Quantité rationnelle. Nombres rationnels, définition, exemples

Ensemble de nombres rationnels

L’ensemble des nombres rationnels est noté et peut s’écrire comme suit :

Il s'avère que différentes notations peuvent représenter la même fraction, par exemple et , (toutes les fractions qui peuvent être obtenues les unes des autres en multipliant ou en divisant par le même nombre naturel représentent le même nombre rationnel). Puisqu'en divisant le numérateur et le dénominateur d'une fraction par leur plus grand diviseur commun, nous pouvons obtenir une seule représentation irréductible d'un nombre rationnel, nous pouvons parler de leur ensemble comme l'ensemble irréductible fractions avec un numérateur entier et un dénominateur naturel premiers entre eux :

Voici le plus grand diviseur commun des nombres et .

L’ensemble des nombres rationnels est une généralisation naturelle de l’ensemble des nombres entiers. Il est facile de voir que si un nombre rationnel a un dénominateur, alors c’est un entier. L'ensemble des nombres rationnels est situé partout de manière dense sur l'axe des nombres : entre deux nombres rationnels différents, il y a au moins un nombre rationnel (et donc un ensemble infini de nombres rationnels). Cependant, il s’avère que l’ensemble des nombres rationnels a une cardinalité dénombrable (c’est-à-dire que tous ses éléments peuvent être renumérotés). Notons au passage que les anciens Grecs étaient convaincus de l'existence de nombres qui ne peuvent être représentés comme une fraction (par exemple, ils ont prouvé qu'il n'existe pas de nombre rationnel dont le carré est 2).

Terminologie

Définition formelle

Formellement, les nombres rationnels sont définis comme l'ensemble des classes d'équivalence de paires par rapport à la relation d'équivalence if. Dans ce cas, les opérations d'addition et de multiplication sont définies de la manière suivante:

Définitions associées

Fractions propres, impropres et mixtes

Correct Une fraction dont le numérateur est inférieur à son dénominateur est appelée une fraction. Les fractions propres représentent des nombres rationnels modulo inférieur à un. Une fraction qui n'est pas propre s'appelle faux et représente un nombre rationnel supérieur ou égal à un en module.

Une fraction impropre peut être représentée comme la somme d’un nombre entier et d’une fraction propre, appelée fraction mixte . Par exemple, . Une notation similaire (avec le signe d'addition manquant), bien qu'utilisée en arithmétique élémentaire, est évitée dans la littérature mathématique stricte en raison de la similitude de la notation fraction mixte avec la notation du produit d'un entier et d'une fraction.

Hauteur de tir

Hauteur fraction commune est la somme du module du numérateur et du dénominateur de cette fraction. Hauteur d'un nombre rationnel est la somme du module du numérateur et du dénominateur de la fraction ordinaire irréductible correspondant à ce nombre.

Par exemple, la hauteur d'une fraction est . La hauteur du nombre rationnel correspondant est égale à , puisque la fraction peut être réduite de .

Un commentaire

Terme fraction (fraction) Parfois [ spécifier] est utilisé comme synonyme du terme nombre rationnel, et parfois synonyme de tout nombre non entier. Dans ce dernier cas, les nombres fractionnaires et rationnels sont des choses différentes, car les nombres rationnels non entiers ne sont alors qu'un cas particulier de nombres fractionnaires.

Propriétés

Propriétés de base

L’ensemble des nombres rationnels satisfait seize propriétés de base, qui peuvent facilement être dérivées des propriétés des nombres entiers.

1. Ordre. Pour tout nombre rationnel, il existe une règle qui permet d'identifier de manière unique une et une seule des trois relations entre eux : "", " " ou " ". Cette règle s'appelle règle de commande et se formule ainsi : deux nombres positifs et sont liés par la même relation que deux entiers et ; deux nombres non positifs et sont liés par la même relation que deux nombres non négatifs et ; si tout à coup ce n'est pas négatif, mais - négatif, alors .

   

