Există șapte puncte marcate pe graficul derivatelor. În ce moment este derivata cea mai mare? Găsirea intervalelor de funcții crescătoare și descrescătoare

dragi prieteni! Grupul de sarcini legate de derivată include sarcini - condiția oferă un grafic al unei funcții, mai multe puncte pe acest grafic și întrebarea este:

În ce moment este derivata cea mai mare (mai mică)?

Să repetăm ​​pe scurt:

Derivata intr-un punct este egala cu pantă tangente care trece prinacest punct din grafic.

Ucoeficientul global al tangentei la rândul său egal cu tangenta unghiul de înclinare al acestei tangente.

*Acest lucru se referă la unghiul dintre tangentă și axa x.

1. Pe intervale de funcție crescătoare, derivata are valoare pozitivă.

2. La intervale de scădere a acesteia, derivata are o valoare negativă.

Luați în considerare următoarea schiță:

La punctele 1,2,4, derivata funcției are o valoare negativă, deoarece aceste puncte aparțin intervalelor descrescătoare.

La punctele 3,5,6, derivata funcției are o valoare pozitivă, deoarece aceste puncte aparțin intervalelor crescătoare.

După cum puteți vedea, totul este clar cu semnificația derivatei, adică nu este deloc dificil să determinați ce semn are (pozitiv sau negativ) la un anumit punct al graficului.

Mai mult, dacă construim mental tangente în aceste puncte, vom vedea că drepte care trec prin punctele 3, 5 și 6 formează unghiuri cu axa oX cuprinsă între 0 și 90 o, iar drepte care trec prin punctele 1, 2 și 4 formează. cu axa oX unghiurile variază de la 90 o până la 180 o.

*Relația este clară: tangentele care trec prin puncte aparținând intervalelor de funcții crescătoare formează unghiuri ascuțite cu axa oX, tangentele care trec prin puncte aparținând intervalelor de funcții descrescătoare formează unghiuri obtuze cu axa oX.

Acum întrebarea importantă!

Cum se modifică valoarea instrumentului derivat? La urma urmei, tangenta în puncte diferite Graficul unei funcții continue face unghiuri diferite în funcție de punctul de pe grafic prin care trece.

* Sau, vorbind într-un limbaj simplu, tangenta este situată parcă „orizontal” sau „vertical”. Uite:

Liniile drepte formează unghiuri cu axa oX variind de la 0 la 90 o

Liniile drepte formează unghiuri cu axa oX variind de la 90° la 180°

Prin urmare, dacă aveți întrebări:

— în care dintre punctele date din grafic derivata are cea mai mică valoare?

- în care dintre punctele date ale graficului are derivata cea mai mare valoare?

apoi pentru a răspunde este necesar să înțelegem cum se modifică valoarea tangentei unghiului tangentei în intervalul de la 0 la 180 o.

* După cum sa menționat deja, valoarea derivatei funcției într-un punct este egală cu tangentei unghiului de înclinare al tangentei la axa oX.

Valoarea tangentei se modifică după cum urmează:

Când unghiul de înclinare al dreptei se modifică de la 0° la 90°, valoarea tangentei, și deci derivata, se modifică în mod corespunzător de la 0 la +∞;

Când unghiul de înclinare al dreptei se modifică de la 90° la 180°, valoarea tangentei și, prin urmare, derivata, se modifică în consecință –∞ la 0.

Acest lucru poate fi văzut clar din graficul funcției tangente:

In termeni simpli:

La un unghi de înclinare tangentă de la 0° la 90°

Cu cât este mai aproape de 0 o, cu atât valoarea derivatei va fi mai mare aproape de zero (pe partea pozitivă).

Cu cât unghiul este mai aproape de 90°, cu atât valoarea derivatei va crește spre +∞.

Cu un unghi de înclinare tangentă de la 90° la 180°

Cu cât este mai aproape de 90 o, cu atât valoarea derivatei va scădea spre –∞.

Cu cât unghiul este mai aproape de 180°, cu atât valoarea derivatei va fi mai aproape de zero (pe partea negativă).

