Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer bestimmten Funktion. Ableitungsgraph

Aufgabe B9 gibt einen Graphen einer Funktion oder Ableitung an, aus dem Sie eine der folgenden Größen bestimmen müssen:

1. Der Wert der Ableitung an einem Punkt x 0,
2. Maximale oder minimale Punkte (Extrempunkte),
3. Intervalle steigender und fallender Funktionen (Intervalle der Monotonie).

Die in diesem Problem vorgestellten Funktionen und Ableitungen sind immer stetig, was die Lösung erheblich erleichtert. Trotz der Tatsache, dass die Aufgabe zum Abschnitt gehört mathematische Analyse, es liegt durchaus im Leistungsvermögen selbst der schwächsten Studierenden, da hier keine tiefen theoretischen Kenntnisse erforderlich sind.

Um den Wert der Ableitung, der Extrempunkte und der Monotonieintervalle zu ermitteln, gibt es einfache und universelle Algorithmen – alle werden im Folgenden besprochen.

Lesen Sie die Bedingungen der Aufgabe B9 sorgfältig durch, um dumme Fehler zu vermeiden: Manchmal stößt man auf ziemlich lange Texte, aber wichtige Bedingungen, die den Verlauf der Entscheidung beeinflussen, gibt es nur wenige.

Berechnung des Ableitungswertes. Zwei-Punkte-Methode

Wenn dem Problem ein Graph einer Funktion gegeben ist f(x), tangential zu diesem Graphen an einem Punkt x 0, und es erforderlich ist, den Wert der Ableitung an diesem Punkt zu finden, wird der folgende Algorithmus angewendet:

1. Finden Sie zwei „geeignete“ Punkte im Tangentendiagramm: Ihre Koordinaten müssen ganzzahlig sein. Bezeichnen wir diese Punkte als A (x 1 ; y 1) und B (x 2 ; y 2). Schreiben Sie die Koordinaten richtig auf – das ist ein zentraler Punkt der Lösung, und jeder Fehler hier führt zu einer falschen Antwort.
2. Wenn man die Koordinaten kennt, ist es einfach, das Inkrement des Arguments Δx = x 2 − x 1 und das Inkrement der Funktion Δy = y 2 − y 1 zu berechnen.
3. Schließlich finden wir den Wert der Ableitung D = Δy/Δx. Mit anderen Worten: Sie müssen das Inkrement der Funktion durch das Inkrement des Arguments dividieren – und das ist die Antwort.

Beachten wir noch einmal: Die Punkte A und B müssen genau auf der Tangente gesucht werden und nicht auf dem Graphen der Funktion f(x), wie es oft der Fall ist. Die Tangente muss unbedingt mindestens zwei solcher Punkte enthalten, sonst wird das Problem nicht richtig formuliert.

Betrachten Sie die Punkte A (−3; 2) und B (−1; 6) und ermitteln Sie die Inkremente:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Finden wir den Wert der Ableitung: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f(x) und eine Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0 .

Betrachten Sie die Punkte A (0; 3) und B (3; 0) und ermitteln Sie die Inkremente:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Nun ermitteln wir den Wert der Ableitung: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f(x) und eine Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0 .

Betrachten Sie die Punkte A (0; 2) und B (5; 2) und ermitteln Sie die Inkremente:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Es bleibt noch der Wert der Ableitung zu finden: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Aus dem letzten Beispiel können wir eine Regel formulieren: Wenn die Tangente parallel zur OX-Achse verläuft, ist die Ableitung der Funktion am Tangentialpunkt Null. In diesem Fall müssen Sie nicht einmal etwas zählen – schauen Sie sich einfach die Grafik an.

Berechnung der maximalen und minimalen Punkte

Manchmal gibt Problem B9 anstelle eines Graphen einer Funktion einen Graphen der Ableitung an und erfordert die Ermittlung des Maximal- oder Minimalpunkts der Funktion. In dieser Situation ist die Zwei-Punkte-Methode nutzlos, aber es gibt einen anderen, noch einfacheren Algorithmus. Definieren wir zunächst die Terminologie:

1. Der Punkt x 0 heißt Maximalpunkt der Funktion f(x), wenn in einer Umgebung dieses Punktes die folgende Ungleichung gilt: f(x 0) ≥ f(x).
2. Der Punkt x 0 heißt Minimalpunkt der Funktion f(x), wenn in einer Umgebung dieses Punktes die folgende Ungleichung gilt: f(x 0) ≤ f(x).

