Der Pfeileffekt ist folgender: Arrow- und Gibbard-Satterthwaite-Theoreme

„Der Kern dieses Theorems besteht darin, dass jede kollektive Entscheidung, die durchaus vernünftige Axiome erfüllt, nur dann die beste Alternative darstellen kann, wenn sie Merkmale von Zwang oder Diktatur enthält. Unmöglichkeitssatz Pfeil stellte sehr scharf die Frage nach dem Wesen der Wirtschaftswissenschaft und damit der Wirtschaftsethik auf. Es ist restriktiv, weil es die Grenzen der Lebensfähigkeit der Wirtschaft aufzeigt.“

Kanke V.A., Wissenschaftsphilosophie: kurz Enzyklopädisches Wörterbuch, M., „Omega-L“, 2008, S. 309.

Kenneth Arrow von der Stanford University hat am meisten posiert Gesamtansicht: Ist es möglich, ein Wahlsystem zu schaffen, das sowohl rational (ohne Widersprüche), demokratisch (eine Person – eine Stimme) als auch entscheidend (lässt Wahlmöglichkeiten zu) ist?

Anstatt zu versuchen, ein solches System zu erfinden, schlug Arrow eine Reihe von Anforderungen, Axiome, vor, die das System erfüllen muss. Diese Axiome waren aus dieser Sicht intuitiv und akzeptabel gesunder Menschenverstand und erlaubte den mathematischen Ausdruck in Form bestimmter Bedingungen.

Basierend auf diesen Axiomen versuchte Arrow allgemein die Existenz eines Wahlsystems zu beweisen, das gleichzeitig die drei oben aufgeführten Prinzipien erfüllt: rational, demokratisch und entschlossen.

Das erste Axiom von Arrow erfordert, dass das Wahlsystem allgemein genug ist, um alle möglichen Verteilungen der Volksstimmen zu berücksichtigen. Intuitiv ist diese Anforderung ziemlich offensichtlich. Es ist unmöglich, die Stimmenverteilung im Voraus vorherzusagen. Es ist unbedingt erforderlich, dass das System für alle Wählerpräferenzen funktioniert. Dieses Axiom wird Universalitätsaxiom genannt.

Noch offensichtlicher aus der Sicht des gesunden Menschenverstandes ist Arrows zweites Axiom: das Axiom der Einstimmigkeit. Demnach ist es notwendig, dass die kollektive Wahl die einstimmige Meinung aller Wähler genau wiedergibt. Wenn beispielsweise jeder Wähler glaubt, dass Kandidat A besser ist als Kandidat B, dann sollte das Abstimmungssystem zu diesem Ergebnis führen.

Das dritte Axiom von Arrow heißt Unabhängigkeit von nicht zusammenhängenden Alternativen.. Lassen Sie einen Wähler glauben, dass A von den beiden Kandidaten A und B der beste ist. Diese Präferenz sollte nicht von der Einstellung des Wählers gegenüber anderen Kandidaten abhängen. Das dritte Axiom ist recht attraktiv, aber aus der Sicht des alltäglichen menschlichen Verhaltens nicht so offensichtlich. Somit liefert eines der Werke ein überzeugendes Beispiel für die Verletzung dieses Axioms. Ein Restaurantbesucher vergleicht zunächst Gericht A und B und möchte A bestellen, da die Zubereitung von Gericht B einen hochqualifizierten Koch erfordert und einen solchen Koch seiner Meinung nach in diesem Restaurant wahrscheinlich nicht gibt. Plötzlich fällt ihm das Gericht C auf der Speisekarte auf – sehr teuer und zudem anspruchsvoll in der Zubereitung. Dann wählt er Gericht B, weil er glaubt, dass der Koch gut kochen kann.

Das dritte Axiom von Arrow wird von Eiskunstlaufrichtern häufig verletzt. Bei der Vergleichsbewertung zweier starker Einzelläufer versuchen sie, die Möglichkeit einer guten Leistung des dritten starken Kandidaten zu berücksichtigen, damit dieser die Chance hat, der Sieger zu werden. Eine hervorragende Leistung im Kür-Skaten von Läufer C, der zuvor im Pflichtprogramm ein nicht sehr hohes Ergebnis erzielte, kann sich auf die Punktzahlen der Läufer A und B auswirken. Wenn A im Pflichtprogramm ein hervorragendes Ergebnis erzielte, wird er von den Kampfrichtern manchmal niedriger eingestuft als Skater B mit annähernd gleicher Leistung, um die Chancen von Skater S zu verbessern

Dennoch steht die bloße Möglichkeit außer Zweifel, das Erfordernis der Unabhängigkeit des Abstimmungssystems als verpflichtend darzustellen.

Das vierte Axiom von Arrow wird Vollständigkeitsaxiom genannt: Das Abstimmungssystem muss jedes Kandidatenpaar vergleichen, um festzustellen, welcher der bessere ist. In diesem Fall ist es möglich, zwei Kandidaten für gleich attraktiv zu erklären. Das Erfordernis der Vollständigkeit scheint für ein Abstimmungssystem nicht zu streng zu sein.

Das fünfte Axiom von Arrow ist eine bereits bekannte Bedingung – Transitivität: Wenn laut Wählern Kandidat B nicht besser als Kandidat A ist (schlechter oder gleichwertig), Kandidat C nicht besser als Kandidat B, dann ist Kandidat C nicht besser als Kandidat A. Man spricht von einem Wahlsystem, das die Transitivität nicht verletzt sich rational verhalten.

Nachdem Arrow fünf Axiome – die wünschenswerten Eigenschaften eines Wahlsystems – definiert hatte, bewies er, dass Systeme, die diese Axiome erfüllen, einen Nachteil haben, der aus Sicht demokratischer Freiheiten inakzeptabel ist: Jedes von ihnen ist die Herrschaft eines Diktators – einer Person, die auferlegt seine Präferenzen gegenüber allen anderen Wählern.

Die von Arrow veröffentlichten Ergebnisse waren weithin bekannt. Sie machten die Hoffnungen vieler Ökonomen, Soziologen und Mathematiker zunichte, ein perfektes Wahlsystem zu finden. Das Erfordernis, den Diktator auszuschließen, macht es unmöglich, ein Wahlsystem zu schaffen, das alle Axiome von Arrow erfüllt.

Daher wird das Ergebnis von Arrow als „Unmöglichkeitssatz“ bezeichnet.

Der Beweis, den ich vorlege, folgt dem Inhalt eines Artikels zu diesem Thema in der Zeitschrift Kvant. Ich versuche bewusst, ein Minimum an Formeln zu verwenden, ohne dabei auf Genauigkeit zu verzichten. Der nächste Absatz ist nicht Teil des Beweises und kann beim Lesen beliebig übersprungen werden.

Es kann festgestellt werden, dass die Anzahl der Meinungen, die ein Experte äußern kann, n! beträgt, wobei n die Anzahl der Kandidaten ist. Wenn es m Experten gibt, dann können sie auf (n!)^m Arten sprechen. Die Verarbeitungsfunktion muss zu jeder dieser Optionen eine gemeinsame Meinung vergleichen. Daher ist die Anzahl solcher Funktionen die Anzahl der Abbildungen einer Menge von (n!)^m Elementen in eine Menge von n! Elemente, d.h. entspricht (n!)^(n!^m). Von all dieser Fülle lässt uns der Satz von Arrow laut Expertenmeinung nur m Wege übrig. Bereits bei m=n=3 (siehe einen der vorherigen Einträge zur Manipulation der öffentlichen Meinung) beträgt die Anzahl der Verarbeitungsmethoden 6 hoch 216. Statt dieser astronomischen 169-stelligen Zahl bleiben uns nur noch drei Möglichkeiten, einen der Experten zum Diktator zu ernennen.

