Si les triangles sont semblables, alors les côtés correspondants le sont. Signes de similitude et d'égalité des triangles

Similitude des triangles Deux triangles sont dits similaires si les angles de l'un sont respectivement égaux aux angles de l'autre et si les côtés correspondants sont proportionnels. Le coefficient de proportionnalité est appelé coefficient de similarité. Ainsi, le triangle ABC est similaire au triangle A 1 B 1 C 1 si A = A 1, B = B 1, C = C 1 et où k est le coefficient de similarité.

Théorème du premier signe de similarité. (Le premier signe de similitude.) Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle, alors ces triangles sont similaires. Preuve. Soit les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 A = A 1, B= B 1. Alors C= C 1. Montrons cela. Posons sur le rayon A 1 B 1 le segment A 1 B ", égal à AB, et traçons une droite B "C" parallèle à B 1 C 1. Les triangles A 1 B "C" et ABC sont égaux ( d'après le deuxième critère d'égalité des triangles). D'après le théorème sur les segments proportionnels, l'égalité est vraie. Donc, nous avons l'égalité, il est prouvé que l'égalité est vraie : les triangles sont semblables. De même, donc,

Question 1 Quels triangles sont dits semblables ? Réponse : Deux triangles sont dits semblables si les angles de l'un sont respectivement égaux aux angles de l'autre et que les côtés correspondants sont proportionnels.

Question 2 Formulez des triangles. premier signe de similitude Réponse : Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle, alors ces triangles sont similaires.

Question 3 Deux triangles sont-ils semblables : a) à des triangles équilatéraux ? b) triangles isocèles ; c) des triangles rectangles isocèles ? Réponse : a) Oui ; b) non ; c) oui.

Exercice 4 Tracez un triangle A’B’C’ semblable à ce triangle ABC, avec un coefficient de similarité de 0,5. Réponse :

Exercice 5 Les côtés du triangle mesurent 5 cm, 8 cm et 10 cm. Trouvez les côtés d'un triangle similaire si le coefficient de similarité est : a) 0,5 ; b) 2. Réponse : a) 2,5 cm, 4 cm et 5 cm ; b) 10 cm, 16 cm et 20 cm.

Exercice 6 Les triangles rectangles sont-ils semblables si l'un d'eux a un angle de 40° et l'autre de 50° ? Réponse : Oui.

Exercice 7 Deux triangles sont semblables. Deux angles d'un triangle sont égaux à 55° et 80°. Trouvez le plus petit angle du deuxième triangle. Réponse : 45 o.

Exercice 8 Dans des triangles similaires ABC et A 1 B 1 C 1 AB = 8 cm, BC = 10 cm, A 1 B 1 = 5,6 cm, A 1 C 1 = 10,5 cm. Trouvez AC et B 1 C 1 Réponse : AC = 15 cm, B 1 C 1 = 7 cm.

Exercice 9 Triangles ABC et A 1 B 1 C 1 A = A 1, B = B 1, AB = 5 m, BC = 7 m, A 1 B 1 = 10 m, A 1 C 1 = 8 m. Trouvez le reste côtés des triangles. Réponse : AC = 4 m, B 1 C 1 = 14 m.

Exercice 10 Les côtés d'un triangle sont dans le rapport 5 : 3 : 7. Trouvez les côtés d'un triangle similaire dont : a) le périmètre est de 45 cm ; b) le côté le plus court mesure 5 cm ; c) le plus grand côté mesure 7 cm ; d) la différence entre le côté le plus grand et le plus petit est de 2 cm. Réponse : a) 15 cm, 9 cm, 21 cm ; b) 8 cm, 5 cm, 11 cm ; c) 5 cm, 3 cm, 7 cm ; d) 2,5 cm, 1,5 cm, 3,5 cm.

