Funcția liniară, proprietățile și graficul acesteia. Funcția liniară Cum se potrivește grafice și coeficienți

5. Monomial se numește produsul factorilor numerici și alfabetici. Coeficient se numește factorul numeric al monomului.

6. Pentru a scrie un monom în forma standard, necesar: 1) Înmulțiți factorii numerici și puneți produsul lor pe primul loc; 2) Înmulțiți puterile cu aceleași baze și puneți produsul rezultat după factorul numeric.

7. Un polinom este numit suma algebrică a mai multor monomii.

8. Pentru a înmulți un monom cu un polinom, este necesar să înmulțim monomul cu fiecare termen al polinomului și să adunăm produsele rezultate.

9. Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, este necesar să se înmulțească fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt polinom și să se adună produsele rezultate.

10. Este posibil să trasați o linie dreaptă prin oricare două puncte și doar unul.

11. Două linii fie au un singur punct comun, fie nu au niciun punct comun.

12. Două figuri geometrice sunt numite egale dacă pot fi suprapuse.

13. Punctul segmentului care îl împarte în jumătate, adică în două segmente egale, se numește punctul de mijloc al segmentului.

14. O rază care emană de la vârful unui unghi și o împarte în două unghiuri egale, se numește bisectoarea unghiului.

15. Unghiul dezvoltat este de 180°.

16. Un unghi se numește unghi drept dacă are 90°.

17. Un unghi se numește acut dacă este mai mic de 90°, adică mai mic decât un unghi drept.

18. Un unghi se numește obtuz dacă este mai mare de 90°, dar mai mic de 180°, adică mai mult decât un unghi drept, dar mai mic decât un unghi drept.

19. Două unghiuri care au o latură în comun și celelalte două sunt prelungiri unul celuilalt se numesc adiacente.

20. Suma unghiurilor adiacente este de 180°.

21. Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt prelungiri ale laturilor celuilalt.

22. Unghiurile verticale sunt egale.

23. Două drepte care se intersectează sunt numite perpendiculare (sau reciproc

perpendiculare) dacă formează patru unghiuri drepte.

24. Două drepte perpendiculare pe o treime nu se intersectează.

25. Factorizați un polinomînseamnă a-l reprezenta ca un produs al mai multor monoame și polinoame.

26. Metode de factorizare a unui polinom:

a) inserarea factorului comun,

b) utilizarea formulelor de înmulțire abreviate,

c) gruparea.

27. Pentru a factoriza un polinom prin scoaterea din paranteze a factorului comun, aveți nevoie:

a) găsiți acest factor comun,

b) scoateți-l din paranteze,

c) se împarte fiecare termen al polinomului la acest factor și se adună rezultatele obținute.

Semne de egalitate a triunghiurilor

1) Dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

2) Dacă o latură și două unghiuri adiacente acesteia ale unui triunghi sunt egale cu o latură și, respectiv, două unghiuri adiacente acesteia ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

3) Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Minimum educațional

1. Factorizarea prin formule de înmulțire prescurtate:

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

2. Formule de înmulțire prescurtate:

(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2

(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

3. Segmentul de dreaptă care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse se numește median triunghi.

4. Se numește perpendiculara trasată de la vârful unui triunghi pe linia care conține latura opusă înalt triunghi.

5. ÎN triunghi isoscel unghiurile de bază sunt egale.

6. Într-un triunghi isoscel, bisectoarea trasată la bază este mediana și înălțimea.

7. Cercul numit figură geometrică, format din toate punctele planului situat pe distanta data din acest punct.

8. Se numește un segment de dreaptă care unește centrul cu un punct de pe cerc rază cercuri .

9. Se numește un segment de dreaptă care leagă două puncte dintr-un cerc coardă.

Coarda care trece prin centrul cercului se numește diametru

10. Proporționalitate directă y = kx , Unde X este o variabilă independentă, La este un număr diferit de zero ( La este coeficientul de proporționalitate).

11. Graficul proporționalității directe este o linie dreaptă care trece prin origine.

12. Funcția liniară este o funcție care poate fi dată prin formula y = kx + b , Unde X este o variabilă independentă, La Și b - unele numere.

13. Graficul unei funcții liniare- este o linie dreaptă.

14 X – argumentul funcției (variabilă independentă)

la – valoarea funcției (variabilă dependentă)

15. La b=0 funcția ia forma y=kx, graficul său trece prin origine.

La k=0 funcția ia forma y=b, graficul său este o linie orizontală care trece prin punctul ( 0;b).

