Dans cette leçon, nous verrons comment utiliser le déterminant pour composer équation du plan. Si vous ne savez pas ce qu'est un déterminant, passez à la première partie de la leçon - " Matrices et déterminants». Sinon, vous risquez de ne rien comprendre au matériel d'aujourd'hui.

Équation d'un plan par trois points

Pourquoi avons-nous besoin de l'équation du plan ? C'est simple : le connaissant, on peut facilement calculer des angles, des distances et autres conneries dans le problème C2. En général, cette équation est indispensable. Nous formulons donc le problème :

Une tâche. Il y a trois points dans l'espace qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite. Leurs coordonnées :

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Il faut écrire l'équation du plan passant par ces trois points. Et l'équation devrait ressembler à :

Ax + By + Cz + D = 0

où les nombres A , B , C et D sont les coefficients que, en fait, vous voulez trouver.

Eh bien, comment obtenir l'équation du plan, si seules les coordonnées des points sont connues ? Le moyen le plus simple est de substituer les coordonnées dans l'équation Ax + By + Cz + D = 0. Vous obtenez un système de trois équations qui est facilement résolu.

De nombreux étudiants trouvent cette solution extrêmement fastidieuse et peu fiable. L'examen de mathématiques de l'année dernière a montré que la probabilité de faire une erreur de calcul est très élevée.

Par conséquent, les enseignants les plus avancés ont commencé à chercher des solutions plus simples et plus élégantes. Et ils l'ont trouvé ! Certes, la technique obtenue est plus susceptible d'être liée aux mathématiques supérieures. Personnellement, j'ai dû fouiller dans toute la liste fédérale des manuels scolaires pour m'assurer que nous avons le droit d'utiliser cette technique sans aucune justification ni preuve.

Équation du plan passant par le déterminant

Assez de blabla, passons aux choses sérieuses. Pour commencer, un théorème sur la relation entre le déterminant de la matrice et l'équation du plan.

Théorème. Donnons les coordonnées de trois points par lesquels le plan doit être tracé : M = (x 1 , y 1 , z 1) ; N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Alors l'équation de ce plan peut s'écrire en fonction du déterminant :

Par exemple, essayons de trouver une paire de plans qui apparaissent réellement dans les problèmes C2. Regardez à quelle vitesse tout compte :

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Nous composons le déterminant et le mettons à zéro :

Ouverture du déterminant :

une = 1 1 (z − 1) + 0 0 X + (−1) 1 y = z − 1 − y ;
b = (−1) 1 X + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x ;
ré = une - b = z - 1 - y - (-x) = z - 1 - y + x = x - y + z - 1 ;
ré = 0 ⇒ X - y + z - 1 = 0 ;

Comme vous pouvez le voir, lors du calcul du nombre d, j'ai "brossé" un peu l'équation pour que les variables x , y et z entrent dans séquence correcte. C'est tout! L'équation de l'avion est prête !

Une tâche. Ecrire une équation pour un plan passant par les points :

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Remplacez immédiatement les coordonnées des points dans le déterminant:

En développant à nouveau le déterminant :

une = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z ;
b = 1 1 X + 0 0 z + 1 1 y = X + y ;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
ré = 0 ⇒ z − X − y = 0 ⇒ X + y − z = 0 ;

Ainsi, l'équation du plan est à nouveau obtenue ! Encore une fois, à la dernière étape, j'ai dû changer les signes afin d'obtenir une formule plus « belle ». Il n'est pas nécessaire de le faire dans cette solution, mais il est toujours recommandé - afin de simplifier la solution ultérieure du problème.

Comme vous pouvez le voir, il est maintenant beaucoup plus facile d'écrire l'équation du plan. Nous substituons les points dans la matrice, calculons le déterminant - et c'est tout, l'équation est prête.

Cela pourrait être la fin de la leçon. Cependant, de nombreux étudiants oublient constamment ce qui se trouve à l'intérieur du déterminant. Par exemple, quelle ligne contient x 2 ou x 3 , et quelle ligne juste x . Pour enfin faire face à cela, traçons d'où vient chaque numéro.

D'où vient la formule avec le déterminant ?

Alors, voyons d'où vient une équation aussi dure avec un déterminant. Cela vous aidera à vous en souvenir et à l'appliquer avec succès.

Tous les plans qui apparaissent dans le problème C2 sont définis par trois points. Ces points sont toujours marqués sur le dessin, voire indiqués directement dans le texte du problème. Dans tous les cas, pour compiler l'équation, nous devons écrire leurs coordonnées:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Considérons un autre point sur notre plan avec des coordonnées arbitraires :

T = (x, y, z)

Nous prenons n'importe quel point parmi les trois premiers (par exemple, le point M ) et en tirons des vecteurs vers chacun des trois points restants. On obtient trois vecteurs :

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1).

Faisons maintenant une matrice carrée à partir de ces vecteurs et assimilons son déterminant à zéro. Les coordonnées des vecteurs deviendront les lignes de la matrice - et nous obtiendrons le même déterminant indiqué dans le théorème :

Cette formule signifie que le volume de la boîte construite sur les vecteurs MN , MK et MT est égal à zéro. Par conséquent, les trois vecteurs se trouvent dans le même plan. En particulier, un point arbitraire T = (x, y, z) est exactement ce que nous recherchions.

Remplacement des points et des lignes du déterminant

Les déterminants ont de merveilleuses propriétés qui facilitent encore plus solution du problème C2. Par exemple, peu importe à partir de quel point dessiner des vecteurs. Par conséquent, les déterminants suivants donnent la même équation plane que celle ci-dessus :

Vous pouvez également échanger les lignes du déterminant. L'équation restera inchangée. Par exemple, beaucoup de gens aiment écrire une ligne avec les coordonnées du point T = (x ; y ; z) tout en haut. S'il vous plaît, si cela vous convient:

Il confond certains que l'une des lignes contient des variables x , y et z , qui ne disparaissent pas lors de la substitution de points. Mais ils ne doivent pas disparaître ! En remplaçant les nombres dans le déterminant, vous devriez obtenir la construction suivante :

Ensuite, le déterminant est développé selon le schéma donné au début de la leçon et l'équation standard du plan est obtenue:

Ax + By + Cz + D = 0

Jetez un oeil à un exemple. Il est le dernier de la leçon d'aujourd'hui. Je vais délibérément échanger les lignes pour m'assurer que la réponse sera la même équation du plan.

Une tâche. Ecrire une équation pour un plan passant par les points :

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Ainsi, nous considérons 4 points :

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Commençons par créer un déterminant standard et égalisons-le à zéro :

Ouverture du déterminant :

une = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y ;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − X + 1 − z = 2 − x − z ;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
ré = 0 ⇒ X + y + z − 2 = 0 ;

Ça y est, on a la réponse : x + y + z − 2 = 0 .

Maintenant, réorganisons quelques lignes dans le déterminant et voyons ce qui se passe. Par exemple, écrivons une ligne avec les variables x, y, z non pas en bas, mais en haut :

Développons à nouveau le déterminant résultant :

une = (x - 1) 1 (-1) + (z - 1) (-1) 1 + y 0 0 = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z ;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y ;
ré = une - b = 2 - X - z - y ;
ré = 0 ⇒ 2 − X − y − z = 0 ⇒ X + y + z − 2 = 0 ;

Nous avons exactement la même équation plane : x + y + z − 2 = 0. Donc, cela ne dépend vraiment pas de l'ordre des lignes. Il reste à écrire la réponse.

Ainsi, nous avons vu que l'équation du plan ne dépend pas de la suite des droites. Il est possible de faire des calculs similaires et de prouver que l'équation du plan ne dépend pas du point dont on soustrait les coordonnées aux autres points.

Dans le problème considéré ci-dessus, nous avons utilisé le point B 1 = (1, 0, 1), mais il était tout à fait possible de prendre C = (1, 1, 0) ou D 1 = (0, 1, 1). En général, tout point avec des coordonnées connues se trouvant sur le plan souhaité.

Peut être mis en place différentes façons(un point et un vecteur, deux points et un vecteur, trois points, etc.). C'est dans cet esprit que l'équation du plan peut avoir différentes sortes. De plus, sous certaines conditions, les plans peuvent être parallèles, perpendiculaires, sécants, etc. Nous en parlerons dans cet article. Nous apprendrons à écrire l'équation générale du plan et pas seulement.

Forme normale de l'équation

Disons qu'il existe un espace R 3 qui a un système de coordonnées rectangulaire XYZ. Nous définissons le vecteur α, qui sera libéré du point initial O. Par l'extrémité du vecteur α, nous dessinons le plan P, qui lui sera perpendiculaire.

Notons P un point arbitraire Q=(x, y, z). On signera le rayon vecteur du point Q avec la lettre p. La longueur du vecteur α est p=IαI et Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

C'est un vecteur unitaire qui pointe latéralement, tout comme le vecteur α. α, β et γ sont les angles qui se forment entre le vecteur Ʋ et les directions positives des axes spatiaux x, y, z, respectivement. La projection d'un point QϵП sur le vecteur Ʋ est valeur constante, qui est égal à p : (p,Ʋ) = p(p≥0).

Cette équation a un sens lorsque p=0. La seule chose est que le plan P dans ce cas coupera le point O (α = 0), qui est l'origine, et le vecteur unitaire Ʋ libéré du point O sera perpendiculaire à P, quelle que soit sa direction, ce qui signifie que le vecteur Ʋ est déterminé à partir du signe précis. L'équation précédente est l'équation de notre plan P, exprimée sous forme vectorielle. Mais en coordonnées, cela ressemblera à ceci:

P est ici supérieur ou égal à 0. Nous avons trouvé l'équation d'un plan dans l'espace sous sa forme normale.

Équation générale

Si nous multiplions l'équation en coordonnées par n'importe quel nombre qui n'est pas égal à zéro, nous obtenons une équation équivalente à celle donnée, qui détermine ce même plan. Il ressemblera à ceci:

Ici A, B, C sont des nombres simultanément différents de zéro. Cette équation est appelée équation générale du plan.

Équations planes. Cas spéciaux

Équation dans vue générale peut changer si disponible conditions additionnelles. Considérons certains d'entre eux.

Supposons que le coefficient A soit 0. Cela signifie que le plan donné est parallèle à l'axe donné Ox. Dans ce cas, la forme de l'équation changera : Ву+Cz+D=0.

De même, la forme de l'équation changera dans les conditions suivantes :

• Premièrement, si B = 0, alors l'équation changera en Ax + Cz + D = 0, ce qui indiquera le parallélisme avec l'axe Oy.
• Deuxièmement, si С=0, alors l'équation est transformée en Ах+Ву+D=0, ce qui indiquera le parallélisme à l'axe donné Oz.
• Troisièmement, si D = 0, l'équation ressemblera à Ax + By + Cz = 0, ce qui signifie que le plan coupe O (l'origine).
• Quatrièmement, si A=B=0, alors l'équation changera en Cz+D=0, qui s'avérera parallèle à Oxy.
• Cinquièmement, si B=C=0, alors l'équation devient Ax+D=0, ce qui signifie que le plan à Oyz est parallèle.
• Sixièmement, si A=C=0, alors l'équation prendra la forme Ву+D=0, c'est-à-dire qu'elle rapportera le parallélisme à Oxz.

Type d'équation dans les segments

Dans le cas où les nombres A, B, C, D sont non nuls, la forme de l'équation (0) peut être la suivante :

x/a + y/b + z/c = 1,

dans lequel a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Nous obtenons comme résultat Il convient de noter que ce plan coupera l'axe Ox en un point de coordonnées (a,0,0), Oy - (0,b,0) et Oz - (0,0,c) .

En tenant compte de l'équation x/a + y/b + z/c = 1, il est facile de représenter visuellement le placement du plan par rapport à un système de coordonnées donné.

Coordonnées vectorielles normales

Le vecteur normal n au plan P a pour coordonnées les coefficients équation générale plan donné, c'est-à-dire n (A, B, C).

Pour déterminer les coordonnées de la normale n, il suffit de connaître l'équation générale d'un plan donné.

Lors de l'utilisation de l'équation en segments, qui a la forme x/a + y/b + z/c = 1, ainsi que lors de l'utilisation de l'équation générale, on peut écrire les coordonnées de n'importe quel vecteur normal d'un plan donné : (1 /a + 1/b + 1/ Avec).

Il convient de noter que le vecteur normal aide à résoudre divers problèmes. Les plus courantes sont les tâches consistant à prouver la perpendicularité ou le parallélisme des plans, les problèmes de recherche d'angles entre plans ou d'angles entre plans et droites.

Vue de l'équation du plan en fonction des coordonnées du point et du vecteur normal

Un vecteur n non nul perpendiculaire à un plan donné est dit normal (normal) pour un plan donné.

Supposons que dans l'espace de coordonnées (système de coordonnées rectangulaires) Oxyz soit donné :

• point Mₒ de coordonnées (xₒ,yₒ,zₒ);
• vecteur nul n=A*i+B*j+C*k.

Il faut composer une équation pour un plan qui passera par le point Mₒ perpendiculaire à la normale n.

Dans l'espace, on choisit n'importe quel point arbitraire et on le note M (x y, z). Soit le rayon vecteur de tout point M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k, et le rayon vecteur du point Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Le point M appartiendra au plan donné si le vecteur MₒM est perpendiculaire au vecteur n. Nous écrivons la condition d'orthogonalité à l'aide du produit scalaire :

[MₒM, n] = 0.

Depuis MₒM \u003d r-rₒ, l'équation vectorielle du plan ressemblera à ceci:

Cette équation peut prendre une autre forme. Pour cela, les propriétés du produit scalaire sont utilisées, et les côté gaucheéquations. = - . S'il est noté c, alors l'équation suivante sera obtenue: - c \u003d 0 ou \u003d c, qui exprime la constance des projections sur le vecteur normal des rayons vecteurs des points donnés appartenant au plan.

Vous pouvez maintenant obtenir la forme coordonnée de l'écriture de l'équation vectorielle de notre plan = 0. Puisque r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, et n = A*i+B *j+C*k, on a :

Il s'avère que nous avons une équation pour un plan passant par un point perpendiculaire à la normale n :

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Vue de l'équation du plan selon les coordonnées de deux points et un vecteur colinéaire au plan

On définit deux points arbitraires M′ (x′,y′,z′) et M″ (x″,y″,z″), ainsi que le vecteur a (a′,a″,a‴).