Exercice 11 Dans la figure, indiquez tous les triangles semblables. Réponse : a) ABC, FEC, DBE ; b) ABC, GFC, AGD, FBE ; c) ABC, CDA, AEB, BEC ; d) AOB, COD ; e) ABC et FGC ; ADC et FEC ; DBC et EGC.

Exercice 12 Deux triangles isocèles les angles entre les côtés sont égaux. Le côté et la base d'un triangle mesurent respectivement 17 cm et 10 cm, la base de l'autre mesure 8 cm. Trouvez son côté. Réponse : 13,6 cm.

Exercice 13 Un carré est inscrit dans un triangle sur lequel le côté a et la hauteur h sont abaissés de telle sorte que deux de ses sommets se trouvent de ce côté du triangle et les deux autres des deux autres côtés du triangle. Trouvez le côté du carré. Répondre: .

Exercice 14 Un losange ADEF est inscrit dans le triangle ABC de telle sorte que l'angle A leur soit commun et que le sommet E soit du côté BC. Trouvez le côté du losange si AB = c et AC = b. Répondre: .

Exercice 15 Est-il possible de couper un triangle avec une droite qui n'est pas parallèle à la base, de manière à en retrancher un triangle similaire ? Dans quel cas est-ce impossible ? Réponse : Oui, si le triangle n’est pas équilatéral.

Exercice 16 Soient AC et BD les cordes d'un cercle se coupant au point E. Montrer que les triangles ABE et CDE sont semblables. Preuve : L'angle A du triangle ABE est égal à l'angle D du triangle CDE, tout comme les angles inscrits sous-tendus par le même arc de cercle. De même, l’angle B est égal à l’angle C. Par conséquent, les triangles ABE et CDE sont similaires sur le premier point.

Exercice 17 Dans la figure, AE = 3, BE = 6, CE = 2. Trouvez DE. Réponse : 4.

Exercice 18 Dans la figure, AB = 8, BE = 6, DE = 4. Trouvez CD. Répondre: .

Exercice 19 Dans la figure, CE = 2, DE = 5, AE = 4. Trouvez BE. Réponse : 10.

Exercice 20 Dans la figure, CE = 4, CD = 10, AE = 6. Trouvez AB. Réponse : 15.

Exercice 21 Sur la figure, DL est la bissectrice du triangle DEF inscrit dans un cercle. DL coupe le cercle au point K, qui est relié par des segments aux sommets E et F du triangle. Trouvez des triangles similaires. Réponse : DEK et DLF, DEK et ELK, DLF et ELK, DFK et DLE, DFK et FLK, DLE et FLK.

Exercice 22 Un triangle aigu ABC est inscrit dans un cercle, AH est sa hauteur, AD est le diamètre du cercle qui coupe le côté BC au point M. Le point D est relié aux sommets B et C du triangle. Trouvez des triangles similaires. Réponse : ABH et ADC, ACH et ADB, ABM et CDM, BMD et AMC.

Exercice 23 Montrer que le produit des segments d'une corde quelconque passant par un point intérieur d'un cercle est égal au produit des segments d'un diamètre passant par le même point. Solution. Soit un cercle de centre au point O, de corde AB et de diamètre CD se coupant au point E. Montrons que les triangles ACE et DBE sont semblables. Cela signifie donc

Exercice 24 Deux droites sont tracées passant par le point extérieur E du cercle, coupant respectivement le cercle aux points A, C et B, D. Montrer que les triangles ADE et BCE sont semblables. Preuve : L'angle D du triangle ADE est égal à l'angle C du triangle BCE, tout comme les angles inscrits sous-tendus par le même arc de cercle. L'angle E de ces triangles est commun. Les triangles ADE et BCE sont donc similaires sur un premier point.

Exercice 25 Deux droites sont tracées passant par le point extérieur E du cercle, coupant le cercle respectivement aux points A, C et B, D. Montrer que AE·CE = BE·DE. Preuve : Les triangles ADE et BCE sont similaires. Donc AE : DE = BE : CE. Par conséquent, AE·CE = BE·DE.