Corespondența dintre graficele unei funcții liniare și semnele coeficienților k și b

1. Două drepte dintr-un plan se numesc paralel, dacă nu se intersectează.

Atribuții pentru proprietăți și grafice funcţie pătratică cauzează, după cum arată practica, dificultăți serioase. Acest lucru este destul de ciudat, deoarece funcția pătratică este trecută în clasa a VIII-a, iar apoi întregul prim trimestru al clasei a IX-a este „chinuit” de proprietățile parabolei și graficele acesteia sunt construite pentru diverși parametri.

Acest lucru se datorează faptului că forțând elevii să construiască parabole, practic nu dedică timp „citirii” graficelor, adică nu exersează înțelegerea informațiilor primite din imagine. Aparent, se presupune că, după ce a construit două duzini de grafice, un student inteligent va descoperi însuși și va formula relația dintre coeficienții din formulă și aspect Arte grafice. În practică, acest lucru nu funcționează. Pentru o astfel de generalizare este necesară o experiență serioasă în mini-cercetare matematică, pe care, desigur, majoritatea elevilor de clasa a IX-a nu o au. Între timp, în GIA își propun să se determine semnele coeficienților tocmai după grafic.

Nu vom cere imposibilul de la școlari și pur și simplu oferim unul dintre algoritmii pentru rezolvarea unor astfel de probleme.

Deci, o funcție a formei y=ax2+bx+c se numește pătratic, graficul său este o parabolă. După cum sugerează și numele, componenta principală este toporul 2. Acesta este A nu trebuie să fie egal cu zero, coeficienții rămași ( bȘi Cu) poate fi egal cu zero.

Să vedem cum semnele coeficienților săi afectează aspectul parabolei.

Cea mai simplă dependență pentru coeficient A. Majoritatea școlarilor răspund cu încredere: „dacă A> 0, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

În acest caz A = 0,5

Și acum pentru A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

În acest caz A = - 0,5

Influența coeficientului Cu de asemenea, destul de ușor de urmărit. Imaginați-vă că vrem să găsim valoarea unei funcții într-un punct X= 0. Înlocuiți zero în formula:

y = A 0 2 + b 0 + c = c. Se pare că y = c. Acesta este Cu este ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa y. De regulă, acest punct este ușor de găsit pe diagramă. Și stabiliți dacă se află peste zero sau mai jos. Acesta este Cu> 0 sau Cu < 0.

Cu > 0:

y=x2+4x+3

Cu < 0

y = x 2 + 4x - 3

În consecință, dacă Cu= 0, atunci parabola va trece neapărat prin origine:

y=x2+4x

Mai dificil cu parametrul b. Punctul prin care îl vom găsi depinde nu numai de b dar si din A. Acesta este vârful parabolei. Abscisa sa (coordonatele axei X) se găsește prin formula x în \u003d - b / (2a). Prin urmare, b = - 2ax in. Adică acționăm în felul următor: pe grafic găsim vârful parabolei, determinăm semnul abscisei acesteia, adică privim în dreapta lui zero ( x in> 0) sau la stânga ( x in < 0) она лежит.

Totuși, asta nu este tot. Trebuie să fim atenți și la semnul coeficientului A. Adică pentru a vedea unde sunt îndreptate ramurile parabolei. Și numai după aceea, după formula b = - 2ax in determina semnul b.

Luați în considerare un exemplu:

Ramuri îndreptate în sus A> 0, parabola traversează axa la sub zero înseamnă Cu < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Deci b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Cu < 0.

O funcție liniară este o funcție de forma y=kx+b, unde x este o variabilă independentă, k și b sunt orice numere.
Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă.

1. Pentru a reprezenta graficul unei funcții, avem nevoie de coordonatele a două puncte aparținând graficului funcției. Pentru a le găsi, trebuie să luați două valori x, să le înlocuiți în ecuația funcției și să calculați valorile y corespunzătoare din ele.

De exemplu, pentru a reprezenta grafic funcția y= x+2, este convenabil să luăm x=0 și x=3, atunci ordonatele acestor puncte vor fi egale cu y=2 și y=3. Obținem punctele A(0;2) și B(3;3). Să le conectăm și să obținem graficul funcției y= x+2:

2. În formula y=kx+b, numărul k se numește factor de proporționalitate:
dacă k>0, atunci funcția y=kx+b crește
dacă k
Coeficientul b arată deplasarea graficului funcției de-a lungul axei OY:
dacă b>0, atunci graficul funcției y=kx+b se obține din graficul funcției y=kx prin deplasarea b unităților în sus de-a lungul axei OY
dacă b
În figura de mai jos sunt prezentate graficele funcțiilor y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Rețineți că în toate aceste funcții coeficientul k Peste zero, iar funcţiile sunt crescând. Mai mult decât atât mai multă valoare k, cu atât unghiul de înclinare al dreptei față de direcția pozitivă a axei OX este mai mare.