Um die maximalen und minimalen Punkte aus dem Ableitungsdiagramm zu ermitteln, befolgen Sie einfach diese Schritte:

1. Zeichnen Sie den Ableitungsgraphen neu und entfernen Sie alle unnötigen Informationen. Wie die Praxis zeigt, beeinträchtigen unnötige Daten nur die Entscheidung. Deshalb markieren wir die Nullstellen der Ableitung auf der Koordinatenachse – und das war’s.
2. Finden Sie die Vorzeichen der Ableitung der Intervalle zwischen Nullen heraus. Wenn für einen Punkt x 0 bekannt ist, dass f'(x 0) ≠ 0, dann sind nur zwei Optionen möglich: f'(x 0) ≥ 0 oder f'(x 0) ≤ 0. Das Vorzeichen der Ableitung ist aus der Originalzeichnung leicht zu ermitteln: Wenn der Ableitungsgraph oberhalb der OX-Achse liegt, dann ist f'(x) ≥ 0. Und umgekehrt, wenn der Ableitungsgraph unterhalb der OX-Achse liegt, dann ist f'(x) ≤ 0.
3. Wir überprüfen noch einmal die Nullstellen und Vorzeichen der Ableitung. Wo das Vorzeichen von Minus zu Plus wechselt, ist der Mindestpunkt. Ändert sich umgekehrt das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus, ist dies der Maximalpunkt. Gezählt wird immer von links nach rechts.

Dieses Schema funktioniert nur für kontinuierliche Funktionen – andere gibt es in Aufgabe B9 nicht.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−5; 5]. Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion f(x) auf diesem Segment.

Lassen Sie uns unnötige Informationen loswerden und nur die Grenzen [−5; 5] und Nullstellen der Ableitung x = −3 und x = 2,5. Wir beachten auch die Zeichen:

Offensichtlich ändert sich am Punkt x = −3 das Vorzeichen der Ableitung von Minus nach Plus. Dies ist die Mindestpunktzahl.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−3; 7]. Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion f(x) auf diesem Segment.

Zeichnen wir den Graphen neu und lassen nur die Grenzen [−3; 7] und Nullstellen der Ableitung x = −1,7 und x = 5. Beachten wir die Vorzeichen der Ableitung im resultierenden Diagramm. Wir haben:

Offensichtlich ändert sich am Punkt x = 5 das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus – dies ist der Maximalpunkt.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−6; 4]. Finden Sie die Anzahl der Maximalpunkte der Funktion f(x), die zum Segment [−4; 3].

Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass es ausreicht, nur den durch das Segment [−4; 3]. Deshalb erstellen wir einen neuen Graphen, auf dem wir nur die Grenzen markieren [−4; 3] und Nullstellen der darin enthaltenen Ableitung. Nämlich die Punkte x = −3,5 und x = 2. Wir erhalten:

In diesem Diagramm gibt es nur einen Maximalpunkt x = 2. An diesem Punkt ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus.

Eine kleine Anmerkung zu Punkten mit nicht ganzzahligen Koordinaten. Beispielsweise wurde im letzten Problem der Punkt x = −3,5 berücksichtigt, aber mit dem gleichen Erfolg können wir x = −3,4 annehmen. Bei richtiger Problemstellung dürften solche Änderungen keinen Einfluss auf die Lösung haben, da die Punkte „ohne festen Wohnsitz“ keinen unmittelbaren Beitrag zur Lösung des Problems leisten. Natürlich funktioniert dieser Trick nicht mit ganzzahligen Punkten.

Finden von Intervallen steigender und fallender Funktionen

Bei einem solchen Problem wie den Maximal- und Minimalpunkten wird vorgeschlagen, den Ableitungsgraphen zu verwenden, um Bereiche zu finden, in denen die Funktion selbst zunimmt oder abnimmt. Definieren wir zunächst, was Zunahme und Abnahme sind:

1. Eine Funktion f(x) heißt auf einem Segment wachsend, wenn für zwei beliebige Punkte x 1 und x 2 aus diesem Segment die folgende Aussage gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Mit anderen Worten: Je größer der Argumentwert, desto größer der Funktionswert.
2. Eine Funktion f(x) heißt auf einem Segment abnehmend, wenn für zwei beliebige Punkte x 1 und x 2 aus diesem Segment die folgende Aussage gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Diese. höherer Wert Das Argument entspricht dem kleineren Wert der Funktion.

Lassen Sie uns ausreichende Bedingungen für die Erhöhung und Verringerung formulieren:

1. Damit kontinuierliche Funktion f(x) auf dem Segment zunimmt, reicht es aus, dass seine Ableitung innerhalb des Segments positiv ist, d. h. f’(x) ≥ 0.
2. Damit eine stetige Funktion f(x) auf dem Segment abnimmt, reicht es aus, dass ihre Ableitung innerhalb des Segments negativ ist, d. h. f’(x) ≤ 0.