Exercice 26 Dans la figure, AE = 9, BE = 8, CE = 24. Trouvez DE. Réponse : 27.

Exercice 27 Une droite est tracée passant par le point extérieur E du cercle, coupant le cercle aux points A et B, et une tangente EC (C est le point de tangence). Montrer que les triangles EAC et ECB sont semblables. Preuve. Les triangles EAC et BCE partagent l’angle E. Les angles ACE et CBE sont égaux, tout comme les angles sous-tendus par la même corde. Les triangles EAC et ECB sont donc semblables.

Exercice 28 Une ligne droite est tracée passant par le point extérieur E du cercle, coupant le cercle aux points A et B, et une tangente EC (C est le point de tangence). Montrer que le produit des segments sécants AE et BE est égal au carré du segment tangent CE. Preuve. Les triangles EAC et ECB sont similaires. Donc AE : CE = CE : BE, ce qui signifie AE BE = CE 2.

Exercice 30 Dans le triangle ABC, on trace les altitudes AA 1 et BB 1. Montrer que les triangles A 1 AC et B 1 BC sont semblables. Preuve. Les triangles A 1 AC et B 1 BC sont des triangles rectangles et ont un angle commun C. Par conséquent, ils sont similaires sous deux angles.

Exercice 31 Montrer que dans un triangle rectangle la perpendiculaire descend de angle droit sur l'hypoténuse, il existe une moyenne géométrique des projections des jambes sur l'hypoténuse. (La moyenne géométrique de deux nombres positifs a et b est un nombre positif c dont le carré est égal à ab, c'est-à-dire c =). Solution : Les triangles ADC et CDB sont similaires. Par conséquent, soit CD 2 = AD BD, c'est-à-dire CD est la moyenne géométrique de AD et BD.

Exercice 32 Dans le triangle ABC, le point H est le point d'intersection des hauteurs, le point O est le centre du cercle circonscrit. Montrer que la longueur du segment CH est le double de la distance du point O à la droite AB. Solution : Soient B 1, C 1 les milieux des côtés AC et AB du triangle ABC. Les triangles HBC et OB 1 C 1 sont semblables, BC = 2 B 1 C 1. Donc CH = 2 OC 1.

Un triangle est la figure fermée la plus simple sur un plan. Lors de l'étude d'un cours scolaire en géométrie, la prise en compte de ses propriétés est donnée Attention particulière. Dans cet article, nous aborderons la question des signes de similitude et d'égalité des triangles.

Quels triangles sont dits semblables et lesquels sont égaux ?

Il est logique de supposer que les deux figures en question seront égales si elles ont toutes les mêmes angles et longueurs de côtés. Quant à la similitude, les choses sont un peu plus compliquées. Deux triangles seront semblables lorsque chaque angle de l'un est égal à l'angle correspondant de l'autre, et que les côtés opposés angles égaux les deux chiffres seront proportionnels. Ci-dessous, une image montrant deux triangles similaires.

A l'aide de cette figure, nous écrivons la définition ci-dessus sous forme d'égalités mathématiques : B = G, A = E, C = F, BA/GE = AC/EF = BC/GF = r, ici une lettre latine signifie angle, et deux lettres - longueur du côté. La valeur r est appelée coefficient de similarité. Il est clair que si r = 1, alors non seulement similaire mais aussi triangles égaux.

Signes de similitude

En parlant des propriétés et de l’égalité des triangles, nous devons énumérer trois critères principaux permettant de déterminer si les figures en question sont similaires ou non.

