:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Dacă știm valorile laturilor triunghi a, b, c și raza circumscrisului în apropierea dat triunghi R, apoi zona acesteia triunghi ABC este determinat de formula:
S = abc/4R.
Dacă sunt cunoscute trei laturi a, b, c și raza celor înscrise în, atunci aria triunghi ABC se găsește după formula:
S = pr, unde p este semiperimetrul, p = (a+b+c)/2.

Dacă ABC este echilateral, atunci aria se găsește cu formula:
S = (a^2v3)/4.
Dacă triunghiul ABC este isoscel, atunci aria este determinată de formula:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, unde c este triunghi.
Dacă triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic, atunci aria este determinată de formula:
S = ab/2, unde a și b sunt catete triunghi.
Dacă triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic isoscel, atunci aria este determinată de formula:
S = c^2/4 = a^2/2, unde c este ipotenuza triunghi, a=b - picior.

Videoclipuri similare

Surse:

• cum se măsoară aria unui triunghi

Sfat 3: Cum să găsiți aria unui triunghi dacă cunoașteți unghiul

Cunoașterea unui singur parametru (valoarea unghiului) nu este suficientă pentru a găsi zona tre pătrat . Dacă există dimensiuni suplimentare, atunci pentru a determina zona, puteți alege una dintre formulele în care valoarea unghiului este, de asemenea, utilizată ca una dintre variabilele cunoscute. Câteva dintre cele mai frecvent utilizate formule sunt enumerate mai jos.

Instruire

Dacă pe lângă unghiul (γ) format de cele două laturi tre pătrat , se cunosc de asemenea lungimile acestor laturi (A si B). pătrat Figurile (S) pot fi definite ca jumătate din produsul lungimilor laturilor și sinusul acestui unghi cunoscut: S=½×A×B×sin(γ).

Conceptul de zonă

Conceptul de zonă a oricărei figuri geometrice, în special un triunghi, va fi asociat cu o astfel de figură precum un pătrat. Pentru o unitate de suprafață a oricărei figuri geometrice, vom lua aria unui pătrat, a cărui latură este egală cu unu. Pentru a fi complet, amintim două proprietăți de bază pentru conceptul de zone forme geometrice.

Proprietatea 1: Dacă figurile geometrice sunt egale, atunci și zonele lor sunt egale.

Proprietatea 2: Orice figură poate fi împărțită în mai multe figuri. Mai mult, aria figurii originale este egală cu suma valorilor ariilor tuturor figurilor care o alcătuiesc.

Luați în considerare un exemplu.

Exemplul 1

Este evident că una dintre laturile triunghiului este diagonala dreptunghiului, care are o latură de lungime $5$ (din moment ce $5$ celule) și cealaltă $6$ (din moment ce $6$ celule). Prin urmare, aria acestui triunghi va fi egală cu jumătate dintr-un astfel de dreptunghi. Aria dreptunghiului este

Atunci aria triunghiului este

Răspuns: $15$.

În continuare, luați în considerare mai multe metode pentru găsirea ariilor triunghiurilor, și anume folosind înălțimea și baza, folosind formula Heron și aria unui triunghi echilateral.

Cum să găsiți aria unui triunghi folosind înălțimea și baza

Teorema 1

Aria unui triunghi poate fi găsită ca jumătate din produsul lungimii unei laturi cu înălțimea trasă de acea latură.

Matematic arată așa

$S=\frac(1)(2)αh$

unde $a$ este lungimea laturii, $h$ este înălțimea trasă la ea.

Dovada.

Considerăm triunghiul $ABC$ unde $AC=α$. Înălțimea $BH$ este trasă în această parte și este egală cu $h$. Să o construim până la pătratul $AXYC$ ca în Figura 2.

Aria dreptunghiului $AXBH$ este $h\cdot AH$, iar cea a dreptunghiului $HBYC$ este $h\cdot HC$. Apoi

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Prin urmare, aria dorită a triunghiului, conform proprietății 2, este egală cu

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorema a fost demonstrată.

Exemplul 2

Găsiți aria triunghiului din figura de mai jos, dacă celula are o zonă egală cu unu

Baza acestui triunghi este $9$ (deoarece $9$ este $9$ celule). Înălțimea este de asemenea de 9 USD. Apoi, prin teorema 1, obținem

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

Răspuns: 40,5 USD.

Formula lui Heron

Teorema 2

Dacă ni se dau trei laturi ale unui triunghi $α$, $β$ și $γ$, atunci aria acestuia poate fi găsită după cum urmează

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

aici $ρ$ înseamnă jumătate de perimetru al acestui triunghi.