Der Nachweis erfolgt in mehreren Schritten. Ziel ist es, den mutmaßlichen Diktator zu identifizieren. Der Schlüsselgedanke ist der Folgende. Seien A und B einige Kandidaten. Nehmen wir an, dass ein Teil der Experten A über B stellt und der andere - B über A. Nehmen wir an, dass in der kollektiven Meinung A höher ist als B. Dann ist klar, dass der Diktator (falls es einen gibt) in der Lage ist erste Gruppe. Unsere Wahrscheinlichkeit, es zu erraten, ist umso höher, je kleiner die Zusammensetzung der ersten Gruppe ist. Idealerweise hätte ich gerne eine Gruppe von einer Person, die der Diktator wäre. Dies führt zu der folgenden Definition.

Lassen X-- eine bestimmte Gruppe von Experten, deren Vertreter alle Kandidaten A über Kandidaten B stellen und alle anderen Experten das Gegenteil tun lassen. Nehmen wir an, dass in der kollektiven Meinung A höher ist als B. Dann die Gruppe X Lass uns anrufen entscheidende Koalition bezüglich des (geordneten) Paares A, B.

Lassen Sie uns ein paar Kommentare abgeben. Diese Definition ist im Hinblick auf das Unabhängigkeitsprinzip richtig, da die Kenntnis der relativen Reihenfolge von A und B zueinander nach Meinung jedes Experten eindeutig deren Reihenfolge in der kollektiven Meinung bestimmt. Beachten Sie, dass die Reihenfolge, in der wir die Kandidaten A, B benennen, im Allgemeinen wichtig ist (d. h. es ist nicht a priori offensichtlich, dass dieselbe Koalition in Bezug auf das Paar B, A weiterhin entscheidend sein wird). Es ist klar, dass aufgrund des Einstimmigkeitsprinzips immer eine Gruppe aller Experten über ein Kandidatenpaar entscheiden wird. Aus dem gleichen Grund darf die entscheidende Koalition nicht leer sein, d.h. enthalten keinen einzigen Experten.

Wir rufen einfach die Expertengruppe an entscheidende Koalition, wenn es für ein Kandidatenpaar ausschlaggebend ist. Wählen wir nun die minimale entscheidende Koalition, d.h. so eine entscheidende Koalition M, was das Minimum beinhaltet mögliche Anzahl Experten. Lassen Sie uns nacheinander drei Tatsachen feststellen.

Lemma 1. Koalition M besteht aus genau einem Experten d.

Lemma 2. Experte d bildet für jedes Paar eine entscheidende Koalition.

Lemma 3. Experte d ist ein Diktator.

Beweisen wir Lemma 1. Sei die gewählte Koalition M ist für die Kandidaten A, B maßgebend. Sie umfasst mindestens einen Experten d. Betrachten wir drei Expertengruppen: 1) D=(d) (es besteht nur aus d), 2) M \ D(alle Experten von M außer d) und 3) E \ M(alle Experten nicht enthalten in M). Da die Anzahl der Kandidaten mindestens drei beträgt, können wir einen weiteren Kandidaten C in Betracht ziehen. Unsere Aufgabe ist es zu zeigen, dass es sich entweder um eine Koalition handelt D, oder Koalition M \ D wird ebenfalls entscheidend sein (in Bezug auf ein Paar mit C). Aufgrund der Minimalkoalition M, es wird sofort darauf folgen M besteht nur aus d.

Nehmen wir an, dass die Experten jeder Gruppe die Kandidaten in der folgenden Reihenfolge eingestuft haben:

1). .... A ..... B ..... C .....

3) ..... B ..... C ..... A .....

In der kollektiven Meinung ist Kandidat A höher als Kandidat B, da dies alle Experten aussagen M(erste und zweite Gruppe) und alle anderen Experten (dritte Gruppe) taten genau das Gegenteil. Aus dem Unabhängigkeitsprinzip folgt, dass die Reihenfolge der Kandidaten A, B, C in der kollektiven Meinung eindeutig bestimmt ist. Betrachten wir zwei Fälle.

a) Kandidat B rangiert in der Gesamtmeinung höher als C. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass A höher als B ist, kommen wir zu dem Schluss, dass A höher als C ist. Aber welcher Experte hat A höher als C bewertet? Nur Experte d und alle anderen äußerten die gegenteilige Meinung. Daraus folgt, dass die Koalition D Nach Aussage eines Experten wird d für das Paar A, C ausschlaggebend sein. Stellen wir sicher, dass dies tatsächlich der Fall ist. Stellen Sie sich eine Zufallsabstimmung vor, bei der seiner Meinung nach nur d A über C stellte und der Rest das Gegenteil tat. Nach dem Unabhängigkeitsprinzip ist in einer kollektiven Meinung die Reihenfolge von A und C eindeutig bestimmt, unabhängig davon, in welcher Reihenfolge alle anderen angeordnet sind. Daher können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit davon ausgehen, dass Kandidat B in der Expertenmeinung wie oben angegeben eingeordnet ist. Darüber hinaus wissen wir bereits, dass in der kollektiven Meinung A höher ist als C. Daher wird dies immer der Fall sein, sobald Experte d A höher als C ansetzt und der Rest das Gegenteil tut.

Diese Argumentation zeigt, dass es sich im vorliegenden Fall um eine Koalition handelt D=(d) wird bezüglich des Paares A, C entscheidend sein. Aufgrund der Minimalität der Koalition M, können wir daraus schließen, dass die zweite Gruppe keinen einzigen Experten umfasst, d.h. M stimmt mit (d) überein.

b) Kandidat C rangiert in der Gesamtmeinung höher als B. Dann stellt sich heraus, dass die zweite Gruppe eine entscheidende Koalition bezüglich des Paares C, B bildet. Dies widerspricht jedoch offensichtlich der Minimalität der Koalition M.

Lemma 1 ist bewiesen.

Um die Gültigkeit von Lemma 2 zu überprüfen, beachten Sie, dass für jeden Kandidaten C Fall a) aus dem vorherigen Lemma auftreten muss. Mit anderen Worten: Experte d (unser „Diktatorkandidat“) bildet eine entscheidende Koalition in Bezug auf das Paar A, C. Aus Symmetrieüberlegungen ist klar, dass derselbe Experte eine entscheidende Koalition in Bezug auf das Paar C, B bilden wird . Aus all dem lässt sich schließen, dass d, wenn es für ein Paar eine entscheidende Koalition bildet, diese auch für jedes Paar bilden wird, in dem eines seiner Elemente (das erste oder zweite) durch ein anderes ersetzt wird. Aber Sie können mit solchen Ersetzungen in maximal drei Schritten von jedem Paar zu jedem Paar gelangen – die größte Zahl Schritte sind erforderlich, um von (A,B) nach (B,A) zu gelangen. Dieser Vorgang erinnert berühmtes Spiel Um das Wort FLY durch Ersetzen von Buchstaben in das Wort ELEPHANT umzuwandeln, ist in dieser Situation alles viel einfacher.

Daraus schließen wir, dass (d) die entscheidende Koalition für jedes Paar ist. Damit ist Lemma 2 bewiesen, daraus lässt sich aber noch nicht schließen, dass d ein Diktator ist.

Unabhängig von den Kandidaten A, B können wir noch nicht garantieren, dass die Bevorzugung eines von ihnen gegenüber dem anderen durch den Experten d sofort dazu führt, dass diese Kandidaten in der kollektiven Meinung in dieser Reihenfolge eingestuft werden – schließlich brauchen wir noch , so dass alle anderen Experten das Gegenteil sagen würden. Zeigen wir, dass die Meinung des Experten d bezüglich der Reihenfolge von A, B immer ausreicht, damit die kollektive Meinung dieselbe ist. Dies ist der Inhalt von Lemma 3, das besagt, dass d ein Diktator ist.

