Définition et formule de l'accélération centripète. mouvement de rotation

Lorsqu'il se déplace le long d'un cercle avec une vitesse linéaire constante υ, le corps a une accélération centripète constante dirigée vers le centre du cercle

un c \u003d υ 2 / R, (18)

où R est le rayon du cercle.

Dérivation de la formule de l'accélération centripète

Par définition.

Figure 6 Dérivation de la formule de l'accélération centripète

Sur la figure, les triangles formés par les vecteurs des déplacements et des vitesses sont semblables. Étant donné que == R et == υ, de la similarité des triangles on trouve :

(20)

(21)

Plaçons l'origine au centre du cercle et choisissons le plan dans lequel se trouve le cercle comme plan (x, y). La position d'un point sur un cercle à tout moment est uniquement déterminée par l'angle polaire φ, mesuré en radians (rad), et

x = R cos(φ + φ 0), y = R sin(φ + φ 0), (22)

où φ 0 définit phase initiale(position initiale d'un point sur un cercle à l'instant zéro).

Dans le cas d'une rotation uniforme, l'angle φ, mesuré en radians, croît linéairement avec le temps :

φ = ωt, (23)

où ω est appelée la fréquence cyclique (circulaire). Dimension de la fréquence cyclique : [ω] = c –1 = Hz.

La fréquence cyclique est égale à l'angle de rotation (mesuré en rad) par unité de temps, elle est donc autrement appelée vitesse angulaire.

La dépendance des coordonnées d'un point sur un cercle au temps dans le cas d'une rotation uniforme avec une fréquence donnée peut s'écrire :

x= R cos(ωt + φ 0), (24)

y = R sin(ωt + φ 0).

Le temps qu'il faut pour faire un tour complet s'appelle la période T.

Fréquence ν = 1/T. (25)

Unité de fréquence : [ν] = s –1 = Hz.

Relation de la fréquence cyclique avec la période et la fréquence : 2π = ωT, d'où

ω = 2π/T = 2πν. (26)

La relation entre la vitesse linéaire et la vitesse angulaire se trouve à partir de l'égalité :

2πR = υT, d'où

υ = 2πR/T = ωR. (27)

L'expression de l'accélération centripète peut s'écrire différentes façons, en utilisant les relations entre vitesse, fréquence et période :

un c \u003d υ 2 / R \u003d ω 2 R \u003d 4π 2 ν 2 R \u003d 4π 2 R / T 2. (28)

4.6 Relation entre les mouvements de translation et de rotation

Les principales caractéristiques cinématiques du mouvement en ligne droite à accélération constante : déplacement s, vitesse υ et accélération un. Caractéristiques pertinentes lors d'un déplacement sur un cercle de rayon R : déplacement angulaire φ, vitesse angulaire ω et accélération angulaire ε (si le corps tourne à vitesse variable).

À partir de considérations géométriques, les relations suivantes entre ces caractéristiques s'ensuivent :

déplacement s → déplacement angulaire φ = s/R ;

vitesse υ → vitesse angulaire ω = υ /R ;

accélération un→ accélération angulaire ε = un/R.

Toutes les formules de cinématique mouvement uniformément accéléré le long d'une ligne droite peut être convertie en formules pour la cinématique de rotation le long d'un cercle, si les substitutions indiquées sont faites. Par exemple:

s = υt → φ = ωt, (29)

υ = υ 0 + un t → ω = ω 0 + ε t. (29a)

La relation entre les vitesses linéaire et angulaire d'un point lors de la rotation autour d'un cercle peut être écrite sous forme vectorielle. En effet, supposons que le cercle centré à l'origine soit situé dans le plan (x, y). A tout moment, le vecteur , tiré de l'origine des coordonnées jusqu'à un point du cercle où se trouve le corps, est perpendiculaire au vecteur vitesse du corps dirigée tangente au cercle en ce point. Définissons le vecteur , qui est égale en valeur absolue à la vitesse angulaire ω et est dirigée le long de l'axe de rotation vers le côté, qui est déterminé par la règle de la vis droite : si vous vissez la vis de sorte que le sens de sa rotation coïncide avec le sens de rotation du point le long du cercle, alors le sens du mouvement de la vis indique le sens du vecteur . Alors la connexion de trois vecteurs mutuellement perpendiculaires ,et peut être écrit en utilisant le produit croisé de vecteurs.