Ainsi, deux chiffres seront similaires si l’une des conditions suivantes est remplie :

1. Leurs deux angles sont égaux. Puisque la somme des angles d'un triangle équivaut à 180 o, l'égalité des deux premiers d'entre eux signifie automatiquement que le troisième sera également égal. En utilisant la figure ci-dessus, cette propriété peut s'écrire comme suit : si B = G et A = E, alors ABC et GEF sont similaires. Si dans ce cas les deux chiffres sont égaux sur au moins un côté, alors on peut parler de l'équivalence complète des triangles.
2. Les deux côtés sont proportionnels et les angles entre eux sont égaux. Par exemple, BA/GE = AC/EF et A = E, alors GEF et ABC seront similaires. Notez que les angles A et E se situent entre les côtés proportionnels correspondants.
3. Les trois côtés sont mutuellement proportionnés. Exprimé en langage mathématique, on obtient : BA/GE = AC/EF = BC/GF = r, alors les chiffres en question sont également similaires.

Notons encore une fois que pour prouver la similarité, il suffit de fournir l'une quelconque des caractéristiques présentées. Il est logique que tout le reste soit exécuté de la même manière.

Triangles rectangles : quand sont-ils semblables et quand sont-ils égaux ?

Parler de signes d'égalité et de similitude triangles rectangles, il convient de noter d'emblée que chacun d'eux a un angle déjà égal (90 o).

Ce dernier fait conduit à la formulation suivante des critères de similarité exposés ci-dessus :

1. Si dans deux triangles rectangles un seul angle est égal, ce qui n'est pas droit, alors ces figures sont semblables les unes aux autres.
2. Si les jambes sont proportionnelles les unes aux autres, les chiffres seront également similaires, puisque l'angle entre les jambes est droit.
3. Enfin, la proportionnalité de deux côtés quelconques des deux triangles rectangles suffit à prouver leur similitude. La raison en est que les côtés de ces figures sont liés entre eux par le théorème de Pythagore, donc la proportionnalité de 2 d'entre elles conduit à une proportionnalité avec un coefficient de similarité similaire pour les tiers.

Quant à l’égalité des triangles à angles droits, elle est facile à retenir : si deux éléments (un angle droit ne compte pas) des deux figures sont égaux, alors les figures elles-mêmes sont égales. Par exemple, ces deux éléments pourraient être angle vif et jambe, jambe et hypoténuse ou hypoténuse et angle aigu.

Propriétés de triangles similaires

Parmi les signes considérés de similitude et d'égalité des triangles de propriétés, on peut distinguer :

1. Les périmètres de ces figures se rapportent les uns aux autres comme un coefficient de similarité, c'est-à-dire P 1 / P 2 = r, où P 1 et P 2 sont respectivement les périmètres des 1er et 2ème triangles.
2. Les aires de figures similaires sont liées comme le carré du coefficient de similarité, c'est-à-dire : S 1 / S 2 = r 2, où S 1 et S 2 sont respectivement les aires des 1er et 2ème triangles.

Ces deux propriétés peuvent être prouvées indépendamment. L'essence de la preuve se résume à l'utilisation d'une notation mathématique pour la similitude entre les côtés des figures. Nous donnons ici uniquement la preuve de la 1ère propriété.

Soit a, b, c les longueurs des côtés d'un triangle et a", b", c" - les côtés du second. Puisque les figures sont similaires, on peut écrire : a = r * a", b = r * b", c = r * c". Maintenant on substitue ces expressions par rapport à leurs périmètres, on obtient : P 1 / P 2 = (a + b + c) / (a" + b" + c") = (r * a" + r * b" + r*c ") / (a" + b" + c") = r(a" + b" + c") / (a" + b" + c") = r.

Exemple de solution de problème

Les signes de similitude et d’égalité des triangles peuvent être utilisés pour résoudre divers problèmes géométriques. Ci-dessous, un exemple.

Il y a deux triangles. L'un d'eux a des côtés égaux à 7,6 cm, 4,18 cm et 6,65 cm, et l'autre a des côtés de 3,5 cm, 2,2 cm et 4 cm. Il faut déterminer si ces chiffres sont similaires.