Dovada.

Luați în considerare următoarea figură:

Prin teorema lui Pitagora, din triunghiul $ABH$ obtinem

Din triunghiul $CBH$, după teorema lui Pitagora, avem

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Din aceste două relații obținem egalitatea

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Deoarece $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, atunci $α+β+γ=2ρ$, deci

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Prin teorema 1, obținem

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Triunghiul este una dintre cele mai comune forme geometrice, cu care suntem deja familiarizați scoala primara. Întrebarea cum să găsești aria unui triunghi se confruntă de fiecare student la lecțiile de geometrie. Deci, care sunt caracteristicile găsirii zonei unei cifre date care pot fi distinse? În acest articol, vom lua în considerare formulele de bază necesare pentru a finaliza o astfel de sarcină și, de asemenea, vom analiza tipurile de triunghiuri.

Tipuri de triunghiuri

Puteți găsi cu siguranță aria unui triunghi căi diferite, deoarece în geometrie există mai mult de un tip de figură care conține trei unghiuri. Aceste tipuri includ:

• obtuz.
• Echilateral (corect).
• Triunghi dreptunghic.
• Isoscel.

Să aruncăm o privire mai atentă la fiecare dintre ele tipurile existente triunghiuri.

O astfel de figură geometrică este considerată cea mai comună în rezolvarea problemelor geometrice. Când devine necesar să desenați un triunghi arbitrar, această opțiune vine în ajutor.

Într-un triunghi ascuțit, după cum sugerează și numele, toate unghiurile sunt acute și se adună până la 180°.

Un astfel de triunghi este, de asemenea, foarte comun, dar este oarecum mai puțin comun decât unul cu unghi ascuțit. De exemplu, atunci când rezolvați triunghiuri (adică știți mai multe dintre laturile și unghiurile sale și trebuie să găsiți elementele rămase), uneori trebuie să determinați dacă unghiul este obtuz sau nu. Cosinusul este un număr negativ.

În valoarea unuia dintre unghiuri depășește 90°, astfel încât celelalte două unghiuri pot lua valori mici (de exemplu, 15° sau chiar 3°).

Pentru a găsi aria unui triunghi de acest tip, trebuie să cunoașteți câteva dintre nuanțe, despre care vom vorbi în continuare.

Triunghiuri regulate și isoscele

poligon regulat O figură se numește o figură care include n unghiuri, în care toate laturile și unghiurile sunt egale. Acesta este triunghiul dreptunghic. Deoarece suma tuturor unghiurilor unui triunghi este de 180°, fiecare dintre cele trei unghiuri este de 60°.

Triunghiul dreptunghic, datorită proprietății sale, este numit și figură echilaterală.

De asemenea, este de remarcat faptul că un singur cerc poate fi înscris într-un triunghi obișnuit și un singur cerc poate fi circumscris în jurul lui, iar centrele lor sunt situate într-un punct.

Pe lângă tipul echilateral, se poate distinge și un triunghi isoscel, care diferă ușor de acesta. Într-un astfel de triunghi, două laturi și două unghiuri sunt egale între ele, iar a treia latură (la care unghiuri egale) este baza.

Figura prezintă un triunghi isoscel DEF, ale cărui unghiuri D și F sunt egale, iar DF ​​este baza.

Triunghi dreptunghic

Un triunghi dreptunghic este numit astfel deoarece unul dintre unghiurile sale este un unghi drept, adică egal cu 90°. Celelalte două unghiuri se adună până la 90°.

Cea mai mare latură a unui astfel de triunghi, situată opus unui unghi de 90 °, este ipotenuza, în timp ce celelalte două laturi ale sale sunt catetele. Pentru acest tip de triunghiuri se aplică teorema lui Pitagora:

Suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.

Figura prezintă un triunghi dreptunghic BAC cu ipotenuza AC și catetele AB și BC.

Pentru a găsi aria unui triunghi cu unghi drept, trebuie să cunoașteți valorile numerice ale catetelor sale.

Să trecem la formulele pentru găsirea ariei unei figuri date.

Formule de bază pentru găsirea zonei

În geometrie, se pot distinge două formule care sunt potrivite pentru a găsi aria celor mai multe tipuri de triunghiuri, și anume pentru unghi ascuți, unghi obtuz, regulat și triunghiuri isoscele. Să analizăm fiecare dintre ele.