Un objet qui se déplace sur une orbite circulaire de rayon rà vitesse tangentielle uniforme tu est le vecteur vitesse v, dont la grandeur est constante, mais dont la direction change constamment. Il s'ensuit que l'objet doit avoir une accélération, puisque (vecteur) est le taux de variation de la vitesse (vectorielle), et la vitesse (vectorielle) est en effet différente dans le temps.

Supposons qu'un objet se déplace d'un point P jusqu'au point Q entre temps t et, t + δ t comme le montre l'image ci-dessus. Supposons en outre que l'objet est tourné de δθ radians pendant cette période. Le vecteur , comme indiqué dans le diagramme, est identique au vecteur . De plus, l'angle entre les vecteurs et ce δθ . Le vecteur représente la variation du vecteur vitesse, δ v, entre temps t et t + δ t. Il en ressort clairement que ce vecteur est dirigé vers le centre du cercle. De la trigonométrie standard, longueur du vecteur :

Cependant, aux petits angles péché θ ≃ θ , à condition que θ mesurée en radians. Par conséquent,

δv ≃ v δθ.

où est la vitesse angulaire de l'objet en radians par seconde. Ainsi, un objet se déplaçant sur une orbite circulaire de rayon r, à une vitesse tangentielle uniforme v, et la vitesse angulaire uniforme , a une accélération dirigée vers le centre du cercle - c'est-à-dire, accélération centripète- évaluer:

Supposons que le corps, la masse m, fixé à l'extrémité du câble, longueur r, et tourne de manière à ce que le corps décrive un cercle horizontal de rayon r, avec une vitesse tangentielle uniforme v. Comme nous venons de l'apprendre, le corps a une accélération centripète de magnitude . Par conséquent, le corps subit une force centripète

Qu'est-ce qui donne cette force ? D'accord, sur cet exemple, la force est fournie par la tension du câble. Par conséquent, .

Supposons que le câble soit tel qu'il se rompe lorsque la tension qu'il contient dépasse une certaine valeur critique. Il s'ensuit qu'il existe une vitesse maximale avec laquelle le corps peut se déplacer, à savoir :

Si un v dépasse vmax, le câble se cassera. Dès que le câble casse, le corps ne subira plus de force centripète, il se déplacera donc à une vitesse vmax en ligne droite tangente à l'orbite circulaire préexistante.

Définition

accélération centripète est appelée la composante de l'accélération totale d'un point matériel se déplaçant le long d'une trajectoire curviligne, qui détermine le taux de variation de la direction du vecteur vitesse.

L'autre composante de l'accélération totale est l'accélération tangentielle, qui est responsable de la variation de l'amplitude de la vitesse. Désigne l'accélération centripète, généralement $(\overline(a))_n$. L'accélération centripète est aussi appelée normale.

L'accélération centripète vaut :

\[(\overline(a))_n=\frac(v^2)(r^2)\overline(r\ )=\frac(v^2)(r)(\overline(e))_r\left (1\droite),\]

où $(\overline(e))_r=\frac(\overline(r\ ))(r)$ est un vecteur unitaire dirigé du centre de courbure de la trajectoire vers le point considéré ; $r$ est le rayon de courbure de la trajectoire à l'emplacement du point matériel à l'instant considéré.

H. Huygens a été le premier à obtenir des formules correctes pour calculer l'accélération centripète.

L'unité d'accélération centripète dans système international unités est le mètre divisé par la seconde au carré :

\[\left=\frac(m)(s^2).\]

La formule de l'accélération centripète avec un mouvement uniforme d'un point le long d'un cercle

Considérons le mouvement uniforme d'un point matériel le long d'un cercle. Avec un tel déplacement, la valeur de la vitesse d'un point matériel est inchangée ($v=const$). Mais cela ne signifie pas que l'accélération totale d'un point matériel dans ce type de mouvement est nulle. Le vecteur vitesse instantanée est dirigé tangentiellement au cercle le long duquel le point se déplace. Par conséquent, dans ce mouvement, la vitesse change constamment de direction. Il s'ensuit que le point a une accélération.

