Segments proportionnels dans un triangle rectangle. Segments proportionnels dans un triangle rectangle Segments proportionnels dans un triangle rectangle solution

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04.07.2020

Test de similarité pour les triangles rectangles

Introduisons d'abord le critère de similarité pour les triangles rectangles.

Théorème 1

Test de similarité pour les triangles rectangles: deux triangles rectangles sont semblables lorsqu'ils ont un égal angle vif(Fig. 1).

Figure 1. Triangles rectangles similaires

Preuve.

Soit $\angle B=\angle B_1$. Puisque les triangles sont rectangles, alors $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Ils sont donc similaires selon le premier critère de similarité des triangles.

Le théorème est prouvé.

Théorème des hauteurs dans un triangle rectangle

Théorème 2

Hauteur d'un triangle rectangle tiré du sommet angle droit, divise un triangle en deux triangles rectangles similaires, chacun étant similaire au triangle donné.

Preuve.

Donnons-nous un triangle rectangle $ABC$ d'angle droit $C$. Dessinons la hauteur $CD$ (Fig. 2).

Figure 2. Illustration du théorème 2

Montrons que les triangles $ACD$ et $BCD$ sont semblables au triangle $ABC$ et que les triangles $ACD$ et $BCD$ sont semblables entre eux.

    Puisque $\angle ADC=(90)^0$, alors le triangle $ACD$ est rectangle. Les triangles $ACD$ et $ABC$ ont un angle commun $A$, donc, d'après le théorème 1, les triangles $ACD$ et $ABC$ sont similaires.

    Puisque $\angle BDC=(90)^0$, alors le triangle $BCD$ est rectangle. Les triangles $BCD$ et $ABC$ ont un angle commun $B$, donc, d'après le théorème 1, les triangles $BCD$ et $ABC$ sont similaires.

    Considérons maintenant les triangles $ACD$ et $BCD$

    \[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\angle A\]

    Par conséquent, d'après le théorème 1, les triangles $ACD$ et $BCD$ sont similaires.

Le théorème est prouvé.

Moyenne proportionnelle

Théorème 3

L'altitude d'un triangle rectangle tiré du sommet d'un angle droit est la moyenne proportionnelle aux segments en lesquels l'altitude divise l'hypoténuse du triangle donné.

Preuve.

D'après le théorème 2, on a que les triangles $ACD$ et $BCD$ sont semblables, donc

Le théorème est prouvé.

Théorème 4

La jambe d'un triangle rectangle est la moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et le segment de l'hypoténuse compris entre la jambe et l'altitude tirée du sommet de l'angle.

Preuve.

Dans la preuve du théorème, nous utiliserons la notation de la figure 2.

D'après le théorème 2, nous avons que les triangles $ACD$ et $ABC$ sont similaires, donc

Le théorème est prouvé.

Objectifs de la leçon:

Éducatif:

1.Créer les conditions pour la dérivation indépendante des relations reliant les segments proportionnels dans triangle rectangle.

  1. Veiller à consolider les connaissances acquises lors de la résolution de problèmes.

Éducatif:

1.Assurer le développement de l’autonomie dans l’exécution des tâches.

Éducatif :

1. Favoriser une culture de communication dans un microgroupe.

  1. Développer la capacité de prendre des décisions et d’en assumer la responsabilité.

Pendant les cours.

  1. Organisation du temps.

Les gars, écoutez, comme c'est calme !

Les cours ont commencé à l'école.

Nous ne perdrons pas notre temps

Et mettons-nous tous au travail.

Nous sommes venus ici pour étudier

Ne soyez pas paresseux, mais travaillez.

Nous travaillons avec diligence

Écoutons attentivement.

  1. Motivation de la leçon.

Chers gars!

J'espère que cette leçon sera intéressante et profitera grandement à tout le monde. Je souhaite vraiment que ceux qui sont encore indifférents à la reine de toutes les sciences quittent notre cours avec la profonde conviction que la géométrie est une matière intéressante et nécessaire.