317543. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(X) iar punctele sunt marcate–2, –1, 1, 2. În care dintre aceste puncte este derivata cea mai mare? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

Avem patru puncte: două dintre ele aparțin intervalelor la care funcția scade (sunt punctele –1 și 1) și două intervalelor la care funcția crește (sunt punctele –2 și 2).

Putem concluziona imediat că la punctele –1 și 1 derivata are o valoare negativă, iar la punctele –2 și 2 are o valoare pozitivă. Prin urmare, în acest caz, este necesar să se analizeze punctele –2 și 2 și să se determine care dintre ele va avea cea mai mare valoare. Să construim tangente care trec prin punctele indicate:

Valoarea tangentei unghiului dintre dreapta a și axa absciselor va fi mai mare decât valoarea tangentei unghiului dintre dreapta b și această axă. Aceasta înseamnă că valoarea derivatei la punctul –2 va fi cea mai mare.

Să răspundem la următoarea întrebare: în ce punct –2, –1, 1 sau 2 este valoarea derivatei cea mai negativă? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

Derivata va avea o valoare negativă în punctele aparținând intervalelor descrescătoare, deci să luăm în considerare punctele –2 și 1. Să construim tangente care trec prin ele:

Vedem că unghiul obtuz dintre linia dreaptă b și axa oX este „mai aproape” de 180 O , prin urmare tangenta ei va fi mai mare decât tangenta unghiului format de dreapta a și axa oX.

Astfel, în punctul x = 1, valoarea derivatei va fi cea mai mare negativă.

317544. Figura prezintă graficul funcției y = f(X) iar punctele sunt marcate–2, –1, 1, 4. În care dintre aceste puncte este derivata cea mai mică? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

Avem patru puncte: două dintre ele aparțin intervalelor la care funcția scade (sunt punctele –1 și 4) și două intervalelor la care funcția crește (sunt punctele –2 și 1).

Putem concluziona imediat că la punctele –1 și 4 derivata are o valoare negativă, iar la punctele –2 și 1 are o valoare pozitivă. Prin urmare, în acest caz, este necesar să se analizeze punctele –1 și 4 și să se determine care dintre ele va avea cea mai mică valoare. Să construim tangente care trec prin punctele indicate:

Valoarea tangentei unghiului dintre dreapta a și axa absciselor va fi mai mare decât valoarea tangentei unghiului dintre dreapta b și această axă. Aceasta înseamnă că valoarea derivatei în punctul x = 4 va fi cea mai mică.

Raspuns: 4

Sper că nu v-am „supraîncărcat” cu cantitatea de scris. De fapt, totul este foarte simplu, trebuie doar să înțelegeți proprietățile derivatei, semnificația ei geometrică și modul în care valoarea tangentei unghiului se schimbă de la 0 la 180 o.

1. Mai întâi, determină semnele derivatei în aceste puncte (+ sau -) și selectează punctele necesare (în funcție de întrebarea pusă).

2. Construiți tangente în aceste puncte.

3. Folosind graficul tangesoid, marcați schematic unghiurile și afișațiAlexandru.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Buna ziua! Să ajungem la următorul examen de stat unificat cu pregătire sistematică de înaltă calitate și perseverență în măcinarea granitului științei!!! ÎNExistă o sarcină de concurs la sfârșitul postării, fii primul! Într-unul dintre articolele din această secțiune, tu și cu mine, în care s-a dat un grafic al funcției și s-au ridicat diverse întrebări referitoare la extreme, intervale de creștere (scădere) și altele.

În acest articol, vom lua în considerare problemele incluse în examenul de stat unificat la matematică, în care este dat un grafic al derivatei unei funcții și se pun următoarele întrebări:

1. În ce punct al unui segment dat funcția ia cea mai mare (sau cea mai mică) valoare.

2. Aflați numărul de puncte maxime (sau minime) ale funcției aparținând unui segment dat.

3. Aflați numărul de puncte extreme ale funcției aparținând unui segment dat.

4. Aflați punctul extrem al funcției aparținând segmentului dat.

5. Aflați intervalele funcției crescătoare (sau descrescătoare) și indicați în răspuns suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

6. Aflați intervalele de creștere (sau scădere) ale funcției. În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre aceste intervale.

7. Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu o dreaptă de forma y = kx + b.

8. Aflați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa absciselor sau coincide cu aceasta.

S-ar putea să apară și alte întrebări, dar nu vă vor crea dificultăți dacă înțelegeți și (sunt furnizate link-uri către articole care oferă informațiile necesare soluției, recomand să le repetați).

Informații de bază (pe scurt):

1. Derivata la intervale crescatoare are semn pozitiv.

Dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare pozitivă, atunci graficul funcției pe acest interval crește.

2. La intervale descrescătoare, derivata are semn negativ.

Dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare negativă, atunci graficul funcției scade pe acest interval.

3. Derivata in punctul x este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acelasi punct.

4. În punctele de extremum (maximum-minim) ale funcției, derivata este egală cu zero. Tangenta la graficul funcției în acest punct este paralelă cu axa x.

Acest lucru trebuie înțeles și amintit clar!!!

Graficul derivat „derutează” mulți oameni. Unii oameni îl confundă din greșeală cu graficul funcției în sine. Prin urmare, în astfel de clădiri, unde vezi că este dat un grafic, concentrează-ți imediat atenția în condiția asupra a ceea ce este dat: graficul funcției sau graficul derivatei funcției?

Dacă este un grafic al derivatei unei funcții, atunci tratați-l ca pe o „reflecție” a funcției în sine, care pur și simplu vă oferă informații despre acea funcție.

Luați în considerare sarcina:

Figura prezintă un grafic y =f'(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–2;21).

Vom răspunde la următoarele întrebări:

1. În ce punct al segmentului se află funcția f(X) ia cea mai mare valoare.

Pe un interval dat, derivata unei funcții este negativă, ceea ce înseamnă că funcția pe acest interval scade (descrește de la limita stângă a intervalului la dreapta). Astfel, cea mai mare valoare a funcției este atinsă pe marginea stângă a segmentului, adică la punctul 7.

Raspuns: 7

2. În ce punct al segmentului se află funcția f(X)

Din acest grafic derivat putem spune următoarele. Pe un interval dat, derivata funcției este pozitivă, ceea ce înseamnă că funcția pe acest interval crește (crește de la limita stângă a intervalului la dreapta). Astfel, cea mai mică valoare a funcției se realizează pe marginea din stânga a segmentului, adică în punctul x = 3.

Raspuns: 3

3. Aflați numărul maxim de puncte ale funcției f(X)

Punctele maxime corespund punctelor în care semnul derivat se schimbă de la pozitiv la negativ. Să luăm în considerare unde se schimbă semnul în acest fel.

Pe segmentul (3;6) derivata este pozitivă, pe segmentul (6;16) este negativă.

Pe segmentul (16;18) derivata este pozitivă, pe segmentul (18;20) este negativă.

Astfel, pe un segment dat funcția are două puncte maxime x = 6 și x = 18.

Raspuns: 2

4. Aflați numărul de puncte minime ale funcției f(X), aparținând segmentului.

Punctele minime corespund punctelor în care semnul derivat se schimbă de la negativ la pozitiv. Derivata noastră este negativă pe intervalul (0;3) și pozitivă pe intervalul (3;4).

Astfel, pe segment funcția are un singur punct minim x = 3.

*Aveți grijă când scrieți răspunsul - se înregistrează numărul de puncte, nu valoarea x; o astfel de greșeală poate fi făcută din cauza neatenției.

Raspunsul 1

5. Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(X), aparținând segmentului.

Vă rugăm să rețineți ce trebuie să găsiți cantitate puncte extremum (acestea sunt ambele puncte maxime și minime).

Punctele extreme corespund punctelor în care semnul derivatei se modifică (de la pozitiv la negativ sau invers). În graficul dat în condiție, acestea sunt zerourile funcției. Derivata dispare la punctele 3, 6, 16, 18.

Astfel, funcția are 4 puncte extreme pe segment.

