Cum se calculează volumul unei piramide triunghiulare obișnuite. Formule pentru volumul unei piramide triunghiulare regulate

Aici ne vom uita la exemple legate de conceptul de volum. Pentru a rezolva astfel de sarcini, trebuie să cunoașteți formula pentru volumul unei piramide:

S

h – înălțimea piramidei

Baza poate fi orice poligon. Dar în majoritatea problemelor de la examenul de stat unificat, condiția este de obicei despre piramide obișnuite. Permiteți-mi să vă reamintesc una dintre proprietățile sale:

Vertex piramida regulata proiectat spre centrul bazei sale

Priviți proiecția piramidelor obișnuite triunghiulare, patrulatere și hexagonale (VEDERE DE SUS):

Puteți pe blog, unde s-au discutat probleme legate de găsirea volumului unei piramide.Să luăm în considerare sarcinile:

27087. Aflați volumul corectului piramidă triunghiulară, ale căror laturi sunt egale cu 1 și a căror înălțime este egală cu rădăcina lui trei.

S– zona bazei piramidei

h– înălțimea piramidei

Să găsim aria bazei piramidei, acesta este un triunghi obișnuit. Să folosim formula - aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele, ceea ce înseamnă:

Răspuns: 0,25

27088. Aflați înălțimea unei piramide triunghiulare regulate ale cărei laturi de bază sunt egale cu 2 și al cărei volum este egal cu rădăcina lui trei.

Concepte precum înălțimea unei piramide și caracteristicile bazei acesteia sunt legate prin formula de volum:

S– zona bazei piramidei

h– înălțimea piramidei

Cunoaștem volumul în sine, putem găsi aria bazei, deoarece cunoaștem laturile triunghiului, care este baza. Cunoscând valorile indicate, putem găsi cu ușurință înălțimea.

Pentru a găsi aria bazei, folosim formula - aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele, ceea ce înseamnă:

Astfel, înlocuind aceste valori în formula de volum, putem calcula înălțimea piramidei:

Înălțimea este de trei.

Raspuns: 3

27109. Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, înălțimea este 6 și marginea laterală este 10. Aflați volumul acesteia.

Volumul piramidei se calculează cu formula:

S– zona bazei piramidei

h– înălțimea piramidei

Știm înălțimea. Trebuie să găsiți zona bazei. Permiteți-mi să vă reamintesc că vârful unei piramide obișnuite este proiectat în centrul bazei sale. Baza unei piramide patruunghiulare obișnuite este un pătrat. Îi putem găsi diagonala. Sa luam in considerare triunghi dreptunghic(evidențiat cu albastru):

Segmentul care leagă centrul pătratului cu punctul B este un picior care este egal cu jumătate din diagonala pătratului. Putem calcula acest picior folosind teorema lui Pitagora:

Aceasta înseamnă BD = 16. Să calculăm aria pătratului folosind formula pentru aria unui patrulater:

Prin urmare:

Astfel, volumul piramidei este:

Răspuns: 256

27178. Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, înălțimea este 12 și volumul este 200. Aflați marginea laterală a acestei piramide.

Înălțimea piramidei și volumul acesteia sunt cunoscute, ceea ce înseamnă că putem găsi aria pătratului, care este baza. Cunoscând aria unui pătrat, putem găsi diagonala acestuia. În continuare, luând în considerare un triunghi dreptunghic folosind teorema lui Pitagora, calculăm muchia laterală:

Să găsim aria pătratului (baza piramidei):

Să calculăm diagonala pătratului. Deoarece aria sa este 50, latura va fi egală cu rădăcina lui cincizeci și conform teoremei lui Pitagora:

Punctul O împarte diagonala BD în jumătate, ceea ce înseamnă catetul triunghiului dreptunghic OB = 5.

Astfel, putem calcula cu ce marginea laterală a piramidei este egală cu:

Raspuns: 13

245353. Aflați volumul piramidei prezentate în figură. Baza sa este un poligon, ale cărui laturi adiacente sunt perpendiculare, iar una dintre marginile laterale este perpendiculară pe planul bazei și egală cu 3.