Teilen wir also alle Experten noch einmal in drei Gruppen ein: Die erste Gruppe bestehe nur aus d, die A über B stellen; Die zweite Gruppe umfasst diejenigen, die das Gleiche über diese Kandidaten gesagt haben, und die dritte Gruppe umfasst alle Experten, die B über A stellen (die zweite oder dritte Gruppe kann leer sein). Betrachten Sie wie zuvor den Kandidaten C, der sich von A und B unterscheidet. Stellen Sie sich eine Abstimmung vor, bei der nur d A über C und alle Experten C über B rangierten:

1). .... A ..... C ..... B .....
2) ..... C ..... A ..... B .....
3) ..... C ..... B ..... A .....

Dann ist A in der kollektiven Meinung höher als C, da (d) eine entscheidende Koalition gegenüber A und C darstellt. Nach dem Einstimmigkeitsprinzip liegt C in der kollektiven Meinung vor B. Folglich ist A liegt nach der Gesamtmeinung höher als B, und dafür erwies es sich als ausreichend, dass der Sachverständige sie so anordnete d.

Also ist d tatsächlich ein Diktator. Lemma 3 ist bewiesen und damit auch der Satz von Arrow.

Der Satz von Arrow (auch als Arrow-Paradoxon bekannt) ist ein Satz über die Unmöglichkeit einer „kollektiven Wahl“. 1951 vom amerikanischen Ökonomen Kenneth Arrow formuliert.

Der Sinn dieses Theorems besteht darin, dass es im Rahmen des Ordinalansatzes keine Methode zur Kombination individueller Präferenzen für drei oder mehr Alternativen gibt, die einige völlig faire Bedingungen erfüllen und immer ein logisch konsistentes Ergebnis liefern würde.

Der ordinale Ansatz basiert auf der Tatsache, dass die Präferenzen eines Individuums hinsichtlich der zur Auswahl angebotenen Alternativen nicht quantitativ, sondern nur qualitativ gemessen werden können, d. h. eine Alternative ist schlechter oder besser als eine andere.

Im Rahmen des kardinalistischen Ansatzes, der die quantitative Messbarkeit von Präferenzen voraussetzt, funktioniert der Satz von Arrow im allgemeinen Fall nicht.

PFEIL-UNMÖGLICHKEITSSATZ

(Arrows Unmöglichkeitssatz) Der Satz, nach dem in einem Wirtschaftsmodell, an dem mehrere Personen beteiligt sind, Mehrheitsentscheidungen nicht immer zu einer Gleichgewichtssituation führen. Lassen Sie drei Personen, 1, 2 und 3, nacheinander drei Situationen A nach dem Grad ihrer Präferenz einordnen . B und C. Wenn Person 1 Situationen in der Reihenfolge A, B, C, Person 2 - B, C, A und Person 3 - C, A, B anordnet, dann wird eine nichtstrategische Entscheidung mit Mehrheit getroffen Bei der Abstimmung stellt sich heraus, dass Situation A besser ist als Situation B, B besser ist als C und C besser ist als A. Beachten Sie jedoch, dass dieser Satz nichts über die Unvermeidlichkeit einer solchen paradoxen Situation aussagt oder auch nur über sie Wahrscheinlichkeit, sondern besagt nur, dass es prinzipiell möglich ist.

Formulierungen

Formulierung von 1951

Es gebe N≥2 Wähler, die für n≥3 Kandidaten stimmen (im Sinne der Entscheidungstheorie werden Kandidaten normalerweise als Alternativen bezeichnet). Jeder Wähler verfügt über eine geordnete Liste von Alternativen. Das Wahlsystem ist eine Funktion, die eine Menge von N solcher Listen (Abstimmungsprofil) in eine gemeinsame geordnete Liste umwandelt.

Ein Wahlsystem kann folgende Eigenschaften haben:

Vielseitigkeit

Monoton

Wenn in allen N Listen eine Alternative x an Ort und Stelle bleibt oder höher steigt und sich die Reihenfolge der anderen nicht ändert, in allgemeine Liste x sollte an Ort und Stelle bleiben oder steigen.

Abwesenheit eines Diktators

Es gibt keinen Wähler, dessen Präferenz den Wahlausgang unabhängig von den Präferenzen anderer Wähler bestimmt.

Formulierung von 1963

In der Formulierung von 1963 lauten die Bedingungen von Arrow wie folgt.

Vielseitigkeit

Abwesenheit eines Diktators

Unabhängigkeit von externen Alternativen

Pareto-Effizienz oder das Prinzip der Einstimmigkeit

Wenn für jeden Wähler die Alternative x in der Liste einen höheren Rang als y einnimmt, muss das Endergebnis ebenfalls so sein.

Beweis des Satzes von Arrow

Führen wir die folgende Notation ein:

≻i – Präferenzen des i-ten Agenten; [≻"] – Präferenzprofil (Tupel, dessen Elemente die Präferenzen aller Agenten sind);

W: Ln → L – soziale Wohlfahrtsfunktion; ≻W – kollektive Präferenzen.

Bezeichnen wir mit O die Menge der Ergebnisse, die jeder Agent gemäß seinen Präferenzen einordnet.

Lassen Sie uns formale Definitionen geben:

Pareto-Effizienz

W ist Pareto-effizient, wenn für alle Ergebnisse o1, o2 ∈ O, ∀i (o1 ≻i o2) ⇒ (o1 ≻W o2)

Unabhängigkeit von externen Alternativen

W ist unabhängig von fremden Alternativen, wenn für alle Ergebnisse o1, o2 ∈ O und für zwei beliebige Präferenzprofile [≻"] und [≻"] ∈ Ln, ∀i (o1 ≻i" o2 ⇔ o1 ≻i" o2) ⇒ ( o1 ≻W([≻"]) o2 ⇔ o1 ≻W([≻"]) o2)

Abwesenheit eines Diktators

Wir nehmen an, dass es keinen Diktator für W gibt, wenn es kein i gibt, sodass ∀ o1, o2 ∈ O (o1 ≻i o2 ⇒ o1 ≻W o2)

Satz von Arrow

Wenn |O| ≥ 3, dann hat jede Pareto-effiziente Sozialwohlfahrtsfunktion W, unabhängig von externen Alternativen, einen Diktator.

Wir führen den Beweis in 4 Stufen durch.

Stufe 1. Genehmigung

Wenn jeder Agent das Ergebnis b ganz oben oder ganz unten auf seiner Präferenzliste platziert, dann steht in ≻W auch Ergebnis b entweder ganz oben oder ganz unten auf der Liste.

Nehmen wir ein beliebiges Profil [≻], sodass für alle Agenten i das Ergebnis b entweder oben oder unten in der Präferenzliste ≻i liegt. Nehmen wir nun an, dass unsere Aussage falsch ist, d.h. Es gibt a,c ∈ O mit a ≻W b und b ≻W c. Ändern wir dann das Profil [≻] so, dass c ≻i a für alle Agenten erfüllt ist, ohne die Rangfolge der verbleibenden Ergebnisse zu ändern. Bezeichnen wir das resultierende Profil mit [≻"]. Da nach einer solchen Modifikation das Ergebnis b für jeden Agenten immer noch entweder an der obersten oder an der untersten Position in der Liste seiner Präferenzen verbleibt, ergibt sich aus der Unabhängigkeit von W von fremden Alternativen Wir können daraus schließen, dass im neuen Profil a ≻W b und b ≻W c. Folglich erhalten wir aufgrund der Transitivität von ≻W a ≻W c. Aber wir haben angenommen, dass für alle Agenten c ≻i a gilt, dann aufgrund der Pareto-Effizienz Es sollte c ≻W a gelten. Der resultierende Widerspruch beweist die Aussage.