Akzeptieren wir diese Aussagen ohne Beweise. Somit erhalten wir ein Schema zum Finden von Anstiegs- und Abfallintervallen, das in vielerlei Hinsicht dem Algorithmus zur Berechnung von Extrempunkten ähnelt:

1. Entfernen Sie alle unnötigen Informationen. Im Originalgraphen der Ableitung interessieren uns vor allem die Nullstellen der Funktion, daher belassen wir nur diese.
2. Markieren Sie die Vorzeichen der Ableitung in den Abständen zwischen den Nullen. Wenn f’(x) ≥ 0, nimmt die Funktion zu, und wenn f’(x) ≤ 0, nimmt sie ab. Wenn das Problem Einschränkungen für die Variable x vorsieht, markieren wir diese zusätzlich in einem neuen Diagramm.
3. Nachdem wir nun das Verhalten der Funktion und die Einschränkungen kennen, müssen wir noch die für das Problem erforderliche Menge berechnen.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−3; 7.5]. Finden Sie die Abnahmeintervalle der Funktion f(x). Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzen Zahlen an.

Zeichnen wir wie üblich den Graphen neu und markieren die Grenzen [−3; 7.5], sowie Nullstellen der Ableitung x = −1.5 und x = 5.3. Dann notieren wir die Vorzeichen der Ableitung. Wir haben:

Da die Ableitung im Intervall (− 1,5) negativ ist, ist dies das Intervall der abnehmenden Funktion. Es müssen noch alle ganzen Zahlen summiert werden, die innerhalb dieses Intervalls liegen:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert im Intervall [−10; 4]. Finden Sie die Anstiegsintervalle der Funktion f(x). Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten davon an.

Lassen Sie uns unnötige Informationen loswerden. Lassen wir nur die Grenzen [−10; 4] und Nullstellen der Ableitung, von denen es diesmal vier gab: x = −8, x = −6, x = −3 und x = 2. Markieren wir die Vorzeichen der Ableitung und erhalten das folgende Bild:

Uns interessieren die Intervalle zunehmender Funktion, d.h. So ist f’(x) ≥ 0. Es gibt zwei solcher Intervalle im Diagramm: (−8; −6) und (−3; 2). Berechnen wir ihre Längen:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Da wir die Länge des größten Intervalls ermitteln müssen, schreiben wir als Antwort den Wert l 2 = 5.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert im Intervall [–5; 6]. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte auf dem Graphen von f(x), an denen jeweils die an den Graphen der Funktion gezogene Tangente mit der x-Achse zusammenfällt oder parallel zu dieser verläuft

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der differenzierbaren Funktion y = f(x).

Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte im Funktionsgraphen, die zum Segment [–7; 7], bei dem die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zu der durch die Gleichung y = –3x angegebenen Geraden verläuft.

Der Materialpunkt M beginnt sich von Punkt A aus zu bewegen und bewegt sich 12 Sekunden lang in einer geraden Linie. Die Grafik zeigt, wie sich der Abstand von Punkt A zu Punkt M im Laufe der Zeit verändert hat. Die Abszissenachse zeigt die Zeit t in Sekunden und die Ordinatenachse zeigt die Entfernung s in Metern. Bestimmen Sie, wie oft während der Bewegung die Geschwindigkeit des Punktes M auf Null ging (berücksichtigen Sie dabei nicht den Anfang und das Ende der Bewegung).

Die Abbildung zeigt Abschnitte des Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x = 0. Es ist bekannt, dass diese Tangente parallel zur Geraden verläuft, die durch die Punkte des Graphen verläuft mit der Abszisse x = -2 und x = 3. Ermitteln Sie damit den Wert der Ableitung f"(o).

Die Abbildung zeigt einen Graphen von y = f’(x) – die Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Segment (−11; 2). Finden Sie die Abszisse des Punktes, an dem die Tangente an den Graphen der Funktion y = f(x) parallel zur Abszisse verläuft oder mit ihr zusammenfällt.

Ein materieller Punkt bewegt sich geradlinig gemäß dem Gesetz x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, wobei x der Abstand vom Referenzpunkt in Metern ist, t die Zeit in Sekunden ist, gemessen vom Beginn der Bewegung an. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) betrug seine Geschwindigkeit 2 m/s?

Ein materieller Punkt bewegt sich entlang einer geraden Linie von der Anfangs- zur Endposition. Die Abbildung zeigt ein Diagramm seiner Bewegung. Die Abszissenachse zeigt die Zeit in Sekunden und die Ordinatenachse zeigt die Entfernung von der Anfangsposition des Punktes (in Metern). Finden Durchschnittsgeschwindigkeit Punktbewegung. Geben Sie Ihre Antwort in Metern pro Sekunde an.

Die Funktion y = f (x) ist auf dem Intervall [-4; 4]. Die Abbildung zeigt einen Graphen seiner Ableitung. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte im Diagramm der Funktion y = f (x), deren Tangente einen Winkel von 45° mit der positiven Richtung der Ox-Achse bildet.