Raspuns: 4

6. Aflați intervalele funcției crescătoare f(X)

Intervale de creştere a acestei funcţii f(X) corespund intervalelor la care derivata sa este pozitivă, adică intervalele (3;6) și (16;18). Vă rugăm să rețineți că limitele intervalului nu sunt incluse în acesta (paranteze rotunde - limitele nu sunt incluse în interval, paranteze drepte - incluse). Aceste intervale conțin puncte întregi 4, 5, 17. Suma lor este: 4 + 5 + 17 = 26

Raspuns: 26

7. Aflați intervalele funcției descrescătoare f(X) la un interval dat. În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Intervalele descrescătoare ale unei funcții f(X) corespund intervalelor la care derivata functiei este negativa. În această problemă, acestea sunt intervalele (–2;3), (6;16), (18:21).

Aceste intervale conțin următoarele puncte întregi: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Suma lor este:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Raspuns: 140

*Acordați atenție condiției: dacă limitele sunt incluse sau nu în interval. Dacă sunt incluse limite, atunci în intervalele luate în considerare în procesul de soluționare trebuie să se țină seama și de aceste limite.

8. Aflați intervalele funcției crescătoare f(X)

Intervale de creștere a funcției f(X) corespund intervalelor la care derivata functiei este pozitiva. Le-am indicat deja: (3;6) și (16:18). Cel mai mare dintre ele este intervalul (3;6), lungimea sa este de 3.

Raspuns: 3

9. Aflați intervalele funcției descrescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Intervalele descrescătoare ale unei funcții f(X) corespund intervalelor la care derivata functiei este negativa. Le-am indicat deja; acestea sunt intervalele (–2;3), (6;16), (18;21), lungimile lor sunt respectiv 5, 10, 3.

Lungimea celui mai mare este de 10.

Raspuns: 10

10. Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției f(X) paralel cu sau coincide cu linia dreaptă y = 2x + 3.

Valoarea derivatei în punctul de tangență este egală cu panta tangentei. Deoarece tangenta este paralelă cu dreapta y = 2x + 3 sau coincide cu aceasta, coeficienții lor unghiulari sunt egali cu 2. Aceasta înseamnă că este necesar să găsim numărul de puncte la care y′(x 0) = 2. Din punct de vedere geometric, acesta corespunde numărului de puncte de intersecție a graficului derivat cu linia dreaptă y = 2. Există 4 astfel de puncte pe acest interval.

Raspuns: 4

11. Aflați punctul extremum al funcției f(X), aparținând segmentului.

Punctul extremum al unei funcții este punctul în care derivata sa este egală cu zero, iar în vecinătatea acestui punct derivata își schimbă semnul (de la pozitiv la negativ sau invers). Pe segment, graficul derivatului intersectează axa x, derivata își schimbă semnul din negativ în pozitiv. Prin urmare, punctul x = 3 este un punct extrem.

Raspuns: 3

12. Aflați abscisa punctelor în care tangentele la graficul y = f (x) sunt paralele cu axa absciselor sau coincid cu aceasta. În răspunsul dvs., indicați cel mai mare dintre ele.

Tangenta la graficul y = f (x) poate fi paralelă cu axa absciselor sau coincide cu aceasta, numai în punctele în care derivata este egală cu zero (acestea pot fi puncte extreme sau puncte staționare în vecinătatea cărora derivata face nu-i schimba semnul). Acest grafic arată că derivata este zero la punctele 3, 6, 16, 18. Cel mai mare este 18.

Vă puteți structura raționamentul astfel:

Valoarea derivatei în punctul de tangență este egală cu panta tangentei. Deoarece tangenta este paralelă sau coincide cu axa x, panta ei este 0 (într-adevăr, tangenta unui unghi de zero grade este zero). Prin urmare, căutăm punctul în care panta este egală cu zero și, prin urmare, derivata este egală cu zero. Derivata este egală cu zero în punctul în care graficul său intersectează axa x, iar acestea sunt punctele 3, 6, 16,18.

Raspuns: 18

Figura prezintă un grafic y =f'(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–8;4). În ce punct al segmentului [–7;–3] este funcția f(X) ia cea mai mică valoare.