Considérons les points A et B situés sur la trajectoire de la particule. Nous trouvons le vecteur de changement de vitesse pour les points A et B comme :

\[\Delta \overline(v)=(\overline(v))"-\overline(v)\left(2\right).\]

Si le temps mis pour se déplacer du point A au point B tend vers zéro, alors l'arc AB ne diffère pas beaucoup de la corde AB. Les triangles AOB et BMN sont semblables, on obtient :

\[\frac(\Delta v)(v)=\frac(\Delta l)(R)=\alpha \left(3\right).\]

La valeur du module d'accélération moyenne est déterminée comme suit :

\[\left\langle a\right\rangle =\frac(\Delta v)(\Delta t)=\frac(v\Delta l)(R\Delta t)\left(4\right).\]

Passons à la limite en $\Delta t\to 0\ $ de $\left\langle a\right\rangle \ \ $ dans la formule (4) :

Le vecteur accélération moyenne fait un angle égal au vecteur vitesse :

\[\beta =\frac(\pi +\alpha )(2)\left(6\right).\]

Pour $\Delta t\to 0\ $ l'angle est $\alpha \to 0.$ Il s'avère que le vecteur accélération instantanée fait un angle $\frac(\pi )(2)$ avec le vecteur vitesse.

Et pour qu'un point matériel se déplaçant uniformément le long d'un cercle ait une accélération dirigée vers le centre du cercle ($(\overline(a))_n\bot \overline(v)$), sa valeur est égale à la vitesse carré divisé par le rayon des cercles :

où $\omega $ est la vitesse angulaire du point matériel ($v=\omega \cdot R$). Sous forme vectorielle, la formule de l'accélération centripète peut être écrite sur la base de (7) comme suit :

\[(\overline(a))_n=-(\omega )^2\overline(R)\ \left(8\right),\]

où $\overline(R)$ est le rayon-vecteur, de longueur égale au rayon de l'arc de cercle, dirigé du centre de courbure à l'emplacement du point matériel considéré.

Exemples de problèmes avec une solution

Exemple 1

Exercer.Équation vectorielle $\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin \left(\omega t\right )\ )\ )$, où $\omega =2\ \frac(rad)(c),$ décrit le mouvement d'un point matériel. Quelle est la trajectoire point donné? Quel est le module de son accélération centripète ? Considérez que toutes les quantités sont dans le système SI.

La solution. Considérons l'équation du mouvement d'un point :

\[\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin (\omega t)\ )\ ) \ \gauche(1.1\droite).\]

Dans un repère cartésien, cette équation est équivalente au système d'équations :

\[\left\( \begin(array)(c) x=(\cos \left(\omega t\right);;\ ) \\ y=(\sin \left(\omega t\right)\ ) \end(array)\left(1.2\right).\right.\]

Afin de comprendre sur quelle trajectoire le point se déplace, nous devons exclure le temps des équations du système (1.2). Pour ce faire, nous élevons les deux équations au carré et les additionnons :

De l'équation (1.3) on voit que la trajectoire du point est un cercle (Fig. 2) de rayon $R=1$ m.

Pour trouver l'accélération centripète, on utilise la formule :

Nous déterminons le module de vitesse à l'aide du système d'équations (1.2). Trouvons les composantes de vitesse égales à :

\[\left\( \begin(array)(c) v_x=\frac(dx)(dt)=-\omega (\sin \left(\omega t\right)\ ), \\ v_y=\frac( dy)(dt)=\omega ((\cos \left(\omega t\right)\ ) ,\ ) \end(array) \right.\left(1.5\right).\]

Le carré du module de vitesse sera égal à :

D'après ce que le module de vitesse (1.6) s'est avéré être, nous voyons que notre point se déplace uniformément autour du cercle, par conséquent, l'accélération centripète coïncidera avec l'accélération totale.

En substituant $v^2$ de (1.6) dans la formule (1.4), nous avons :

Calculons $a_n$ :

$a_n=\frac(4)(1)=4\ \left(\frac(m)(c^2)\right).$

Réponse. 1) Cercle ; 2) $a_n=4\ \frac(m)(c^2)$

Exemple 2

Exercer. Quelle est l'accélération centripète des points sur le bord du disque au temps $t=2$c si le disque tourne selon l'équation : $\varphi (t)=3+2t^3$ ? Le rayon du disque est $R=0,(\rm 1)$ m.