Puisque les valeurs de trois côtés sont données, on peut immédiatement vérifier le 3ème critère de similarité. La difficulté ici est qu’il faut comprendre quelles parties prendre en compte. Ici, vous devez utiliser un raisonnement logique simple : les coefficients de similarité peuvent être égaux si vous divisez le plus petit côté d'un triangle par le même pour un autre, et ainsi de suite. On a donc : 4,18 / 2,2 = 1,9 ; 6,65 / 3,5 = 1,9 ; 7,6 / 4 = 1,9. Après avoir vérifié le rapport de tous les côtés, nous pouvons affirmer avec certitude que les triangles sont similaires, puisque le 3ème critère est rempli.

Généralement, deux triangles sont considérés comme similaires s’ils ont la même forme, même s’ils sont de tailles différentes, tournés ou même inversés.

La représentation mathématique de deux triangles similaires A 1 B 1 C 1 et A 2 B 2 C 2 représentés sur la figure s'écrit comme suit :

ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2

Deux triangles sont semblables si :

1. Chaque angle d'un triangle est égal à l'angle correspondant d'un autre triangle :
∠UNE 1 = ∠UNE 2 , ∠B 1 = ∠B 2 Et ∠C1 = ∠C2

2. Les rapports des côtés d'un triangle aux côtés correspondants d'un autre triangle sont égaux les uns aux autres :
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relations deux côtés un triangle aux côtés correspondants d'un autre triangle sont égaux les uns aux autres et en même temps
les angles entre ces côtés sont égaux :
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ et $\angle A_1 = \angle A_2$
ou
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ et $\angle B_1 = \angle B_2$
ou
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ et $\angle C_1 = \angle C_2$

Ne confondez pas les triangles semblables avec les triangles égaux. Les triangles égaux ont des côtés correspondants de longueur égale. Donc pour les triangles congrus :

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Il s'ensuit que tous les triangles égaux sont semblables. Cependant, tous les triangles semblables ne sont pas égaux.

Bien que la notation ci-dessus montre que pour savoir si deux triangles sont similaires ou non, il faut connaître les valeurs des trois angles ou les longueurs des trois côtés de chaque triangle, pour résoudre des problèmes avec des triangles similaires, il suffit de savoir trois des valeurs mentionnées ci-dessus pour chaque triangle. Ces quantités peuvent être dans diverses combinaisons :

1) trois angles de chaque triangle (vous n’avez pas besoin de connaître les longueurs des côtés des triangles).

Ou au moins 2 angles d'un triangle doivent être égaux à 2 angles d'un autre triangle.
Puisque si 2 angles sont égaux, alors le troisième angle sera également égal. (La valeur du troisième angle est 180 - angle1 - angle2)

2) les longueurs des côtés de chaque triangle (vous n’avez pas besoin de connaître les angles) ;

3) les longueurs des deux côtés et l'angle qui les sépare.

Nous verrons ensuite résoudre quelques problèmes avec des triangles similaires. Nous examinerons d’abord les problèmes qui peuvent être résolus en utilisant directement les règles ci-dessus, puis discuterons de quelques problèmes pratiques qui peuvent être résolus en utilisant la méthode du triangle similaire.

Pratiquez des problèmes avec des triangles similaires

Exemple 1: Montrez que les deux triangles de la figure ci-dessous sont semblables.

Solution:
Puisque les longueurs des côtés des deux triangles sont connues, la deuxième règle peut être appliquée ici :

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Exemple n°2 : Montrer que deux triangles donnés sont semblables et déterminer les longueurs des côtés PQ Et RP.

Solution:
∠A = ∠P Et ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(puisque ∠C = 180 - ∠A - ∠B et ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Il en résulte que les triangles ΔABC et ΔPQR sont semblables. Ainsi:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ et
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Exemple n°3 : Déterminer la longueur UN B dans ce triangle.