Figura prezintă un grafic y =f'(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–7;14). Aflați numărul maxim de puncte ale funcției f(X), aparținând segmentului [–6;9].

Figura prezintă un grafic y =f'(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–18;6). Aflați numărul de puncte minime ale funcției f(X), aparținând segmentului [–13;1].

Figura prezintă un grafic y =f'(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–11; –11). Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(X), aparținând segmentului [–10; -10].

Figura prezintă un grafic y =f'(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–7;4). Aflați intervalele funcției crescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Figura prezintă un grafic y =f'(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–5;7). Aflați intervalele funcției descrescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Figura prezintă un grafic y =f'(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–11;3). Aflați intervalele funcției crescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

F Figura prezintă un grafic

Condițiile problemei sunt aceleași (pe care le-am considerat). Aflați suma a trei numere:

1. Suma pătratelor extremelor funcției f (x).

2. Diferența dintre pătratele sumei punctelor maxime și suma punctelor minime ale funcției f (x).

3. Numărul de tangente la f (x) paralele cu dreapta y = –3x + 5.

Primul care va da răspunsul corect va primi un premiu stimulativ de 150 de ruble. Scrieți răspunsurile dvs. în comentarii. Dacă acesta este primul tău comentariu pe blog, acesta nu va apărea imediat, ci puțin mai târziu (nu vă faceți griji, este înregistrată ora în care a fost scris comentariul).

Multă baftă!

Salutări, Alexander Krutitsikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Derivatul unei funcții este unul dintre subiectele dificile din programa școlară. Nu fiecare absolvent va răspunde la întrebarea ce este un derivat.

Acest articol explică într-un mod simplu și clar ce este un derivat și de ce este necesar.. Nu ne vom strădui acum pentru rigoare matematică în prezentare. Cel mai important lucru este să înțelegeți sensul.

Să ne amintim definiția:

Derivata este rata de schimbare a unei functii.

Figura prezintă grafice a trei funcții. Care crezi că crește mai repede?

Răspunsul este evident - al treilea. Are cea mai mare rată de schimbare, adică cea mai mare derivată.

Iată un alt exemplu.

Kostya, Grisha și Matvey au primit locuri de muncă în același timp. Să vedem cum s-au schimbat veniturile lor în cursul anului:

Graficul arată totul deodată, nu-i așa? Venitul lui Kostya s-a dublat în șase luni. Și venitul lui Grisha a crescut, dar doar puțin. Și venitul lui Matvey a scăzut la zero. Condițiile de pornire sunt aceleași, dar rata de schimbare a funcției, adică derivat, - diferit. În ceea ce privește Matvey, derivatul său de venit este în general negativ.

Intuitiv, estimăm cu ușurință rata de schimbare a unei funcții. Dar cum facem asta?

Ceea ce ne uităm cu adevărat este cât de abrupt urcă (sau jos) graficul unei funcții. Cu alte cuvinte, cât de repede se schimbă y pe măsură ce x se schimbă? Evident, aceeași funcție poate avea în puncte diferite sens diferit derivat - adică se poate schimba mai repede sau mai lent.

Derivata unei functii se noteaza .

Vă vom arăta cum să-l găsiți folosind un grafic.

A fost desenat un grafic al unei anumite funcții. Să luăm un punct cu o abscisă pe el. Să desenăm o tangentă la graficul funcției în acest punct. Vrem să estimăm cât de abrupt crește graficul funcției. O valoare convenabilă pentru aceasta este tangenta unghiului tangentei.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu tangentei unghiului tangentei desenat la graficul functiei in acest punct.

Vă rugăm să rețineți că ca unghi de înclinare al tangentei luăm unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei.

Uneori, elevii întreabă ce este o tangentă la graficul unei funcții. Aceasta este o linie dreaptă care are un singur punct comun cu graficul din această secțiune și așa cum se arată în figura noastră. Arată ca o tangentă la un cerc.

