Trouver l'angle entre les droites donné par le système d'équations. L'angle entre les lignes qui se croisent: définition, exemples de recherche

coin entre des lignes droites dans l'espace, nous appellerons l'un quelconque des angles adjacents formés par deux lignes droites tracées par un point arbitraire parallèle aux données.

Soit deux droites données dans l'espace :

Évidemment, l'angle φ entre les lignes peut être pris comme l'angle entre leurs vecteurs directeurs et . Puisque , alors selon la formule du cosinus de l'angle entre les vecteurs nous obtenons

Les conditions de parallélisme et de perpendicularité de deux droites sont équivalentes aux conditions de parallélisme et de perpendicularité de leurs vecteurs directeurs et :

Deux droites parallèle si et seulement si leurs coefficients respectifs sont proportionnels, c'est-à-dire je 1 parallèle je 2 si et seulement si parallèle .

Deux droites perpendiculaire si et seulement si la somme des produits des coefficients correspondants est égale à zéro : .

À but entre ligne et avion

Laisse la ligne ré- non perpendiculaire au plan θ ;
ré′− projection d'une droite ré au plan θ ;
Le plus petit des angles entre des droites ré et ré′ nous appellerons angle entre droite et plan.
Notons-le comme φ=( ré,θ)
Si un ré⊥θ , alors ( ré,θ)=π/2

Oi→j→k→− système de coordonnées rectangulaires.
Équation du plan :

θ: Hache+Par+cz+ré=0

On considère que la droite est donnée par un point et un vecteur directeur : ré[M 0,p→]
Vecteur n→(UN,B,C)⊥θ
Il reste alors à trouver l'angle entre les vecteurs n→ et p→, notons-le γ=( n→,p→).

Si l'angle γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Si l'angle γ>π/2 , alors l'angle requis φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Alors, angle entre droite et plan peut être calculé à l'aide de la formule :

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ App 1+pb 2+CP 3∣ ∣ √UN 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Question 29. Le concept d'une forme quadratique. La définition de signe des formes quadratiques.

Forme quadratique j (x 1, x 2, ..., x n) n variables réelles x 1, x 2, ..., x n s'appelle une somme de la forme
, (1)

où aij sont des nombres appelés coefficients. Sans perte de généralité, on peut supposer que aij = un ji.

La forme quadratique s'appelle valide, si aij О GR. Matrice de forme quadratique est appelée la matrice composée de ses coefficients. La forme quadratique (1) correspond à une matrice symétrique unique
c'est à dire. UNE T = UNE. Par conséquent, la forme quadratique (1) peut être écrite sous la forme forme matricielle je ( X) = x T Ah, où xT = (X 1 X 2 … x n). (2)

Et inversement, toute matrice symétrique (2) correspond à une forme quadratique unique à la notation des variables près.

Le rang de la forme quadratique est appelé le rang de sa matrice. La forme quadratique s'appelle non dégénéré, si sa matrice est non singulière MAIS. (rappelons que la matrice MAIS est dit non dégénéré si son déterminant est non nul). Sinon, la forme quadratique est dégénérée.

définie positive(ou strictement positif) si

je ( X) > 0 , pour tout le monde X = (X 1 , X 2 , …, x n), Outre X = (0, 0, …, 0).

Matrice MAIS forme quadratique définie positive j ( X) est aussi appelé défini positif. Par conséquent, une forme quadratique définie positive correspond à une matrice définie positive unique et vice versa.

La forme quadratique (1) est appelée défini négatif(ou strictement négatif) si

je ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), Outre X = (0, 0, …, 0).

De même que ci-dessus, une matrice quadratique définie négative est également appelée négative définie.

Par conséquent, une forme quadratique définie positivement (négativement) j ( X) atteint la valeur minimale (maximale) j ( X*) = 0 pour X* = (0, 0, …, 0).

Notez que la plupart des formes quadratiques ne sont pas définies par le signe, c'est-à-dire qu'elles ne sont ni positives ni négatives. De telles formes quadratiques disparaissent non seulement à l'origine du système de coordonnées, mais aussi en d'autres points.