L'écrivain français du XIXe siècle Anatole France disait un jour : « On ne peut apprendre qu'en s'amusant... Pour digérer la connaissance, il faut l'absorber avec appétit. »

Suivons les conseils de l'écrivain dans la leçon d'aujourd'hui : soyez actif, attentif et absorbez avec impatience les connaissances qui vous seront utiles plus tard dans la vie.

3.Mise à jour des connaissances. Vérification de d/z.

Enquête frontale :

  1. Comment s’appelle le rapport de deux segments ?
  2. Dans quel cas dit-on que les segments AB et CD sont proportionnels aux segments A 1 B 1 et C 1 D 1
  3. Définir triangles similaires
  4. Comment lire le premier signe de similitude des triangles
  5. Comment lire le deuxième signe de similarité des triangles
  6. Comment lire le troisième signe de similarité des triangles
  7. Quels chiffres sont appelés similaires. Qu'est-ce que le coefficient de similarité ?
  8. Triangle rectangle. Jambes. Hypoténuse.

Décision n° 570 (oralement), 573(1) (écrit).

  1. Apprendre du nouveau matériel.

Lors de la résolution de problèmes, nous considérons le plus souvent des triangles aigus et obtus. Les éléments d’un triangle rectangle sont liés les uns aux autres de manière légèrement différente. Regardons le dessin.

Propriétés des segments proportionnels dans un triangle rectangle :
1) une branche d'un triangle rectangle, il existe une moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et la projection de cette branche sur l'hypoténuse ;
2) la hauteur d'un triangle rectangle tiré du sommet d'un angle droit est la moyenne proportionnelle entre les projections des jambes sur l'hypoténuse.

Référence historique.Sur le développement de la géométrie pratique dans la Rus antique.

Déjà au 16ème siècle. les besoins de l'arpentage, de la construction et des affaires militaires ont conduit à la création de manuels manuscrits au contenu géométrique. Le premier ouvrage de ce genre qui nous est parvenu s'intitule « Sur le tracé de la terre, comment tracer la terre ». Il fait partie du « Livre des lettres de Soshnogo », qui aurait été écrit sous Ivan IV en 1556. La copie survivante date de 1629.

Lors du démantèlement de l'Armurerie de Moscou en 1775, fut découverte l'instruction « Charte de l'armée, du canon et des « autres questions relatives à la science militaire » », publiée en 1607 et 1621 et contenant des informations géométriques qui se résument à certaines méthodes de résoudre des problèmes de recherche de distances Voici un exemple.

Pour mesurer la distance du point I au point B (voir figure), il est recommandé d'enfoncer une tige approximativement de la taille d'une personne jusqu'au point I. Le sommet de l'angle droit du carré est fixé à l'extrémité supérieure de la tige C de manière à ce qu'une des pattes (ou son prolongement) passe par le point B. Point 3 de l'intersection de l'autre patte (ou son prolongement) avec le terrain est balisé. Alors la distance BYA se rapporte à la longueur de la tige TsYa de la même manière que la longueur de la tige se rapporte à la distance YAZ. Pour faciliter les calculs et les mesures, la tige a été divisée en 1 000 parties égales.

  1. Consolidation du nouveau matériel.

Décider oralement n° 601, par écrit n° 610, 600, 604(1), 607(2), 620.

  1. Exercice pour les yeux.

Sans tourner la tête, regardez le mur de la classe autour du périmètre dans le sens des aiguilles d'une montre, le tableau autour du périmètre dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, le triangle représenté sur le support dans le sens des aiguilles d'une montre et le triangle égal dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Tournez la tête vers la gauche et regardez la ligne d'horizon, et maintenant le bout de votre nez. Fermez les yeux, comptez jusqu'à 5, ouvrez les yeux et...

Nous mettrons nos paumes sur nos yeux,
Écarteons nos jambes fortes.
En tournant à droite
Regardons autour de nous majestueusement.
Et tu dois aussi aller à gauche
Regardez sous vos paumes.
Et - à droite ! Et plus loin
Sur ton épaule gauche !
Maintenant, continuons à travailler.