Die Funktion y = f (x) ist auf dem Intervall [-2; 4]. Die Abbildung zeigt einen Graphen seiner Ableitung. Finden Sie die Abszisse des Punktes im Graphen der Funktion y = f (x), an dem sie ankommt kleinster Wert auf dem Segment [-2; -0,001].

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f(x) und eine Tangente an diesen Graphen, gezeichnet am Punkt x0. Der Tangens ergibt sich aus der Gleichung y = -2x + 15. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion y = -(1/4)f(x) + 5 am Punkt x0.

Auf dem Graphen der differenzierbaren Funktion y = f (x) sind sieben Punkte markiert: x1,.., x7. Finden Sie alle markierten Punkte, an denen die Ableitung der Funktion f(x) Über Null. Geben Sie in Ihrer Antwort die Anzahl dieser Punkte an.

Die Abbildung zeigt einen Graphen y = f"(x) der Ableitung der Funktion f(x), definiert im Intervall (-10; 2). Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion f liegt (x) ist parallel zur Geraden y = -2x-11 oder fällt mit dieser zusammen.

Die Abbildung zeigt einen Graphen von y=f"(x) - der Ableitung der Funktion f(x). Auf der Abszissenachse sind neun Punkte markiert: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Wie viele dieser Punkte gehören zu den Intervallen der abnehmenden Funktion f(x)?

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f(x) und eine Tangente an diesen Graphen, gezeichnet am Punkt x0. Der Tangens ergibt sich aus der Gleichung y = 1,5x + 3,5. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion y = 2f(x) - 1 am Punkt x0.

Die Abbildung zeigt den Graphen y=F(x) einer der Stammfunktionen der Funktion f (x). Im Diagramm sind sechs Punkte mit den Abszissen x1, x2, ..., x6 markiert. An wie vielen dieser Punkte nimmt die Funktion y=f(x) negative Werte an?

Die Abbildung zeigt ein Diagramm der Bewegung des Autos entlang der Route. Die Abszisse zeigt die Zeit (in Stunden) und die Ordinate zeigt die zurückgelegte Strecke (in Kilometern). Finden Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos auf dieser Route. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an

Ein materieller Punkt bewegt sich geradlinig gemäß dem Gesetz x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, wobei x der Abstand vom Referenzpunkt (in Metern) und t die Zeit ist der Bewegung (in Sekunden). Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t=6 s

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Stammfunktion y = F(x) einer Funktion y = f(x), definiert im Intervall (-6; 7). Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Nullstellen der Funktion f(x) in diesem Intervall.

Die Abbildung zeigt einen Graphen von y = F(x) einer der Stammfunktionen einer Funktion f(x), definiert auf dem Intervall (-7; 5). Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Lösungen der Gleichung f(x) = 0 im Intervall [- 5; 2].

Die Abbildung zeigt den Graphen der differenzierbaren Funktion y=f(x). Auf der x-Achse sind neun Punkte markiert: x1, x2, ... x9. Finden Sie alle markierten Punkte, an denen die Ableitung der Funktion f(x) negativ ist. Geben Sie in Ihrer Antwort die Anzahl dieser Punkte an.

Ein materieller Punkt bewegt sich geradlinig gemäß dem Gesetz x(t)=12t^3−3t^2+2t, wobei x der Abstand vom Referenzpunkt in Metern und t die Zeit in Sekunden ist, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t=6 s.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x) und eine Tangente an diesen Graphen, gezeichnet am Punkt x0. Die Tangentengleichung ist in der Abbildung dargestellt. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion y=4*f(x)-3 am Punkt x0.

(Abb.1)

Abbildung 1. Ableitungsdiagramm

Eigenschaften von Ableitungsgraphen

1. In zunehmenden Abständen ist die Ableitung positiv. Wenn die Ableitung an einem bestimmten Punkt ein bestimmtes Intervall hat positiver Wert, dann wächst der Graph der Funktion über dieses Intervall.
2. In abnehmenden Abständen ist die Ableitung negativ (mit Minuszeichen). Wenn die Ableitung an einem bestimmten Punkt ein bestimmtes Intervall hat negative Bedeutung, dann nimmt der Graph der Funktion in diesem Intervall ab.
3. Die Ableitung am Punkt x ist gleich der Steigung der Tangente, die am selben Punkt an den Funktionsgraphen gezogen wird.
4. An den Maximal- und Minimalpunkten der Funktion ist die Ableitung gleich Null. Die Tangente an den Funktionsgraphen verläuft an diesem Punkt parallel zur OX-Achse.

Beispiel 1

Bestimmen Sie anhand des Diagramms (Abb. 2) der Ableitung, an welchem ​​Punkt des Segments [-3; 5] Funktion ist maximal.