La solution. L'accélération centripète des points du disque sera recherchée en appliquant la formule :

Nous trouvons la vitesse angulaire en utilisant l'équation $\varphi (t)=3+2t^3$ comme suit :

\[\omega =\frac(d\varphi )(dt)=6t^2.\ \]

Pour $t=2\ $c la vitesse angulaire est :

\[\omega \left(t=2\right)=24\ \left(\frac(rad)(c)\right).\]

Vous pouvez calculer l'accélération centripète à l'aide de la formule (2.1) :

Réponse.$a_n=57.6\frac(m)(s^2)$

Nous permet d'exister sur cette planète. Comment pouvez-vous comprendre ce qui constitue une accélération centripète ? Définition de ce quantité physique présenté ci-dessous.

Observations

L'exemple le plus simple de l'accélération d'un corps se déplaçant en cercle peut être observé en faisant tourner une pierre sur une corde. Vous tirez sur la corde, et la corde tire le rocher vers le centre. A chaque instant, la corde donne à la pierre un certain mouvement, et à chaque fois dans une nouvelle direction. Vous pouvez imaginer le mouvement de la corde comme une série de secousses faibles. Une secousse - et la corde change de direction, une autre secousse - un autre changement, et ainsi de suite en cercle. Si vous lâchez soudainement la corde, les secousses s'arrêteront et, avec elles, le changement de direction de la vitesse s'arrêtera. La pierre se déplacera dans la direction tangente au cercle. La question se pose : "Avec quelle accélération le corps se déplacera-t-il à cet instant ?"

formule de l'accélération centripète

Tout d'abord, il convient de noter que le mouvement du corps en cercle est complexe. La pierre participe à deux types de mouvement à la fois : sous l'action d'une force, elle se déplace vers le centre de rotation, et en même temps, tangentiellement au cercle, elle s'éloigne de ce centre. Selon la deuxième loi de Newton, la force qui maintient une pierre sur une corde est dirigée vers le centre de rotation le long de cette corde. Le vecteur d'accélération y sera également dirigé.

Soit pendant un certain temps t, notre pierre, se déplaçant uniformément à une vitesse V, va du point A au point B. Supposons qu'au moment où le corps franchit le point B, la force centripète cesse d'agir sur lui. Ensuite, pendant un certain temps, il toucherait le point K. Il se trouve sur la tangente. Si en même temps seules des forces centripètes agissaient sur le corps, alors au temps t, se déplaçant avec la même accélération, il aboutirait au point O, qui est situé sur une droite représentant le diamètre d'un cercle. Les deux segments sont des vecteurs et obéissent à la règle d'addition vectorielle. Par suite de la sommation de ces deux mouvements pendant une durée t, on obtient le mouvement résultant le long de l'arc AB.

Si l'intervalle de temps t est pris négligeable, alors l'arc AB différera peu de la corde AB. Ainsi, il est possible de remplacer le mouvement selon un arc par un mouvement selon une corde. Dans ce cas, le mouvement de la pierre le long de la corde obéira aux lois du mouvement rectiligne, c'est-à-dire que la distance AB parcourue sera égale au produit de la vitesse de la pierre et du temps de son mouvement. AB = V x t.

Notons l'accélération centripète souhaitée par la lettre a. Ensuite, le chemin parcouru uniquement sous l'action de l'accélération centripète peut être calculé à l'aide de la formule du mouvement uniformément accéléré :

La distance AB est égale au produit de la vitesse et du temps, soit AB = V x t,

AO - calculé plus tôt en utilisant la formule de mouvement uniformément accéléré pour se déplacer en ligne droite : AO = à 2/2.

En remplaçant ces données dans la formule et en les transformant, nous obtenons une formule simple et élégante pour l'accélération centripète :

En mots, cela peut être exprimé comme suit : l'accélération centripète d'un corps se déplaçant dans un cercle est égale au quotient de la division de la vitesse linéaire au carré par le rayon du cercle le long duquel le corps tourne. La force centripète dans ce cas ressemblera à l'image ci-dessous.