  1. Travail indépendant.

Travail en binôme : résoudre le n° 604(2) (écrit)

8. Résumé de la leçon. Réflexion.

  • De quoi vous souvenez-vous le plus de la leçon ?
  • Qu'est-ce qui vous a surpris ?
  • Qu’est-ce que vous avez le plus aimé ?
  • À quoi voulez-vous que la prochaine leçon ressemble ?

Devoir : apprenez le paragraphe 14, résolvez les numéros 604(3), 607(3), 573(2).

Sections: Mathématiques

Classe: 8

Type de cours : combiné.

Objectif didactique : créer les conditions de prise de conscience et de compréhension du concept de « moyenne proportionnelle », améliorer les compétences de recherche de segments proportionnels basés sur la similitude des triangles, vérifier le niveau d'assimilation des connaissances et des compétences sur le sujet.

Tâches:

  • établir une correspondance entre les côtés d'un triangle rectangle, la hauteur tirée de l'hypoténuse et les segments de l'hypoténuse ;
  • introduire la notion de moyenne proportionnelle ;
  • développer la capacité d'appliquer les connaissances acquises pour résoudre des problèmes pratiques ;

Matériel éducatif: manuel « Géométrie 7-9 » de L. S. Atanasyan, présentation « Segments proportionnels dans un triangle rectangle ». Annexe 1 .

Résultats attendus:

Personnel

  • La capacité de déterminer la frontière entre la connaissance et l'ignorance.
  • Capacité à exprimer mathématiquement correctement ses pensées.
  • Capacité à reconnaître les déclarations incorrectes.

Métasujet

  • La capacité de planifier vos activités pour résoudre un problème d’apprentissage.
  • La capacité de construire une chaîne de raisonnement logique.
  • La capacité de donner une formulation verbale à un fait écrit sous forme de formule.

Sujet

  • La capacité de trouver des triangles similaires et de prouver leur similitude.
  • La capacité d'exprimer les jambes d'un triangle rectangle et la hauteur tirée du sommet d'un angle droit à travers des segments de l'hypoténuse.
  • Capacité à lire la notation mathématique en utilisant le concept de « moyenne proportionnelle ».

Plan de cours.

1. Moment organisationnel. Organisation de l'attention ; autorégulation volontaire. (Chaque élève reçoit des feuilles de travail pour la leçon pour deux options). Annexe 2 , Annexe 3 .

2. Répétition : Répétons les informations de base du sujet « Triangles similaires » Diapositive 1

  • Définir des triangles similaires
  • Comment lire le premier signe de similitude des triangles
  • Comment lire le deuxième signe de similarité des triangles
  • Comment lire le troisième signe de similarité des triangles
  • Qu'est-ce que le coefficient de similarité ?
  • Triangle rectangle. Jambes. Hypoténuse.

Un test pour déterminer la vérité ou la fausseté des déclarations (réponse « oui » ou « non »). Diapositive 2

  • Deux triangles sont semblables si leurs angles sont respectivement égaux et leurs côtés semblables sont proportionnels.
  • Deux triangles équilatéraux sont toujours semblables.
  • Si trois côtés d’un triangle sont respectivement proportionnels aux trois côtés d’un autre triangle, alors ces triangles sont similaires.
  • Les côtés d'un triangle mesurent 3, 4, 6 cm, les côtés de l'autre triangle mesurent 9, 14, 18 cm. Ces triangles sont-ils similaires ?
  • Les périmètres de triangles semblables sont égaux.
  • Si deux angles d’un triangle sont 60° et 50° et que deux angles d’un autre triangle sont 50° et 80°, alors les triangles sont semblables.
  • Deux triangles rectangles sont semblables s’ils ont des angles aigus égaux.
  • Deux triangle isocèle similaire.
  • Si deux angles d’un triangle sont respectivement égaux à deux angles d’un autre triangle, alors ces triangles sont similaires.
  • Si deux côtés d’un triangle sont respectivement proportionnels aux deux côtés d’un autre triangle, alors les triangles sont semblables.