Nous pouvons maintenant composer une équation pour un plan donné, qui passera par les points disponibles M′ et M″, ainsi que tout point M de coordonnées (x, y, z) en parallèle vecteur donné un.

Dans ce cas, les vecteurs M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) et M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) doivent être coplanaires avec le vecteur a=(a',a",a", ce qui signifie que (M'M, M"M, a)=0.

Ainsi, notre équation d'un plan dans l'espace ressemblera à ceci :

Type d'équation d'un plan coupant trois points

Supposons que nous ayons trois points : (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), qui n'appartiennent pas à la même droite. Il faut écrire l'équation du plan passant par les trois points donnés. La théorie de la géométrie prétend que ce type de plan existe réellement, seulement qu'il est le seul et inimitable. Puisque ce plan coupe le point (x′, y′, z′), la forme de son équation sera la suivante :

Ici A, B, C sont différents de zéro en même temps. De plus, le plan donné coupe deux autres points : (x″,y″,z″) et (x‴,y‴,z‴). A cet égard, les conditions suivantes doivent être respectées :

On peut maintenant composer un système homogène à inconnues u, v, w :

Dans notre cas x,y ou z est un point arbitraire qui satisfait l'équation (1). Compte tenu de l'équation (1) et du système d'équations (2) et (3), le système d'équations indiqué dans la figure ci-dessus satisfait le vecteur N (A, B, C), qui est non trivial. C'est pourquoi le déterminant de ce système est égal à zéro.

L'équation (1), que nous avons obtenue, est l'équation du plan. Il passe exactement par 3 points, ce qui est facile à vérifier. Pour ce faire, nous devons étendre notre déterminant sur les éléments de la première ligne. Il résulte des propriétés existantes du déterminant que notre plan coupe simultanément trois points initialement donnés (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Autrement dit, nous avons résolu la tâche qui nous était confiée.

Angle dièdre entre plans

Un angle dièdre est un angle spatial figure géométrique, formé de deux demi-plans issus d'une même droite. Autrement dit, c'est la partie de l'espace qui est limitée par ces demi-plans.

Disons que nous avons deux plans avec les équations suivantes :

On sait que les vecteurs N=(A,B,C) et N¹=(A¹,B¹,C¹) sont perpendiculaires selon les plans donnés. A cet égard, l'angle φ entre les vecteurs N et N¹ est égal à l'angle (dièdre) qui est entre ces plans. Produit scalaire ressemble à:

NN¹=|N||N¹|cosφ,

précisément parce que

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Il suffit de prendre en compte que 0≤φ≤π.

En fait, deux plans qui se coupent forment deux angles (dièdres) : φ 1 et φ 2 . Leur somme est égale à π (φ 1 + φ 2 = π). Quant à leurs cosinus, leurs valeurs absolues sont égales, mais elles diffèrent par des signes, c'est-à-dire cos φ 1 =-cos φ 2. Si dans l'équation (0) nous remplaçons A, B et C par les nombres -A, -B et -C, respectivement, alors l'équation que nous obtenons déterminera le même plan, le seul angle φ dans l'équation cos φ= NN 1 /|N||N 1 | sera remplacé par π-φ.

Équation du plan perpendiculaire

Les plans sont dits perpendiculaires si l'angle entre eux est de 90 degrés. En utilisant le matériel décrit ci-dessus, nous pouvons trouver l'équation d'un plan perpendiculaire à un autre. Disons que nous avons deux plans : Ax+By+Cz+D=0 et A¹x+B¹y+C¹z+D=0. On peut affirmer qu'ils seront perpendiculaires si cosφ=0. Cela signifie que NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Équation du plan parallèle

Parallèles sont deux plans qui ne contiennent pas de points communs.

La condition (leurs équations sont les mêmes que dans le paragraphe précédent) est que les vecteurs N et N¹, qui leur sont perpendiculaires, soient colinéaires. Cela signifie que les conditions de proportionnalité suivantes sont satisfaites :

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Si les conditions de proportionnalité sont étendues - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

cela indique que ces plans coïncident. Cela signifie que les équations Ax+By+Cz+D=0 et A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 décrivent un plan.

Distance au plan du point

Disons que nous avons un plan P, qui est donné par l'équation (0). Il est nécessaire de trouver la distance à partir du point de coordonnées (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Pour ce faire, vous devez mettre l'équation du plan P sous forme normale :

(ρ,v)=p (p≥0).

Dans ce cas, ρ(x,y,z) est le rayon vecteur de notre point Q situé sur P, p est la longueur de la perpendiculaire à P qui a été dégagée du point zéro, v est le vecteur unitaire qui se situe en la direction a.

La différence ρ-ρº du rayon vecteur d'un point Q=(x,y,z) appartenant à P, ainsi que le rayon vecteur d'un point donné Q 0 =(xₒ,yₒ,zₒ) est un tel vecteur, valeur absolue dont la projection sur v est égale à la distance d, qui doit être trouvée de Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) à P :

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, mais

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Il s'avère donc

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Ainsi nous trouverons valeur absolue l'expression résultante, c'est-à-dire le d requis.

En utilisant le langage des paramètres, nous obtenons l'évidence :

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Si le point donné Q 0 est de l'autre côté du plan P, ainsi que l'origine, alors entre le vecteur ρ-ρ 0 et v est donc :

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

Dans le cas où le point Q 0, avec l'origine, est situé du même côté de P, alors l'angle créé est aigu, c'est-à-dire :

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Il en résulte que dans le premier cas (ρ 0 ,v)> р, dans le second (ρ 0 ,v)<р.

Plan tangent et son équation

Le plan tangent à la surface au point de contact Mº est le plan contenant toutes les tangentes possibles aux courbes tracées par ce point sur la surface.

Avec cette forme de l'équation de surface F (x, y, z) \u003d 0, l'équation du plan tangent au point tangent Mº (xº, yº, zº) ressemblera à ceci:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Si vous spécifiez la surface sous la forme explicite z=f (x, y), alors le plan tangent sera décrit par l'équation :

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Intersection de deux plans

Dans le système de coordonnées (rectangulaire) Oxyz est situé, deux plans П′ et П″ sont donnés, qui se croisent et ne coïncident pas. Puisque tout plan situé dans un repère rectangulaire est déterminé par l'équation générale, nous supposerons que P′ et P″ sont donnés par les équations A′x+B′y+C′z+D′=0 et A″x +B″y+ С″z+D″=0. Dans ce cas, on a la normale n′ (A′, B′, C′) du plan P′ et la normale n″ (A″, B″, C″) du plan P″. Puisque nos plans ne sont pas parallèles et ne coïncident pas, ces vecteurs ne sont pas colinéaires. En utilisant le langage des mathématiques, nous pouvons écrire cette condition comme suit : n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Soit la ligne qui se trouve à l'intersection de P′ et P″ soit désignée par la lettre a, dans ce cas a = P′ ∩ P″.

a est une ligne droite constituée de l'ensemble de tous les points des plans (communs) П′ et П″. Cela signifie que les coordonnées de tout point appartenant à la droite a doivent satisfaire simultanément les équations A′x+B′y+C′z+D′=0 et A″x+B″y+C″z+D″= 0. Cela signifie que les coordonnées du point seront une solution particulière du système d'équations suivant :

En conséquence, il s'avère que la solution (générale) de ce système d'équations déterminera les coordonnées de chacun des points de la droite, qui servira de point d'intersection de П′ et П″, et déterminera la droite ligne a dans le système de coordonnées Oxyz (rectangulaire) dans l'espace.

Dans le cadre de ce matériel, nous analyserons comment trouver l'équation d'un plan si nous connaissons les coordonnées de ses trois points différents qui ne se trouvent pas sur une droite. Pour ce faire, nous devons nous rappeler ce qu'est un système de coordonnées rectangulaires dans un espace tridimensionnel. Tout d'abord, nous introduisons le principe de base de cette équation et montrons comment l'utiliser pour résoudre des problèmes spécifiques.

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Pour commencer, nous devons nous souvenir d'un axiome, qui ressemble à ceci :

Définition 1

Si trois points ne coïncident pas les uns avec les autres et ne se trouvent pas sur une ligne droite, alors dans l'espace tridimensionnel, un seul plan les traverse.

En d'autres termes, si nous avons trois points différents dont les coordonnées ne coïncident pas et qui ne peuvent pas être reliés par une droite, alors nous pouvons déterminer le plan qui le traverse.

Disons que nous avons un système de coordonnées rectangulaire. Notons-le O x y z . Il contient trois points M de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) qui ne peuvent pas être reliés directement ligne. Sur la base de ces conditions, nous pouvons écrire l'équation du plan dont nous avons besoin. Il existe deux approches pour résoudre ce problème.

1. La première approche utilise l'équation générale du plan. Sous forme littérale, il s'écrit A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Avec lui, vous pouvez définir dans un système de coordonnées rectangulaires un certain plan alpha, qui passe par le premier point donné M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Il s'avère que le vecteur plan normal α aura pour coordonnées A , B , C .

Définition de N

Connaissant les coordonnées du vecteur normal et les coordonnées du point par lequel passe le plan, on peut écrire l'équation générale de ce plan.

A partir de là, nous allons continuer.

Ainsi, selon les conditions du problème, nous avons les coordonnées du point souhaité (voire trois), par lequel passe l'avion. Pour trouver l'équation, vous devez calculer les coordonnées de son vecteur normal. Notons-le n → .

Rappelons la règle : tout vecteur non nul d'un plan donné est perpendiculaire au vecteur normal de ce même plan. On a alors que n → sera perpendiculaire aux vecteurs composés des points initiaux M 1 M 2 → et M 1 M 3 → . On peut alors noter n → comme un produit vectoriel de la forme M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Puisque M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) et M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (les preuves de ces égalités sont données dans l'article consacré au calcul des coordonnées d'un vecteur à partir des coordonnées des points), alors il s'avère que :

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = je → j → k → X 2 - X 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 X 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z une

Si nous calculons le déterminant, nous obtiendrons les coordonnées du vecteur normal n → dont nous avons besoin. Nous pouvons maintenant écrire l'équation dont nous avons besoin pour un plan passant par trois points donnés.

2. La deuxième approche pour trouver une équation passant par M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) est basé sur un concept tel que la complanarité des vecteurs.

Si nous avons un ensemble de points M (x, y, z) , alors dans un système de coordonnées rectangulaires, ils définissent un plan pour les points donnés M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) seulement si les vecteurs M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) et M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) seront coplanaires.

Sur le schéma, cela ressemblera à ceci :

Cela signifiera que le produit mixte des vecteurs M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → sera égal à zéro : M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , puisque c'est la principale condition de complanarité : M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) et M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) .

Nous écrivons l'équation résultante sous forme de coordonnées:

Après avoir calculé le déterminant, nous pouvons obtenir l'équation du plan dont nous avons besoin pour trois points qui ne se trouvent pas sur une droite M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

A partir de l'équation résultante, on peut passer à l'équation du plan en segments ou à l'équation normale du plan, si les conditions du problème l'exigent.

Dans le paragraphe suivant, nous donnerons des exemples de la manière dont les approches que nous avons indiquées sont mises en œuvre dans la pratique.

Exemples de tâches pour compiler une équation d'un plan passant par 3 points

Auparavant, nous avons identifié deux approches qui peuvent être utilisées pour trouver l'équation souhaitée. Voyons comment ils sont utilisés dans la résolution de problèmes et quand choisir chacun.

Exemple 1

Il y a trois points qui ne se trouvent pas sur une droite, avec les coordonnées M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Écris l'équation d'un plan qui les traverse.

La solution

Nous utilisons les deux méthodes à tour de rôle.

1. Trouver les coordonnées des deux vecteurs dont nous avons besoin M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Nous calculons maintenant leur produit vectoriel. Dans ce cas, nous ne décrirons pas les calculs du déterminant :

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = je → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 je → + 30 j → + 2 k →

Nous avons un vecteur normal du plan qui passe par les trois points requis : n → = (- 5 , 30 , 2) . Ensuite, nous devons prendre l'un des points, par exemple M 1 (- 3 , 2 , - 1) , et écrire l'équation du plan avec le vecteur n → = (- 5 , 30 , 2) . On obtient que : - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

C'est l'équation du plan dont nous avons besoin, qui passe par trois points.

2. Nous utilisons une approche différente. On écrit l'équation d'un plan à trois points M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) dans le formulaire suivant :

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Ici, vous pouvez remplacer les données de l'état du problème. Puisque x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, en conséquence nous obtiendrons :

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Nous avons l'équation dont nous avons besoin.

Réponse:- 5x + 30y + 2z - 73 .

Mais que se passe-t-il si les points donnés se trouvent toujours sur la même ligne droite et que nous devons composer une équation plane pour eux ? Ici, il faut dire tout de suite que cette condition ne sera pas entièrement correcte. Une infinité d'avions peuvent passer par de tels points, il est donc impossible de calculer une seule réponse. Considérons un tel problème afin de prouver l'inexactitude d'une telle formulation de la question.

Exemple 2

Nous avons un système de coordonnées rectangulaire dans l'espace 3D contenant trois points de coordonnées M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) . Il est nécessaire d'écrire une équation pour un plan qui le traverse.

La solution

On utilise la première méthode et on commence par calculer les coordonnées de deux vecteurs M 1 M 2 → et M 1 M 3 → . Calculons leurs coordonnées : M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Le produit vectoriel sera égal à :

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = je → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 je ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Puisque M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , alors nos vecteurs seront colinéaires (relisez l'article à leur sujet si vous avez oublié la définition de ce concept). Ainsi, les points initiaux M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) sont sur la même droite, et notre problème a infiniment de nombreuses options de réponse.

Si nous utilisons la seconde méthode, nous obtenons :

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

De l'égalité résultante, il résulte également que les points donnés M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) sont sur la même ligne.

Si vous voulez trouver au moins une réponse à ce problème à partir d'un nombre infini de ses options, alors vous devez suivre ces étapes :

1. Écrivez l'équation de la droite M 1 M 2, M 1 M 3 ou M 2 M 3 (si nécessaire, voir le matériel sur cette action).