Lorsque n> 2, des critères spéciaux sont nécessaires pour vérifier la définition du signe d'une forme quadratique. Considérons-les.

Mineurs majeurs forme quadratique sont appelés mineurs :

c'est-à-dire qu'il s'agit de mineurs de rang 1, 2, …, n matrices MAIS, situé dans le coin supérieur gauche, le dernier d'entre eux coïncide avec le déterminant de la matrice MAIS.

Critère de définition positive (Critère de Sylvester)

X) = x T Ah est définie positive, il faut et il suffit que tous les principaux mineurs de la matrice MAISétaient positifs, c'est-à-dire : M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Critère de certitude négative Pour la forme quadratique j ( X) = x T Ah est définie négative, il faut et il suffit que ses principaux mineurs d'ordre pair soient positifs, et ceux d'ordre impair soient négatifs, soit : M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Soit deux lignes l et m sur le plan dans le système de coordonnées cartésien soit donné équations générales: l : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Les vecteurs des normales à ces droites : = (A 1 , B 1) - à la droite l,

= (A 2 , B 2) à la droite m.

Soit j l'angle entre les droites l et m.

Puisque les angles avec des côtés mutuellement perpendiculaires sont soit égaux, soit s'additionnent à p, alors , soit cos j = .

Ainsi, nous avons démontré le théorème suivant.

Théorème. Soit j l'angle entre deux droites dans le plan, et que ces droites soient données dans le repère cartésien par les équations générales A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 et A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Alors cos j = .

Des exercices.

1) Dérivez une formule pour calculer l'angle entre les lignes si:

(1) les deux lignes sont données paramétriquement ; (2) les deux droites sont données par des équations canoniques ; (3) une ligne droite est donnée paramétriquement, l'autre ligne droite - par l'équation générale ; (4) les deux droites sont données par l'équation de la pente.

2) Soit j l'angle entre deux droites dans le plan, et donnons ces droites au repère cartésien par les équations y = k 1 x + b 1 et y = k 2 x + b 2 .

Alors tan j = .

3) Explorez la position relative de deux droites données par des équations générales dans le système de coordonnées cartésiennes et remplissez le tableau :

Distance entre un point et une droite dans un plan.

Supposons que la ligne l sur le plan dans le système de coordonnées cartésien soit donnée par l'équation générale Ax + By + C = 0. Trouvez la distance entre le point M(x 0 , y 0) et la ligne l.

La distance du point M à la ligne l est la longueur de la perpendiculaire HM (H í l, HM ^ l).

Le vecteur et le vecteur normal à la ligne l sont colinéaires, de sorte que | | = | | | | et | | = .

Soit (x,y) les coordonnées du point H.

Puisque le point H appartient à la droite l, alors Ax + By + C = 0 (*).

Les coordonnées des vecteurs et : = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - By , voir (*))

Théorème. Soit la ligne l donnée dans le système de coordonnées cartésien par l'équation générale Ax + By + C = 0. Ensuite, la distance du point M(x 0 , y 0) à cette ligne est calculée par la formule : r (M; l) = .

Des exercices.

1) Dérivez une formule pour calculer la distance d'un point à une ligne si : (1) la ligne est donnée de manière paramétrique ; (2) la droite est donnée par les équations canoniques ; (3) la droite est donnée par l'équation de la pente.

2) Ecrire l'équation d'un cercle tangent à la droite 3x - y = 0 centré en Q(-2,4).

3) Écrivez les équations des droites divisant les angles formés par l'intersection des droites 2x + y - 1 = 0 et x + y + 1 = 0 en deux.

§ 27. Définition analytique d'un plan dans l'espace

Définition. Le vecteur normal au plan nous appellerons un vecteur non nul dont tout représentant est perpendiculaire au plan donné.

Commentaire. Il est clair que si au moins un représentant du vecteur est perpendiculaire au plan, alors tous les autres représentants du vecteur sont perpendiculaires à ce plan.