Stufe 2. Genehmigung

Es gibt einen Agenten, der in dem Sinne zentral ist, dass er Ergebnis b durch Änderung seiner Stimme von der niedrigsten Position in der Liste ≻W an die höchste Position in dieser Liste verschieben kann.

Betrachten Sie ein beliebiges Präferenzprofil, in dem alle Agenten das Ergebnis b ganz unten in ihrer Präferenzliste ≻i eingeordnet haben. Es ist klar, dass in ≻W Ergebnis b an der niedrigsten Stelle steht. Lassen Sie alle Agenten beginnen, abwechselnd das Ergebnis b von der niedrigsten zur höchsten Position in ihren Präferenzlisten neu anzuordnen, ohne die Rangfolge der verbleibenden Ergebnisse zu ändern. Sei n* der Agent, der durch diese Umordnung von b ≻W geändert hat. Bezeichnen wir [≻1] das Präferenzprofil kurz bevor n* b verschoben wurde, und [≻2] das Präferenzprofil direkt nachdem n* b verschoben wurde. Somit hat Ergebnis b in [≻2] seine Position in ≻W geändert, und für alle Agenten ist b entweder an der oberen oder an der unteren Position ≻i. Aufgrund der in Stufe 1 bewiesenen Aussage nimmt Ergebnis b in ≻W daher die Spitzenposition ein.

Stufe 3. Genehmigung

, ohne b.

Wählen wir aus einem Paar irgendein Element. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wählen wir a. Als nächstes konstruieren wir aus Profil [≻2] [≻3] wie folgt: In ≻n* verschieben wir Ergebnis a an die erste Position und lassen den Rest der Rangfolge unverändert; Für alle anderen Agenten tauschen wir a und c zufällig miteinander aus. Dann erhalten wir wie in [≻1], dass a ≻W b (aufgrund der Unabhängigkeit von externen Alternativen) und wie in [≻2] erhalten wir, dass b ≻W c. Dann ist a ≻W c. Erstellen wir nun ein Präferenzprofil [≻4] wie folgt: Für alle Agenten platzieren wir Ergebnis b an einer beliebigen Position in der Liste der Präferenzen ≻i, für Agent n* platzieren wir Ergebnis a an einer beliebigen Position vor Ergebnis c. Es ist klar, dass aufgrund der Unabhängigkeit von fremden Alternativen a ≻W c. Wir fanden heraus, dass alle Agenten außer n* völlig willkürliche Präferenzprofile haben und das Ergebnis a ≻W c nur auf der Grundlage der Annahme erhalten wurde, dass a ≻n* c.

Stufe 4. Genehmigung

n* – Diktator über alle Paare .

Betrachten wir ein Ergebnis mit. Aufgrund von Stufe 2 gibt es für dieses Ergebnis einen zentralen Agenten n**, der auch der Diktator für alle Paare ist , wobei insbesondere A = a, B = b. Aber n* selbst kann die Rangfolge in ≻W ändern (dies wurde in Stufe 2 berücksichtigt). Daraus können wir schließen, dass n** dasselbe ist wie n*. Der Beweis ist vollständig.

Satz von Arrow(auch bekannt als " Arrows Paradoxon", Englisch Arrows Paradoxon) – Satz über die Unmöglichkeit einer „kollektiven Wahl“. 1951 vom amerikanischen Ökonomen Kenneth Arrow formuliert. Der Sinn dieses Theorems besteht darin, dass es im Rahmen des Ordinalansatzes keine Methode zur Kombination individueller Präferenzen für drei oder mehr Alternativen gibt, die einige völlig faire Bedingungen erfüllen und immer ein logisch konsistentes Ergebnis liefern würde. Der ordinale Ansatz basiert auf der Tatsache, dass die Präferenzen eines Individuums hinsichtlich der zur Auswahl angebotenen Alternativen nicht quantitativ, sondern nur qualitativ gemessen werden können, d. h. eine Alternative ist schlechter oder besser als eine andere.

Im Rahmen des kardinalistischen Ansatzes, der die quantitative Messbarkeit von Präferenzen voraussetzt, funktioniert der Satz von Arrow im allgemeinen Fall nicht.

Formulierungen

Formulierung von 1951

Lass es sein N≥2 Wähler, die dafür stimmen N≥3 Kandidaten (im Sinne der Entscheidungstheorie werden Kandidaten in der Regel aufgerufen Alternativen). Jeder Wähler verfügt über eine geordnete Liste von Alternativen. Wahlsystem- eine Funktion, die eine Reihe von umwandelt N solche Listen ( Abstimmungsprofil) in eine gemeinsame geordnete Liste.

Ein Wahlsystem kann folgende Eigenschaften haben:

Universalität Für jedes Abstimmungsprofil gibt es ein Ergebnis – eine geordnete Liste von N Alternativen. Vollständigkeit Das Abstimmungssystem kann als Ergebnis alles hervorbringen N! Permutationen von Alternativen. Monotonie Wenn überhaupt N listet einige Alternativen auf X bleiben an ihrem Platz oder steigen höher, und die Reihenfolge der übrigen ändert sich in der allgemeinen Liste nicht X sollte an Ort und Stelle bleiben oder steigen. Abwesenheit eines Diktators Es gibt keinen Wähler, dessen Präferenz den Ausgang der Wahl bestimmt, unabhängig von den Präferenzen anderer Wähler. Unabhängigkeit von externen Alternativen Wenn sich das Abstimmungsprofil so ändert, dass die Alternativen X Und j insgesamt N Listen bleiben in der gleichen Reihenfolge, ihre Reihenfolge ändert sich im Endergebnis nicht.

Formulierung von 1963

In der Formulierung von 1963 lauten die Bedingungen von Arrow wie folgt.

Universalität Abwesenheit eines Diktators Unabhängigkeit von externen Alternativen Pareto-Effizienz oder das Prinzip der Einstimmigkeit, wenn jeder Wähler eine Alternative hat X steht weiter oben auf der Liste j, das gleiche sollte im Endergebnis sein.

Beweis des Satzes von Arrow

Führen wir die folgende Notation ein:

• $Ö$– eine Reihe von Ergebnissen, die jeder Agent entsprechend seinen Präferenzen einordnet.
• $L\_i$- lineare Reihenfolge der Präferenzen $ich$-ter Agent am Set $Ö$ gegeben durch Relation $\backslash succ\_i$.
• $[\backslash succ"]$- Präferenzprofil (Tupel, dessen Elemente die Präferenzen aller Agenten sind).
• $W:\; L^N\; \backslash to\; L\_W$- Funktion der Sozialfürsorge.
• $\backslash succ\_W$- kollektive Präferenzen.

Lassen Sie uns formale Definitionen geben:

• Pareto-Effizienz: $W$ ist Pareto-effizient, wenn für jedes Ergebnis $o\_1,\; o\_2\; \backslash in\; O,\; \backslash forall\; i\; (o\_1\; \backslash succ\_i\; o\_2)\; \backslash Rightarrow\; (o\_1\; \backslash succ\_W\; o\_2)$.
• Unabhängigkeit von externen Alternativen: $W$ Unabhängig von externen Alternativen, egal zu welchem ​​Ergebnis $o\_1,\; o\_2\; \backslash in\; O$ und für zwei beliebige Präferenzprofile $[\backslash succ"]$ Und $[\backslash erfolg$] \in L_n, \forall i (o_1 \succ"_i o_2 \Leftrightarrow o_1 \succ _i o_2) \Rightarrow (o_1 \succ_(W([\succ"])) o_2 \Leftrightarrow 0_1 \succ _(W([\succ])) o_2).
• Abwesenheit eines Diktators: Wir glauben das für $W$ Es gibt keinen Diktator, wenn es keinen Diktator gibt $ich$, Was $\backslash forall\; o\_1,\; o\_2\; \backslash in\; O\; (o\_1\; \backslash succ\_i\; o\_2\; \backslash Rightarrow\; o\_1\; \backslash succ\_W\; o\_2)$.
• Satz von Arrow: Wenn $|O|\; \backslash geq\; 3$, dann jede paretoeffiziente Funktion der sozialen Wohlfahrt unabhängig von externen Alternativen $W$ hat einen Diktator.