   Ajouter des fractions

2. Opération d’addition. règle de sommation montant nombres et et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est appelé addition. La règle de sommation a la forme suivante : .
3. Opération de multiplication. Pour tout nombre rationnel, il existe ce qu'on appelle règle de multiplication, ce qui les met en correspondance avec un nombre rationnel. Dans ce cas, le numéro lui-même est appelé travail nombres et et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est également appelé multiplication. La règle de multiplication a la forme suivante : .
4. Transitivité de la relation d'ordre. Pour tout triple de nombres rationnels, et si de moins en moins, alors moins, et si égal et égal, alors égal.
5. Commutativité de l'addition. Changer la place des termes rationnels ne change pas la somme.
6. Associativité de l'addition. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont ajoutés n’affecte pas le résultat.
7. Présence de zéro. Il existe un nombre rationnel 0 qui préserve tous les autres nombres rationnels une fois ajoutés.
8. La présence de nombres opposés. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel opposé qui, une fois ajouté, donne 0.
9. Commutativité de la multiplication. Changer la place des facteurs rationnels ne change pas le produit.
10. Associativité de la multiplication. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont multipliés n’affecte pas le résultat.
11. Disponibilité de l'unité. Il existe un nombre rationnel 1 qui préserve tous les autres nombres rationnels lorsqu'il est multiplié.
12. Présence de nombres réciproques. Tout nombre rationnel non nul a un nombre rationnel inverse qui, multiplié par, donne 1.
13. Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. L'opération de multiplication est coordonnée avec l'opération d'addition par la loi de distribution :
14. Liaison de la relation d'ordre avec l'opération d'addition. Le même nombre rationnel peut être ajouté aux côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle.
15. Le lien entre la relation d'ordre et l'opération de multiplication. Les côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle peuvent être multipliés par le même nombre rationnel positif.
16. Axiome d'Archimède. Quel que soit le nombre rationnel, vous pouvez prendre autant d'unités que leur somme dépasse .

Propriétés supplémentaires

Toutes les autres propriétés inhérentes aux nombres rationnels ne sont pas considérées comme fondamentales, car, d'une manière générale, elles ne sont plus basées directement sur les propriétés des nombres entiers, mais peuvent être prouvées sur la base des propriétés de base données ou directement par la définition d'un objet mathématique. . Il existe de nombreuses propriétés supplémentaires de ce type. Il est logique d’en énumérer seulement quelques-uns ici.

Comptabilité d'un ensemble

Pour estimer le nombre de nombres rationnels, vous devez trouver la cardinalité de leur ensemble. Il est facile de prouver que l’ensemble des nombres rationnels est dénombrable. Pour ce faire, il suffit de donner un algorithme qui énumère les nombres rationnels, c'est-à-dire établit une bijection entre les ensembles de nombres rationnels et naturels. Un exemple d’une telle construction est l’algorithme simple suivant. Un tableau sans fin de fractions ordinaires est compilé, sur chaque ligne de chaque colonne dont se trouve une fraction. Par souci de précision, on suppose que les lignes et les colonnes de ce tableau sont numérotées à partir de un. Les cellules du tableau sont désignées par , où est le numéro de la ligne du tableau dans laquelle se trouve la cellule et est le numéro de la colonne.

Le tableau résultant est parcouru à l’aide d’un « serpent » selon l’algorithme formel suivant.

Ces règles sont recherchées de haut en bas et la position suivante est sélectionnée en fonction de la première correspondance.

Au cours d'un tel parcours, chaque nouveau nombre rationnel est associé à un autre nombre naturel. C'est-à-dire que les fractions reçoivent le numéro 1, les fractions reçoivent le numéro 2, etc. Il convient de noter que seules les fractions irréductibles sont numérotées. Un signe formel d'irréductibilité est que le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur de la fraction est égal à un.

En suivant cet algorithme, nous pouvons énumérer tous les nombres rationnels positifs. Cela signifie que l’ensemble des nombres rationnels positifs est dénombrable. Il est facile d’établir une bijection entre les ensembles de nombres rationnels positifs et négatifs en attribuant simplement à chaque nombre rationnel son opposé. Que. l'ensemble des nombres rationnels négatifs est également dénombrable. Leur union est aussi dénombrable par la propriété des ensembles dénombrables. L'ensemble des nombres rationnels est également dénombrable comme l'union d'un ensemble dénombrable avec un ensemble fini.

Bien entendu, il existe d’autres façons d’énumérer des nombres rationnels. Par exemple, pour cela, vous pouvez utiliser des structures telles que l'arbre de Kalkin-Wilf, l'arbre de Stern-Broko ou la série Farey.

L'affirmation sur la dénombrabilité de l'ensemble des nombres rationnels peut prêter à confusion, car à première vue, il semble qu'elle soit beaucoup plus étendue que l'ensemble des nombres naturels. En fait, ce n’est pas le cas et il existe suffisamment de nombres naturels pour énumérer tous les nombres rationnels.

Manque de nombres rationnels

voir également

Remarques

Littérature

• I. Kushnir. Manuel de mathématiques pour les écoliers. - Kiev : ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P.S. Alexandrov. Introduction à la théorie des ensembles et à la topologie générale. - M. : chapitre. éd. physique et mathématiques allumé. éd. "Sciences", 1977
• I. L. Khmelnitski. Introduction à la théorie des systèmes algébriques

Définition des nombres rationnels

Les nombres rationnels comprennent :

• Nombres naturels pouvant être représentés sous forme de fraction. Par exemple, $7=\frac(7)(1)$.
• Nombres entiers, y compris zéro, qui peuvent être représentés par une fraction positive ou négative, ou par zéro. Par exemple, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• Fractions communes (positives ou négatives).
• Nombres mixtes qui peuvent être représentés comme une fraction impropre. Par exemple, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ et $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• Ultime décimal et une fraction périodique infinie, qui peut être représentée comme une fraction ordinaire. Par exemple, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Note 1

Notez qu'une fraction décimale non périodique infinie n'appartient pas aux nombres rationnels, car elle ne peut pas être représentée comme une fraction ordinaire.