Abbildung 2. Ableitungsdiagramm

Lösung: Auf diesem Segment ist die Ableitung negativ, was bedeutet, dass die Funktion von links nach rechts abnimmt und Höchster Wert befindet sich auf der linken Seite am Punkt -3.

Beispiel 2

Bestimmen Sie anhand des Diagramms (Abb. 3) der Ableitung die Anzahl der maximalen Punkte auf dem Segment [-11; 3].

Abbildung 3. Ableitungsdiagramm

Lösung: Die maximalen Punkte entsprechen den Punkten, an denen das Vorzeichen der Ableitung von positiv nach negativ wechselt. In diesem Intervall ändert die Funktion zweimal das Vorzeichen von Plus nach Minus – am Punkt -10 und am Punkt -1. Dies bedeutet, dass die maximale Punktzahl zwei beträgt.

Beispiel 3

Bestimmen Sie anhand des Diagramms (Abb. 3) der Ableitung die Anzahl der Mindestpunkte im Segment [-11; -1].

Lösung: Die Mindestpunkte entsprechen den Punkten, an denen das Vorzeichen der Ableitung von negativ nach positiv wechselt. Auf diesem Segment beträgt ein solcher Punkt nur -7. Dies bedeutet, dass die Anzahl der Mindestpunkte in einem bestimmten Segment eins beträgt.

Beispiel 4

Bestimmen Sie anhand des Diagramms (Abb. 3) der Ableitung die Anzahl der Extrempunkte.

Lösung: Die Extrempunkte sind sowohl die Minimal- als auch die Maximalpunkte. Lassen Sie uns die Anzahl der Punkte ermitteln, an denen die Ableitung das Vorzeichen ändert.

Zeigt den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und der Art der Monotonie der Funktion.

Bitte seien Sie bei den folgenden Punkten äußerst vorsichtig. Schauen Sie, der Zeitplan dessen, WAS Ihnen gegeben wird! Funktion oder ihre Ableitung

Wenn ein Diagramm der Ableitung gegeben ist, dann interessieren uns nur die Funktionszeichen und Nullstellen. An irgendwelchen „Hügeln“ oder „Senken“ sind wir grundsätzlich nicht interessiert!

Aufgabe 1.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf dem Intervall definierten Funktion. Bestimmen Sie die Anzahl der ganzzahligen Punkte, an denen die Ableitung der Funktion negativ ist.

Lösung:

In der Abbildung sind die Bereiche abnehmender Funktion farblich hervorgehoben:

Diese abnehmenden Bereiche der Funktion enthalten 4 ganzzahlige Werte.

Aufgabe 2.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf dem Intervall definierten Funktion. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Geraden verläuft oder mit ihr zusammenfällt.

Lösung:

Sobald die Tangente an den Graphen einer Funktion parallel zu einer Geraden (oder, was dasselbe ist) ist (oder mit ihr zusammenfällt), hat Neigung , gleich Null, dann hat die Tangente einen Winkelkoeffizienten .

Dies bedeutet wiederum, dass die Tangente parallel zur Achse verläuft, da die Steigung der Tangens des Neigungswinkels der Tangente zur Achse ist.

Daher finden wir Extrempunkte (Maximum- und Minimumpunkte) im Diagramm – an diesen Punkten verlaufen die tangentialen Funktionen zum Diagramm parallel zur Achse.

Es gibt 4 solcher Punkte.

Aufgabe 3.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Geraden verläuft oder mit ihr zusammenfällt.

Lösung:

Da die Tangente an den Graphen einer Funktion parallel zu einer Geraden mit Steigung ist (oder mit dieser übereinstimmt), hat auch die Tangente eine Steigung.

Das bedeutet wiederum, dass an den Berührungspunkten.

Daher schauen wir uns an, wie viele Punkte im Diagramm eine Ordinate haben, die gleich ist.

Wie Sie sehen, gibt es vier solcher Punkte.

Aufgabe 4.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf dem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Ableitung der Funktion 0 ist.

Lösung:

An Extrempunkten ist die Ableitung gleich Null. Wir haben 4 davon:

Aufgabe 5.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion und elf Punkte auf der x-Achse:. An wie vielen dieser Punkte ist die Ableitung der Funktion negativ?

Lösung:

In Intervallen mit abnehmender Funktion nimmt die Ableitung negative Werte an. Und die Funktion nimmt punktuell ab. Es gibt 4 solcher Punkte.

Aufgabe 6.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf dem Intervall definierten Funktion. Ermitteln Sie die Summe der Extrempunkte der Funktion.

Lösung:

Extremumpunkte– Dies sind die Höchstpunkte (-3, -1, 1) und Mindestpunkte (-2, 0, 3).

Summe der Extrempunkte: -3-1+1-2+0+3=-2.

Aufgabe 7.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Anstiegsintervalle der Funktion. Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzzahligen Punkte an.