2. Prenez un point M 4 (x 4 , y 4 , z 4) qui ne se trouve pas sur la droite M 1 M 2 .

3. Écrivez l'équation d'un plan qui passe par trois points différents M 1 , M 2 et M 4 qui ne se trouvent pas sur une droite.

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Premier niveau

Coordonnées et vecteurs. Guide complet (2019)

Dans cet article, vous et moi allons commencer une discussion sur une "baguette magique" qui vous permettra de réduire de nombreux problèmes de géométrie à une simple arithmétique. Cette "baguette" peut vous faciliter la vie, en particulier lorsque vous ne vous sentez pas en sécurité pour construire des figures spatiales, des sections, etc. Tout cela nécessite une certaine imagination et des compétences pratiques. La méthode, que nous allons commencer à considérer ici, vous permettra de faire abstraction presque complètement de toutes sortes de constructions et de raisonnements géométriques. La méthode s'appelle "méthode coordonnée". Dans cet article, nous examinerons les questions suivantes :

1. Avion coordonné
2. Points et vecteurs sur le plan
3. Construire un vecteur à partir de deux points
4. Longueur du vecteur (distance entre deux points)​
5. Coordonnées du milieu
6. Produit scalaire de vecteurs
7. Angle entre deux vecteurs

Je pense que vous avez déjà deviné pourquoi la méthode des coordonnées s'appelle ainsi? Il est vrai qu'il a reçu un tel nom, car il ne fonctionne pas avec des objets géométriques, mais avec leurs caractéristiques numériques (coordonnées). Et la transformation elle-même, qui permet de passer de la géométrie à l'algèbre, consiste à introduire un système de coordonnées. Si la figure d'origine était plate, les coordonnées sont en deux dimensions, et si la figure est en trois dimensions, les coordonnées sont en trois dimensions. Dans cet article, nous ne considérerons que le cas bidimensionnel. Et le but principal de l'article est de vous apprendre à utiliser certaines techniques de base de la méthode des coordonnées (elles s'avèrent parfois utiles lors de la résolution de problèmes de planimétrie dans la partie B de l'examen d'État unifié). Les deux sections suivantes sur ce sujet sont consacrées à la discussion des méthodes de résolution des problèmes C2 (le problème de la stéréométrie).

Où serait-il logique de commencer à discuter de la méthode des coordonnées ? Probablement avec le concept d'un système de coordonnées. Rappelez-vous quand vous l'avez rencontrée pour la première fois. Il me semble qu'en 7ème, quand on a appris l'existence d'une fonction linéaire, par exemple. Permettez-moi de vous rappeler que vous l'avez construit point par point. Te souviens tu? Vous avez choisi un nombre arbitraire, l'avez substitué dans la formule et calculé de cette manière. Par exemple, si, alors, si, alors, etc. Qu'avez-vous obtenu comme résultat ? Et vous avez reçu des points avec les coordonnées : et. Ensuite, vous avez dessiné une "croix" (système de coordonnées), choisi une échelle dessus (combien de cellules vous aurez en un seul segment) et marqué les points que vous avez reçus dessus, que vous avez ensuite reliés par une ligne droite, le résultat la ligne est le graphique de la fonction.

Il y a quelques choses qui doivent vous être expliquées un peu plus en détail :

1. Vous choisissez un seul segment pour des raisons de commodité, afin que tout s'intègre bien et de manière compacte dans l'image

2. On suppose que l'axe va de gauche à droite et que l'axe va de bas en haut

3. Ils se coupent à angle droit et le point de leur intersection s'appelle l'origine. Il est marqué d'une lettre.

4. Dans l'enregistrement de la coordonnée d'un point, par exemple, à gauche entre parenthèses se trouve la coordonnée du point le long de l'axe et à droite, le long de l'axe. En particulier, signifie simplement que le point

5. Pour définir n'importe quel point sur l'axe des coordonnées, vous devez spécifier ses coordonnées (2 chiffres)

6. Pour tout point situé sur l'axe,

7. Pour tout point situé sur l'axe,

8. L'axe est appelé l'axe des x

9. L'axe s'appelle l'axe y

Passons maintenant à l'étape suivante avec vous : marquez deux points. Reliez ces deux points par une ligne. Et plaçons la flèche comme si nous dessinions un segment de point en point : c'est-à-dire que nous rendrons notre segment dirigé !

Vous souvenez-vous de l'autre nom d'un segment dirigé ? C'est vrai, ça s'appelle un vecteur !

Ainsi, si nous relions un point à un point, et le début sera le point A, et la fin sera le point B, alors on obtient un vecteur. Tu as aussi fait cette construction en 8ème, tu te souviens ?

Il s'avère que les vecteurs, comme les points, peuvent être désignés par deux nombres : ces nombres sont appelés les coordonnées du vecteur. Question : pensez-vous qu'il nous suffise de connaître les coordonnées de début et de fin du vecteur pour trouver ses coordonnées ? Il s'avère que oui ! Et c'est très simple à faire :

Ainsi, puisque dans le vecteur le point est le début et la fin, le vecteur a les coordonnées suivantes :

Par exemple, si, alors les coordonnées du vecteur

Faisons maintenant l'inverse, trouvons les coordonnées du vecteur. Que devons-nous changer pour cela ? Oui, vous devez échanger le début et la fin : maintenant le début du vecteur sera en un point et la fin en un point. Alors:

Regardez bien, quelle est la différence entre les vecteurs et ? Leur seule différence réside dans les signes dans les coordonnées. Ils sont opposés. Ce fait s'écrit ainsi :

Parfois, s'il n'est pas précisé quel point est le début du vecteur et lequel est la fin, les vecteurs ne sont pas désignés par deux lettres majuscules, mais par une minuscule, par exemple :, etc.

maintenant un peu pratique et trouver les coordonnées des vecteurs suivants :

Examen:

Résolvez maintenant le problème un peu plus difficile :

Un tore vectoriel avec on-cha-scrap en un point a co-or-di-on-you. Trouver-di-te points abs-cis-su.

C'est tout de même assez prosaïque : Soit les coordonnées du point. Alors

J'ai compilé le système en déterminant quelles sont les coordonnées d'un vecteur. Alors le point a des coordonnées. On s'intéresse à l'abscisse. Alors

Réponse:

Que pouvez-vous faire d'autre avec les vecteurs ? Oui, presque tout est pareil qu'avec les nombres ordinaires (sauf que vous ne pouvez pas diviser, mais vous pouvez multiplier de deux manières, dont nous discuterons ici un peu plus tard)

1. Les vecteurs peuvent être empilés les uns avec les autres
2. Les vecteurs peuvent être soustraits les uns des autres
3. Les vecteurs peuvent être multipliés (ou divisés) par un nombre arbitraire non nul
4. Les vecteurs peuvent être multipliés entre eux

Toutes ces opérations ont une représentation géométrique assez visuelle. Par exemple, la règle du triangle (ou du parallélogramme) pour l'addition et la soustraction :

Un vecteur s'étire ou se rétrécit ou change de direction lorsqu'il est multiplié ou divisé par un nombre :

Cependant, nous nous intéresserons ici à la question de savoir ce qu'il advient des coordonnées.

1. Lors de l'addition (soustraction) de deux vecteurs, nous additionnons (soustrayons) leurs coordonnées élément par élément. C'est-à-dire:

2. Lors de la multiplication (division) d'un vecteur par un nombre, toutes ses coordonnées sont multipliées (divisées) par ce nombre :

Par exemple:

· Trouver-di-la somme de ko-ou-di-nat siècle-à-ra.

Trouvons d'abord les coordonnées de chacun des vecteurs. Les deux ont la même origine - le point d'origine. Leurs extrémités sont différentes. Alors, . Maintenant, nous calculons les coordonnées du vecteur Ensuite, la somme des coordonnées du vecteur résultant est égale à.

Réponse:

Maintenant, résolvez vous-même le problème suivant :

· Trouver la somme des coordonnées du vecteur

Nous vérifions:

Considérons maintenant le problème suivant : nous avons deux points sur le plan de coordonnées. Comment trouver la distance entre eux ? Soit le premier point, et le second. Notons la distance entre eux par . Faisons le dessin suivant pour plus de clarté :

Ce que j'ai fait? J'ai d'abord connecté les points et, et j'ai également tracé une ligne parallèle à l'axe à partir du point, et j'ai tracé une ligne parallèle à l'axe à partir du point. Se sont-ils croisés en un point, formant une figure merveilleuse ? Pourquoi est-elle merveilleuse ? Oui, vous et moi savons presque tout sur un triangle rectangle. Eh bien, le théorème de Pythagore, bien sûr. Le segment recherché est l'hypoténuse de ce triangle, et les segments sont les jambes. Quelles sont les coordonnées du point ? Oui, ils sont faciles à trouver à partir de l'image : puisque les segments sont parallèles aux axes et, respectivement, leurs longueurs sont faciles à trouver : si nous désignons les longueurs des segments, respectivement, à travers, alors

Utilisons maintenant le théorème de Pythagore. On connaît les longueurs des jambes, on trouvera l'hypoténuse :

Ainsi, la distance entre deux points est la somme racine des différences au carré des coordonnées. Ou - la distance entre deux points est la longueur du segment qui les relie. Il est facile de voir que la distance entre les points ne dépend pas de la direction. Alors:

Nous en tirons trois conclusions :

Entraînons-nous un peu sur le calcul de la distance entre deux points :

Par exemple, si, alors la distance entre et est

Ou allons-y différemment : trouver les coordonnées du vecteur

Et trouvez la longueur du vecteur :

Comme vous pouvez le voir, c'est pareil !

Maintenant, entraînez-vous un peu par vous-même :

Tâche : trouver la distance entre les points donnés :

Nous vérifions:

Voici quelques problèmes supplémentaires pour la même formule, bien qu'ils sonnent un peu différemment :

1. Trouver-di-te le carré de la longueur de la paupière-à-ra.

2. Nai-di-te carré de longueur de paupière à ra

Je suppose que vous pouvez les manipuler facilement? Nous vérifions:

1. Et c'est pour l'attention) Nous avons déjà trouvé les coordonnées des vecteurs auparavant : . Alors le vecteur a des coordonnées. Le carré de sa longueur sera :

2. Trouver les coordonnées du vecteur

Alors le carré de sa longueur est

Rien de compliqué, non ? Simple arithmétique, rien de plus.

Les puzzles suivants ne peuvent pas être classés sans ambiguïté, ils sont plutôt destinés à l'érudition générale et à la capacité de dessiner des images simples.

1. Trouvez-di-ceux sinus de l'angle on-clo-on-from-cut, connectez-un-n-ième point, avec l'axe des abscisses.

et

Comment allons-nous faire ici ? Vous devez trouver le sinus de l'angle entre et l'axe. Et où peut-on chercher le sinus ? C'est vrai, dans un triangle rectangle. Alors, que devons-nous faire ? Construis ce triangle !

Puisque les coordonnées du point et, alors le segment est égal, et le segment. Il faut trouver le sinus de l'angle. Permettez-moi de vous rappeler que le sinus est le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse, puis

Que nous reste-t-il à faire ? Trouvez l'hypoténuse. Vous pouvez le faire de deux manières : en utilisant le théorème de Pythagore (les jambes sont connues !) ou en utilisant la formule de la distance entre deux points (en fait la même que la première méthode !). J'irai dans le deuxième sens :

Réponse:

La tâche suivante vous semblera encore plus facile. Elle - sur les coordonnées du point.

Tâche 2.À partir du point, le per-pen-di-ku-lar est abaissé sur l'axe abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Faisons un dessin :

La base de la perpendiculaire est le point où elle coupe l'axe des x (axe) pour moi c'est un point. La figure montre qu'il a pour coordonnées : . Nous nous intéressons à l'abscisse - c'est-à-dire à la composante "X". Elle est égale.

Réponse: .

Tâche 3. Dans les conditions du problème précédent, trouvez la somme des distances du point aux axes de coordonnées.

La tâche est généralement élémentaire si vous savez quelle est la distance d'un point aux axes. Tu sais? J'espère, mais je vous rappelle quand même :

Alors, dans mon dessin, situé un peu plus haut, j'ai déjà représenté une telle perpendiculaire ? De quel axe s'agit-il ? à l'axe. Et quelle est sa longueur alors ? Elle est égale. Maintenant, dessinez vous-même une perpendiculaire à l'axe et trouvez sa longueur. Ce sera égal, non ? Alors leur somme est égale.

Réponse: .

Tâche 4. Dans les conditions du problème 2, trouver l'ordonnée du point symétrique au point autour de l'axe des x.

Je pense que vous comprenez intuitivement ce qu'est la symétrie? De très nombreux objets en possèdent : de nombreux bâtiments, des tables, des plans, de nombreuses formes géométriques : une boule, un cylindre, un carré, un losange, etc. En gros, la symétrie peut être comprise comme suit : une figure est composée de deux (ou plus) moitiés identiques. Cette symétrie est dite axiale. Qu'est-ce donc qu'un axe ? C'est exactement la ligne le long de laquelle la figure peut, relativement parlant, être "coupée" en moitiés identiques (sur cette image, l'axe de symétrie est droit):

Revenons maintenant à notre tâche. Nous savons que nous recherchons un point symétrique par rapport à l'axe. Alors cet axe est l'axe de symétrie. Donc, nous devons marquer un point pour que l'axe coupe le segment en deux parties égales. Essayez de marquer vous-même un tel point. Comparez maintenant avec ma solution:

Avez-vous fait la même chose? Bien! Au point trouvé, on s'intéresse à l'ordonnée. Elle est égale

Réponse:

Dites-moi maintenant, après avoir réfléchi une seconde, quelle sera l'abscisse du point symétrique au point A autour de l'axe des ordonnées ? Quelle est ta réponse? Bonne réponse: .

En général, la règle peut s'écrire comme ceci :

Un point symétrique d'un point autour de l'axe des x a pour coordonnées :

Un point symétrique à un point autour de l'axe y a pour coordonnées :

Eh bien, maintenant c'est vraiment effrayant. une tâche: Trouver les coordonnées d'un point symétrique à un point, par rapport à l'origine. Vous pensez d'abord par vous-même, puis regardez mon dessin!

Réponse:

À présent problème de parallélogramme :

Tâche 5 : Les points sont ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Trouver des points dee-te ou-dee-on-tu.