Wir führen den Beweis in 4 Stufen durch.

Stufe 1. Wenn jeder Agent das Ergebnis platziert $B$ ganz oben oder ganz unten auf ihrer Präferenzliste stehen (ohne dass alle Agenten auf die gleiche Weise handeln müssen). $\backslash succ\_W$ Exodus $B$ wird ebenfalls entweder am Anfang oder am Ende der Liste stehen.

Nehmen wir ein beliebiges Profil $[\backslash succ]$ so dass es für alle Agenten enthält $ich$ Exodus $B$ befindet sich entweder oben oder unten in der Präferenzliste $\backslash succ\_i$. Nehmen wir nun an, dass unsere Aussage falsch ist, das heißt, es gibt solche $a,\; c\; \backslash in\; O$, Was $a\backslash succ\_W\; b$ Und $b\backslash succ\_W\; c$. Dann ändern wir das Profil $[\backslash succ]$ so dass für alle Agenten gilt: $c\; \backslash succ\_i\; a$, ohne die Rangfolge der übrigen Ergebnisse zu ändern. Bezeichnen wir das resultierende Profil $[\backslash succ"]$. Da nach einer solchen Änderung das Ergebnis b für jeden Agenten immer noch entweder an der obersten oder der untersten Position in der Liste seiner Präferenzen bleibt, können wir aus der Unabhängigkeit von W von externen Alternativen daraus schließen, dass dies im neuen Profil der Fall ist $a\backslash succ\_W\; b$ Und $b\backslash succ\_W\; c$. Daher aufgrund der Transitivität $\backslash succ\_W$ wir bekommen $a\backslash succ\_W\; c$. Aber das haben wir für alle Agenten angenommen $c\; \backslash succ\_i\; a$, dann sollte es aufgrund der Pareto-Effizienz eine geben $c\backslash succ\_W\; a$. Der daraus resultierende Widerspruch beweist die Aussage.

Stufe 2. Für jedes Ergebnis $B$ Es gibt einen Agenten, der das ist zentral in dem Sinne, dass er durch eine Änderung seiner Stimme das Ergebnis ändern kann $B$ von der untersten Position in der Liste $\backslash succ\_W$ auf den ersten Platz dieser Liste. Mit anderen Worten, es gibt zwei Profile $[\backslash succ^1]$ Und $[\backslash succ^2]$, die sich nur in den Präferenzen des Agenten unterscheiden $ich$, Was $B$ steht am Ende der Liste für $[\backslash succ^1\_W]$ und am Anfang der Liste für $[\backslash succ^2\_W]$.

Betrachten Sie ein beliebiges Präferenzprofil, in dem alle Agenten das Ergebnis eingestuft haben $B$ ganz unten in Ihrer Präferenzliste $\backslash succ\_i$. Es ist klar, dass in $\backslash succ\_W$ Exodus $B$ befindet sich in der niedrigsten Position (aufgrund der Pareto-Effizienz). Lassen Sie alle Agenten nacheinander damit beginnen, das Ergebnis neu zu ordnen $B$ von der niedrigsten zur höchsten Position in ihren Präferenzlisten, ohne dass sich die Rangfolge der verbleibenden Ergebnisse ändert. Wenn alle Agenten über das Ergebnis entschieden haben $B$ Wenn er auf seiner Präferenzliste an erster Stelle steht, wird er an erster Stelle stehen $\backslash succ\_W$. Also irgendwann $\backslash succ\_W$ wird sich verändern. Lassen $n^*$- Agent, der auf diese Weise neu arrangiert hat $B$, geändert $\backslash succ\_W$(erstmals). Bezeichnen wir $[\backslash succ^1]$- Präferenzprofil kurz davor $n^*$ gerührt $B$, A $[\backslash succ^2]$- Präferenzprofil unmittelbar danach $n^*$ gerührt $B$. Also, in $[\backslash succ^2]$ Exodus $B$änderte seine Position in $\backslash succ\_W$, während für alle Agenten $B$ befindet sich entweder in der höchsten oder niedrigsten Position $\backslash succ\_i$. Daher aufgrund der in Stufe 1 bewiesenen Aussage, in $\backslash succ\_W$ Exodus $B$ nimmt die Spitzenposition ein.

Stufe 3. $n^*$- Diktator über alle Paare , Nicht beinhaltet $B$.

Wählen wir aus einem Paar irgendein Element. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wählen wir a. Weiter vom Profil $[\backslash succ^2]$ Lass uns bauen $[\backslash succ^3]$ wie folgt: in $\backslash succ\_(n^*)$ Verschieben Sie das Ergebnis a an die erste Position und lassen Sie den Rest der Rangliste unverändert. tauschen zufällig die Plätze untereinander für alle anderen Agenten $A$ Und $C$. Dann, wie in $[\backslash succ^1]$ Das verstehen wir $a\backslash succ\_W\; b$(aufgrund der Unabhängigkeit von externen Alternativen) und, wie in $[\backslash succ^2]$ Das verstehen wir $b\backslash succ\_W\; c$. Dann $a\backslash succ\_W\; c$. Lassen Sie uns nun ein Präferenzprofil erstellen $[\backslash succ^4]$ wie folgt: Für alle Agenten platzieren wir das Ergebnis $B$ an eine beliebige Position in der Präferenzliste $\backslash succ\_i$, für Agent $n^*$ Lassen Sie uns das Ergebnis darlegen $A$ bis zum Ergebnis in eine beliebige Position bringen $Mit$. Es ist klar, dass dies auf die Unabhängigkeit von fremden Alternativen zurückzuführen ist $a\backslash succ\_W\; c$. Wir haben das von allen Agenten erhalten, außer $n^*$ haben völlig willkürliche Präferenzprofile und das Ergebnis $a\backslash succ\_W\; c$ stellte sich nur auf der Grundlage der Annahme heraus, dass $a\; \backslash succ\_(n^*)\; c$.

Stufe 4. $n^*$- Diktator über alle Paare .

Betrachten wir ein Ergebnis mit. Aufgrund von Stufe 2 gibt es einige zentral Agent $n^(**)$ Für dieses Ergebnis ist er auch der Diktator für alle Paare , wobei insbesondere $A=a,\; B=b$. Wenn der Agent $n^(**)\; \backslash neq\; n^*$ war ein Redner vorbei , keine Ersetzung der Agentenpräferenzen $n^*$ Ich konnte die Rangfolge nicht ändern $A$ Und $B$ V $\backslash succ\_W$. Aber in Stufe 2 der Agent $n^*$ neu geordnet $B$ vom letzten Platz zum ersten Platz $\backslash succ\_W$, und war daher gezwungen, die Plätze zu tauschen $A$ Und $B$. Daraus können wir schließen $n^(**)$ fällt zusammen mit $n^*$, also $n^*$ und es gibt einen Diktator.

Der Beweis ist vollständig.

siehe auch

• Das Paradoxon von Condorcet ist ein Wahlparadoxon, dessen Verallgemeinerung der Satz von Arrow war.