Solution:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED Et ∠UNE général => triangles ΔABC Et ΔADE sont similaires.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Exemple n°4 : Déterminer la longueur AD (x) figure géométrique sur l'image.

Les triangles ΔABC et ΔCDE sont similaires car AB || DE et ils ont un coin supérieur commun C.
Nous voyons qu’un triangle est une version à l’échelle de l’autre. Cependant, nous devons le prouver mathématiquement.

AB || DE, CD || AC et Colombie-Britannique || C.E.
∠BAC = ∠EDC et ∠ABC = ∠DEC

Sur la base de ce qui précède et en tenant compte de la présence d'un angle commun C, on peut affirmer que les triangles ΔABC et ΔCDE sont similaires.

Ainsi:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57$
x = CA - CC = 23,57 - 15 = 8,57

Exemples pratiques

Exemple n°5 : L'usine utilise un tapis roulant incliné pour transporter les produits du niveau 1 au niveau 2, qui est 3 mètres plus haut que le niveau 1, comme le montre la figure. Le convoyeur incliné est desservi d'une extrémité au niveau 1 et de l'autre extrémité jusqu'à un lieu de travail situé à une distance de 8 mètres du point de fonctionnement du niveau 1.

L'usine souhaite moderniser le convoyeur pour accéder au nouveau niveau, situé 9 mètres au-dessus du niveau 1, tout en conservant l'angle d'inclinaison du convoyeur.

Déterminez la distance à laquelle le nouveau poste de travail doit être installé pour garantir que le convoyeur fonctionnera à sa nouvelle extrémité au niveau 2. Calculez également la distance supplémentaire que le produit parcourra lors du déplacement vers le nouveau niveau.

Solution:

Tout d’abord, étiquetons chaque point d’intersection avec une lettre spécifique, comme le montre la figure.

Sur la base du raisonnement donné ci-dessus dans les exemples précédents, nous pouvons conclure que les triangles ΔABC et ΔADE sont similaires. Ainsi,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 millions de dollars
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Ainsi, le nouveau point doit être installé à une distance de 16 mètres du point existant.

Et comme la structure est constituée de triangles rectangles, on peut calculer la distance de déplacement du produit comme suit :

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

De même, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
quelle est la distance parcourue par le produit ce moment en atteignant le niveau existant.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
c'est la distance supplémentaire que le produit doit parcourir pour atteindre un nouveau niveau.

Exemple n°6 : Steve veut rendre visite à son ami qui a récemment déménagé nouvelle maison. La carte routière menant à Steve et à la maison de son ami, ainsi que les distances connues de Steve, sont présentées sur la figure. Aidez Steve à rejoindre la maison de son ami le plus rapidement possible.

Solution:

La feuille de route peut être représentée géométriquement sous la forme suivante, comme le montre la figure.

On voit que les triangles ΔABC et ΔCDE sont semblables, donc :
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

L'énoncé du problème indique que :

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km et DE = 5 km

En utilisant ces informations, nous pouvons calculer les distances suivantes :

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve peut se rendre chez son ami en empruntant les itinéraires suivants :

A -> B -> C -> E -> G, la distance totale est de 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, la distance totale est de 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, la distance totale est de 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, la distance totale est de 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

L’itinéraire n°3 est donc le plus court et peut être proposé à Steve.

Exemple 7 :
Trisha veut mesurer la hauteur de la maison, mais elle ne l'a pas les bons outils. Elle remarque qu'un arbre pousse devant la maison et décide d'utiliser son ingéniosité et ses connaissances en géométrie acquises à l'école pour déterminer la hauteur du bâtiment. Elle a mesuré la distance entre l'arbre et la maison, le résultat était de 30 m. Elle s'est ensuite placée devant l'arbre et a commencé à reculer jusqu'à ce que le bord supérieur du bâtiment devienne visible au-dessus de la cime de l'arbre. Trisha a marqué cet endroit et a mesuré la distance entre celui-ci et l'arbre. Cette distance était de 5 m.