Vous pouvez résoudre ce problème de deux manières : la logique et la méthode des coordonnées. Je vais d'abord appliquer la méthode des coordonnées, puis je vous dirai comment vous pouvez décider différemment.

Il est bien clair que l'abscisse du point est égale. (il se trouve sur la perpendiculaire tirée du point à l'axe des x). Il faut trouver l'ordonnée. Profitons du fait que notre figure est un parallélogramme, ce qui signifie que. Trouvez la longueur du segment en utilisant la formule de la distance entre deux points :

Nous abaissons la perpendiculaire reliant le point à l'axe. Le point d'intersection est indiqué par une lettre.

La longueur du segment est égale. (trouvez le problème vous-même, où nous avons discuté de ce moment), puis nous trouverons la longueur du segment en utilisant le théorème de Pythagore :

La longueur du segment est exactement la même que son ordonnée.

Réponse: .

Une autre solution (je vais juste fournir une image qui l'illustre)

Avancement des solutions :

1. Dépensez

2. Trouver les coordonnées et la longueur du point

3. Prouvez-le.

Un autre problème de longueur de coupe:

Les points sont-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Trouvez la longueur de sa ligne médiane, par-ral-lel-noy.

Vous souvenez-vous de la ligne médiane d'un triangle ? Alors pour vous cette tâche est élémentaire. Si vous ne vous en souvenez pas, je vais vous le rappeler : la ligne médiane d'un triangle est une ligne qui relie les milieux des côtés opposés. Elle est parallèle à la base et égale à la moitié de celle-ci.

La base est un segment. Il fallait chercher sa longueur plus tôt, elle est égale. Ensuite, la longueur de la ligne médiane est moitié moins longue et égale.

Réponse: .

Commentaire : Ce problème peut être résolu d'une autre manière, sur laquelle nous reviendrons un peu plus tard.

En attendant, voici quelques tâches pour vous, pratiquez-les, elles sont assez simples, mais elles aident à "se remplir la main" en utilisant la méthode des coordonnées !

1. Les points apparaissent-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Trouvez la longueur de sa ligne médiane.

2. Points et yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Trouver des points dee-te ou-dee-on-tu.

3. Trouvez la longueur à partir de la coupe, connectez le deuxième point et

4. Trouvez-di-te la zone pour-le-rouge-shen-noy fi-gu-ry sur le plan ko-or-di-nat-noy.

5. Un cercle centré sur na-cha-le ko-or-di-nat passe par un point. Retrouve-de-te son ra-di-moustache.

6. Nai-di-te ra-di-us cercle-no-sti, décrire-san-noy près de l'angle droit-no-ka, les sommets-shi-ny de quelque chose-ro-go ont co-ou - di-na-vous co-de-répondre-mais

Solutions:

1. On sait que la ligne médiane d'un trapèze est égale à la moitié de la somme de ses bases. La base est égale, mais la base. Alors

Réponse:

2. La façon la plus simple de résoudre ce problème est de remarquer que (règle du parallélogramme). Calculer les coordonnées des vecteurs et n'est pas difficile : . Lors de l'ajout de vecteurs, les coordonnées sont ajoutées. A alors des coordonnées. Le point a les mêmes coordonnées, puisque le début du vecteur est un point avec des coordonnées. On s'intéresse à l'ordonnée. Elle est égale.

Réponse:

3. On agit immédiatement selon la formule de la distance entre deux points :

Réponse:

4. Regardez l'image et dites, entre quelles deux figures la zone ombrée est-elle « comprimée » ? Il est pris en sandwich entre deux carrés. Ensuite, l'aire de la figure souhaitée est égale à l'aire du grand carré moins l'aire du petit. Le côté du petit carré est un segment reliant les points et sa longueur est

Alors l'aire du petit carré est

On fait de même avec un grand carré : son côté est un segment reliant les points et sa longueur est égale à

Alors l'aire du grand carré est

L'aire de la figure souhaitée se trouve par la formule:

Réponse:

5. Si le cercle a pour centre l'origine et passe par un point, alors son rayon sera exactement égal à la longueur du segment (faites un dessin et vous comprendrez pourquoi c'est évident). Trouvez la longueur de ce segment :

Réponse:

6. On sait que le rayon d'un cercle circonscrit à un rectangle est égal à la moitié de sa diagonale. Trouvons la longueur de l'une des deux diagonales (après tout, dans un rectangle, elles sont égales !)

Réponse:

Eh bien, avez-vous tout géré? Ce n'était pas si difficile à comprendre, n'est-ce pas ? Il n'y a qu'une seule règle ici - pouvoir créer une image visuelle et simplement «lire» toutes les données qu'elle contient.

Il nous reste très peu. Il y a littéralement deux autres points dont je voudrais discuter.

Essayons de résoudre ce problème simple. Soit deux points et soit donné. Trouvez les coordonnées du milieu du segment. La solution à ce problème est la suivante : soit le point au milieu désiré, alors il a pour coordonnées :

C'est-à-dire: coordonnées du milieu du segment = moyenne arithmétique des coordonnées correspondantes des extrémités du segment.

Cette règle est très simple et ne cause généralement pas de difficultés aux élèves. Voyons dans quels problèmes et comment il est utilisé:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point et

2. Les points sont yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Find-di-te ou-di-na-tu points de re-re-se-che-niya de son dia-go-on-lei.

3. Trouvez-di-te abs-cis-su du centre du cercle, décrivez-san-noy près du rectangle-no-ka, les sommets-shi-nous avons quelque chose-ro-go co-ou-di- na-vous co-de-vet-stvenno-mais.

Solutions:

1. La première tâche est juste un classique. Nous agissons immédiatement en déterminant le milieu du segment. Elle a des coordonnées. L'ordonnée est égale.

Réponse:

2. Il est facile de voir que le quadrilatère donné est un parallélogramme (voire un losange !). Vous pouvez le prouver vous-même en calculant les longueurs des côtés et en les comparant les uns aux autres. Que sais-je d'un parallélogramme ? Ses diagonales sont bissectées par le point d'intersection ! Ah ! Donc le point d'intersection des diagonales est quoi ? C'est le milieu de n'importe laquelle des diagonales ! Je choisirai, en particulier, la diagonale. Alors le point a des coordonnées L'ordonnée du point est égale à.

Réponse:

3. Quel est le centre du cercle circonscrit au rectangle ? Il coïncide avec le point d'intersection de ses diagonales. Que savez-vous des diagonales d'un rectangle ? Ils sont égaux et le point d'intersection est divisé en deux. La tâche a été réduite à la précédente. Prenons, par exemple, la diagonale. Alors si est le centre du cercle circonscrit, alors est le milieu. Je cherche les coordonnées : L'abscisse est égale.

Réponse:

Maintenant, pratiquez un peu par vous-même, je ne donnerai que les réponses à chaque problème afin que vous puissiez vérifier vous-même.

1. Nai-di-te ra-di-us cercle-no-sti, décrivez-san-noy près du triangle-no-ka, les sommets de quelqu'un-ro-go ont des brumisateurs ko-ou-di-no

2. Trouvez-di-te ou-di-na-tu le centre du cercle, décrivez le san-noy près du triangle-no-ka, les sommets-shi-nous avons les coordonnées de quelque chose-ro-go

3. Quel genre de ra-di-y-sa devrait-il y avoir un cercle avec un centre en un point de sorte qu'il touche l'axe abs-ciss ?

4. Find-di-te ou-di-on-that point of re-re-se-che-ing of the axis and from-cut, connect-nya-yu-th-th point and

Réponses:

Est-ce que tout s'est bien passé ? Je l'espère vraiment ! Maintenant - la dernière poussée. Maintenant, soyez particulièrement prudent. Le matériel que je vais maintenant expliquer n'est pas seulement pertinent pour les problèmes de la méthode des coordonnées simples de la partie B, mais se retrouve également dans le problème C2.

Laquelle de mes promesses n'ai-je pas encore tenue ? Rappelez-vous quelles opérations sur les vecteurs j'ai promis d'introduire et lesquelles j'ai finalement introduites ? Suis-je sûr de n'avoir rien oublié ? Oublié! J'ai oublié d'expliquer ce que signifie la multiplication des vecteurs.

Il existe deux manières de multiplier un vecteur par un vecteur. Selon la méthode choisie, on obtiendra des objets de nature différente :

Le produit vectoriel est assez délicat. Comment le faire et pourquoi c'est nécessaire, nous en discuterons avec vous dans le prochain article. Et en cela, nous nous concentrerons sur le produit scalaire.

Il existe déjà deux façons qui nous permettent de le calculer :

Comme vous l'avez deviné, le résultat devrait être le même ! Alors regardons d'abord la première façon:

Produit scalaire passant par les coordonnées

Trouver : - notation courante pour le produit scalaire

La formule pour le calcul est la suivante :

Autrement dit, le produit scalaire = la somme des produits des coordonnées des vecteurs !

Exemple:

Trouve-dee-te

La solution:

Trouvez les coordonnées de chacun des vecteurs :

On calcule le produit scalaire par la formule :

Réponse:

Vous voyez, absolument rien de compliqué !

Eh bien, maintenant essayez-le vous-même :

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie century-to-ditch and

Avez-vous réussi? Peut-être a-t-il remarqué une petite astuce ? Allons vérifier:

Coordonnées vectorielles, comme dans la tâche précédente ! Réponse: .

En plus de la coordonnée, il existe une autre façon de calculer le produit scalaire, à savoir, à travers les longueurs des vecteurs et le cosinus de l'angle entre eux :

Désigne l'angle entre les vecteurs et.

Autrement dit, le produit scalaire est égal au produit des longueurs des vecteurs et du cosinus de l'angle entre eux.

Pourquoi avons-nous besoin de cette deuxième formule, si nous avons la première, qui est beaucoup plus simple, au moins il n'y a pas de cosinus dedans. Et nous en avons besoin pour que des première et deuxième formules nous puissions déduire comment trouver l'angle entre les vecteurs !

Retenons ensuite la formule de la longueur d'un vecteur !

Ensuite, si je branche ces données dans la formule du produit scalaire, j'obtiens:

Mais de l'autre côté :

Alors qu'avons-nous? Nous avons maintenant une formule pour calculer l'angle entre deux vecteurs ! Parfois, par souci de brièveté, il est également écrit comme ceci :

Autrement dit, l'algorithme de calcul de l'angle entre les vecteurs est le suivant :

1. Nous calculons le produit scalaire à travers les coordonnées
2. Trouver les longueurs des vecteurs et les multiplier
3. Diviser le résultat du point 1 par le résultat du point 2

Pratiquons avec des exemples :

1. Trouvez l'angle entre les paupières-à-ra-mi et. Donnez votre réponse en degrés.

2. Dans les conditions du problème précédent, trouver le cosinus entre les vecteurs

Faisons ceci : je vais vous aider à résoudre le premier problème, et essayer de résoudre le second vous-même ! Je suis d'accord? Alors commençons !

1. Ces vecteurs sont nos vieux amis. Nous avons déjà considéré leur produit scalaire et il était égal. Leurs coordonnées sont : , . Ensuite, nous trouvons leurs longueurs:

On cherche alors le cosinus entre les vecteurs :

Quel est le cosinus de l'angle ? C'est le coin.

Réponse:

Eh bien, résolvez maintenant le deuxième problème vous-même, puis comparez ! Je vais juste donner une solution très courte:

2. a des coordonnées, a des coordonnées.

Soit l'angle entre les vecteurs et, alors

Réponse:

Il est à noter que les tâches directement sur les vecteurs et la méthode des coordonnées dans la partie B de l'épreuve sont assez rares. Cependant, la grande majorité des problèmes C2 peuvent être facilement résolus en introduisant un système de coordonnées. Vous pouvez donc considérer cet article comme une base, sur la base de laquelle nous ferons des constructions assez délicates dont nous aurons besoin pour résoudre des problèmes complexes.

COORDONNÉES ET VECTEURS. NIVEAU INTERMÉDIAIRE

Vous et moi continuons à étudier la méthode des coordonnées. Dans la dernière partie, nous avons dérivé un certain nombre de formules importantes qui permettent :

1. Trouver les coordonnées vectorielles
2. Trouver la longueur d'un vecteur (alternativement : la distance entre deux points)
3. Ajouter, soustraire des vecteurs. Multipliez-les par un nombre réel
4. Trouver le milieu d'un segment
5. Calculer le produit scalaire des vecteurs
6. Trouver l'angle entre les vecteurs

Bien sûr, toute la méthode des coordonnées ne rentre pas dans ces 6 points. Il sous-tend une science telle que la géométrie analytique, avec laquelle vous vous familiariserez à l'université. Je veux juste construire une fondation qui vous permettra de résoudre des problèmes dans un seul état. examen. Nous avons compris les tâches de la partie B dans Maintenant, il est temps de passer à un nouveau niveau qualitatif ! Cet article sera consacré à une méthode de résolution des problèmes C2 dans lesquels il serait raisonnable de passer à la méthode des coordonnées. Ce caractère raisonnable est déterminé par ce qui doit être trouvé dans le problème et par le chiffre donné. Donc, j'utiliserais la méthode des coordonnées si les questions sont:

1. Trouver l'angle entre deux plans
2. Trouver l'angle entre une droite et un plan
3. Trouver l'angle entre deux droites
4. Trouver la distance d'un point à un plan
5. Trouver la distance d'un point à une droite
6. Trouver la distance d'une ligne droite à un plan
7. Trouver la distance entre deux lignes

Si la figure donnée dans la condition du problème est un corps de révolution (boule, cylindre, cône...)

Les chiffres appropriés pour la méthode des coordonnées sont :

1. cuboïde
2. Pyramide (triangulaire, quadrangulaire, hexagonale)

Aussi dans mon expérience il est inapproprié d'utiliser la méthode des coordonnées pour:

1. Trouver les aires des sections
2. Calculs de volumes de corps

Cependant, il convient de noter immédiatement que trois situations "défavorables" pour la méthode des coordonnées sont assez rares en pratique. Dans la plupart des tâches, il peut devenir votre sauveur, surtout si vous n'êtes pas très fort dans les constructions en trois dimensions (qui sont parfois assez complexes).