Lösung:

Die Abbildung hebt die Intervalle hervor, in denen die Ableitung der Funktion nicht negativ ist.

Auf dem kleinen ansteigenden Intervall gibt es keine ganzzahligen Punkte; auf dem ansteigenden Intervall gibt es vier ganzzahlige Werte: , , und .

Ihre Summe:

Aufgabe 8.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Anstiegsintervalle der Funktion. Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten davon an.

Lösung:

In der Abbildung sind alle Intervalle, in denen die Ableitung positiv ist, farblich hervorgehoben, was bedeutet, dass die Funktion selbst in diesen Intervallen zunimmt.

Die Länge des größten von ihnen beträgt 6.

Aufgabe 9.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. An welchem ​​Punkt des Segments nimmt es den größten Wert an?

Lösung:

Sehen wir uns an, wie sich der Graph auf dem Segment verhält, was uns interessiert nur das Vorzeichen der Ableitung .

Das Vorzeichen der Ableitung ist negativ, da der Graph auf diesem Segment unterhalb der Achse liegt.

Guten Tag! Bewältigen wir das bevorstehende Einheitliche Staatsexamen mit einer qualitativ hochwertigen, systematischen Vorbereitung und der Beharrlichkeit, den Granit der Wissenschaft zu schleifen!!! INAm Ende des Beitrags gibt es eine Wettbewerbsaufgabe: Seien Sie der Erste! In einem der Artikel in diesem Abschnitt „Du und ich“, in dem ein Diagramm der Funktion dargestellt und verschiedene Fragen zu Extrema, Anstiegs- (Abnahmeintervallen) und anderen aufgeworfen wurden.

In diesem Artikel betrachten wir die Probleme des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik, in dem ein Diagramm der Ableitung einer Funktion angegeben und die folgenden Fragen gestellt werden:

1. An welchem ​​Punkt eines bestimmten Segments nimmt die Funktion den größten (oder kleinsten) Wert an?

2. Ermitteln Sie die Anzahl der maximalen (oder minimalen) Punkte der Funktion, die zu einem bestimmten Segment gehören.

3. Ermitteln Sie die Anzahl der Extrempunkte der Funktion, die zu einem bestimmten Segment gehören.

4. Finden Sie den Extrempunkt der Funktion, die zum gegebenen Segment gehört.

5. Finden Sie die Intervalle der steigenden (oder fallenden) Funktion und geben Sie in der Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzzahligen Punkte an.

6. Finden Sie die Intervalle der Zunahme (oder Abnahme) der Funktion. Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten dieser Intervalle an.

7. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zu einer Geraden der Form y = kx + b verläuft oder mit dieser zusammenfällt.

8. Finden Sie die Abszisse des Punktes, an dem die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Abszissenachse verläuft oder mit dieser zusammenfällt.

Möglicherweise gibt es noch weitere Fragen, aber diese werden Ihnen keine Schwierigkeiten bereiten, wenn Sie sie verstehen und (es werden Links zu Artikeln bereitgestellt, die die für die Lösung notwendigen Informationen liefern, ich empfehle, sie zu wiederholen).

Grundlegende Informationen (kurz):

1. Die Ableitung in zunehmenden Abständen hat ein positives Vorzeichen.

Wenn die Ableitung an einem bestimmten Punkt aus einem bestimmten Intervall einen positiven Wert hat, dann nimmt der Graph der Funktion in diesem Intervall zu.

2. In abnehmenden Abständen hat die Ableitung ein negatives Vorzeichen.

Wenn die Ableitung an einem bestimmten Punkt aus einem bestimmten Intervall einen negativen Wert hat, dann nimmt der Graph der Funktion in diesem Intervall ab.

3. Die Ableitung am Punkt x ist gleich der Steigung der Tangente, die am selben Punkt an den Funktionsgraphen gezogen wird.

4. An den Extrempunkten (Maximum-Minimum) der Funktion ist die Ableitung gleich Null. Die Tangente an den Funktionsgraphen verläuft an diesem Punkt parallel zur x-Achse.

Dies muss klar verstanden und beachtet werden!!!

Der Ableitungsgraph „verwirrt“ viele Menschen. Manche Leute verwechseln es versehentlich mit dem Graphen der Funktion selbst. Deshalb richten Sie in solchen Gebäuden, in denen Sie sehen, dass ein Graph gegeben ist, Ihre Aufmerksamkeit in der Bedingung sofort auf das, was gegeben ist: den Graphen der Funktion oder den Graphen der Ableitung der Funktion?

Wenn es sich um einen Graphen der Ableitung einer Funktion handelt, dann betrachten Sie ihn als „Spiegelbild“ der Funktion selbst, die Ihnen lediglich Informationen über diese Funktion liefert.