După cum s-a spus de multe ori, volumul piramidei se calculează prin formula:

S– zona bazei piramidei

h– înălțimea piramidei

Marginea laterală perpendiculară pe bază este egală cu trei, ceea ce înseamnă că înălțimea piramidei este de trei. Baza piramidei este un poligon a cărui aria este egală cu:

Prin urmare:

Raspuns: 27

27086. Baza piramidei este un dreptunghi cu laturile 3 și 4. Volumul său este 16. Aflați înălțimea acestei piramide.

Asta e tot. Multă baftă!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Scopurile și obiectivele lecției:

• deduceți formule pentru volumul unei piramide folosind formula de bază pentru volumul corpurilor și volumul unei piramide trunchiate.
• sistematizați cunoștințele teoretice pe tema găsirii volumului unei piramide.
• dezvolta deprinderea de a afla volumul unei piramide al carei varf este proiectat in centrul unui cerc inscris sau circumscris langa baza.
• dezvolta abilitati de rezolvare sarcini tipice privind aplicarea formulelor pentru volumul unei piramide și a unei piramide trunchiate.

În timpul orelor

eu.Explicaţiematerial nou.

Demonstrarea teoremei se realizează cu ajutorul unui proiector multimedia

Să demonstrăm teorema: volumul piramidei esteo treime, produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

Dovada:

Mai întâi demonstrăm teorema pentru o piramidă triunghiulară, apoi pentru una arbitrară.

1. Luați în considerare o piramidă triunghiulară OABC cu volumul V, suprafata de baza S si inaltime h. Să desenăm axa o (OM 2- înălțime), luați în considerare secțiunea A 1 B 1 C 1 piramida cu un plan perpendicular pe axa Ohși, prin urmare, paralel cu planul bazei. Să notăm prin X punct de abscisă M 1 intersecția acestui plan cu axa x și prin S(X)- arie a secțiunii transversale. Să ne exprimăm S(X) prin S, hȘi X. observa asta

Într-adevăr , prin urmare, .

Triunghiuri dreptunghiulare , sunt de asemenea asemănătoare (au un comun colt ascutit cu varf DESPRE).

Să aplicăm acum formula de bază pentru calcularea volumelor corpurilor la A = 0, b =h primim

2. Să demonstrăm acum teorema pentru o piramidă arbitrară cu înălțime hși zona de bază S. O astfel de piramidă poate fi împărțită în piramide triunghiulare cu o înălțime totală h. Să exprimăm volumul fiecărei piramide triunghiulare folosind formula pe care am demonstrat-o și să adăugăm aceste volume. Luând din paranteze factorul comun, obținem între paranteze suma bazelor piramidelor triunghiulare, adică. zona S a bazelor piramidei originale.

Astfel, volumul piramidei originale este . Teorema a fost demonstrată.

II. rezolva probleme folosind desene gata făcute.

Sarcina 1. (Fig. 3)

Dat:ABCD- piramida regulata AB = 3; AD= . Găsi: A) Sde bază; b) SA; V) DO G) V .

Sarcina 2. (Fig. 4)

Dat:ABCDF- piramida regulata .

Sarcina 3. (Fig. 5)

Dat:ABCDEKF- piramida regulata

Găsi: A) Sde bază ; b) V.

Sarcină4. (fig.. 6)

Găsi: V.

Problemele sunt testate folosind un proiector multimedia cu o analiză detaliată a unei soluții pas cu pas.

Sarcina 1. (Fig. 3)

a) (formula este folosită pentru a calcula aria unui triunghi regulat)
AB = = 3, avem

b) (formula pentru raza unui cerc circumscris folosind latura unui triunghi echilateral) .

Sarcina 2. (Fig. 4)

1) Să luăm, așadar, în considerare
– isoscel, OS = FO = 2.