Quels sont tous les chiffres que j'ai énumérés ci-dessus ? Ils ne sont plus plats, comme un carré, un triangle, un cercle, mais volumineux ! En conséquence, nous devons considérer non pas un système de coordonnées bidimensionnel, mais tridimensionnel. Il se construit assez facilement : juste en plus des abscisses et des ordonnées, on va introduire un autre axe, l'axe applicatif. La figure montre schématiquement leur position relative :

Tous sont mutuellement perpendiculaires, se coupent en un point, que nous appellerons l'origine. L'axe des abscisses, comme précédemment, sera noté, l'axe des ordonnées - , et l'axe appliqué introduit - .

Si auparavant chaque point du plan était caractérisé par deux nombres - l'abscisse et l'ordonnée, alors chaque point de l'espace est déjà décrit par trois nombres - l'abscisse, l'ordonnée, l'applique. Par exemple:

En conséquence, l'abscisse du point est égale, l'ordonnée est , et l'applique est .

Parfois, l'abscisse d'un point est également appelée la projection du point sur l'axe des abscisses, l'ordonnée est la projection du point sur l'axe des ordonnées et l'applicative est la projection du point sur l'axe des abscisses. En conséquence, si un point est donné alors, un point de coordonnées :

appelée projection d'un point sur un plan

appelée projection d'un point sur un plan

Une question naturelle se pose : toutes les formules dérivées pour le cas bidimensionnel sont-elles valables dans l'espace ? La réponse est oui, ils sont justes et ont la même apparence. Pour un petit détail. Je pense que vous avez déjà deviné lequel. Dans toutes les formules, nous devrons ajouter un terme de plus responsable de l'axe appliqué. À savoir.

1. Si deux points sont donnés : , alors :

• Coordonnées vectorielles :
• Distance entre deux points (ou longueur de vecteur)
• Le milieu du segment a pour coordonnées

2. Si deux vecteurs sont donnés : et, alors :

• Leur produit scalaire est :
• Le cosinus de l'angle entre les vecteurs est :

Cependant, l'espace n'est pas si simple. Comme vous le comprenez, l'ajout d'une coordonnée de plus introduit une variété significative dans le spectre des figures "vivant" dans cet espace. Et pour une narration plus poussée, je dois introduire, grosso modo, une "généralisation" de la ligne droite. Cette "généralisation" sera un avion. Que savez-vous de l'avion ? Essayez de répondre à la question, qu'est-ce qu'un avion? C'est très difficile à dire. Cependant, nous imaginons tous intuitivement à quoi cela ressemble :

Grosso modo, c'est une sorte de « feuille » sans fin poussée dans l'espace. "Infinity" doit être compris que le plan s'étend dans toutes les directions, c'est-à-dire que sa surface est égale à l'infini. Cependant, cette explication "sur les doigts" ne donne pas la moindre idée sur la structure de l'avion. Et cela nous intéressera.

Rappelons-nous un des axiomes de base de la géométrie :

• Une droite passe par deux points différents sur un plan, de plus un seul :

Ou son analogue dans l'espace :

Bien sûr, vous vous souvenez comment dériver l'équation d'une droite à partir de deux points donnés, ce n'est pas du tout difficile : si le premier point a des coordonnées : et le second, alors l'équation de la droite sera la suivante :

Tu as vécu ça en 7ème. Dans l'espace, l'équation d'une droite ressemble à ceci : prenons deux points de coordonnées : , alors l'équation d'une droite qui les traverse a la forme :

Par exemple, une droite passe par des points :

Comment faut-il comprendre cela ? Cela doit être compris comme suit : un point se trouve sur une ligne si ses coordonnées satisfont au système suivant :

Nous ne nous intéresserons pas beaucoup à l'équation d'une droite, mais il faut faire attention au concept très important du vecteur directeur d'une droite. - tout vecteur non nul situé sur une droite donnée ou parallèle à celle-ci.

Par exemple, les deux vecteurs sont des vecteurs directeurs d'une ligne droite. Soit un point situé sur une droite, et soit son vecteur directeur. Alors l'équation d'une droite peut s'écrire sous la forme suivante :

Encore une fois, je ne m'intéresserai pas beaucoup à l'équation d'une droite, mais j'ai vraiment besoin que vous vous rappeliez ce qu'est un vecteur directeur ! Encore: c'est N'IMPORTE QUEL vecteur non nul situé sur une ligne ou parallèle à celle-ci.

Se désister équation à trois points d'un plan n'est plus si trivial et n'est généralement pas couvert dans un cours de lycée. Mais en vain! Cette technique est vitale lorsque l'on a recours à la méthode des coordonnées pour résoudre des problèmes complexes. Cependant, je suppose que vous êtes plein de désir d'apprendre quelque chose de nouveau ? De plus, vous pourrez impressionner votre professeur à l'université lorsqu'il s'avérera que vous savez déjà utiliser la technique qui est habituellement étudiée dans le cours de géométrie analytique. Alors, commençons.

L'équation d'un plan n'est pas trop différente de l'équation d'une droite sur un plan, à savoir, elle a la forme :

des nombres (pas tous égaux à zéro), mais des variables, par exemple : etc. Comme vous pouvez le voir, l'équation d'un plan n'est pas très différente de l'équation d'une droite (fonction linéaire). Cependant, souvenez-vous de ce que nous avons discuté avec vous ? Nous avons dit que si nous avons trois points qui ne se trouvent pas sur une ligne droite, alors l'équation du plan est uniquement restaurée à partir d'eux. Mais comment? Je vais essayer de t'expliquer.

Puisque l'équation du plan est :

Et les points appartiennent à ce plan, alors en substituant les coordonnées de chaque point dans l'équation du plan, nous devrions obtenir l'identité correcte :

Ainsi, il faut déjà résoudre trois équations à inconnues ! Dilemme! Cependant, nous pouvons toujours supposer que (pour cela, nous devons diviser par). Ainsi, on obtient trois équations à trois inconnues :

Cependant, nous ne résoudrons pas un tel système, mais écrirons l'expression cryptique qui en découle :

Équation d'un plan passant par trois points donnés

\[\gauche| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(tableau)) \right| = 0\]

Arrêt! Qu'est-ce que c'est d'autre ? Un module très inhabituel ! Cependant, l'objet que vous voyez devant vous n'a rien à voir avec le module. Cet objet est appelé un déterminant de troisième ordre. Désormais, lorsque vous traiterez de la méthode des coordonnées sur un plan, vous rencontrerez souvent ces mêmes déterminants. Qu'est-ce qu'un déterminant de troisième ordre ? Curieusement, ce n'est qu'un chiffre. Il reste à comprendre quel nombre spécifique nous comparerons avec le déterminant.

Écrivons d'abord le déterminant de troisième ordre sous une forme plus générale :

Où sont quelques chiffres. De plus, par le premier index, nous entendons le numéro de ligne et par l'index - le numéro de colonne. Par exemple, cela signifie que le nombre donné est à l'intersection de la deuxième ligne et de la troisième colonne. Posons-nous la question suivante : comment va-t-on exactement calculer un tel déterminant ? C'est-à-dire, à quel nombre spécifique allons-nous le comparer ? Pour le déterminant précisément du troisième ordre, il existe une règle de triangle heuristique (visuelle), elle ressemble à ceci :

1. Le produit des éléments de la diagonale principale (du haut à gauche au bas à droite) le produit des éléments qui forment le premier triangle "perpendiculaire" à la diagonale principale le produit des éléments qui forment le deuxième triangle "perpendiculaire" au principal diagonale
2. Le produit des éléments de la diagonale secondaire (du coin supérieur droit au coin inférieur gauche) le produit des éléments qui forment le premier triangle "perpendiculaire" de la diagonale secondaire le produit des éléments qui forment le deuxième triangle "perpendiculaire" de la diagonale secondaire
3. Alors le déterminant est égal à la différence entre les valeurs obtenues à l'étape et

Si nous écrivons tout cela en chiffres, nous obtenons l'expression suivante :

Cependant, vous n'avez pas besoin de mémoriser la méthode de calcul sous cette forme, il suffit de garder les triangles dans votre tête et l'idée même de ce qui est ajouté à quoi et de quoi est ensuite soustrait de quoi).

Illustrons la méthode du triangle avec un exemple :

1. Calculez le déterminant :

Voyons ce que nous ajoutons et ce que nous soustrayons :

Termes accompagnés d'un "plus":

C'est la diagonale principale : le produit des éléments est

Le premier triangle, "perpendiculaire à la diagonale principale : le produit des éléments est

Le deuxième triangle, "perpendiculaire à la diagonale principale : le produit des éléments est

Nous ajoutons trois nombres :

Termes accompagnés d'un "moins"

C'est une diagonale latérale : le produit des éléments est

Le premier triangle, "perpendiculaire à la diagonale secondaire : le produit des éléments est

Le deuxième triangle, "perpendiculaire à la diagonale secondaire : le produit des éléments est

Nous ajoutons trois nombres :

Il ne reste plus qu'à soustraire de la somme des termes plus la somme des termes moins :

De cette façon,

Comme vous pouvez le voir, il n'y a rien de compliqué et de surnaturel dans le calcul des déterminants du troisième ordre. Il est simplement important de se souvenir des triangles et de ne pas faire d'erreurs arithmétiques. Essayez maintenant de calculer vous-même :

Nous vérifions:

1. Le premier triangle perpendiculaire à la diagonale principale :
2. Le deuxième triangle perpendiculaire à la diagonale principale :
3. La somme des termes plus :
4. Premier triangle perpendiculaire à la diagonale latérale :
5. Le deuxième triangle, perpendiculaire à la diagonale latérale :
6. La somme des termes avec un moins :
7. Somme des termes positifs moins somme des termes négatifs :

Voici quelques déterminants supplémentaires pour vous, calculez vous-même leurs valeurs et comparez avec les réponses :

Réponses:

Eh bien, est-ce que tout correspondait? Super, alors vous pouvez passer à autre chose ! S'il y a des difficultés, alors mon conseil est le suivant: sur Internet, il existe un tas de programmes pour calculer le déterminant en ligne. Tout ce dont vous avez besoin est de trouver votre propre déterminant, de le calculer vous-même, puis de le comparer avec ce que le programme calcule. Et ainsi de suite jusqu'à ce que les résultats commencent à correspondre. Je suis sûr que ce moment ne va pas tarder à venir !

Revenons maintenant au déterminant que j'ai écrit quand j'ai parlé de l'équation d'un plan passant par trois points donnés :

Tout ce que vous avez à faire est de calculer directement sa valeur (en utilisant la méthode du triangle) et de définir le résultat égal à zéro. Naturellement, comme ce sont des variables, vous obtiendrez une expression qui en dépend. C'est cette expression qui sera l'équation d'un plan passant par trois points donnés qui ne sont pas situés sur une droite !

Illustrons cela avec un exemple simple :

1. Construire l'équation du plan passant par les points

On compose un déterminant pour ces trois points :

Simplifier :

Maintenant on le calcule directement selon la règle des triangles :

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ droite| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Ainsi, l'équation du plan passant par les points est :

Essayez maintenant de résoudre vous-même un problème, puis nous en discuterons:

2. Trouver l'équation du plan passant par les points

Eh bien, discutons de la solution maintenant :

On fait un déterminant :

Et calculez sa valeur :

Alors l'équation du plan a la forme :

Soit, en réduisant de, on obtient :

Maintenant, deux tâches pour la maîtrise de soi :

1. Construire l'équation d'un plan passant par trois points :

Réponses:

Est-ce que tout correspondait ? Encore une fois, s'il y a certaines difficultés, alors mon conseil est le suivant: prenez trois points de votre tête (avec une forte probabilité, ils ne se trouveront pas sur une ligne droite), construisez un avion dessus. Et puis vérifiez-vous en ligne. Par exemple, sur le site :

Cependant, à l'aide de déterminants, nous ne construirons pas seulement l'équation du plan. Rappelez-vous, je vous ai dit que pour les vecteurs, non seulement le produit scalaire est défini. Il existe également un vecteur, ainsi qu'un produit mixte. Et si le produit scalaire de deux vecteurs sera un nombre, alors le produit vectoriel de deux vecteurs sera un vecteur, et ce vecteur sera perpendiculaire à ceux donnés :

De plus, son module sera égal à l'aire du parallélogramme construit sur les vecteurs et. Nous aurons besoin de ce vecteur pour calculer la distance d'un point à une droite. Comment calculer le produit croisé des vecteurs et si leurs coordonnées sont données ? Le déterminant du troisième ordre vient encore à notre aide. Cependant, avant de passer à l'algorithme de calcul du produit croisé, je dois faire une petite digression lyrique.

Cette digression concerne les vecteurs de base.

Schématiquement, ils sont représentés sur la figure:

Pourquoi pensez-vous qu'ils sont appelés basiques? Le fait est que :

Ou sur la photo :

La validité de cette formule est évidente, car :

produit vectoriel

Maintenant, je peux commencer à introduire le produit croisé :

Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur calculé selon la règle suivante :

Donnons maintenant quelques exemples de calcul du produit croisé :

Exemple 1 : Trouver le produit croisé de vecteurs :

Solution : Je fais un déterminant :

Et je calcule :

Maintenant, à partir de l'écriture des vecteurs de base, je reviendrai à la notation vectorielle habituelle :

De cette façon:

Maintenant essaye.

Prêt? Nous vérifions:

Et traditionnellement deux tâches à contrôler :

1. Trouvez le produit vectoriel des vecteurs suivants :
2. Trouvez le produit vectoriel des vecteurs suivants :

Réponses:

Produit mixte de trois vecteurs

La dernière construction dont j'ai besoin est le produit mixte de trois vecteurs. C'est, comme un scalaire, un nombre. Il existe deux façons de le calculer. - par le déterminant, - par le produit mixte.

A savoir, disons que nous avons trois vecteurs :

Alors le produit mixte de trois vecteurs, noté par peut être calculé comme suit :

1. - c'est-à-dire que le produit mixte est le produit scalaire d'un vecteur et le produit vectoriel de deux autres vecteurs

Par exemple, le produit mixte de trois vecteurs est :

Essayez de le calculer vous-même en utilisant le produit vectoriel et assurez-vous que les résultats correspondent !

Et encore - deux exemples pour une décision indépendante :

Réponses:

Choix du système de coordonnées

Eh bien, nous avons maintenant toutes les connaissances de base nécessaires pour résoudre des problèmes stéréométriques complexes en géométrie. Cependant, avant de passer directement aux exemples et aux algorithmes pour les résoudre, je crois qu'il sera utile de s'attarder sur la question suivante : comment exactement choisir un système de coordonnées pour une figure particulière. Après tout, c'est le choix de la position relative du système de coordonnées et de la figure dans l'espace qui déterminera finalement la lourdeur des calculs.