Soit un système de coordonnées cartésien donné dans l'espace.

Soit donné le plan a, = (A, B, C) – le vecteur normal à ce plan, le point M (x 0 , y 0 , z 0) appartient au plan a.

Pour tout point N(x, y, z) du plan a, les vecteurs et sont orthogonaux, c'est-à-dire que leurs produit scalaire est égal à zéro : = 0. Écrivons la dernière égalité en coordonnées : A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

Soit -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, alors Ax + By + Cz + D = 0.

Prenez un point K (x, y) tel que Ax + By + Cz + D \u003d 0. Puisque D \u003d -Ax 0 - By 0 - Cz 0, alors A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Puisque les coordonnées du segment orienté = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ), la dernière égalité signifie que ^ , et donc K í a.

Ainsi, nous avons démontré le théorème suivant :

Théorème. Tout plan de l'espace dans le système de coordonnées cartésien peut être défini par une équation de la forme Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), où (A, B, C) sont les coordonnées du vecteur normal à ce plan.

L'inverse est également vrai.

Théorème. Toute équation de la forme Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) dans le système de coordonnées cartésien définit un certain plan, tandis que (A, B, C) sont les coordonnées du vecteur normal à ce plan.

Preuve.

Soit un point M (x 0 , y 0 , z 0) tel que Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 et vecteur = (A, B, C) ( ≠ q).

Un plan (et un seul) passe par le point M perpendiculaire au vecteur. D'après le théorème précédent, ce plan est donné par l'équation Ax + By + Cz + D = 0.

Définition. Une équation de la forme Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) est appelée l'équation générale du plan.

Exemple.

Écrivons l'équation du plan passant par les points M (0.2.4), N (1,-1.0) et K (-1.0.5).

1. Trouver les coordonnées du vecteur normal au plan (MNK). Puisque le produit vectoriel ´ est orthogonal aux vecteurs non colinéaires et , le vecteur est colinéaire à ´ .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Donc, comme vecteur normal, prenons le vecteur = (-11, 3, -5).

2. Utilisons maintenant les résultats du premier théorème :

l'équation de ce plan A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, où (A, B, C) sont les coordonnées du vecteur normal, (x 0 , y 0 , z 0) – coordonnées d'un point situé dans le plan (par exemple, le point M).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3a - 5z + 14 = 0

Réponse : -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Des exercices.

1) Ecrire l'équation du plan si

(1) le plan passe par le point M (-2,3,0) parallèle au plan 3x + y + z = 0 ;

(2) le plan contient l'axe (Ox) et est perpendiculaire au plan x + 2y – 5z + 7 = 0.

2) Écrire l'équation d'un plan passant par trois points donnés.

§ 28. Spécification analytique d'un demi-espace*

Commentaire*. Qu'un avion soit réparé. En dessous de demi-espace nous comprendrons l'ensemble des points situés d'un côté d'un plan donné, c'est-à-dire que deux points se trouvent dans le même demi-espace si le segment qui les relie ne coupe pas le plan donné. Cet avion s'appelle frontière de ce demi-espace. L'union d'un plan donné et d'un demi-espace sera appelée demi-espace fermé.

Soit un système de coordonnées cartésien fixé dans l'espace.

Théorème. Soit le plan a donné par l'équation générale Ax + By + Cz + D = 0. Alors l'un des deux demi-espaces en lesquels le plan a divise l'espace est donné par l'inégalité Ax + By + Cz + D > 0 , et le second demi-espace est donné par l'inégalité Ax + By + Cz + D< 0.

Preuve.

Traçons le vecteur normal = (A, B, С) au plan a à partir du point M (x 0 , y 0 , z 0) situé sur ce plan : = , M н a, MN ^ a. Le plan divise l'espace en deux demi-espaces : b 1 et b 2 . Il est clair que le point N appartient à l'un de ces demi-espaces. Sans perte de généralité, nous supposons que N í b 1 .

Montrons que le demi-espace b 1 est défini par l'inégalité Ax + By + Cz + D > 0.