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Anmerkungen

Institut für Wahlen Wahlebene Wahlsysteme Wahlkampagne Abstimmung Wahlrecht Wahlgeographie Unregelmäßigkeiten bei der Wahl Psephologie

Auszug, der den Satz von Arrow charakterisiert

Pierre war nicht wie zuvor in Momenten der Verzweiflung, Melancholie und Ekel vor dem Leben; aber die gleiche Krankheit, die sich zuvor in heftigen Anfällen geäußert hatte, wurde in sein Inneres getrieben und ließ ihn keinen Augenblick los. "Wozu? Wofür? Was ist in der Welt los?“ fragte er sich mehrmals am Tag verwirrt und begann unwillkürlich über den Sinn der Phänomene des Lebens nachzudenken; Da er jedoch aus Erfahrung wusste, dass es auf diese Fragen keine Antworten gab, versuchte er hastig, sich von ihnen abzuwenden, nahm ein Buch zur Hand oder eilte in den Club oder zu Apollo Nikolaevich, um über Stadtklatsch zu plaudern.
„Elena Wassiljewna, die nie etwas außer ihrem Körper geliebt hat und eine der dümmsten Frauen der Welt ist“, dachte Pierre, „scheint den Menschen der Gipfel der Intelligenz und Kultiviertheit zu sein, und sie verneigen sich vor ihr.“ Napoleon Bonaparte wurde von allen verachtet, solange er groß war, und seit er ein erbärmlicher Komiker wurde, versuchte Kaiser Franz, ihm seine Tochter als uneheliche Frau anzubieten. Die Spanier senden über den katholischen Klerus Gebete zu Gott aus Dankbarkeit für die Tatsache, dass sie die Franzosen am 14. Juni besiegt haben, und die Franzosen senden Gebete über denselben katholischen Klerus, der am 14. Juni die Spanier besiegt hat. Meine Brüder, die Freimaurer, schwören auf Blut, dass sie bereit sind, alles für ihren Nachbarn zu opfern, und dass sie nicht jeden einen Rubel für die Sammlung der Armen zahlen und Astraeus gegen die Manna-Sucher intrigieren, und sind mit dem echten schottischen Teppich beschäftigt und mit einem Handlung, deren Bedeutung nicht einmal denen bekannt ist, die sie geschrieben haben, und die niemand braucht. Wir alle bekennen uns zum christlichen Gesetz der Vergebung von Beleidigungen und der Liebe zum Nächsten – dem Gesetz, aufgrund dessen wir in Moskau vierzigvierzig Kirchen errichteten und gestern einen flüchtenden Mann und den Diener desselben Gesetzes der Liebe und der Liebe auspeitschten Vergebung, der Priester, erlaubte, dass das Kreuz vor der Hinrichtung von einem Soldaten geküsst wurde.“ . So dachte Pierre, und diese ganze, verbreitete, allgemein anerkannte Lüge, so sehr er auch daran gewöhnt war, als wäre sie etwas Neues, überraschte ihn jedes Mal aufs Neue. „Ich verstehe diese Lügen und Verwirrung“, dachte er, „aber wie kann ich ihnen alles sagen, was ich verstehe? Ich habe es versucht und immer festgestellt, dass sie tief in ihrem Inneren dasselbe verstehen wie ich, aber sie versuchen einfach, es nicht zu sehen. So muss es also sein! Aber wohin soll ich für mich gehen?“ dachte Pierre. Er erlebte die unglückliche Fähigkeit vieler, insbesondere russischer Menschen – die Fähigkeit, die Möglichkeit des Guten und der Wahrheit zu erkennen und daran zu glauben und das Böse und die Lügen des Lebens zu klar zu erkennen, um ernsthaft daran teilnehmen zu können. Jeder Arbeitsbereich war in seinen Augen mit Bösem und Täuschung verbunden. Was auch immer er sein wollte, was auch immer er unternahm, das Böse und die Lügen stießen ihn ab und versperrten ihm alle Wege der Aktivität. In der Zwischenzeit musste ich leben, ich musste beschäftigt sein. Es war zu beängstigend, unter dem Joch dieser unlösbaren Lebensfragen zu stehen, und er gab sich seinen ersten Hobbys hin, nur um sie zu vergessen. Er reiste zu allen möglichen Gesellschaften, trank viel, kaufte Gemälde und baute und vor allem las er.
Er las und las alles, was zur Hand war, und las, so dass er, als er nach Hause kam, als die Lakaien ihn noch auszogen, bereits ein Buch genommen hatte und las – und vom Lesen ging er in den Schlaf über und vom Schlaf in den Schlaf Plaudern in den Salons und im Club, von Geschwätz zu Geschwätz und Frauen, von Geschwätz zurück zu Geschwätz, Lesen und Wein. Weintrinken wurde für ihn immer mehr zu einem körperlichen und zugleich moralischen Bedürfnis. Obwohl die Ärzte ihm sagten, dass Wein angesichts seiner Verdorbenheit gefährlich für ihn sei, trank er viel. Erst als er, ohne es zu merken, wie er, nachdem er mehrere Gläser Wein in seinen großen Mund gegossen hatte, eine angenehme Wärme in seinem Körper, Zärtlichkeit für alle seine Nachbarn und die Bereitschaft seines Geistes verspürte, oberflächlich auf jeden Gedanken zu reagieren, fühlte er sich erst recht wohl Eintauchen in sein Wesen. Erst nachdem er eine Flasche und zwei Weine getrunken hatte, wurde ihm vage klar, dass der verworrene, schreckliche Knoten des Lebens, der ihn zuvor erschreckt hatte, nicht so schrecklich war, wie er dachte. Während er nach dem Mittag- und Abendessen ein Geräusch im Kopf hatte, plauderte, Gesprächen zuhörte oder las, sah er diesen Knoten ständig, von irgendeiner Seite. Aber erst unter dem Einfluss von Wein sagte er sich: „Das ist nichts.“ Ich werde das aufklären – ich habe also eine Erklärung parat. Aber jetzt ist keine Zeit mehr – über all das werde ich später nachdenken!“ Aber dazu kam es später nicht mehr.
Auf nüchternen Magen schienen am Morgen alle vorherigen Fragen ebenso unlösbar und schrecklich, und Pierre schnappte sich hastig das Buch und freute sich, als jemand zu ihm kam.
Manchmal erinnerte sich Pierre an eine Geschichte, die er gehört hatte, wie Soldaten im Krieg, die unter Beschuss standen und nichts zu tun hatten, fleißig nach etwas suchten, um die Gefahr besser ertragen zu können. Und für Pierre schienen alle Menschen solche Soldaten zu sein, die vor dem Leben fliehen: manche aus Ehrgeiz, manche aus Karten, manche aus dem Schreiben von Gesetzen, manche aus Frauen, manche aus Spielzeug, manche aus Pferden, manche aus Politik, manche aus der Jagd, manche aus Wein , einige von Staatsangelegenheiten. „Nichts ist unbedeutend oder wichtig, es ist doch egal: nur dem zu entkommen, so gut ich kann!“ dachte Pierre. - „Sieh sie einfach nicht, diese Schreckliche.“