Je vous rappelle que dans cette section nous considérons les chiffres suivants :

1. cuboïde
2. Prisme droit (triangulaire, hexagonal…)
3. Pyramide (triangulaire, quadrangulaire)
4. Tétraèdre (identique à la pyramide triangulaire)

Pour un cuboïde ou un cube, je recommande la construction suivante :

C'est-à-dire que je placerai la figure «dans le coin». Le cube et la boîte sont de très bons chiffres. Pour eux, vous pouvez toujours trouver facilement les coordonnées de ses sommets. Par exemple, si (comme indiqué sur l'image)

alors les coordonnées des sommets sont :

Bien sûr, vous n'avez pas besoin de vous en souvenir, mais il est souhaitable de se souvenir de la meilleure façon de positionner un cube ou une boîte rectangulaire.

prisme droit

Le prisme est une figure plus nuisible. Vous pouvez l'organiser dans l'espace de différentes manières. Cependant, je pense que ce qui suit est la meilleure option:

Prisme triangulaire:

Autrement dit, nous plaçons l'un des côtés du triangle entièrement sur l'axe et l'un des sommets coïncide avec l'origine.

Prisme hexagonal :

Autrement dit, l'un des sommets coïncide avec l'origine et l'un des côtés se trouve sur l'axe.

Pyramide quadrangulaire et hexagonale :

Une situation similaire à un cube : on combine deux côtés de la base avec les axes de coordonnées, on combine un des sommets avec l'origine. La seule petite difficulté sera de calculer les coordonnées du point.

Pour une pyramide hexagonale - la même chose que pour un prisme hexagonal. La tâche principale sera à nouveau de trouver les coordonnées du sommet.

Tétraèdre (pyramide triangulaire)

La situation est très similaire à celle que j'ai donnée pour le prisme triangulaire : un sommet coïncide avec l'origine, un côté se trouve sur l'axe des coordonnées.

Eh bien, maintenant vous et moi sommes enfin sur le point de commencer à résoudre les problèmes. De ce que j'ai dit au tout début de l'article, vous pourriez tirer la conclusion suivante : la plupart des problèmes de C2 se répartissent en 2 catégories : les problèmes d'angle et les problèmes de distance. Tout d'abord, nous allons considérer les problèmes pour trouver un angle. Ils sont à leur tour divisés dans les catégories suivantes (à mesure que la complexité augmente):

Problèmes pour trouver des coins

1. Trouver l'angle entre deux droites
2. Trouver l'angle entre deux plans

Considérons ces problèmes séquentiellement : commençons par trouver l'angle entre deux droites. Allez, rappelez-vous, vous et moi avons-nous déjà résolu des exemples similaires ? Vous vous souvenez, car nous avions déjà quelque chose de similaire... Nous cherchions un angle entre deux vecteurs. Je vous rappelle, si deux vecteurs sont donnés : et, alors l'angle entre eux est trouvé à partir de la relation :

Nous avons maintenant un objectif - trouver l'angle entre deux lignes droites. Passons à "l'image plate":

Combien d'angles obtient-on lorsque deux droites se croisent ? Déjà des choses. Certes, seuls deux d'entre eux ne sont pas égaux, tandis que d'autres leur sont verticaux (et donc coïncident avec eux). Alors quel angle faut-il considérer comme l'angle entre deux droites : ou ? Ici la règle est : l'angle entre deux droites n'est toujours pas supérieur à degrés. Autrement dit, à partir de deux angles, nous choisirons toujours l'angle avec la plus petite mesure de degré. Autrement dit, sur cette image, l'angle entre les deux lignes est égal. Pour ne pas s'embêter à trouver à chaque fois le plus petit des deux angles, des mathématiciens rusés ont suggéré d'utiliser le module. Ainsi, l'angle entre deux droites est déterminé par la formule :

En tant que lecteur attentif, vous auriez dû vous poser une question : où, en fait, obtenons-nous ces chiffres dont nous avons besoin pour calculer le cosinus d'un angle ? Réponse : on va les prendre à partir des vecteurs directeurs des droites ! Ainsi, l'algorithme pour trouver l'angle entre deux droites est le suivant :

1. Nous appliquons la formule 1.

Ou plus en détail :

1. On cherche les coordonnées du vecteur directeur de la première droite
2. On cherche les coordonnées du vecteur directeur de la seconde droite
3. Calculer le module de leur produit scalaire
4. On cherche la longueur du premier vecteur
5. On cherche la longueur du deuxième vecteur
6. Multipliez les résultats du point 4 par les résultats du point 5
7. Nous divisons le résultat du point 3 par le résultat du point 6. Nous obtenons le cosinus de l'angle entre les lignes
8. Si ce résultat nous permet de calculer exactement l'angle, nous le cherchons
9. Sinon, on écrit par l'arc cosinus

Bon, c'est le moment de passer aux tâches : je vais démontrer la solution des deux premières en détail, je vais présenter la solution d'une autre en bref, et je ne donnerai des réponses qu'aux deux dernières tâches, vous devez faites tous les calculs pour eux vous-même.

Tâches:

1. Dans le tet-ra-ed-re droit, trouvez-di-te l'angle entre you-so-that tet-ra-ed-ra et le côté me-di-a-noy bo-ko-how.

2. Dans le six-charbon-pi-ra-mi-de avant droit, les cent-ro-na-os-no-va-niya sont en quelque sorte égaux, et les côtes latérales sont égales, trouvez l'angle entre la ligne droite lignes et.

3. Les longueurs de toutes les arêtes du pi-ra-mi-dy droitier quatre-vous-rech-charbon-noy sont égales les unes aux autres. Trouvez l'angle entre les lignes droites et si from-re-zok - you-so-that étant donné pi-ra-mi-dy, le point est se-re-di-on her bo-ko-th rib

4. Sur le bord du cube de-me-che-à un point tel que Find-di-te l'angle entre les droites et

5. Point - se-re-di-sur les bords du cube Nai-di-te l'angle entre les lignes droites et.

Ce n'est pas un hasard si j'ai placé les tâches dans cet ordre. Alors que vous n'avez pas encore eu le temps de commencer à naviguer dans la méthode des coordonnées, j'analyserai moi-même les figures les plus « problématiques », et je vous laisserai vous occuper du cube le plus simple ! Petit à petit il faut apprendre à travailler avec toutes les figures, j'augmenterai la complexité des tâches de sujet en sujet.

Commençons à résoudre les problèmes :

1. Dessinez un tétraèdre, placez-le dans le système de coordonnées comme je l'ai suggéré plus tôt. Le tétraèdre étant régulier, toutes ses faces (y compris la base) sont des triangles réguliers. Comme on ne nous donne pas la longueur du côté, je peux la prendre égale. Je pense que vous comprenez que l'angle ne dépendra pas vraiment de combien notre tétraèdre sera "étiré" ?. Je vais également dessiner la hauteur et la médiane dans le tétraèdre. En cours de route, je dessinerai sa base (elle nous sera également utile).

Je dois trouver l'angle entre et. Que savons-nous? Nous ne connaissons que la coordonnée du point. Donc, nous devons trouver plus de coordonnées des points. Maintenant, nous pensons : un point est un point d'intersection des hauteurs (ou bissectrices ou médianes) d'un triangle. Un point est un point élevé. Le point est le milieu du segment. Puis enfin il faut trouver : les coordonnées des points : .

Commençons par le plus simple : les coordonnées des points. Regardez la figure : Il est clair que l'application d'un point est égale à zéro (le point se trouve sur un plan). Son ordonnée est égale (car c'est la médiane). Il est plus difficile de trouver son abscisse. Cependant, cela se fait facilement sur la base du théorème de Pythagore : Considérons un triangle. Son hypoténuse est égale, et une des jambes est égale Alors :

Enfin nous avons :

Trouvons maintenant les coordonnées du point. Il est clair que son applique est à nouveau égale à zéro, et son ordonnée est la même que celle d'un point, c'est-à-dire. Trouvons son abscisse. Cela se fait assez trivialement si l'on se souvient que les hauteurs d'un triangle équilatéral sont divisées par le point d'intersection dans la proportion compter du haut. Puisque :, alors l'abscisse désirée du point, égale à la longueur du segment, est égale à :. Ainsi, les coordonnées du point sont :

Trouvons les coordonnées du point. Il est clair que son abscisse et son ordonnée coïncident avec l'abscisse et l'ordonnée du point. Et l'applique est égale à la longueur du segment. - c'est l'une des jambes du triangle. L'hypoténuse d'un triangle est un segment - une jambe. Il est recherché pour les raisons que j'ai soulignées en gras :

Le point est le milieu du segment. Ensuite, nous devons nous rappeler la formule des coordonnées du milieu du segment :

Ça y est, nous pouvons maintenant chercher les coordonnées des vecteurs directeurs :

Eh bien, tout est prêt : nous substituons toutes les données dans la formule :

De cette façon,

Réponse:

Vous ne devriez pas avoir peur de ces réponses "terribles": pour les problèmes C2, c'est une pratique courante. Je serais plutôt surpris par la "belle" réponse dans cette partie. De plus, comme vous l'avez noté, je n'ai pratiquement pas eu recours à autre chose que le théorème de Pythagore et la propriété des hauteurs d'un triangle équilatéral. Autrement dit, pour résoudre le problème stéréométrique, j'ai utilisé le minimum de stéréométrie. Le gain en cela est partiellement « éteint » par des calculs assez lourds. Mais ils sont assez algorithmiques !

2. Dessinez une pyramide hexagonale régulière avec le système de coordonnées, ainsi que sa base :

Nous devons trouver l'angle entre les lignes et. Ainsi, notre tâche se réduit à trouver les coordonnées des points : . Nous trouverons les coordonnées des trois derniers à partir du petit dessin, et nous trouverons la coordonnée du sommet à travers la coordonnée du point. Beaucoup de travail, mais il faut commencer !

a) Coordonnée : il est clair que son applique et son ordonnée sont nulles. Trouvons l'abscisse. Pour ce faire, considérons un triangle rectangle. Hélas, nous n'y connaissons que l'hypoténuse, qui est égale à. Nous allons essayer de trouver la jambe (car il est clair que deux fois la longueur de la jambe nous donnera l'abscisse du point). Comment pouvons-nous le rechercher ? Rappelons-nous quel genre de personnage nous avons à la base de la pyramide ? C'est un hexagone régulier. Qu'est-ce que ça veut dire? Cela signifie que tous les côtés et tous les angles sont égaux. Nous devons trouver un tel coin. Des idées? Il y a beaucoup d'idées, mais il y a une formule :

La somme des angles d'un n-gone régulier est .

Ainsi, la somme des angles d'un hexagone régulier est de degrés. Alors chacun des angles est égal à :

Regardons à nouveau l'image. Il est clair que le segment est la bissectrice de l'angle. L'angle est alors en degrés. Alors:

Alors où.

Il a donc des coordonnées

b) Maintenant, nous pouvons facilement trouver la coordonnée du point : .

c) Trouvez les coordonnées du point. Comme son abscisse coïncide avec la longueur du segment, elle est égale. Trouver l'ordonnée n'est pas non plus très difficile: si nous connectons les points et et dénotons le point d'intersection de la ligne, disons pour. (faites-le vous-même construction simple). Alors Ainsi, l'ordonnée du point B est égale à la somme des longueurs des segments. Reprenons le triangle. Alors

Puis puisque Alors le point a pour coordonnées

d) Trouvez maintenant les coordonnées du point. Considérons un rectangle et prouvons que Ainsi, les coordonnées du point sont :

e) Il reste à trouver les coordonnées du sommet. Il est clair que son abscisse et son ordonnée coïncident avec l'abscisse et l'ordonnée du point. Trouvons une application. Depuis. Considérez un triangle rectangle. Par l'état du problème, le bord latéral. C'est l'hypoténuse de mon triangle. Alors la hauteur de la pyramide est la jambe.

Alors le point a pour coordonnées :

Ça y est, j'ai les coordonnées de tous les points qui m'intéressent. Je cherche les coordonnées des vecteurs directeurs des droites :

On cherche l'angle entre ces vecteurs :

Réponse:

Encore une fois, lors de la résolution de ce problème, je n'ai utilisé aucune astuce sophistiquée, à l'exception de la formule de la somme des angles d'un n-gone régulier, ainsi que de la définition du cosinus et du sinus d'un triangle rectangle.

3. Puisqu'on ne nous donne pas encore les longueurs des arêtes de la pyramide, je les considérerai comme égales à un. Ainsi, puisque TOUS les bords, et pas seulement les côtés, sont égaux les uns aux autres, alors à la base de la pyramide et moi se trouve un carré, et les faces latérales sont des triangles réguliers. Représentons une telle pyramide, ainsi que sa base sur un plan, en marquant toutes les données données dans le texte du problème :

On cherche l'angle entre et. Je ferai des calculs très brefs quand je chercherai les coordonnées des points. Vous devrez les "déchiffrer":

b) - le milieu du segment. Ses coordonnées :

c) Je trouverai la longueur du segment à l'aide du théorème de Pythagore dans un triangle. Je trouverai par le théorème de Pythagore dans un triangle.