Clé du test : 1. oui ; 2. oui ; 3. oui ; 4. non ; 5. non ; 6. non ; 7. oui ; 8. non ; 9. oui ; 10. non.

Le formulaire de vérification du test est une vérification mutuelle. Les réponses et la vérification sont effectuées dans la feuille de travail de la leçon.

3. Tâche théorique en groupes. La classe est divisée en trois groupes. Chaque groupe reçoit une tâche. Annexe 4 .

Groupe n°1

  1. Démontrer la similitude des triangles rectangles « gauche » et « droite ».
  2. Notez la proportionnalité des jambes.
  3. Exprimez la hauteur à partir de la proportion.

Groupe n°2

D'après un dessin pré-préparé d'un triangle rectangle (Figure 1)

  1. Démontrer la similitude des triangles rectangles « gauche » et « grand ».
  2. Exprimer à partir de la proportion BC.

Groupe n°3

D'après un dessin pré-préparé d'un triangle rectangle (Figure 1)

  1. Démontrer la similitude des triangles rectangles « droit » et « grand ».
  2. Notez la proportionnalité des côtés similaires.
  3. Exprimer à partir de la proportion AC.

Notez la preuve de ces affirmations au tableau à l'aide de dessins prédéfinis et dans des cahiers. Une personne du groupe est appelée au tableau.

4. Formulation du sujet de la leçon. Dans les trois tâches, nous avons établi des relations. Comment peut-on appeler les éléments inclus dans ces relations ? Réponse : segments proportionnels. Clarifions les segments proportionnels dans... ? Réponse : dans un triangle rectangle. Alors les gars, le sujet de notre cours ? Réponse : « Segments proportionnels dans un triangle rectangle. » Diapositive 3

5. Formulation d'énoncés prouvés

Avant de continuer, introduisons quelques nouveaux concepts et notations.
Quelle est la moyenne arithmétique de deux nombres ?
Réponse : La moyenne arithmétique des nombres m et n est le nombre a égal à la moitié de la somme des nombres m et n.
Écrivez la formule de la moyenne arithmétique des nombres m et n.
Formulons la définition de la moyenne géométrique de deux nombres : le nombre a est appelé moyenne géométrique (ou moyenne proportionnelle) des nombres m et n si l'égalité est satisfaite Diapositive 4
Résolvons plusieurs exercices pour consolider ces définitions. Diapositive 5
1. Trouvez la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des nombres 3 et 12.
2. Trouvez la longueur des segments proportionnels moyens (moyenne géométrique) MN et KP, si MN = 9 cm, KP = 27 cm
Introduisons la notion de projection d'une jambe sur l'hypoténuse. Diapositive 6.
Maintenant, en utilisant de nouveaux concepts, nous allons essayer de formuler les conclusions éprouvées lors des travaux de groupe.
À l'aide de cette diapositive, essayez de formuler une affirmation qui a été prouvée par les deuxième et troisième groupes. Diapositive 7
Écrivez cet énoncé en utilisant la nouvelle notation (projection d'une jambe sur l'hypoténuse) puis formulez-le en utilisant la définition de projection d'une jambe sur l'hypoténuse. Diapositive 8
Sur la base de cette diapositive, essayez de formuler une affirmation qui a été prouvée par les élèves du troisième groupe. Diapositive 9
Écrivez cet énoncé en utilisant la nouvelle notation (projection d'une jambe sur l'hypoténuse) puis formulez-le en utilisant la définition de projection d'une jambe sur l'hypoténuse. Diapositive 10