1) Prendre un point K(x,y,z) dans le demi-espace b 1 . L'angle Ð NMK est l'angle entre les vecteurs et est aigu, donc le produit scalaire de ces vecteurs est positif : > 0. Écrivons cette inégalité en coordonnées : A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, soit Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

Puisque M í b 1 , alors Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, donc -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Donc, la dernière inégalité s'écrit : Ax + By + Cz + D > 0.

2) Prendre un point L(x,y) tel que Ax + By + Cz + D > 0.

Réécrivons l'inégalité en remplaçant D par (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (puisque M í b 1, alors Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0) : A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Le vecteur de coordonnées (x - x 0 ,y - y 0 , z - z 0) est un vecteur , donc l'expression A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) peut être comprise comme le produit scalaire des vecteurs et . Puisque le produit scalaire des vecteurs et est positif, l'angle entre eux est aigu et le point L í b 1 .

De même, on peut prouver que le demi-espace b 2 est donné par l'inégalité Ax + By + Cz + D< 0.

Remarques.

1) Il est clair que la preuve ci-dessus ne dépend pas du choix du point M dans le plan a.

2) Il est clair qu'un même demi-espace peut être défini par des inégalités différentes.

L'inverse est également vrai.

Théorème. Toute inégalité linéaire de la forme Ax + By + Cz + D > 0 (ou Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Preuve.

L'équation Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) dans l'espace définit un plan a (voir § ...). Comme cela a été prouvé dans le théorème précédent, l'un des deux demi-espaces dans lesquels le plan divise l'espace est donné par l'inégalité Ax Ax + By + Cz + D > 0.

Remarques.

1) Il est clair qu'un demi-espace fermé peut être défini par une inégalité linéaire non stricte, et toute inégalité linéaire non stricte dans le système de coordonnées cartésien définit un demi-espace fermé.

2) Tout polyèdre convexe peut être défini comme l'intersection de demi-espaces fermés (dont les frontières sont des plans contenant les faces du polyèdre), c'est-à-dire, analytiquement, par un système d'inégalités linéaires non strictes.

Des exercices.

1) Démontrer les deux théorèmes présentés pour un système de coordonnées affine arbitraire.

2) L'inverse est-il vrai que tout système de inégalités linéaires définit un polygone convexe ?

1) Explorez la position relative de deux plans donnés par des équations générales dans le système de coordonnées cartésiennes et remplissez le tableau.

Avec l'aide de ce calculateur en ligne trouver l'angle entre les lignes. donné solution détaillée avec des explications. Pour calculer l'angle entre les lignes, définissez la dimension (2-si une ligne droite est considérée dans un plan, 3- si une ligne droite est considérée dans l'espace), entrez les éléments de l'équation dans les cellules et cliquez sur le " bouton Résoudre". Voir la partie théorique ci-dessous.

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Instruction de saisie de données. Les nombres sont saisis sous forme de nombres entiers (exemples : 487, 5, -7623, etc.), de nombres décimaux (par exemple, 67, 102,54, etc.) ou de fractions. La fraction doit être saisie sous la forme a/b, où a et b (b>0) sont des nombres entiers ou décimaux. Exemples 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, etc.

1. Angle entre les lignes d'un plan

Les droites sont données par les équations canoniques

1.1. Déterminer l'angle entre les lignes

Laissez les lignes dans l'espace à deux dimensions L 1 et L

Ainsi, à partir de la formule (1.4), on peut trouver l'angle entre les lignes L 1 et L 2. Comme on peut le voir sur la Fig.1, les lignes qui se croisent forment des angles adjacents φ et φ une . Si l'angle trouvé est supérieur à 90°, alors vous pouvez trouver l'angle minimum entre les lignes L 1 et L 2: φ 1 =180-φ .

De la formule (1.4) on peut déduire les conditions de parallélisme et de perpendicularité de deux droites.

Exemple 1. Déterminer l'angle entre les lignes

Simplifions et résolvons :

1.2. État des lignes parallèles

Laisser φ =0. Alors cosφ=1. Dans ce cas, l'expression (1.4) prendra la forme suivante :

Exemple 2. Déterminer si les droites sont parallèles

L'égalité (1.9) est satisfaite, donc les droites (1.10) et (1.11) sont parallèles.