Coordonnées :

d) - le milieu du segment. Ses coordonnées sont

e) Coordonnées vectorielles

f) Coordonnées vectorielles

g) Chercher un angle :

Le cube est la figure la plus simple. Je suis sûr que vous pouvez le découvrir par vous-même. Les réponses aux problèmes 4 et 5 sont les suivantes :

Trouver l'angle entre une droite et un plan

Eh bien, le temps des puzzles simples est révolu ! Maintenant, les exemples seront encore plus difficiles. Pour trouver l'angle entre une droite et un plan, nous allons procéder comme suit :

1. En utilisant trois points, nous construisons l'équation du plan
   ,
   à l'aide d'un déterminant du troisième ordre.
2. Par deux points on cherche les coordonnées du vecteur directeur de la droite :
3. Nous appliquons la formule pour calculer l'angle entre une droite et un plan :

Comme vous pouvez le voir, cette formule est très similaire à celle que nous avons utilisée pour trouver les angles entre deux lignes. La structure du côté droit est exactement la même, et du côté gauche, nous recherchons maintenant un sinus et non plus un cosinus, comme auparavant. Eh bien, une action désagréable a été ajoutée - la recherche de l'équation du plan.

n'oublions pas résolution d'exemples :

1. Os-no-va-ni-em straight-my prize-we are-la-et-xia equal-but-poor-ren-ny triangle-nick you-with-that prize-we are equal. Trouver l'angle entre la droite et le plan

2. Dans un rectangle pa-ral-le-le-pi-pe-de de l'Ouest Nai-di-te l'angle entre la droite et le plan

3. Dans le prisme droitier à six charbons, toutes les arêtes sont égales. Trouver l'angle entre la droite et le plan.

4. Dans le triangle droit pi-ra-mi-de avec l'os-but-va-ni-em de l'ouest de la côte Angle Nai-di-te, ob-ra-zo-van -ny plan de l'os -no-va-niya et straight-my, en passant par le se-re-di-na des côtes et

5. Les longueurs de tous les bords du pi-ra-mi-dy quadrangulaire droit avec le sommet sont égales les unes aux autres. Trouvez l'angle entre la droite et le plan, si le point est se-re-di-sur le bord bo-ko-in-th du pi-ra-mi-dy.

Encore une fois, je vais résoudre les deux premiers problèmes en détail, le troisième - brièvement, et je vous laisse résoudre les deux derniers par vous-même. De plus, vous avez déjà eu affaire à des pyramides triangulaires et quadrangulaires, mais pas encore à des prismes.

Solutions:

1. Dessinez un prisme, ainsi que sa base. Combinons-le avec le système de coordonnées et marquons toutes les données qui sont données dans l'énoncé du problème :

Je m'excuse pour le non-respect des proportions, mais pour résoudre le problème, ce n'est en fait pas si important. L'avion n'est que le "mur du fond" de mon prisme. Il suffit de deviner simplement que l'équation d'un tel plan a la forme :

Cependant, cela peut aussi être affiché directement :

Nous choisissons arbitrairement trois points sur ce plan : par exemple, .

Faisons l'équation du plan :

Exercice pour vous : calculez vous-même ce déterminant. Avez-vous réussi? Alors l'équation du plan a la forme :

Ou simplement

De cette façon,

Pour résoudre l'exemple, je dois trouver les coordonnées du vecteur directeur de la droite. Puisque le point coïncidait avec l'origine, les coordonnées du vecteur coïncideront simplement avec les coordonnées du point.Pour ce faire, nous trouvons d'abord les coordonnées du point.

Pour ce faire, considérons un triangle. Traçons une hauteur (c'est aussi une médiane et une bissectrice) à partir du haut. Puisque, alors l'ordonnée du point est égale. Pour trouver l'abscisse de ce point, il faut calculer la longueur du segment. D'après le théorème de Pythagore, nous avons :

Alors le point a pour coordonnées :

Un point est un "en relief" sur un point :

Alors les coordonnées du vecteur :

Réponse:

Comme vous pouvez le voir, il n'y a rien de fondamentalement difficile à résoudre de tels problèmes. En fait, la "rectitude" d'une figure telle qu'un prisme simplifie un peu plus le processus. Passons maintenant à l'exemple suivant :

2. Nous dessinons un parallélépipède, y dessinons un plan et une ligne droite, et dessinons également séparément sa base inférieure:

On trouve d'abord l'équation du plan : Les coordonnées des trois points qui s'y trouvent :

(les deux premières coordonnées sont obtenues de manière évidente, et vous pouvez facilement trouver la dernière coordonnée de l'image à partir du point). Puis on compose l'équation du plan :

Nous calculons :

On cherche les coordonnées du vecteur directeur : Il est clair que ses coordonnées coïncident avec les coordonnées du point, n'est-ce pas ? Comment trouver les coordonnées ? Ce sont les coordonnées du point, relevées de un le long de l'axe appliqué ! . Ensuite, nous recherchons l'angle souhaité:

Réponse:

3. Dessinez une pyramide hexagonale régulière, puis dessinez-y un plan et une ligne droite.

Ici, il est même problématique de dessiner un plan, sans parler de la solution de ce problème, mais la méthode des coordonnées s'en fiche ! C'est dans sa polyvalence que réside son principal atout !

L'avion passe par trois points : . Nous recherchons leurs coordonnées :

une) . Affichez vous-même les coordonnées des deux derniers points. Vous devrez résoudre le problème avec une pyramide hexagonale pour cela !

2) On construit l'équation du plan :

On cherche les coordonnées du vecteur : . (Voir à nouveau le problème de la pyramide triangulaire !)

3) On cherche un angle :

Réponse:

Comme vous pouvez le voir, il n'y a rien de surnaturellement difficile dans ces tâches. Il suffit de faire très attention aux racines. Aux deux derniers problèmes, je ne donnerai que des réponses :

Comme vous pouvez le voir, la technique de résolution des problèmes est la même partout : la tâche principale est de trouver les coordonnées des sommets et de les substituer dans certaines formules. Il nous reste à considérer une autre classe de problèmes pour le calcul des angles, à savoir :

Calcul des angles entre deux plans

L'algorithme de résolution sera le suivant :

1. Pour trois points on cherche l'équation du premier plan :
2. Pour les trois autres points, on cherche l'équation du second plan :
3. Nous appliquons la formule :

Comme vous pouvez le voir, la formule est très similaire aux deux précédentes, à l'aide desquelles nous recherchions des angles entre des lignes droites et entre une ligne droite et un plan. Donc, vous souvenir de celui-ci ne vous sera pas difficile. Passons directement au problème :

1. Cent-ro-sur la base du prisme triangulaire droit est égal, et le dia-go-nal de la face latérale est égal. Trouvez l'angle entre le plan et le plan de la base du prix.

2. Dans le pi-ra-mi-de quatre-vous-re-charbon-noy avant droit, tous les bords de quelqu'un sont égaux, trouvez le sinus de l'angle entre le plan et le plan Ko-Stu, passant par le point de per-pen-di-ku-lyar-mais straight-my.

3. Dans un prisme régulier à quatre charbons, les côtés de l'os-no-va-nia sont égaux et les bords latéraux sont égaux. Sur le bord de-moi-che-au point pour que. Trouver l'angle entre les plans et

4. Dans le prisme quadrangulaire droit, les côtés des bases sont égaux et les bords latéraux sont égaux. Sur le bord de-moi-che-à un point de sorte que Trouvez l'angle entre les plans et.

5. Dans le cube, trouvez le co-sinus de l'angle entre les plans et

Solutions aux problèmes :

1. Je dessine un prisme triangulaire régulier (à la base - un triangle équilatéral) et marque dessus les plans qui apparaissent dans l'état du problème:

Il faut trouver les équations de deux plans : L'équation de base s'obtient trivialement : on peut faire le déterminant correspondant pour trois points, mais je vais faire l'équation tout de suite :

Trouvons maintenant l'équation Le point a pour coordonnées Le point - Puisque - la médiane et la hauteur du triangle, il est facile de trouver par le théorème de Pythagore dans un triangle. Alors le point a des coordonnées : Trouvez l'applicatif du point Pour ce faire, considérez un triangle rectangle

On obtient alors les coordonnées suivantes : On compose l'équation du plan.

Nous calculons l'angle entre les plans:

Réponse:

2. Faire un dessin :

Le plus difficile est de comprendre de quel type de plan mystérieux il s'agit, passant par un point perpendiculairement. Eh bien, l'essentiel est qu'est-ce que c'est? L'essentiel est l'attention ! En effet, la droite est perpendiculaire. La ligne est également perpendiculaire. Alors le plan passant par ces deux droites sera perpendiculaire à la droite, et, soit dit en passant, passera par le point. Ce plan passe également par le sommet de la pyramide. Puis l'avion désiré - Et l'avion nous est déjà donné. Nous recherchons les coordonnées des points.

On trouve la coordonnée du point passant par le point. Il est facile de déduire d'un petit dessin que les coordonnées du point seront les suivantes : Que reste-t-il maintenant à trouver pour trouver les coordonnées du sommet de la pyramide ? Encore faut-il calculer sa hauteur. Cela se fait en utilisant le même théorème de Pythagore : d'abord, prouver que (trivialement à partir de petits triangles formant un carré à la base). Puisque par condition, on a :

Maintenant tout est prêt : coordonnées du sommet :

On compose l'équation du plan :

Vous êtes déjà expert dans le calcul des déterminants. Vous recevrez facilement :

Ou sinon (si on multiplie les deux parties par la racine de deux)

Trouvons maintenant l'équation du plan :

(Vous n'avez pas oublié comment nous obtenons l'équation du plan, n'est-ce pas ? Si vous ne comprenez pas d'où vient ce moins un, revenez à la définition de l'équation du plan ! Il s'est toujours avéré que mon l'avion appartenait à l'origine !)

On calcule le déterminant :

(Vous remarquerez peut-être que l'équation du plan coïncidait avec l'équation de la droite passant par les points et ! Demandez-vous pourquoi !)

Calculons maintenant l'angle :

Il faut trouver le sinus :

Réponse:

3. Une question délicate : qu'est-ce qu'un prisme rectangulaire, qu'en pensez-vous ? C'est juste un parallélépipède bien connu de vous ! Dessinez tout de suite ! Vous ne pouvez même pas représenter la base séparément, cela ne sert à rien ici:

Le plan, comme nous l'avons noté précédemment, s'écrit sous la forme d'une équation :

Maintenant, nous faisons un avion

On compose immédiatement l'équation du plan :

À la recherche d'un angle

Maintenant les réponses aux deux derniers problèmes :

Eh bien, il est maintenant temps de faire une pause, car vous et moi sommes formidables et avons fait un excellent travail !

Coordonnées et vecteurs. Niveau avancé

Dans cet article, nous aborderons avec vous une autre classe de problèmes pouvant être résolus par la méthode des coordonnées : les problèmes de distance. A savoir, nous considérerons les cas suivants :

1. Calcul de la distance entre les lignes obliques.

J'ai ordonné les tâches données à mesure que leur complexité augmente. Le plus simple est de trouver distance point à plan et le plus dur est de trouver distance entre les lignes qui se croisent. Bien sûr, rien n'est impossible ! Ne tergiversons pas et passons immédiatement à l'examen de la première classe de problèmes :

Calcul de la distance d'un point à un plan

De quoi avons-nous besoin pour résoudre ce problème ?

1. Coordonnées des points

Ainsi, dès que nous obtenons toutes les données nécessaires, nous appliquons la formule :

Vous devez déjà savoir comment on construit l'équation du plan à partir des problèmes précédents que j'ai analysés dans la dernière partie. Passons tout de suite aux affaires. Le schéma est le suivant: 1, 2 - je vous aide à décider, et en détail, 3, 4 - seulement la réponse, vous prenez vous-même la décision et comparez. A débuté!

Tâches:

1. Étant donné un cube. La longueur d'arête du cube est Trouver-di-te distance de se-re-di-ny de coupe à plat

2. Étant donné le bord droit-vil-naya quatre-vous-rekh-charbon-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe cent-ro-sur l'os-no-va-nia est égal. Trouver-di-ces distances d'un point à un plan où - se-re-di-sur les bords.

3. Dans le triangle droit pi-ra-mi-de avec os-but-va-ni-em, l'autre bord est égal, et cent-ro-on os-no-vaniya est égal. Trouvez-di-ces distances du sommet au plan.

4. Dans le prisme droitier à six charbons, toutes les arêtes sont égales. Trouvez-di-ces distances d'un point à un plan.

Solutions:

1. Dessinez un cube avec des arêtes simples, construisez un segment et un plan, dénotez le milieu du segment par la lettre

.

D'abord, commençons par une simple : trouver les coordonnées d'un point. Depuis (rappelez-vous les coordonnées du milieu du segment !)

On compose maintenant l'équation du plan en trois points

\[\gauche| (\begin(tableau)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(tableau)) \right| = 0\]

Maintenant, je peux commencer à trouver la distance :

2. On recommence avec un dessin, sur lequel on marque toutes les données !

Pour une pyramide, il serait utile de dessiner sa base séparément.

Même le fait que je dessine comme une patte de poulet ne nous empêchera pas de résoudre facilement ce problème !

Il est maintenant facile de trouver les coordonnées d'un point

Puisque les coordonnées du point

2. Puisque les coordonnées du point a sont le milieu du segment, alors

Nous pouvons facilement trouver les coordonnées de deux points supplémentaires sur le plan. Nous composons l'équation du plan et la simplifions :

\[\gauche| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(tableau)) \right|) \right| = 0\]

Puisque le point a pour coordonnées : , alors on calcule la distance :

Réponse (très rare !) :

Eh bien, avez-vous compris? Il me semble que tout ici est tout aussi technique que dans les exemples que nous avons envisagés avec vous dans la partie précédente. Je suis donc sûr que si vous maîtrisez ce matériel, il ne vous sera pas difficile de résoudre les deux problèmes restants. Je vais juste te donner les réponses :

Calcul de la distance d'une droite à un plan

En fait, il n'y a rien de nouveau ici. Comment situer une droite et un plan l'un par rapport à l'autre ? Ils ont toutes les possibilités : se croiser, ou une droite est parallèle au plan. À votre avis, quelle est la distance entre la droite et le plan avec lequel la droite donnée se croise ? Il me semble qu'il est clair qu'une telle distance est égale à zéro. Affaire sans intérêt.

Le second cas est plus délicat : ici la distance est déjà non nulle. Or, puisque la droite est parallèle au plan, alors chaque point de la droite est équidistant de ce plan :

De cette façon:

Et cela signifie que ma tâche a été réduite à la précédente : nous recherchons les coordonnées de n'importe quel point sur la droite, nous recherchons l'équation du plan, nous calculons la distance du point au plan. En fait, de telles tâches à l'examen sont extrêmement rares. J'ai réussi à trouver un seul problème, et les données qu'il contenait étaient telles que la méthode des coordonnées ne lui était pas très applicable !

Passons maintenant à une autre classe de problèmes, bien plus importante :

Calcul de la distance d'un point à une ligne

De quoi aurons-nous besoin ?

1. Les coordonnées du point dont on cherche la distance :

2. Coordonnées de tout point situé sur une ligne droite

3. Coordonnées vectorielles directionnelles de la ligne droite

Quelle formule utilisons-nous ?