Sarcina 3. (Fig. 5)

Sarcina 4. (Fig. 6)

III. Verificarea rezultatului formulei de calcul al volumului unei piramide trunchiate (mesajul elevului la tablă se realizează folosind un proiector multimedia)

Raspunsul studentului:

Considerăm volumul unei piramide trunchiate ca diferență de volume piramida plina iar cea care este tăiată de acesta printr-un plan paralel cu baza (fig. 1).

Să înlocuim această expresie cu Xîn prima formulă,

Lucrați sub formă de test, cu verificare prin proiector multimedia.

1.B prismă înclinată marginea laterală este de 7 cm, secțiunea perpendiculară este un triunghi dreptunghic cu catete: 4 cm și 3 cm.Aflați volumul prismei.

a) 10 cm 3, b) 42 cm 3, c) 60 cm 3, d) 30 cm 3.

2. În modul corect piramidă hexagonală latura bazei sale este de 2 cm.Volumul piramidei este de 6 cm 3. Care este înălțimea?

3. Volumul piramidei este de 56 cm 3, aria bazei este de 14 cm 2. Care este înălțimea?

a) 14 cm, b) 12 cm, c) 16 cm.

4. Într-o piramidă triunghiulară regulată, înălțimea este de 5 cm, laturile bazei sunt de 3 cm.Care este volumul piramidei?

5. Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, înălțimea este de 9 cm.Latura bazei este de 4 cm.Aflați volumul piramidei.

a) 50 cm 3, b) 48 cm 3, c) 16 cm 3.

6. Volumul unei piramide patruunghiulare obișnuite este de 27 cm 3, înălțimea de 9 cm. Aflați latura bazei.

a) 12 cm, b) 9 cm, c) 3 cm.

7. Volumul unei piramide trunchiate este de 210 cm 3, aria bazei inferioare este de 36 cm 2, cea superioară este de 9 cm 2. Aflați înălțimea piramidei.

a) 1 cm, b) 15 cm, c) 10 cm.

8. Prismă de dimensiuni egale și regulată piramida patruunghiulara au înălțimi egale. Care este latura bazei piramidei dacă aria bazei prismei este S?

Tabel de răspunsuri.

Teme pentru acasă: 1. Rezolvați problemele nr. 695v, nr. 697, nr. 690

2. Luați în considerare sarcinile de bază

Sarcina 1.

Demonstrează că dacă coaste laterale piramidele sunt egale cu (sau egale cu) unghiuri egale cu planul bazei), apoi vârful piramidei este proiectat în centrul cercului descris în jurul bazei.

Demonstrează că dacă unghiuri diedrice dacă baza piramidei este egală (sau înălțimile fețelor laterale desenate din vârful piramidei sunt egale), atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului înscris în baza piramidei.

Una dintre cele mai simple figuri tridimensionale este piramida triunghiulară, deoarece constă din cel mai mic număr de fețe din care se poate forma o figură în spațiu. În acest articol ne vom uita la formule care pot fi folosite pentru a găsi volumul unei piramide regulate triunghiulare.

Piramida triunghiulara

Conform definiție generală o piramidă este un poligon, ale cărui vârfuri sunt conectate la un punct care nu este situat în planul acestui poligon. Dacă acesta din urmă este un triunghi, atunci întreaga figură se numește piramidă triunghiulară.

Piramida în cauză este formată dintr-o bază (triunghi) și trei fețe laterale (triunghiuri). Punctul în care cele trei fețe laterale sunt conectate se numește vârful figurii. Perpendiculara de la acest vârf coborât la bază este înălțimea piramidei. Dacă punctul de intersecție al perpendicularei cu baza coincide cu punctul de intersecție al medianelor triunghiului de la bază, atunci vorbim de o piramidă regulată. În caz contrar, va fi înclinat.

După cum sa menționat, baza unei piramide triunghiulare poate fi un tip general de triunghi. Cu toate acestea, dacă este echilaterală, iar piramida în sine este dreaptă, atunci ei vorbesc despre o figură tridimensională obișnuită.