Réponse. Les droites (1.10) et (1.11) sont parallèles.

1.3. La condition de perpendicularité des lignes

Laisser φ =90°. Alors cosφ=0. Dans ce cas, l'expression (1.4) prendra la forme suivante :

Exemple 3. Déterminer si les lignes sont perpendiculaires

La condition (1.13) est satisfaite, donc les droites (1.14) et (1.15) sont perpendiculaires.

Réponse. Les droites (1.14) et (1.15) sont perpendiculaires.

Les droites sont données par les équations générales

1.4. Déterminer l'angle entre les lignes

Soit deux lignes L 1 et L 2 sont donnés par des équations générales

A partir de la définition du produit scalaire de deux vecteurs, on a :

Exemple 4. Trouver l'angle entre les lignes

Substitution de valeurs UN 1 , B 1 , UN 2 , B 2 dans (1.23), on obtient :

Cet angle est supérieur à 90°. Trouvez l'angle minimum entre les lignes. Pour ce faire, soustrayez cet angle de 180 :

D'autre part, la condition des droites parallèles L 1 et L 2 est équivalent à la condition des vecteurs colinéaires n 1 et n 2 et peut être représenté comme suit :

L'égalité (1.24) est satisfaite, donc les droites (1.26) et (1.27) sont parallèles.

Réponse. Les droites (1.26) et (1.27) sont parallèles.

1.6. La condition de perpendicularité des lignes

La condition de perpendicularité des lignes L 1 et L 2 peut être extrait de la formule (1.20) en remplaçant parce que(φ )=0. Alors le produit scalaire ( n 1 ,n 2)=0. Où

L'égalité (1.28) est satisfaite, donc les droites (1.29) et (1.30) sont perpendiculaires.

Réponse. Les droites (1.29) et (1.30) sont perpendiculaires.

2. Angle entre les lignes dans l'espace

2.1. Déterminer l'angle entre les lignes

Laisse les lignes dans l'espace L 1 et L 2 sont donnés par les équations canoniques

où | q 1 | et | q 2 | modules de vecteur de direction q 1 et q 2 respectivement, φ -angle entre les vecteurs q 1 et q 2 .

De l'expression (2.3) on obtient :

.

Simplifions et résolvons :

.

Trouvons le coin φ

Il sera utile pour chaque élève qui se prépare à l'examen de mathématiques de répéter le sujet "Trouver l'angle entre les lignes". Comme le montrent les statistiques, lors de la réussite d'un test de certification, les tâches de cette section de la stéréométrie causent des difficultés pour un grand nombreétudiants. Dans le même temps, les tâches nécessitant de trouver l'angle entre des lignes droites se trouvent dans l'USE à la fois de base et niveau de profil. Cela signifie que tout le monde devrait pouvoir les résoudre.

Moments de base

Il y a 4 types dans l'espace position relative direct. Ils peuvent coïncider, se croiser, être parallèles ou se croiser. L'angle entre eux peut être aigu ou droit.

Pour trouver l'angle entre les lignes dans l'examen d'État unifié ou, par exemple, dans la solution, les écoliers de Moscou et d'autres villes peuvent utiliser plusieurs méthodes pour résoudre les problèmes de cette section de stéréométrie. Vous pouvez compléter la tâche par des constructions classiques. Pour ce faire, il convient d'apprendre les axiomes et théorèmes de base de la stéréométrie. L'élève doit être capable de construire logiquement un raisonnement et de créer des dessins afin d'amener la tâche à un problème planimétrique.

Vous pouvez également utiliser la méthode des coordonnées vectorielles, en utilisant des formules, des règles et des algorithmes simples. L'essentiel dans ce cas est d'effectuer correctement tous les calculs. Le projet éducatif Shkolkovo vous aidera à perfectionner vos compétences dans la résolution de problèmes de stéréométrie et d'autres sections du cours scolaire.