Să-l găsim. Ne amintim că tangentei unui unghi ascuțit în triunghi dreptunghic egal cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Din triunghi:

Am găsit derivata folosind un grafic fără să știm măcar formula funcției. Astfel de probleme se găsesc adesea în examenul de stat unificat la matematică sub numărul.

Există o altă relație importantă. Amintiți-vă că linia dreaptă este dată de ecuație

Mărimea din această ecuație se numește panta unei drepte. Este egală cu tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axă.

.

Înțelegem asta

Să ne amintim această formulă. Exprimă semnificația geometrică a derivatei.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acel punct.

Cu alte cuvinte, derivata este egală cu tangentei unghiului tangentei.

Am spus deja că aceeași funcție poate avea derivate diferite în puncte diferite. Să vedem cum este legată derivata de comportamentul funcției.

Să desenăm un grafic al unei funcții. Lăsați această funcție să crească în unele zone și să scadă în altele și în ritmuri diferite. Și lasă această funcție să aibă puncte maxime și minime.

La un moment dat funcția crește. O tangentă la graficul desenat într-un punct formează un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei. Aceasta înseamnă că derivata din punct este pozitivă.

În momentul în care funcția noastră scade. Tangenta în acest punct formează un unghi obtuz cu direcția pozitivă a axei. Din moment ce tangentă unghi obtuz este negativă, în punctul în care derivata este negativă.

Iată ce se întâmplă:

Dacă o funcție este în creștere, derivata ei este pozitivă.

Dacă scade, derivata sa este negativă.

Ce se va întâmpla la punctele maxime și minime? Vedem ca in punctele (punctul maxim) si (punctul minim) tangenta este orizontala. Prin urmare, tangentei tangentei în aceste puncte este zero, iar derivata este, de asemenea, zero.

Punct - punct maxim. În acest moment, creșterea funcției este înlocuită cu o scădere. În consecință, semnul derivatei se schimbă în punctul „plus” în „minus”.

În punctul - punctul minim - derivata este, de asemenea, zero, dar semnul său se schimbă de la „minus” la „plus”.

Concluzie: folosind derivata putem afla tot ce ne intereseaza despre comportamentul unei functii.

Dacă derivata este pozitivă, atunci funcția crește.

Dacă derivata este negativă, atunci funcția scade.

În punctul maxim, derivata este zero și își schimbă semnul din „plus” în „minus”.

La punctul minim, derivata este, de asemenea, zero și își schimbă semnul din „minus” în „plus”.

Să scriem aceste concluzii sub forma unui tabel:

Să facem două mici precizări. Veți avea nevoie de unul dintre ele când rezolvați problemele USE. Un altul - în primul an, cu un studiu mai serios al funcțiilor și derivatelor.

Este posibil ca derivata unei funcții la un moment dat să fie egală cu zero, dar funcția nu are nici un maxim, nici un minim în acest punct. Acesta este așa-numitul :

Într-un punct, tangenta la grafic este orizontală, iar derivata este zero. Cu toate acestea, înainte de punct funcția a crescut - și după punct continuă să crească. Semnul derivatului nu se schimbă - rămâne pozitiv așa cum a fost.

De asemenea, se întâmplă ca în punctul de maxim sau minim derivata să nu existe. Pe grafic, aceasta corespunde unei ruperi ascuțite, când este imposibil să desenați o tangentă într-un punct dat.

Cum să găsiți derivata dacă funcția este dată nu de un grafic, ci de o formulă? În acest caz se aplică

Problema B9 oferă un grafic al unei funcții sau derivate din care trebuie să determinați una dintre următoarele mărimi:

1. Valoarea derivatei la un punct x 0,
2. Puncte maxime sau minime (puncte extreme),
3. Intervale de funcții crescătoare și descrescătoare (intervale de monotonitate).

Funcțiile și derivatele prezentate în această problemă sunt întotdeauna continue, făcând soluția mult mai ușoară. În ciuda faptului că sarcina aparține secțiunii analiză matematică, este destul de în competențele chiar și ale celor mai slabi studenți, deoarece aici nu sunt necesare cunoștințe teoretice profunde.

Pentru a găsi valoarea derivatei, punctelor extreme și a intervalelor de monotonitate, există algoritmi simpli și universali - toți vor fi discutați mai jos.