După lateral și înălțime

Această formulă este universală pentru găsirea zonei figurii pe care o luăm în considerare. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți lungimea laturii și lungimea înălțimii trasate pe ea. Formula în sine (jumătate din produsul bazei și înălțimea) este următoarea:

unde A este latura triunghi dat, iar H este înălțimea triunghiului.

De exemplu, pentru a găsi aria unui triunghi cu unghi ascuțit ACB, trebuie să înmulțiți latura AB cu înălțimea CD și să împărțiți valoarea rezultată la două.

Cu toate acestea, nu este întotdeauna ușor să găsiți aria unui triunghi în acest fel. De exemplu, pentru a utiliza această formulă pentru un triunghi obtuz în unghi, trebuie să continuați una dintre laturile sale și abia apoi să desenați o înălțime la ea.

În practică, această formulă este folosită mai des decât altele.

Două laturi și un colț

Această formulă, ca și cea anterioară, este potrivită pentru majoritatea triunghiurilor și, în sensul ei, este o consecință a formulei de găsire a ariei de latura și înălțimea unui triunghi. Adică formula luată în considerare poate fi ușor dedusă din cea anterioară. Formularea lui arată astfel:

S = ½*sinO*A*B,

unde A și B sunt laturile triunghiului și O este unghiul dintre laturile A și B.

Amintiți-vă că sinusul unui unghi poate fi vizualizat într-un tabel special numit după remarcabilul matematician sovietic V. M. Bradis.

Și acum să trecem la alte formule care sunt potrivite doar pentru tipuri excepționale de triunghiuri.

Aria unui triunghi dreptunghic

Pe lângă formula universală, care include necesitatea de a desena o înălțime într-un triunghi, aria unui triunghi care conține un unghi drept poate fi găsită din picioarele sale.

Deci, aria unui triunghi care conține un unghi drept este jumătate din produsul catetelor sale sau:

unde a și b sunt catetele unui triunghi dreptunghic.

triunghi dreptunghic

Acest tip de figuri geometrice se distinge prin faptul că aria sa poate fi găsită cu valoarea specificată doar a uneia dintre laturile sale (deoarece toate laturile unui triunghi obișnuit sunt egale). Deci, după ce ați îndeplinit sarcina de a „găsi aria unui triunghi când laturile sunt egale”, trebuie să utilizați următoarea formulă:

S = A 2 *√3 / 4,

unde A este latura unui triunghi echilateral.

Formula lui Heron

Ultima opțiune pentru găsirea ariei unui triunghi este formula lui Heron. Pentru a-l folosi, trebuie să cunoașteți lungimile celor trei laturi ale figurii. Formula lui Heron arată astfel:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

unde a, b și c sunt laturile triunghiului dat.

Uneori, sarcina este dată: „aria unui triunghi obișnuit este de a găsi lungimea laturii sale”. În acest caz, trebuie să utilizați formula deja cunoscută de noi pentru a găsi aria unui triunghi obișnuit și să obțineți din aceasta valoarea laturii (sau pătratul său):

A 2 \u003d 4S / √3.

Probleme de examen

Există multe formule în sarcinile GIA în matematică. În plus, destul de des este necesar să găsiți aria unui triunghi pe hârtie în carouri.

În acest caz, cel mai convenabil este să desenați înălțimea pe una dintre laturile figurii, să determinați lungimea acesteia prin celule și să utilizați formula universală pentru găsirea zonei:

Deci, după ce ați studiat formulele prezentate în articol, nu veți avea probleme în a găsi aria unui triunghi de orice fel.

Instruire

Petreceri iar colțurile sunt considerate elemente de bază A. Un triunghi este complet definit de oricare dintre următoarele elemente de bază: fie trei laturi, fie o latură și două unghiuri, fie două laturi și un unghi între ele. Pentru existență triunghi definit de trei laturi a, b, c, este necesar și suficient ca inegalitățile, numite inegalități triunghi:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Pentru constructie triunghi pe trei laturi a, b, c, este necesar din punctul C al segmentului CB=a sa se deseneze cu compasul un cerc de raza b. Apoi, în mod similar, desenați un cerc din punctul B cu o rază egală cu latura c. Punctul lor de intersecție A este al treilea vârf al celui dorit triunghi ABC, unde AB=c, CB=a, CA=b - laturile triunghi. Problema are , dacă laturile a, b, c satisfac inegalitățile triunghi specificat la pasul 1.