Betrachten Sie die Aufgabe:

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–2;21).

Wir beantworten folgende Fragen:

1. An welchem ​​Punkt des Segments befindet sich die Funktion? F(X) nimmt den größten Wert ein.

In einem bestimmten Intervall ist die Ableitung einer Funktion negativ, was bedeutet, dass die Funktion in diesem Intervall abnimmt (sie nimmt von der linken Grenze des Intervalls nach rechts ab). Somit wird der größte Wert der Funktion am linken Rand des Segments erreicht, also bei Punkt 7.

Antwort: 7

2. An welchem ​​Punkt des Segments befindet sich die Funktion? F(X)

Aus diesem Ableitungsgraphen können wir Folgendes sagen. In einem bestimmten Intervall ist die Ableitung der Funktion positiv, was bedeutet, dass die Funktion in diesem Intervall zunimmt (sie nimmt von der linken Grenze des Intervalls nach rechts zu). Somit wird der kleinste Wert der Funktion am linken Rand des Segments erreicht, also am Punkt x = 3.

Antwort: 3

3. Ermitteln Sie die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion F(X)

Die maximalen Punkte entsprechen den Punkten, an denen sich das Vorzeichen der Ableitung von positiv nach negativ ändert. Betrachten wir, wo sich das Vorzeichen auf diese Weise ändert.

Auf der Strecke (3;6) ist die Ableitung positiv, auf der Strecke (6;16) negativ.

Auf der Strecke (16;18) ist die Ableitung positiv, auf der Strecke (18;20) negativ.

Somit hat die Funktion auf einem gegebenen Segment zwei Maximalpunkte x = 6 und x = 18.

Antwort: 2

4. Ermitteln Sie die Anzahl der Mindestpunkte der Funktion F(X), zum Segment gehörend.

Minimale Punkte entsprechen Punkten, an denen sich das Vorzeichen der Ableitung von negativ nach positiv ändert. Unsere Ableitung ist im Intervall (0;3) negativ und im Intervall (3;4) positiv.

Somit hat die Funktion auf dem Segment nur einen Minimalpunkt x = 3.

*Seien Sie beim Aufschreiben der Antwort vorsichtig – es wird die Anzahl der Punkte notiert, nicht der x-Wert; ein solcher Fehler kann durch Unaufmerksamkeit passieren.

Antwort 1

5. Ermitteln Sie die Anzahl der Extrempunkte der Funktion F(X), zum Segment gehörend.

Bitte beachten Sie, was Sie finden müssen Menge Extrempunkte (dies sind sowohl Maximal- als auch Minimalpunkte).

Extremumpunkte entsprechen Punkten, an denen sich das Vorzeichen der Ableitung ändert (von positiv zu negativ oder umgekehrt). Im in der Bedingung angegebenen Graphen sind dies die Nullstellen der Funktion. Die Ableitung verschwindet an den Punkten 3, 6, 16, 18.

Somit hat die Funktion 4 Extrempunkte auf dem Segment.

Antwort: 4

6. Finden Sie die Intervalle der zunehmenden Funktion F(X)

Anstiegsintervalle dieser Funktion F(X) entsprechen den Intervallen, in denen seine Ableitung positiv ist, also den Intervallen (3;6) und (16;18). Bitte beachten Sie, dass die Grenzen des Intervalls darin nicht enthalten sind (runde Klammern - Grenzen sind nicht im Intervall enthalten, eckige Klammern - enthalten). Diese Intervalle enthalten die ganzzahligen Punkte 4, 5, 17. Ihre Summe ist: 4 + 5 + 17 = 26

Antwort: 26

7. Finden Sie die Intervalle der abnehmenden Funktion F(X) in einem bestimmten Intervall. Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzzahligen Punkte an.

Abnehmende Intervalle einer Funktion F(X) entsprechen Intervallen, in denen die Ableitung der Funktion negativ ist. In dieser Aufgabe sind dies die Intervalle (–2;3), (6;16), (18:21).

Diese Intervalle enthalten die folgenden ganzzahligen Punkte: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Ihre Summe ist:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Antwort: 140

*Achten Sie auf die Bedingung: ob die Grenzen im Intervall enthalten sind oder nicht. Sind Grenzen enthalten, so müssen in den im Lösungsprozess betrachteten Intervallen auch diese Grenzen berücksichtigt werden.

8. Finden Sie die Intervalle der steigenden Funktion F(X)

Intervalle zunehmender Funktion F(X) entsprechen Intervallen, in denen die Ableitung der Funktion positiv ist. Wir haben sie bereits angedeutet: (3;6) und (16:18). Das größte davon ist das Intervall (3;6), seine Länge beträgt 3.

Antwort: 3

9. Finden Sie die Intervalle der abnehmenden Funktion F(X). Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten davon an.