Citiți cu atenție condițiile problemei B9 pentru a nu face greșeli stupide: uneori dați peste texte destul de lungi, dar conditii importante, care influențează cursul deciziei, sunt puține.

Calculul valorii derivate. Metoda în două puncte

Dacă problemei i se dă un grafic al unei funcții f(x), tangentă la acest grafic la un punct x 0 și este necesar să se găsească valoarea derivatei în acest punct, se aplică următorul algoritm:

1. Găsiți două puncte „adecvate” pe graficul tangentei: coordonatele lor trebuie să fie întregi. Să notăm aceste puncte ca A (x 1 ; y 1) și B (x 2 ; y 2). Notați corect coordonatele - acesta este un punct cheie în soluție și orice greșeală aici va duce la un răspuns incorect.
2. Cunoscând coordonatele, este ușor de calculat incrementul argumentului Δx = x 2 − x 1 și incrementul funcției Δy = y 2 − y 1 .
3. În final, găsim valoarea derivatei D = Δy/Δx. Cu alte cuvinte, trebuie să împărțiți incrementul funcției cu incrementul argumentului - și acesta va fi răspunsul.

Să remarcăm încă o dată: punctele A și B trebuie căutate exact pe tangentă, și nu pe graficul funcției f(x), așa cum se întâmplă adesea. Linia tangentă va conține în mod necesar cel puțin două astfel de puncte - altfel problema nu va fi formulată corect.

Luați în considerare punctele A (−3; 2) și B (−1; 6) și găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Să aflăm valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 3) și B (3; 0), găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Acum găsim valoarea derivatei: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 2) și B (5; 2) și găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Rămâne de găsit valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Din ultimul exemplu, putem formula o regulă: dacă tangenta este paralelă cu axa OX, derivata funcției în punctul de tangență este zero. În acest caz, nici măcar nu trebuie să numărați nimic - doar uitați-vă la grafic.

Calculul punctelor maxime și minime

Uneori, în loc de graficul unei funcții, problema B9 oferă un grafic al derivatei și necesită găsirea punctului maxim sau minim al funcției. În această situație, metoda în două puncte este inutilă, dar există un alt algoritm și mai simplu. Mai întâi, să definim terminologia:

1. Punctul x 0 se numește punctul maxim al funcției f(x) dacă în vreo vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punctul x 0 se numește punctul minim al funcției f(x) dacă într-o vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≤ f(x).

Pentru a găsi punctele maxime și minime din graficul derivat, trebuie doar să urmați acești pași:

1. Redesenați graficul derivat, eliminând toate informațiile inutile. După cum arată practica, datele inutile doar interferează cu decizia. Prin urmare, marchem zerourile derivatei pe axa de coordonate - și asta este tot.
2. Aflați semnele derivatei pe intervalele dintre zerouri. Dacă pentru un punct x 0 se știe că f'(x 0) ≠ 0, atunci sunt posibile doar două opțiuni: f'(x 0) ≥ 0 sau f'(x 0) ≤ 0. Semnul derivatei este ușor de determinat din desenul original: dacă graficul derivat se află deasupra axei OX, atunci f'(x) ≥ 0. Și invers, dacă graficul derivat se află sub axa OX, atunci f'(x) ≤ 0.
3. Verificăm din nou zerourile și semnele derivatei. Acolo unde semnul se schimbă de la minus la plus este punctul minim. În schimb, dacă semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, acesta este punctul maxim. Numărarea se face întotdeauna de la stânga la dreapta.

Această schemă funcționează numai pentru funcții continue - nu există altele în problema B9.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−5; 5]. Aflați punctul minim al funcției f(x) pe acest segment.

Să scăpăm de informațiile inutile și să lăsăm doar granițele [−5; 5] și zerourile derivatei x = −3 și x = 2,5. De asemenea, notăm semnele:

Evident, în punctul x = −3 semnul derivatei se schimbă din minus în plus. Acesta este punctul minim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7]. Aflați punctul maxim al funcției f(x) pe acest segment.