Zona lui S construită în acest fel triunghi ABC cu laturile cunoscute a, b, c, se calculează prin formula lui Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
unde a, b, c sunt laturi triunghi, p este semiperimetrul.
p = (a+b+c)/2

Dacă triunghiul este echilateral, adică toate laturile lui sunt egale (a=b=c).Aria triunghi calculat prin formula:
S=(a^2 v3)/4

Dacă triunghiul este dreptunghic, adică unul dintre unghiurile sale este de 90 °, iar laturile care îl formează sunt catete, a treia latură este ipotenuza. În acest caz pătrat este egal cu produsul catetelor împărțit la doi.
S=ab/2

A găsi pătrat triunghi, puteți folosi una dintre numeroasele formule. Alegeți formula în funcție de ce date sunt deja cunoscute.

Vei avea nevoie

• cunoașterea formulelor pentru găsirea ariei unui triunghi

Instruire

Dacă știți valoarea uneia dintre laturi și valoarea înălțimii coborâte în această latură din colțul opus, atunci puteți găsi aria folosind următoarele: S = a*h/2, unde S este aria lui ​triunghiul, a este una dintre laturile triunghiului, iar h - înălțimea, la latura a.

Există o modalitate cunoscută de a determina aria unui triunghi dacă trei dintre laturile sale sunt cunoscute. Ea este formula lui Heron. Pentru a simplifica înregistrarea acesteia, se introduce o valoare intermediară - un semiperimetru: p \u003d (a + b + c) / 2, unde a, b, c - . Atunci formula lui Heron este următoarea: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ exponentiație.

Să presupunem că cunoști una dintre laturile unui triunghi și trei unghiuri. Atunci este ușor să găsiți aria triunghiului: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), unde β este unghiul opus laturii a, iar α și γ sunt unghiuri adiacente laturii.

Videoclipuri similare

Notă

Cel mai formula generala, care este potrivit pentru toate cazurile - aceasta este formula lui Heron.

Surse:

Sfat 3: Cum să găsiți aria unui triunghi având trei laturi

Găsirea ariei unui triunghi este una dintre cele mai comune sarcini în planimetria școlară. Cunoașterea celor trei laturi ale unui triunghi este suficientă pentru a determina aria oricărui triunghi. În cazuri speciale și triunghiuri echilaterale, este suficient să cunoaștem lungimile a două și, respectiv, a unei laturi.

Vei avea nevoie

• lungimile laturilor triunghiurilor, formula lui Heron, teorema cosinusului

Instruire

Formula lui Heron pentru aria unui triunghi este următoarea: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Dacă pictați semiperimetrul p, atunci obțineți: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

De asemenea, puteți obține o formulă pentru aria unui triunghi din considerații, de exemplu, prin aplicarea teoremei cosinusului.

După legea cosinusurilor, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Folosind notația introdusă, acestea pot fi și sub forma: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Prin urmare, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Aria unui triunghi se găsește și prin formula S = a*c*sin(ABC)/2 prin două laturi și unghiul dintre ele. Sinusul unghiului ABC poate fi exprimat în termenii lui folosind identitatea trigonometrică de bază: sin (ABC) = sqrt (1- ((cos (ABC)) ^ 2) Înlocuind sinusul în formula zonei și pictând-o, puteți veniți la formula pentru aria unui triunghi ABC.

Videoclipuri similare

Pentru lucrări de reparații poate fi necesar să fie măsurat pătrat ziduri. Este mai ușor de calculat suma necesară vopsea sau tapet. Pentru măsurători, cel mai bine este să folosiți o bandă de măsurare sau o bandă de centimetri. Măsurătorile trebuie luate după ziduri au fost aliniate.

Vei avea nevoie

• -ruletă;
• -scară.

Instruire

A număra pătrat pereți, trebuie să cunoașteți înălțimea exactă a tavanelor, precum și să măsurați lungimea de-a lungul podelei. Acest lucru se face după cum urmează: luați un centimetru, așezați-l peste soclu. De obicei, un centimetru nu este suficient pentru toată lungimea, așa că fixează-l în colț, apoi derulează-l la lungimea maximă. În acest moment, puneți un semn cu un creion, notați rezultatul și efectuați măsurarea ulterioară în același mod, începând de la ultimul punct de măsurare.

Plafoane standard în tipic - 2 metri 80 centimetri, 3 metri și 3 metri 20 centimetri, în funcție de casă. Dacă casa a fost construită înainte de anii 50, atunci cel mai probabil înălțimea reală este puțin mai mică decât cea indicată. Dacă calculezi pătrat pentru lucrări de reparații, atunci o marjă mică nu va strica - luați în considerare pe baza standardului. Dacă mai trebuie să știți înălțimea reală - luați măsurători. Principiul este similar cu măsurarea lungimii, dar veți avea nevoie de o scară.