Zu Beginn des Winters kamen Prinz Nikolai Andreich Bolkonsky und seine Tochter in Moskau an. Aufgrund seiner Vergangenheit, seiner Intelligenz und Originalität, insbesondere aufgrund der damals nachlassenden Begeisterung für die Herrschaft Kaiser Alexanders und aufgrund der damals in Moskau vorherrschenden antifranzösischen und patriotischen Tendenz wurde Prinz Nikolai Andreich sofort zum Fürsten Gegenstand besonderen Respekts der Moskauer und Zentrum der Moskauer Opposition gegen die Regierung.
Der Prinz ist dieses Jahr sehr alt geworden. Bei ihm zeigten sich deutliche Alterserscheinungen: unerwartetes Einschlafen, Vergessen unmittelbarer Ereignisse und Erinnerung an längst vergangene Ereignisse sowie die kindliche Eitelkeit, mit der er die Rolle des Chefs der Moskauer Opposition akzeptierte. Und das, obwohl der alte Mann, besonders abends, in seinem Pelzmantel und mit seiner gepuderten Perücke zum Tee herauskam und, von jemandem berührt, seine abrupten Geschichten über die Vergangenheit oder noch abruptere und härtere Urteile über die Gegenwart begann Er erweckte bei allen seinen Gästen das gleiche Gefühl respektvollen Respekts. Für Besucher das alles altes Haus mit riesigen Frisiertischen, vorrevolutionären Möbeln, diesen Lakaien in Pulverform und dem kühlen und klugen alten Mann des letzten Jahrhunderts selbst mit seiner sanftmütigen Tochter und der hübschen Französin, die ihn verehrte, boten sie einen majestätisch angenehmen Anblick. Aber die Besucher dachten nicht, dass es zusätzlich zu diesen zwei oder drei Stunden, in denen sie die Besitzer sahen, noch weitere 22 Stunden am Tag gab, in denen sich das geheime Innenleben des Hauses abspielte.
IN In letzter Zeit in Moskau wurde dieses Innenleben für Prinzessin Marya sehr schwierig. In Moskau wurden ihr die besten Freuden vorenthalten – Gespräche mit dem Volk Gottes und Einsamkeit –, die sie in den Bald Mountains erfrischten, und sie hatte keinerlei Vorzüge und Freuden des Großstadtlebens. Sie ging nicht in die Welt; Jeder wusste, dass ihr Vater sie nicht ohne ihn gehen lassen würde, und er selbst konnte aus gesundheitlichen Gründen nicht reisen, und sie wurde nicht mehr zu Abendessen und Abenden eingeladen. Prinzessin Marya gab die Hoffnung auf eine Heirat völlig auf. Sie sah die Kälte und Bitterkeit, mit der Prinz Nikolai Andreich junge Leute, die als Verehrer in Frage kamen und manchmal zu ihnen nach Hause kamen, empfing und wegschickte. Prinzessin Marya hatte keine Freunde: Bei diesem Besuch in Moskau war sie von ihren beiden engsten Menschen enttäuscht. M lle Bourienne, mit der sie zuvor nicht ganz offen sein konnte, wurde ihr nun unangenehm und aus irgendeinem Grund begann sie, sich von ihr zu entfernen. Julie, die sich in Moskau aufhielt und der Prinzessin Marya fünf Jahre hintereinander schrieb, erwies sich als völlig Fremde für sie, als Prinzessin Marya sie erneut persönlich kennenlernte. Zu dieser Zeit befand sich Julie, die anlässlich des Todes ihrer Brüder zu einer der reichsten Bräute Moskaus geworden war, mitten in gesellschaftlichen Freuden. Sie war von jungen Leuten umgeben, die, wie sie glaubte, plötzlich ihre Verdienste zu schätzen wussten. Julie war in dieser Zeit der alternden Gesellschaft eine junge Dame, die das Gefühl hatte, dass ihre letzte Chance auf eine Ehe gekommen sei und dass sich jetzt oder nie über ihr Schicksal entscheiden müsse. Prinzessin Marya erinnerte sich donnerstags mit einem traurigen Lächeln daran, dass sie nun niemanden mehr hatte, dem sie schreiben konnte, da Julie, Julie, über deren Anwesenheit sie keine Freude empfand, hier war und sie jede Woche sah. Wie ein alter Auswanderer, der sich weigerte, die Dame zu heiraten, mit der er mehrere Jahre lang seine Abende verbrachte, bedauerte sie, dass Julie hier war und sie niemanden hatte, dem sie schreiben konnte. Prinzessin Marya hatte in Moskau niemanden, mit dem sie reden konnte, niemanden, dem sie sich ihrer Trauer anvertrauen konnte, und in dieser Zeit war viel neuer Kummer hinzugekommen. Die Zeit für die Rückkehr des Fürsten Andrei und seine Hochzeit rückte näher, und sein Auftrag, seinen Vater darauf vorzubereiten, wurde nicht nur nicht erfüllt, im Gegenteil, die Sache schien völlig ruiniert, und die Erinnerung an Gräfin Rostowa machte den alten Prinzen wütend, der war die meiste Zeit schon außer Kontrolle. Ein neuer Kummer, der für Prinzessin Marya in letzter Zeit zugenommen hatte, waren die Lektionen, die sie ihrem sechsjährigen Neffen erteilte. In ihrer Beziehung zu Nikolushka erkannte sie mit Entsetzen die Gereiztheit ihres Vaters. Egal, wie oft sie sich sagte, dass sie sich beim Unterrichten ihres Neffen nicht aufregen sollte, fast jedes Mal, wenn sie sich mit einem Zeigestock hinsetzte, um das französische Alphabet zu lernen, wollte sie ihr Wissen so schnell und einfach von sich selbst übertragen in das Kind, das bereits Angst hatte, dass es eine Tante gab. Sie war wütend, dass sie bei der geringsten Unaufmerksamkeit des Jungen zusammenzuckte, sich beeilte, aufgeregt wurde, ihre Stimme erhob, ihn manchmal an der Hand zog und ihn hinsetzte in einer Ecke. Nachdem sie ihn in eine Ecke gestellt hatte, begann sie selbst über ihre böse, schlechte Natur zu weinen, und Nikolushka ahmte ihr Schluchzen nach, kam ohne Erlaubnis aus der Ecke, näherte sich ihr, zog ihre nassen Hände von ihrem Gesicht und tröstete sie. Doch was der Prinzessin noch mehr Kummer bereitete, war die Gereiztheit ihres Vaters, die sich immer gegen seine Tochter richtete und in letzter Zeit den Punkt der Grausamkeit erreicht hatte. Wenn er sie gezwungen hätte, sich die ganze Nacht zu verbeugen, wenn er sie geschlagen und sie gezwungen hätte, Feuerholz und Wasser zu tragen, wäre ihr nie in den Sinn gekommen, dass ihre Lage schwierig war; aber dieser liebevolle Peiniger, der grausamste, weil er sich und sie deshalb liebte und quälte, verstand es bewusst, sie nicht nur zu beleidigen und zu demütigen, sondern ihr auch zu beweisen, dass sie immer an allem schuld war. Kürzlich ist es erschienen neue Funktion, was Prinzessin Marya am meisten quälte – dies war seine größere Annäherung an Frau Bourienne. Der Gedanke, der ihm in der ersten Minute, nachdem er die Nachricht von den Absichten seines Sohnes erhalten hatte, kam, dass, wenn Andrei heiratet, er selbst Bourienne heiraten würde, gefiel ihm offenbar, und er blieb in letzter Zeit hartnäckig (wie es Prinzessin Marya vorkam) nur in Ordnung Um sie zu beleidigen, zeigte er M lle Bourienne besondere Zuneigung und zeigte seine Unzufriedenheit mit seiner Tochter, indem er Bourienne Liebe zeigte.

Das Arrow-Theorem ist auch als „Arrow-Paradoxon“ bekannt – ein Theorem über die Unmöglichkeit einer „kollektiven Wahl“. Die Bedeutung dieses Theorems besteht darin, dass es im Rahmen des Ordinalansatzes keine Methode gibt, individuelle Präferenzen für drei oder mehr Alternativen zu kombinieren. was einige völlig faire Bedingungen erfüllen würde und immer ein logisch konsistentes Ergebnis liefern würde.

Der ordinale Ansatz basiert auf der Tatsache, dass die Präferenzen eines Individuums hinsichtlich der zur Auswahl angebotenen Alternativen nicht quantitativ, sondern nur qualitativ gemessen werden können, d. h. eine Alternative ist schlechter oder besser als eine andere.