La hauteur de l'arbre est de 2,8 m et la hauteur du niveau des yeux de Trisha est de 1,6 m. Aidez Trisha à déterminer la hauteur du bâtiment.

Solution:

La représentation géométrique du problème est présentée sur la figure.

Nous utilisons d’abord la similarité des triangles ΔABC et ΔADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1,6)(2,8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2,8 \times AC = 1,6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \ fois AC$

$(2,8 - 1,6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

On peut alors utiliser la similarité des triangles ΔACB et ΔAFG ou ΔADE et ΔAFG. Choisissons la première option.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1,6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6,67)(6,67 + 5 + 30) = 0,16 \Rightarrow H = \frac(1,6 )(0,16) = 10 millions de dollars

1.2. Définition de triangles similaires. Définition. Deux triangles sont dits similaires si leurs angles sont respectivement égaux et si les côtés d'un triangle sont proportionnels aux côtés similaires de l'autre triangle. Autrement dit, deux triangles sont semblables s'ils peuvent être désignés par les lettres ABC et A1B1C1 de telle sorte que A= A1, B= B1, C= C1. Le nombre k, égal au rapport des côtés semblables des triangles, est appelé le coefficient de similarité.

Géométrie 8e année

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Théorème 1. Le premier signe de similitude des triangles. Si deux angles d’un triangle sont respectivement égaux à deux angles d’un autre, alors ces triangles sont similaires.

Preuve. Soit ABC et $A_1B_1C_1$ des triangles avec $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1$ , et donc $\angle C = \angle C_1$ . Montrons que $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ (Fig. 1).

Traçons sur BA à partir du point B le segment $BA_2$, égal au segment $A_1B_1$, et passant par le point $A_2$ nous traçons une droite parallèle à la droite AC. Cette ligne droite coupera BC à un moment donné $C_2$. Les triangles $A_1B_1C_1\text( et )A_2BC_2$ sont égaux : $A_1B_1 = A_2B$ par construction, $\angle B = \angle B_1$ par condition et $\angle A_1 = \angle A_2$ , puisque $\angle A_1 = \ angle A$ par condition et $\angle A = \angle A_2$ comme angles correspondants. D'après le lemme 1 sur les triangles similaires nous avons : $\triangle A_2BC_2 \sim \triangle ABC$ , et donc, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ . Le théorème a été prouvé.

Les théorèmes 2 et 3 sont établis selon un schéma similaire.

Théorème 2. Le deuxième signe de similitude des triangles. Si deux côtés d’un triangle sont respectivement proportionnels aux deux côtés d’un autre triangle et que les angles entre ces côtés sont égaux, alors les triangles sont semblables.

Théorème 3. Le troisième signe de similitude des triangles. Si trois côtés d’un triangle sont proportionnels aux trois côtés d’un autre triangle, alors les triangles sont semblables.

Ce qui suit découle du théorème 1.

Corollaire 1. Dans des triangles similaires, les côtés similaires sont proportionnels aux hauteurs similaires, c'est-à-dire les hauteurs qui s'abaissent sur des côtés similaires.

Exemple 1. Deux triangles équilatéraux sont-ils semblables ?

Solution. Puisque dans un triangle équilatéral chaque angle interne est égal à 60° (corollaire 3), alors deux triangles équilatéraux sont semblables dans le premier sens.

Exemple 2. Dans les triangles ABC et $A_1B_1C_1$ on sait que $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1 ; AB = 5 m, BC = 7 m, A_1B_1 = 10 m, A_1C_1 = 8 m. $ Trouvez les côtés inconnus des triangles.