În toate funcțiile b=3 - și vedem că toate graficele intersectează axa OY în punctul (0;3)

Acum luați în considerare graficele funcțiilor y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

De data aceasta, în toate funcțiile, coeficientul k mai putin de zeroși caracteristici scădea. Coeficientul b=3, iar graficele, ca în cazul precedent, traversează axa OY în punctul (0;3)

Se consideră graficele funcțiilor y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Acum, în toate ecuațiile de funcții, coeficienții k sunt egali cu 2. Și avem trei drepte paralele.

Dar coeficienții b sunt diferiți, iar aceste diagrame intersectează axa OY în diverse puncte:
Graficul funcției y=2x+3 (b=3) traversează axa OY în punctul (0;3)
Graficul funcției y=2x (b=0) traversează axa OY în punctul (0;0) - originea.
Graficul funcției y=2x-3 (b=-3) traversează axa OY în punctul (0;-3)

Deci, dacă cunoaștem semnele coeficienților k și b, atunci ne putem imagina imediat cum arată graficul funcției y=kx+b.
Dacă k 0

Dacă k>0 și b>0, atunci graficul funcției y=kx+b arată astfel:

Dacă k>0 și b, atunci graficul funcției y=kx+b arată astfel:

Dacă k, atunci graficul funcției y=kx+b arată astfel:

Dacă k=0, atunci funcția y=kx+b se transformă într-o funcție y=b și graficul ei arată astfel:

Ordinatele tuturor punctelor graficului funcției y=b sunt egale cu b Dacă b=0, atunci graficul funcției y=kx (proporționalitate directă) trece prin origine:

3. Separat, notăm graficul ecuației x=a. Graficul acestei ecuații este o dreaptă paralelă cu axa OY, toate punctele care au o abscisă x=a.

De exemplu, graficul ecuației x=3 arată astfel:
Atenţie! Ecuația x=a nu este o funcție, deci îi corespunde o valoare a argumentului sensuri diferite funcție, care nu se potrivește cu definiția funcției.

4. Condiție pentru paralelismul a două linii:

Graficul funcției y=k 1 x+b 1 este paralel cu graficul funcției y=k 2 x+b 2 dacă k 1 =k 2

5. Condiția ca două drepte să fie perpendiculare:

Graficul funcției y=k 1 x+b 1 este perpendicular pe graficul funcției y=k 2 x+b 2 dacă k 1 *k 2 =-1 sau k 1 =-1/k 2

6. Punctele de intersecție ale graficului funcției y=kx+b cu axele de coordonate.

cu axa OY. Abscisa oricărui punct aparținând axei OY este egală cu zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OY, trebuie să înlocuiți zero în loc de x în ecuația funcției. Obținem y=b. Adică, punctul de intersecție cu axa OY are coordonatele (0;b).

Cu axa x: ordonata oricărui punct aparținând axei x este zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OX, trebuie să înlocuiți zero în loc de y în ecuația funcției. Se obține 0=kx+b. Prin urmare x=-b/k. Adică, punctul de intersecție cu axa OX are coordonate (-b / k; 0):

O funcție liniară este o funcție de forma y = kx + b definită pe mulțimea tuturor numerelor reale. Aici k - pantă(număr real), b - interceptare (număr real), x - variabilă independentă.

Într-un caz special, dacă k = 0, obținem o funcție constantă y = b, al cărei grafic este o dreaptă paralelă cu axa Ox, care trece prin punctul cu coordonatele (0; b).

Dacă b = 0, atunci obținem funcția y = kx, care este o proporționalitate directă.

Sensul geometric al coeficientului b este lungimea segmentului pe care linia dreaptă o taie de-a lungul axei Oy, numărând de la origine.

Semnificația geometrică a coeficientului k - unghiul de înclinare a dreptei față de direcția pozitivă a axei Ox, este considerată în sens invers acelor de ceasornic.

Proprietățile funcției liniare:

1) Domeniul de definire al unei funcții liniare este întreaga axă reală;

2) Dacă k ≠ 0, atunci domeniul funcției liniare este întreaga axă reală. Dacă k = 0, atunci domeniul funcției liniare este format din numărul b;

3) Egalitatea și imparitatea unei funcții liniare depind de valorile coeficienților k și b.

a) b ≠ 0, k = 0, prin urmare y = b este par;

b) b = 0, k ≠ 0, prin urmare y = kx este impar;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, deci y = kx + b este o funcție generală;

d) b = 0, k = 0, prin urmare y = 0 este atât o funcție pară, cât și o funcție impară.

4) Funcția liniară nu are proprietatea de periodicitate;

Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, prin urmare (-b / k; 0) este punctul de intersecție cu axa absciselor.