Im Rahmen des kardinalistischen Ansatzes, der die quantitative Messbarkeit von Präferenzen voraussetzt, funktioniert der Satz von Arrow im allgemeinen Fall nicht.

Betrachten wir verschiedene Formulierungen der Theorie:

Formulierung von 1951

Es soll N?2 Wähler geben, die für N?3 Kandidaten stimmen. Jeder Wähler verfügt über eine geordnete Liste von Alternativen. Das Wahlsystem ist eine Funktion, die eine Menge von N solcher Listen (Abstimmungsprofil) in eine gemeinsame geordnete Liste umwandelt. Ein Wahlsystem kann folgende Eigenschaften haben:

Monotonie – wenn in allen N Listen eine Alternative x an ihrem Platz bleibt oder höher steigt und sich die Reihenfolge der anderen nicht ändert, muss x in der allgemeinen Liste an ihrem Platz bleiben oder steigen.

Das Fehlen eines Diktators bedeutet, dass es keinen Wähler gibt, dessen Präferenz den Ausgang der Wahl bestimmen würde, unabhängig von den Präferenzen anderer Wähler.

Unabhängigkeit von fremden Alternativen – wenn sich das Abstimmungsprofil so ändert, dass die Alternativen x und y in allen N Listen in der gleichen Reihenfolge bleiben, dann ändert sich ihre Reihenfolge im Endergebnis nicht.

Formulierung von 1963

In der Formulierung von 1963 lauten die Bedingungen von Arrow wie folgt: Universalität, Abwesenheit eines Diktators, Unabhängigkeit von externen Alternativen, Prinzip der Einstimmigkeit – wenn für jede Wähleralternative x in der Liste höher als y ist, sollte dies auch in der Fall sein Endergebnis.

Der Satz hat einen Beweis. Führen wir die folgende Notation ein:

I – Präferenzen des i-ten Agenten; [?"] – Präferenzprofil (ein Tupel, dessen Elemente die Präferenzen aller Agenten sind);

W: Ln > L – soziale Wohlfahrtsfunktion; ?W – kollektive Präferenzen.

Bezeichnen wir mit O die Menge der Ergebnisse, die jeder Agent gemäß seinen Präferenzen einordnet.

Lassen Sie uns formale Definitionen geben:

Pareto-Effizienz – W ist Pareto-effizient, wenn für irgendwelche Ergebnisse o1, o2? O, ?i (o1 ?i o2) ? (o1 ?W o2)

Unabhängigkeit von fremden Alternativen – W ist unabhängig von fremden Alternativen, wenn für irgendwelche Ergebnisse o1, o2 ? O und für zwei beliebige Präferenzprofile [?"] und [?"] ? Ln, ?i (o1 ?i" o2 ? o1 ?i" o2) ? (o1 ?W([?"]) o2 ? o1 ?W([?"]) o2)

Abwesenheit eines Diktators – Wir gehen davon aus, dass es für W keinen Diktator gibt, wenn es kein solches i gibt, was? o1, o2 ? O (o1 ?i o2 ? o1 ?W o2)

Satz von Arrow. Wenn |O| ? 3, dann hat jede Pareto-effiziente soziale Wohlfahrtsfunktion W, unabhängig von externen Alternativen, einen Diktator. Wir führen den Beweis in 4 Stufen durch.

Stufe 1. Genehmigung. Wenn jeder Agent das Ergebnis b ganz oben oder ganz unten auf seiner Präferenzliste platziert, dann steht in?W auch Ergebnis b entweder ganz oben oder ganz unten auf der Liste.

Nehmen wir ein beliebiges Profil [?], so dass für alle Agenten i das Ergebnis b entweder oben oder unten in der Liste der Präferenzen liegt?i. Nehmen wir nun an, dass unsere Aussage falsch ist, d.h. gibt es so etwas? O dass a ?W b und b ?W c. Ändern wir dann das Profil [?] so, dass c ?i a für alle Agenten erfüllt ist, ohne die Rangfolge der verbleibenden Ergebnisse zu ändern. Bezeichnen wir das resultierende Profil mit [?"]. Da nach einer solchen Modifikation das Ergebnis b für jeden Agenten immer noch entweder an der obersten oder an der untersten Position in der Liste seiner Präferenzen bleibt, ergibt sich aus der Unabhängigkeit von W von fremden Alternativen Wir können daraus schließen, dass im neuen Profil a ?W b und b ?W c. Daher erhalten wir aufgrund der Transitivität?W a ?W c. Wir haben jedoch angenommen, dass für alle Agenten c ?i a aufgrund der Pareto-Effizienz Es sollte c ?W a geben. Der resultierende Widerspruch beweist die Aussage.

Stufe 2. Genehmigung. Es gibt einen Agenten, der in dem Sinne zentral ist, dass er Ergebnis b durch eine Änderung seiner Stimme von der niedrigsten Position in der Liste an die höchste Position in dieser Liste verschieben kann. Stellen Sie sich ein beliebiges Präferenzprofil vor, in dem alle Agenten das Ergebnis b am Ende ihrer Präferenzliste aufgeführt haben?i. Es ist klar, dass Ergebnis b in ?W an der niedrigsten Stelle steht. Lassen Sie alle Agenten beginnen, abwechselnd das Ergebnis b von der niedrigsten zur höchsten Position in ihren Präferenzlisten neu anzuordnen, ohne die Rangfolge der verbleibenden Ergebnisse zu ändern. Sei n (Diktator über alle Paare , ohne b) – ein Agent, der durch die Neuanordnung von b auf diese Weise verändert hat?W. Bezeichnen wir [?1] das Präferenzprofil kurz bevor n* b verschoben wurde, und [?2] das Präferenzprofil kurz nachdem n* b verschoben wurde. Somit hat in [?2] das Ergebnis b seine Position in?W geändert, während b für alle Agenten entweder an der oberen oder an der unteren Position?i steht. Daher steht aufgrund der in Stufe 1 bewiesenen Aussage in?W das Ergebnis b an erster Stelle.

Stufe 3. Genehmigung. Wählen wir aus einem Paar irgendein Element. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wählen wir a. Als nächstes konstruieren wir aus dem Profil [?2] [?3] auf die folgende Weise: in?n* Ergebnis a an die erste Position verschieben, der Rest der Rangliste bleibt unverändert; Für alle anderen Agenten tauschen wir a und c zufällig miteinander aus. Dann erhalten wir wie in [?1], dass a ?W b (aufgrund der Unabhängigkeit von externen Alternativen) und wie in [?2] erhalten wir, dass b ?W c. Dann ein ?W c. Erstellen wir nun ein Präferenzprofil [?4] wie folgt: Für alle Agenten platzieren wir Ergebnis b an einer beliebigen Position in der Liste der Präferenzen?i, für Agent n* platzieren wir Ergebnis a an einer beliebigen Position vor Ergebnis c. Es ist klar, dass aufgrund der Unabhängigkeit von externen Alternativen ein ?W c. Wir fanden heraus, dass alle Agenten außer n* völlig willkürliche Präferenzprofile haben und das Ergebnis a ?W c nur auf der Grundlage der Annahme erhalten wurde, dass a ?n* c. n* – Diktator über alle Paare .

Stufe 4. Genehmigung. Betrachten wir ein Ergebnis mit. Aufgrund von Stufe 2 gibt es für dieses Ergebnis einen zentralen Agenten n**, der auch der Diktator für alle Paare ist , wobei insbesondere A = a, B = b. Aber n* selbst kann die Rangfolge in ?W ändern (dies wurde in Stufe 2 berücksichtigt). Daraus können wir schließen, dass n** dasselbe ist wie n*. Der Beweis ist vollständig.