Să redesenăm graficul, lăsând doar limitele [−3; 7] și zerourile derivatei x = −1,7 și x = 5. Să notăm semnele derivatei pe graficul rezultat. Avem:

Evident, în punctul x = 5 semnul derivatei se schimbă de la plus la minus - acesta este punctul maxim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul [−6; 4]. Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) aparținând segmentului [−4; 3].

Din condițiile problemei rezultă că este suficient să se considere doar partea din grafic limitată de segmentul [−4; 3]. Prin urmare, construim un nou grafic pe care marchem doar granițele [−4; 3] și zerourile derivatei din interiorul acesteia. Și anume, punctele x = −3,5 și x = 2. Se obține:

Pe acest grafic există un singur punct maxim x = 2. În acest punct semnul derivatei se schimbă de la plus la minus.

O mică notă despre punctele cu coordonate care nu sunt întregi. De exemplu, în ultima problemă a fost considerat punctul x = −3,5, dar cu același succes putem lua x = −3,4. Dacă problema este compilată corect, astfel de modificări nu ar trebui să afecteze răspunsul, deoarece punctele „fără un loc fix de reședință” nu participă direct la rezolvarea problemei. Desigur, acest truc nu va funcționa cu puncte întregi.

Găsirea intervalelor de funcții crescătoare și descrescătoare

Într-o astfel de problemă, precum punctele maxime și minime, se propune utilizarea graficului derivat pentru a găsi zone în care funcția în sine crește sau scade. Mai întâi, să definim ce sunt creșterea și descreșterea:

1. Se spune că o funcție f(x) este în creștere pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Cu alte cuvinte, cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât valoarea funcției este mai mare.
2. Se spune că o funcție f(x) este descrescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Acestea. valoare mai mare argumentul corespunde valorii mai mici a funcției.

Să formulăm condiții suficiente pentru creștere și scădere:

1. Pentru a functie continua f(x) crește pe segment , este suficient ca derivata sa în interiorul segmentului să fie pozitivă, adică. f’(x) ≥ 0.
2. Pentru ca o funcție continuă f(x) să scadă pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie negativă, i.e. f’(x) ≤ 0.

Să acceptăm aceste afirmații fără dovezi. Astfel, obținem o schemă pentru găsirea intervalelor de creștere și descreștere, care este în multe privințe similară cu algoritmul de calcul al punctelor extreme:

1. Eliminați toate informațiile inutile. În graficul original al derivatei, ne interesează în primul rând zerourile funcției, așa că le vom lăsa doar pe acestea.
2. Marcați semnele derivatei la intervalele dintre zerouri. Unde f’(x) ≥ 0, funcția crește, iar unde f’(x) ≤ 0, ea scade. Dacă problema stabilește restricții asupra variabilei x, le marchem suplimentar pe un nou grafic.
3. Acum că știm comportamentul funcției și constrângerile, rămâne de calculat cantitatea necesară în problemă.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7,5]. Aflați intervalele de scădere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați suma numerelor întregi incluse în aceste intervale.

Ca de obicei, să redesenăm graficul și să marchem limitele [−3; 7.5], precum și zerourile derivatei x = −1.5 și x = 5.3. Apoi notăm semnele derivatei. Avem:

Deoarece derivata este negativă pe intervalul (− 1,5), acesta este intervalul funcției descrescătoare. Rămâne să însumăm toate numerele întregi care se află în acest interval:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul [−10; 4]. Aflați intervalele de creștere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Să scăpăm de informațiile inutile. Să lăsăm doar limitele [−10; 4] și zerourile derivatei, dintre care au fost patru de data aceasta: x = −8, x = −6, x = −3 și x = 2. Să marchem semnele derivatei și să obținem următoarea imagine:

Suntem interesați de intervalele funcției crescătoare, i.e. astfel unde f’(x) ≥ 0. Există două astfel de intervale pe grafic: (−8; −6) și (−3; 2). Să le calculăm lungimile:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Deoarece trebuie să găsim lungimea celui mai mare dintre intervale, notăm valoarea l 2 = 5 ca răspuns.