Que signifie pour vous le dénominateur de cette fraction et cela devrait donc être clair : c'est la longueur du vecteur directeur de la droite. Voici un numérateur très délicat ! L'expression signifie le module (longueur) du produit vectoriel de vecteurs et Comment calculer le produit vectoriel, nous avons étudié dans la partie précédente du travail. Rafraîchissez vos connaissances, cela nous sera très utile maintenant !

Ainsi, l'algorithme de résolution des problèmes sera le suivant :

1. On cherche les coordonnées du point dont on cherche la distance :

2. Nous recherchons les coordonnées de n'importe quel point sur la ligne dont nous recherchons la distance :

3. Construire un vecteur

4. On construit le vecteur directeur de la droite

5. Calculez le produit vectoriel

6. On cherche la longueur du vecteur résultant :

7. Calculez la distance :

Nous avons beaucoup de travail, et les exemples seront assez complexes ! Alors concentrez maintenant toute votre attention !

1. Dana est un pi-ra-mi-da triangulaire droitier avec un sommet. Cent-ro-on l'os-no-va-niya pi-ra-mi-dy est égal, you-so-ta est égal. Trouvez-di-ces distances entre le se-re-di-ny du bord bo-ko-th et la ligne droite, où les points et sont le se-re-di-ny des côtes et co-de- vet -stven-mais.

2. Les longueurs des côtes et de l'angle droit-no-para-ral-le-le-pi-pe-da sont égales, respectivement, et Find-di-te distance de top-shi-ny à straight-my

3. Dans le prisme droit à six charbons, tous les bords d'un essaim sont égaux. Trouvez-di-ceux distance d'un point à une ligne droite

Solutions:

1. Nous réalisons un dessin soigné sur lequel nous marquons toutes les données:

Nous avons beaucoup de travail pour vous ! Je voudrais d'abord décrire en mots ce que nous allons rechercher et dans quel ordre :

1. Coordonnées des points et

2. Coordonnées des points

3. Coordonnées des points et

4. Coordonnées des vecteurs et

5. Leur produit croisé

6. Longueur du vecteur

7. La longueur du produit vectoriel

8. Distance de à

Eh bien, nous avons beaucoup de travail à faire ! Retroussons nos manches !

1. Pour trouver les coordonnées de la hauteur de la pyramide, il faut connaître les coordonnées du point : son applicatif est zéro et l'ordonnée est égale à son abscisse. Enfin, nous avons obtenu les coordonnées:

Coordonnées des points

2. - milieu du segment

3. - le milieu du segment

milieu

4.Coordonnées

Coordonnées vectorielles

5. Calculez le produit vectoriel :

6. La longueur du vecteur : le moyen le plus simple est de remplacer que le segment est la ligne médiane du triangle, ce qui signifie qu'il est égal à la moitié de la base. Pour que.

7. On considère la longueur du produit vectoriel :

8. Enfin, trouvez la distance :

Ouf, c'est tout ! Honnêtement, je vais vous dire : résoudre ce problème par des méthodes traditionnelles (par des constructions) serait beaucoup plus rapide. Mais ici j'ai tout réduit à un algorithme tout fait ! Je pense que l'algorithme de solution est clair pour vous ? Par conséquent, je vais vous demander de résoudre vous-même les deux problèmes restants. Comparez les réponses ?

Encore une fois, je le répète : il est plus facile (plus rapide) de résoudre ces problèmes par des constructions, plutôt que de recourir à la méthode des coordonnées. J'ai démontré cette façon de résoudre uniquement pour vous montrer une méthode universelle qui vous permet de "ne rien finir".

Enfin, considérons la dernière classe de problèmes :

Calcul de la distance entre les lignes obliques

Ici, l'algorithme de résolution des problèmes sera similaire au précédent. Ce que nous avons:

3. Tout vecteur reliant les points des première et deuxième lignes :

Comment trouve-t-on la distance entre les lignes ?

La formule est :

Le numérateur est le module du produit mixte (nous l'avons introduit dans la partie précédente), et le dénominateur est le même que dans la formule précédente (le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs des lignes, la distance entre laquelle nous sont en train de chercher).

je te rappellerai que

alors la formule de distance peut être réécrite comme:

Divisez ce déterminant par le déterminant ! Bien que, pour être honnête, je ne sois pas d'humeur à plaisanter ici ! Cette formule, en effet, est très lourde et conduit à des calculs assez compliqués. Si j'étais vous, je ne l'utiliserais qu'en dernier recours !

Essayons de résoudre quelques problèmes en utilisant la méthode ci-dessus :

1. Dans le prisme triangulaire droit, tous les bords sont en quelque sorte égaux, trouvez la distance entre les lignes droites et.

2. Étant donné un prisme triangulaire en forme d'avant-droit, tous les bords de l'os-no-va-niya de quelqu'un sont égaux à Se-che-tion, en passant par l'autre côte et les côtes se-re-di-nu sont yav-la-et-sya carré-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie entre straight-we-mi et

Je décide du premier, et sur cette base, vous décidez du second !

1. Je dessine un prisme et marque les lignes et

Coordonnées du point C : alors

Coordonnées des points

Coordonnées vectorielles

Coordonnées des points

Coordonnées vectorielles

Coordonnées vectorielles

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(tableau)(*(20)(l))(\begin(tableau)(*(20)(c))0&1&0\end(tableau))\\(\begin(tableau)(*(20) (c))0&0&1\end(tableau))\\(\begin(tableau)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(tableau))\end(tableau)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

On considère le produit croisé entre les vecteurs et

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(tableau)\end(tableau) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Considérons maintenant sa longueur :

Réponse:

Essayez maintenant de terminer soigneusement la deuxième tâche. La réponse sera :.

Coordonnées et vecteurs. Brève description et formules de base

Un vecteur est un segment orienté. - le début du vecteur, - la fin du vecteur.
Le vecteur est noté ou.

Valeur absolue vecteur - la longueur du segment représentant le vecteur. Désigné.

Coordonnées vectorielles :

,
où sont les extrémités du vecteur \displaystyle a .

Somme des vecteurs : .

Le produit de vecteurs :

Produit scalaire de vecteurs :

Équation plane. Comment écrire une équation pour un avion ?
Disposition mutuelle des avions. Tâches

La géométrie spatiale n'est pas beaucoup plus compliquée que la géométrie "plate", et nos vols dans l'espace commencent par cet article. Pour comprendre le sujet, il faut bien comprendre vecteurs, de plus, il est souhaitable de se familiariser avec la géométrie de l'avion - il y aura de nombreuses similitudes, de nombreuses analogies, de sorte que les informations seront bien mieux digérées. Dans une série de mes cours, le monde 2D s'ouvre sur un article Équation d'une droite sur un plan. Mais maintenant, Batman a quitté le téléviseur à écran plat et se lance depuis le cosmodrome de Baïkonour.

Commençons par les dessins et les symboles. Schématiquement, le plan peut être dessiné comme un parallélogramme, ce qui donne une impression d'espace :

Le plan est infini, mais nous n'avons la possibilité d'en représenter qu'un morceau. En pratique, en plus du parallélogramme, un ovale ou même un nuage est également dessiné. Pour des raisons techniques, il m'est plus commode de représenter l'avion de cette façon et dans cette position. Les vrais avions, que nous examinerons dans des exemples pratiques, peuvent être disposés comme vous le souhaitez - prenez mentalement le dessin entre vos mains et tordez-le dans l'espace, en donnant à l'avion n'importe quelle pente, n'importe quel angle.

Notation: il est d'usage de désigner les avions en minuscules grecques, apparemment pour ne pas les confondre avec tout droit dans l'avion ou avec directement dans l'espace. J'ai l'habitude d'utiliser la lettre. Dans le dessin, c'est la lettre "sigma", et pas un trou du tout. Bien qu'un avion troué, c'est certainement très drôle.

Dans certains cas, il est pratique d'utiliser les mêmes lettres grecques avec des indices pour désigner les avions, par exemple, .

Il est évident que le plan est déterminé de manière unique par trois points différents qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite. Par conséquent, les désignations d'avions à trois lettres sont très populaires - en fonction des points qui leur appartiennent, par exemple, etc. Souvent, les lettres sont entre parenthèses : , afin de ne pas confondre le plan avec une autre figure géométrique.

Pour les lecteurs avertis, je donnerai menu des raccourcis:

• Comment écrire une équation pour un plan en utilisant un point et deux vecteurs ?
• Comment écrire une équation pour un plan en utilisant un point et un vecteur normal ?

et nous ne languirons pas dans de longues attentes:

Équation générale du plan

L'équation générale du plan a la forme , où les coefficients sont simultanément non nuls.

Un certain nombre de calculs théoriques et de problèmes pratiques sont valables aussi bien pour la base orthonormée usuelle que pour la base affine de l'espace (si huile c'est huile, retour à la leçon (non) dépendance linéaire des vecteurs. Base vectorielle). Pour plus de simplicité, nous supposerons que tous les événements se produisent dans une base orthonormée et un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes.

Et maintenant, formons un peu d'imagination spatiale. Ce n'est pas grave si vous l'avez mal, maintenant nous allons le développer un peu. Même jouer sur les nerfs demande de la pratique.

Dans le cas le plus général, lorsque les nombres ne sont pas égaux à zéro, le plan coupe les trois axes de coordonnées. Par exemple, comme ceci :

Je répète encore une fois que l'avion continue indéfiniment dans toutes les directions, et nous n'avons l'occasion d'en représenter qu'une partie.

Considérez les équations les plus simples des plans :

Comment comprendre cette équation ? Pensez-y: "Z" TOUJOURS, pour toutes les valeurs de "X" et "Y" est égal à zéro. C'est l'équation du plan de coordonnées "natif". En effet, formellement l'équation peut se réécrire comme suit : , d'où il est clairement visible que nous ne nous soucions pas, quelles valeurs "x" et "y" prennent, il est important que "z" soit égal à zéro.

De la même manière:
est l'équation du plan de coordonnées ;
est l'équation du plan de coordonnées.

Compliquons un peu le problème, considérons un plan (ici et plus loin dans le paragraphe nous supposons que les coefficients numériques ne sont pas égaux à zéro). Réécrivons l'équation sous la forme : . Comment le comprendre ? "X" est TOUJOURS, pour toute valeur de "y" et "z" est égal à un certain nombre. Ce plan est parallèle au plan de coordonnées. Par exemple, un plan est parallèle à un plan et passe par un point.

De la même manière:
- l'équation du plan, qui est parallèle au plan de coordonnées ;
- l'équation d'un plan parallèle au plan de coordonnées.

Ajouter des membres : . L'équation peut être réécrite comme ceci : , c'est-à-dire que "Z" peut être n'importe quoi. Qu'est-ce que ça veut dire? "X" et "Y" sont reliés par un rapport qui trace une certaine ligne droite dans le plan (vous reconnaîtrez équation d'une droite dans un plan?). Puisque Z peut être n'importe quoi, cette ligne est "répliquée" à n'importe quelle hauteur. Ainsi, l'équation définit un plan parallèle à l'axe de coordonnées

De la même manière:
- l'équation du plan, qui est parallèle à l'axe des coordonnées ;
- l'équation du plan, qui est parallèle à l'axe des coordonnées.

Si les termes libres sont nuls, alors les plans passeront directement par les axes correspondants. Par exemple, la classique "proportionnalité directe":. Tracez une ligne droite dans le plan et multipliez-la mentalement de haut en bas (puisque "z" est quelconque). Conclusion : le plan donné par l'équation passe par l'axe des coordonnées.

Nous concluons l'examen: l'équation du plan passe par l'origine. Eh bien, ici, il est tout à fait évident que le point satisfait l'équation donnée.

Et, enfin, le cas qui est montré sur le dessin : - le plan est ami avec tous les axes de coordonnées, alors qu'il "coupe" toujours un triangle qui peut être situé dans l'un des huit octants.

Inégalités linéaires dans l'espace

Pour comprendre l'information, il est nécessaire de bien étudier inégalités linéaires dans le plan car beaucoup de choses seront similaires. Le paragraphe sera d'un bref aperçu avec quelques exemples, car le matériel est assez rare dans la pratique.

Si l'équation définit un plan, alors les inégalités
interroger demi-espaces. Si l'inégalité n'est pas stricte (les deux dernières de la liste), alors la solution de l'inégalité, en plus du demi-espace, inclut le plan lui-même.

Exemple 5

Trouver le vecteur normal unitaire du plan .

La solution: Un vecteur unitaire est un vecteur dont la longueur est un. Notons ce vecteur par . Il est bien clair que les vecteurs sont colinéaires :

Tout d'abord, nous supprimons le vecteur normal de l'équation du plan : .

Comment trouver le vecteur unitaire ? Pour trouver le vecteur unitaire, il faut tous coordonnée du vecteur divisée par la longueur du vecteur.

Réécrivons le vecteur normal sous la forme et trouvons sa longueur :

D'après ce qui précède :

Réponse:

Vérifier : , qui était nécessaire pour vérifier.

Les lecteurs qui ont étudié attentivement le dernier paragraphe de la leçon ont probablement remarqué que les coordonnées du vecteur unitaire sont exactement les cosinus directeurs du vecteur:

Faisons une digression du problème désassemblé: quand on vous donne un vecteur arbitraire non nul, et par la condition qu'il faut trouver ses cosinus directeurs (voir les dernières tâches de la leçon Produit scalaire de vecteurs), alors vous trouvez en fait également un vecteur unitaire colinéaire à celui donné. En fait, deux tâches dans une bouteille.

La nécessité de trouver un vecteur normal unitaire se pose dans certains problèmes d'analyse mathématique.

Nous avons compris la pêche du vecteur normal, nous allons maintenant répondre à la question inverse :

Comment écrire une équation pour un plan en utilisant un point et un vecteur normal ?

Cette construction rigide d'un vecteur normal et d'un point est bien connue par une cible de fléchettes. Veuillez tendre la main vers l'avant et sélectionner mentalement un point arbitraire dans l'espace, par exemple un petit chat dans un buffet. Évidemment, à travers ce point, vous pouvez dessiner un seul plan perpendiculaire à votre main.

L'équation d'un plan passant par un point perpendiculaire au vecteur s'exprime par la formule :