Abnehmende Intervalle einer Funktion F(X) entsprechen Intervallen, in denen die Ableitung der Funktion negativ ist. Wir haben sie bereits angegeben; das sind die Intervalle (–2;3), (6;16), (18;21), ihre Längen betragen jeweils 5, 10, 3.

Die Länge des größten beträgt 10.

Antwort: 10

10. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen liegt F(X) parallel zur Geraden y = 2x + 3 oder fällt mit dieser zusammen.

Der Wert der Ableitung am Tangentenpunkt ist gleich der Steigung der Tangente. Da die Tangente parallel zur Geraden y = 2x + 3 verläuft oder mit dieser zusammenfällt, sind ihre Winkelkoeffizienten gleich 2. Dies bedeutet, dass die Anzahl der Punkte ermittelt werden muss, an denen y′(x 0) = 2 ist. Geometrisch entspricht dies der Anzahl der Schnittpunkte des Ableitungsgraphen mit der Geraden y = 2. Auf diesem Intervall gibt es 4 solcher Punkte.

Antwort: 4

11. Finden Sie den Extrempunkt der Funktion F(X), zum Segment gehörend.

Der Extrempunkt einer Funktion ist der Punkt, an dem ihre Ableitung gleich Null ist, und in der Nähe dieses Punktes ändert die Ableitung das Vorzeichen (von positiv zu negativ oder umgekehrt). Auf dem Segment schneidet der Ableitungsgraph die x-Achse, die Ableitung ändert das Vorzeichen von negativ nach positiv. Daher ist der Punkt x = 3 ein Extrempunkt.

Antwort: 3

12. Finden Sie die Abszisse der Punkte, an denen die Tangenten an den Graphen y = f (x) parallel zur Abszissenachse verlaufen oder mit dieser zusammenfallen. Geben Sie in Ihrer Antwort den größten davon an.

Die Tangente an den Graphen y = f (x) kann parallel zur Abszissenachse sein oder mit dieser zusammenfallen, nur an Punkten, an denen die Ableitung gleich Null ist (dies können Extrempunkte oder stationäre Punkte sein, in deren Nähe die Ableitung dies tut). sein Vorzeichen nicht ändern). Diese Grafik zeigt, dass die Ableitung an den Punkten 3, 6, 16,18 Null ist. Der größte ist 18.

Sie können Ihre Argumentation folgendermaßen strukturieren:

Der Wert der Ableitung am Tangentenpunkt ist gleich der Steigung der Tangente. Da die Tangente parallel zur x-Achse verläuft oder mit dieser zusammenfällt, ist ihre Steigung 0 (tatsächlich ist die Tangente eines Winkels von null Grad null). Daher suchen wir nach dem Punkt, an dem die Steigung gleich Null ist und daher die Ableitung gleich Null ist. Die Ableitung ist an dem Punkt gleich Null, an dem ihr Graph die x-Achse schneidet, und das sind die Punkte 3, 6, 16,18.

Antwort: 18

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–8;4). An welcher Stelle des Segments [–7;–3] befindet sich die Funktion? F(X) nimmt den kleinsten Wert an.

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–7;14). Ermitteln Sie die maximale Punktzahl der Funktion F(X), gehört zum Segment [–6;9].

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–18;6). Finden Sie die Anzahl der minimalen Punkte der Funktion F(X), gehört zum Segment [–13;1].

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–11; –11). Ermitteln Sie die Anzahl der Extrempunkte der Funktion F(X), gehört zum Segment [–10; -10].

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–7;4). Finden Sie die Intervalle der zunehmenden Funktion F(X). Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzzahligen Punkte an.

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–5;7). Finden Sie die Intervalle der abnehmenden Funktion F(X). Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzzahligen Punkte an.

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–11;3). Finden Sie die Intervalle der zunehmenden Funktion F(X). Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten davon an.

F Die Abbildung zeigt eine Grafik

Die Bedingungen des Problems sind die gleichen (die wir berücksichtigt haben). Finden Sie die Summe von drei Zahlen:

1. Die Summe der Quadrate der Extrema der Funktion f (x).

2. Die Differenz zwischen den Quadraten der Summe der Maximalpunkte und der Summe der Minimalpunkte der Funktion f (x).

3. Die Anzahl der Tangenten an f (x) parallel zur Geraden y = –3x + 5.

Der erste, der die richtige Antwort gibt, erhält einen Anreizpreis in Höhe von 150 Rubel. Schreiben Sie Ihre Antworten in die Kommentare. Wenn dies Ihr erster Kommentar im Blog ist, erscheint er nicht sofort, sondern etwas später (keine Sorge, der Zeitpunkt, zu dem der Kommentar geschrieben wurde, wird erfasst).

Viel Glück!

Herzliche Grüße, Alexander Krutitsikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.