6. Enquête Blitz pour consolider les formules étudiées. Diapositive 11-12

  • Dans un triangle rectangle ABC, l'altitude CD est tracée à partir du sommet de l'angle droit C. AD = 16, DB = 9. Trouvez AC, AB, CB et CD. Diapositive 11
  • Dans un triangle rectangle ABC, l'altitude CD est tracée à partir du sommet de l'angle droit C. AD = 18, DB = 2. Trouvez AC, AB, CB et CD. Diapositive 12
  • Dans un triangle rectangle ABC, l'altitude CH est tracée à partir du sommet de l'angle droit C. CA = 6, AN = 2. Trouvez NV. Diapositive 13

Test pour vérifier la maîtrise initiale de la matière

Dans la présentation, ouvrez la diapositive avec les formules dérivées (Diapositive 14). Les feuilles de travail comportent un test imprimé : complétez le test en écrivant les bonnes réponses sur le tableau. Puis vérification mutuelle (Diapositive 15) à l'aide de réponses toutes faites dans la présentation.

Devoirs

Chaque élève reçoit un mémo avec des formules et le texte des problèmes de devoirs avec des astuces (un plan pour la réalisation étape par étape de chaque tâche) Annexe 5 .

9. Réflexion

Résumez la leçon. Rassemblez les feuilles de travail et notez la leçon de chaque élève.

Littérature.

  1. http://gorkunova.ucoz.ru/ Documents pour l'atelier sur le thème "Segments proportionnels dans un triangle rectangle"
  2. Présentation « Segments proportionnels dans un triangle rectangle » Savchenko E.M. Polyarnye Zori, région de Mourmansk.

Pour utiliser les aperçus de présentation, créez un compte Google et connectez-vous : https://accounts.google.com


Légendes des diapositives :

Segments proportionnels dans un triangle rectangle Géométrie niveau 8

Devoirs

1. Problème 3, 5 A B C N M 3 4 Étant donné : MN || A.C. Rechercher : Р∆АВС

A B C D M N P Q MNPQ est un parallélogramme ? 2. Problème

Similitude des triangles rectangles A B C A 1 B 1 C 1 Si l'angle aigu d'un triangle rectangle est égal à l'angle aigu d'un autre triangle rectangle, alors ces triangles rectangles sont similaires

Moyenne proportionnelle A B C D X Y Le segment XY est appelé moyenne proportionnelle (moyenne géométrique) des segments AB et CD si

Résolvez les problèmes : 1. Un segment de longueur 8 cm est-il la moyenne proportionnelle entre les segments de longueur 16 cm et 4 cm ? 2. Un segment de longueur 9 cm est-il la moyenne proportionnelle entre les segments de longueur 15 cm et 6 cm ? 3. Un segment de longueur cm est-il la moyenne proportionnelle entre les segments de longueur 5 cm et 4 cm ? oui non oui

Segments proportionnels dans un triangle rectangle A B C H La hauteur d'un triangle rectangle tiré du sommet d'un angle droit est la moyenne proportionnelle aux segments en lesquels l'hypoténuse est divisée par cette hauteur

Segments proportionnels dans un triangle rectangle A B C H 9 4 ? Tache 1.

Segments proportionnels dans un triangle rectangle A B C H 9 7 ? Tâche 2.

Segments proportionnels dans un triangle rectangle A B C N Une branche d'un triangle rectangle est la moyenne proportionnelle à l'hypoténuse et à la projection de cette branche sur l'hypoténuse.

Segments proportionnels dans un triangle rectangle A B C H 21 4? Tâche 3.

A B C N 20 30 ? Tâche 4.

Devoirs

Résoudre le problème 5 2 ? ? ? Résoudre le problème 9 4 ? ? ? Résoudre le triangle

A B C N 20 15 ? Tâche. Dans un triangle dont les côtés sont 15, 20 et 25, l'altitude est tracée vers son côté le plus long. Trouvez les segments en lesquels la hauteur divise ce côté 25

A B C N 20 15 ? Tâche 5. Dans un triangle dont les côtés sont 15, 20 et 25, l'altitude est tracée vers son côté le plus long. Trouvez les segments en lesquels la hauteur divise ce côté 25