Înmulțiți cifrele rezultate - aceasta este pătrat ta ziduri. Adevărat, pentru lucrări de pictură sau pentru este necesar să se scadă pătrat usa si deschideri ale ferestrelor. Pentru a face acest lucru, așezați un centimetru de-a lungul deschiderii. Dacă vorbim despre o ușă pe care o veți schimba mai târziu, atunci executați-o cu cadru de ușă, luând în considerare numai pătrat deschiderea în sine. Suprafața ferestrei este calculată de-a lungul perimetrului cadrului său. După pătrat fereastră și ușă calculate, scădeți rezultatul din suprafața totală a încăperii obținută.

Vă rugăm să rețineți că măsurătorile lungimii și lățimii camerei sunt efectuate împreună, este mai ușor să fixați un centimetru sau o bandă de măsură și, în consecință, să obțineți un rezultat mai precis. Faceți aceeași măsurătoare de mai multe ori pentru a vă asigura că numerele pe care le obțineți sunt corecte.

Videoclipuri similare

Găsirea volumului unui triunghi este într-adevăr o sarcină non-trivială. Faptul este că un triunghi este o figură bidimensională, adică. se află în întregime într-un singur plan, ceea ce înseamnă că pur și simplu nu are volum. Desigur, nu poți găsi ceva care nu există. Dar să nu renunțăm! Putem face următoarea presupunere - volumul unei figuri bidimensionale, aceasta este aria sa. Căutăm aria triunghiului.

Vei avea nevoie

• coală de hârtie, creion, riglă, calculator

Instruire

Desenați pe o foaie de hârtie cu o riglă și un creion. Examinând cu atenție triunghiul, vă puteți asigura că într-adevăr nu are, deoarece este desenat pe un plan. Etichetați laturile triunghiului: o latură să fie latura „a”, cealaltă parte „b”, iar a treia latură „c”. Etichetați vârfurile triunghiului cu literele „A”, „B” și „C”.

Măsurați orice latură a triunghiului cu o riglă și notați rezultatul. După aceea, restabiliți perpendiculara pe latura măsurată de la vârful opus, o astfel de perpendiculară va fi înălțimea triunghiului. În cazul prezentat în figură, perpendiculara „h” este restabilită pe latura „c” de la vârful „A”. Măsurați înălțimea rezultată cu o riglă și înregistrați rezultatul măsurării.

Se poate întâmpla să vi se pare dificil să restabiliți perpendiculara exactă. În acest caz, ar trebui să utilizați o formulă diferită. Măsurați toate laturile triunghiului cu o riglă. După aceea, calculați jumătate de perimetru al triunghiului „p” adunând lungimile rezultate ale laturilor și împărțind suma lor la jumătate. Avand la dispozitie valoarea semiperimetrului, puteti folosi formula Heron. Pentru a face acest lucru, trebuie să extrageți Rădăcină pătrată din următoarele: p(p-a)(p-b)(p-c).

Ați obținut aria dorită a triunghiului. Problema găsirii volumului unui triunghi nu a fost rezolvată, dar după cum am menționat mai sus, volumul nu este . Puteți găsi volum care este în esență un triunghi în lumea 3D. Dacă ne imaginăm că triunghiul nostru inițial a devenit o piramidă tridimensională, atunci volumul unei astfel de piramide va fi produsul lungimii bazei sale și aria triunghiului pe care l-am primit.

Notă

Calculele vor fi mai precise cu cât efectuați măsurătorile cu mai multă atenție.

Surse:

• Calculator All-to-All - Portal de referință
• volumul triunghiului în 2019

Cele trei puncte care definesc unic un triunghi în sistemul de coordonate carteziene sunt vârfurile acestuia. Cunoscând poziția lor față de fiecare axă de coordonate, puteți calcula orice parametri ai acestei figuri plate, inclusiv cel limitat de perimetrul său pătrat. Acest lucru se poate face în mai multe moduri.

Instruire

Utilizați formula lui Heron pentru a calcula suprafața triunghi. Implică dimensiunile celor trei laturi ale figurii, așa că începeți calculele cu. Lungimea fiecărei laturi trebuie să fie egală cu rădăcina sumei pătratelor lungimilor proiecțiilor sale pe axele de coordonate. Dacă notăm coordonatele A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) și C(X₃,Y₃,Z₃), lungimile laturilor lor pot fi exprimate astfel: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Pentru a simplifica calculele, introduceți o variabilă auxiliară - semiperimetrul (P). De aici, aceasta este jumătate din suma lungimilor tuturor laturilor: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).