Vitesse angulaire

La vitesse angulaire est égale à la vitesse linéaire divisée par le rayon du cercle. L'inverse est également vrai : V = ωR, où ω est la vitesse angulaire

Si nous remplaçons cette valeur dans la formule, nous pouvons obtenir l'expression de l'accélération centrifuge pour la vitesse angulaire. Il ressemblera à ceci:

Accélération sans changement de vitesse

Et pourtant, pourquoi un corps avec une accélération dirigée vers le centre ne se déplace-t-il pas plus vite et ne se rapproche-t-il pas du centre de rotation ? La réponse réside dans le libellé de l'accélération elle-même. Les faits montrent que le mouvement circulaire est réel, mais qu'il nécessite une accélération vers le centre pour le maintenir. Sous l'action de la force provoquée par cette accélération, il y a un changement dans l'élan, à la suite duquel la trajectoire du mouvement est constamment courbée, changeant tout le temps la direction du vecteur vitesse, mais ne le changeant pas valeur absolue. Se déplaçant en cercle, notre pierre qui souffre depuis longtemps se précipite vers l'intérieur, sinon elle continuerait à se déplacer tangentiellement. A chaque instant, partant sur une tangente, la pierre est attirée vers le centre, mais n'y tombe pas. Un autre exemple d'accélération centripète serait un skieur nautique faisant de petits cercles sur l'eau. La figure de l'athlète est inclinée; il semble tomber, continuer à bouger et se pencher en avant.

Ainsi, nous pouvons conclure que l'accélération n'augmente pas la vitesse du corps, puisque les vecteurs vitesse et accélération sont perpendiculaires l'un à l'autre. Ajoutée au vecteur vitesse, l'accélération ne fait que modifier la direction du mouvement et maintient le corps en orbite.

Marge de sécurité dépassée

Dans l'expérience précédente, nous avions affaire à une corde idéale qui ne cassait pas. Mais, disons que notre corde est la plus courante, et vous pouvez même calculer l'effort après lequel elle se cassera tout simplement. Pour calculer cette force, il suffit de comparer la marge de sécurité de la corde avec la charge qu'elle subit lors de la rotation de la pierre. En faisant tourner la pierre à une vitesse plus élevée, vous lui donnez plus de mouvement, et donc plus d'accélération.

Avec un diamètre de corde de jute d'environ 20 mm, sa résistance à la traction est d'environ 26 kN. Il est à noter que la longueur de la corde n'apparaît nulle part. En faisant tourner une charge de 1 kg sur une corde de 1 m de rayon, on peut calculer que la vitesse linéaire nécessaire pour la rompre est de 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m. Ainsi, la vitesse qu'il est dangereux de dépasser sera être égal à √ 26 x 10 3 \u003d 161 m / s.

La gravité

Lors de l'examen de l'expérience, nous avons négligé l'action de la gravité, car à des vitesses aussi élevées, son influence est négligeable. Mais vous pouvez voir qu'en déroulant une longue corde, le corps décrit une trajectoire plus complexe et se rapproche progressivement du sol.

corps célestes

Si nous transférons les lois du mouvement circulaire dans l'espace et les appliquons au mouvement des corps célestes, nous pouvons redécouvrir plusieurs formules familières depuis longtemps. Par exemple, la force avec laquelle un corps est attiré vers la Terre est connue par la formule :

Dans notre cas, le facteur g est l'accélération centripète très dérivée de la formule précédente. Seulement dans ce cas, le rôle d'une pierre sera joué par un corps céleste attiré par la Terre, et le rôle d'une corde sera la force d'attraction de la Terre. Le facteur g sera exprimé en fonction du rayon de notre planète et de la vitesse de sa rotation.

Résultats

L'essence de l'accélération centripète est le travail dur et ingrat de maintenir un corps en mouvement en orbite. Il y a un cas paradoxal où accélération constante le corps ne change pas sa vitesse. Pour un esprit non entraîné, une telle affirmation est plutôt paradoxale. Néanmoins, lors du calcul du mouvement d'un électron autour du noyau, et lors du calcul de la vitesse de rotation d'une étoile autour d'un trou noir, l'accélération centripète joue un rôle important.