Oy: y = 0k + b = b, prin urmare (0; b) este punctul de intersecție cu axa y.

Notă: Dacă b = 0 și k = 0, atunci funcția y = 0 dispare pentru orice valoare a lui x. Dacă b ≠ 0 și k = 0, atunci funcția y = b nu dispare pentru nicio valoare a variabilei x.

6) Intervalele constantei semnului depind de coeficientul k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b - pozitiv pentru x din (-b/k; +∞),

y = kx + b - este negativ pentru x din (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b - pozitiv pentru x din (-∞; -b/k),

y = kx + b - este negativ pentru x din (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b este pozitiv în întregul domeniu,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Intervalele de monotonitate ale unei funcţii liniare depind de coeficientul k.

k > 0, prin urmare y = kx + b crește pe întregul domeniu,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Graficul unei funcții liniare este o dreaptă. Pentru a desena o linie dreaptă, este suficient să cunoști două puncte. Poziția dreptei pe planul de coordonate depinde de valorile coeficienților k și b. Mai jos este un tabel care ilustrează clar această figură 1. (Fig.1)

Exemplu Luați în considerare următoarea funcție liniară: y = 5x - 3.

3) Funcția generală;

4) Neperiodică;

5) Puncte de intersecție cu axele de coordonate:

Ox: 5x - 3 \u003d 0, x \u003d 3/5, prin urmare (3/5; 0) este punctul de intersecție cu axa absciselor.

Oy: y = -3, prin urmare (0; -3) - punctul de intersecție cu axa y;

6) y = 5x - 3 este pozitiv pentru x din (3/5; +∞),

y = 5x - 3 - negativ pentru x din (-∞; 3/5);

7) y = 5x - 3 crește pe întregul domeniu de definiție;

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Funcție liniară se numește o funcție a formei y = kx + b, definit pe mulțimea tuturor numerelor reale. Aici k– coeficient unghiular (număr real), b – membru gratuit (număr real), X este o variabilă independentă.

Într-un caz anume, dacă k = 0, obținem o funcție constantă y=b, al cărui grafic este o dreaptă paralelă cu axa Ox, care trece prin punctul cu coordonate (0;b).

Dacă b = 0, apoi obținem funcția y=kx, care este în proporţie directă.

b – lungimea segmentului, care taie linia de-a lungul axei Oy, numărând de la origine.

Sensul geometric al coeficientului k – unghi de înclinare drept către direcția pozitivă a axei Ox este considerată a fi în sens invers acelor de ceasornic.

Proprietățile funcției liniare:

1) Domeniul unei funcții liniare este întreaga axă reală;

2) Dacă k ≠ 0, atunci domeniul funcției liniare este întreaga axă reală. Dacă k = 0, atunci domeniul funcției liniare constă din număr b;

3) Uniformitatea și neregulă ale unei funcții liniare depind de valorile coeficienților kȘi b.

A) b ≠ 0, k = 0, prin urmare, y = b este par;

b) b = 0, k ≠ 0, prin urmare y = kx este impar;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, prin urmare y = kx + b este o funcție generală;

d) b = 0, k = 0, prin urmare y = 0 este atât o funcție pară, cât și o funcție impară.

4) O funcție liniară nu are proprietatea de periodicitate;

5) Puncte de intersecție cu axele de coordonate:

Bou: y = kx + b = 0, x = -b/k, prin urmare (-b/k; 0)- punctul de intersecție cu axa absciselor.

Oi: y=0k+b=b, prin urmare (0;b) este punctul de intersecție cu axa y.

Notă.Dacă b = 0Și k = 0, apoi funcția y=0 dispare pentru orice valoare a variabilei X. Dacă b ≠ 0Și k = 0, apoi funcția y=b nu dispare pentru nicio valoare a variabilei X.

6) Intervalele de constanță ale semnului depind de coeficientul k.

A) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- pozitiv la X din (-b/k; +∞),

y = kx + b- negativ la X din (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- pozitiv la X din (-∞; -b/k),

y = kx + b- negativ la X din (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitiv în întregul domeniu al definiției,

k = 0, b< 0; y = kx + b este negativă în tot domeniul definiției.

7) Intervalele de monotonitate ale unei funcții liniare depind de coeficient k.

k > 0, prin urmare y = kx + b crește pe întregul domeniu de definiție,

k< 0 , prin urmare y = kx + b scade pe întregul domeniu de definire.

8) Graficul unei funcții liniare este o dreaptă. Pentru a desena o linie dreaptă, este suficient să cunoști două puncte. Poziția dreptei pe planul de coordonate depinde de valorile coeficienților kȘi b. Mai jos este un tabel care ilustrează clar acest lucru.