Orice piramidă triunghiulară are 4 fețe, 6 muchii și 4 vârfuri. Dacă lungimile tuturor marginilor sunt egale, atunci o astfel de figură se numește tetraedru.

tip general

Înainte de a scrie o piramidă triunghiulară regulată, dăm expresia pentru aceasta cantitate fizica pentru o piramidă de tip general. Această expresie arată astfel:

Aici S o este aria bazei, h este înălțimea figurii. Această egalitate va fi valabilă pentru orice tip de bază de poligon piramidal, precum și pentru un con. Dacă la bază există un triunghi cu lungimea laturii a și înălțimea h o coborâtă pe el, atunci formula pentru volum se va scrie după cum urmează:

Formule pentru volumul unei piramide triunghiulare regulate

O piramidă triunghiulară regulată are la bază un triunghi echilateral. Se știe că înălțimea acestui triunghi este legată de lungimea laturii sale prin egalitatea:

Înlocuind această expresie în formula pentru volumul unei piramide triunghiulare scrisă în paragraful anterior, obținem:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Volumul unei piramide obișnuite cu o bază triunghiulară este o funcție de lungimea laturii bazei și de înălțimea figurii.

Din moment ce oricare poligon regulat poate fi înscris într-un cerc, a cărui rază va determina în mod unic lungimea laturii poligonului, atunci această formulă poate fi scrisă prin raza corespunzătoare r:

Această formulă poate fi obținută cu ușurință din cea anterioară, dacă ținem cont că raza r a cercului circumscris prin lungimea laturii a a triunghiului este determinată de expresia:

Problema determinării volumului unui tetraedru

Vom arăta cum să folosiți formulele de mai sus atunci când rezolvăm probleme specifice de geometrie.

Se știe că un tetraedru are o lungime a muchiei de 7 cm. Aflați volumul unei piramide-tetraedru triunghiulare regulate.

Amintiți-vă că un tetraedru este regulat în care toate bazele sunt egale între ele. Pentru a utiliza formula volumului triunghiular, trebuie să calculați două cantități:

• lungimea laturii triunghiului;
• înălțimea figurii.

Prima cantitate este cunoscută din enunțul problemei:

Pentru a determina înălțimea, luați în considerare figura prezentată în figură.

Triunghiul marcat ABC este un triunghi dreptunghic, unde unghiul ABC este de 90 o. Latura AC este ipotenuza iar lungimea ei este a. Folosind un raționament geometric simplu, se poate demonstra că latura BC are lungimea:

Rețineți că lungimea BC este raza cercului circumscris triunghiului.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).

Acum puteți înlocui h și a în formula corespunzătoare pentru volum:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Astfel, am obținut formula pentru volumul unui tetraedru. Se poate observa că volumul depinde doar de lungimea marginii. Dacă substituim valoarea din condițiile problemei în expresie, atunci obținem răspunsul:

V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Dacă comparăm această valoare cu volumul unui cub având aceeași muchie, constatăm că volumul tetraedrului este de 8,5 ori mai mic. Acest lucru indică faptul că tetraedrul este o figură compactă care apare în unele substanțe naturale. De exemplu, molecula de metan are o formă tetraedrică, iar fiecare atom de carbon din diamant este conectat la alți patru atomi pentru a forma un tetraedru.

Problema piramidei omotetice

Să rezolvăm o problemă geometrică interesantă. Să presupunem că există o piramidă regulată triunghiulară cu un anumit volum V 1. De câte ori trebuie redusă dimensiunea acestei figuri pentru a obține o piramidă omotetică cu un volum de trei ori mai mic decât originalul?

Să începem să rezolvăm problema scriind formula pentru piramida regulată originală:

V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .

Fie că volumul cifrei cerut de condițiile problemei se obține prin înmulțirea parametrilor ei cu coeficientul k. Avem:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

Deoarece raportul dintre volumele cifrelor este cunoscut din condiție, obținem valoarea coeficientului k:

k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.

Rețineți că am obține o valoare similară pentru coeficientul k pentru o piramidă de orice tip și nu doar pentru una triunghiulară obișnuită.