Solution. Les triangles définis par la condition du problème sont similaires selon le premier signe de similarité. De la similarité des triangles il résulte : $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(AC)(A_1C_1) \,\,\, (1) $$ Substitution dans l'égalité (1) données des conditions du problème, nous obtenons : $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) = \frac(AC)(8) \,\,\, (2) $ $ À partir de l'égalité (2 ) faisons deux proportions $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) \\ \frac(5)(10) = \frac(AC)(8) \\ \text( d'où )B_1C_1 = 14 (m), AC = 4 (m). $$

Exemple 3. Les angles B et $B_1$ des triangles ABC et $A_1B_1C_1$ sont égaux. Les côtés AB et BC du triangle ABC sont 2,5 fois plus grands que les côtés $A_1B_1$ et $B_1C_1$ du triangle $A_1B_1C_1$. Trouvez AC et $A_1C_1$ si leur somme est de 4,2 m.

Solution. Laissez la figure 2 répondre aux conditions du problème.

D'après l'énoncé du problème : $$ 1) \angle B = \angle B_1 ; \\ 2) \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = 2,5 \\ 3) AC + A_1C_1 = 4,2 m. $$ Donc, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. De la similitude de ces triangles, il résulte $$ \frac(AC)(A_1C_1) = 2,5\text( , ou )AC = 2,5\bullet A_1C_1 $$ Puisque AC = 2,5 A 1 C 1, alors AC + A 1 C 1 = 2,5 A 1 C 1 + A 1 C 1 = 4,2, d'où A 1 C 1 = 1,2 (m), AC = 3 (m).

Exemple 4. Les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont-ils similaires si AB = 3 cm, BC = 5 cm, AC = 7 cm, A 1 B 1 = 4,5 cm, B 1 C 1 = 7,5 cm, A 1 C 1 = 10,5 cm ?

Solution. On a : $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(3)(4.5) = \frac(1)(1.5) \\ \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(5) (7.5) = \frac(1)(1.5) \\ \frac(AC)(A_1C_1) = \frac(7)(10.5) = \frac(1)(1.5) $$ Les triangles sont donc similaires selon le troisième critère .

Exemple 5. Montrer que les médianes d'un triangle se coupent en un point, ce qui divise chaque médiane dans un rapport de 2:1, en comptant à partir du sommet.

Solution. Considérons un triangle arbitraire ABC. Notons par la lettre O le point d'intersection de ses médianes $AA_1\text( et )BB_1$ et traçons la ligne médiane $A_1B_1$ de ce triangle (Fig. 3).

Le segment $A_1B_1$ est parallèle au côté AB, donc $\angle 1 = \angle2 \text( et ) \angle 3 = \angle 4 $. Par conséquent, les triangles AOB et $A_1OB_1$ sont similaires sous deux angles et, par conséquent, leurs côtés sont proportionnels : $$ \frac(AO)(A_1O) = \frac(BO)(B_1O) = \frac(AB)(A_1B_1 ) $$

Mais $AB = 2A_1B_1$ , donc $AO = 2A_1O$ et $BO = 2B_1O$ .

Il est également prouvé que le point d'intersection des médianes $BB_1\text( et )CC_1) divise chacune d'elles dans le rapport 2:1, en comptant à partir du sommet, et coïncide donc avec le point O.

Ainsi, les trois médianes du triangle ABC se coupent au point O et le divisent dans un rapport de 2:1, en partant du sommet.

Commentaire. Il a été noté plus tôt que les bissectrices d'un triangle se coupent en un point et que les bissectrices perpendiculaires aux côtés du triangle se coupent en un point. Sur la base de cette dernière affirmation, il est établi que les hauteurs du triangle (ou leurs extensions) se coupent en un point. Ces trois points et le point d'intersection des médianes sont appelés les points remarquables du triangle.

Exemple 6. Le projecteur éclaire entièrement l'écran A de 90 cm de hauteur, situé à une distance de 240 cm. A quelle distance minimale en cm du projecteur doit être placé l'écran B de 150 cm de hauteur, de manière à ce qu'il soit entièrement éclairé, si les paramètres du projecteur restent inchangé.

Solution vidéo.