Exemple 1

Les nombres naturels $7, 670, 21\456$ sont rationnels.

Les entiers $76, –76, 0, –555\666$ sont rationnels.

Fractions communes $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ – nombres rationnels .

Ainsi, les nombres rationnels sont divisés en positifs et négatifs. Le nombre zéro est rationnel, mais n’est ni un nombre rationnel positif ni négatif.

Formulons une définition plus concise des nombres rationnels.

Définition 3

Rationnel sont des nombres qui peuvent être représentés comme une fraction décimale périodique finie ou infinie.

Les conclusions suivantes peuvent être tirées :

• les entiers et fractions positifs et négatifs appartiennent à l’ensemble des nombres rationnels ;
• les nombres rationnels peuvent être représentés comme une fraction ayant un numérateur entier et un dénominateur naturel et qui est un nombre rationnel ;
• les nombres rationnels peuvent être représentés comme n’importe quelle fraction décimale périodique qui est un nombre rationnel.

Comment déterminer si un nombre est rationnel

1. Le numéro est donné comme expression numérique, qui se compose uniquement de nombres rationnels et de signes d'opérations arithmétiques. Dans ce cas, la valeur de l’expression sera un nombre rationnel.
2. La racine carrée d’un nombre naturel n’est un nombre rationnel que si la racine contient un nombre qui est le carré parfait d’un nombre naturel. Par exemple, $\sqrt(9)$ et $\sqrt(121)$ sont des nombres rationnels, puisque $9=3^2$ et $121=11^2$.
3. La $n$ième racine d'un entier est un nombre rationnel uniquement si le nombre sous le signe racine est la $n$ième puissance d'un entier. Par exemple, $\sqrt(8)$ est un nombre rationnel, car 8$=2^3$.

Sur l'axe des nombres, les nombres rationnels sont densément répartis : entre deux nombres rationnels qui ne sont pas égaux, au moins un nombre rationnel peut être localisé (d'où un ensemble infini de nombres rationnels). Dans le même temps, l'ensemble des nombres rationnels est caractérisé par une cardinalité dénombrable (c'est-à-dire que tous les éléments de l'ensemble peuvent être numérotés). Les Grecs de l’Antiquité ont prouvé qu’il existe des nombres qui ne peuvent pas être écrits sous forme de fractions. Ils ont montré qu’il n’existe pas de nombre rationnel dont le carré est égal à 2$. Ensuite, les nombres rationnels se sont révélés insuffisants pour exprimer toutes les quantités, ce qui a ensuite conduit à l'apparition de nombres réels. L’ensemble des nombres rationnels, contrairement aux nombres réels, est de dimension zéro.

Dans cet article, nous commencerons à explorer nombres rationnels. Nous donnerons ici des définitions des nombres rationnels, donnerons les explications nécessaires et donnerons des exemples de nombres rationnels. Après cela, nous nous concentrerons sur la façon de déterminer si un nombre donné est rationnel ou non.

Navigation dans les pages.

Définition et exemples de nombres rationnels

Dans cette section, nous donnerons plusieurs définitions des nombres rationnels. Malgré les différences de formulation, toutes ces définitions ont la même signification : les nombres rationnels unissent les entiers et les fractions, tout comme les nombres entiers unissent les nombres naturels, leurs opposés et le nombre zéro. En d’autres termes, les nombres rationnels généralisent les nombres entiers et fractionnaires.

Commençons avec définitions des nombres rationnels, ce qui est perçu le plus naturellement.

De la définition énoncée, il s'ensuit qu'un nombre rationnel est :

• Tout nombre naturel n. En effet, vous pouvez représenter n’importe quel nombre naturel sous la forme d’une fraction ordinaire, par exemple 3=3/1.
• Tout entier, en particulier le nombre zéro. En fait, tout nombre entier peut s’écrire sous la forme d’une fraction positive, d’une fraction négative ou de zéro. Par exemple, 26=26/1, .
• Toute fraction commune (positive ou négative). Ceci est directement confirmé par la définition donnée des nombres rationnels.
• N’importe quel nombre mixte. En effet, on peut toujours représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre. Par exemple, et.
• Toute fraction décimale finie ou fraction périodique infinie. Cela est dû au fait que les fractions décimales indiquées sont converties en fractions ordinaires. Par exemple, , et 0,(3)=1/3.

Il est également clair que toute fraction décimale non périodique infinie n’est PAS un nombre rationnel, puisqu’elle ne peut pas être représentée comme une fraction commune.

Maintenant, nous pouvons facilement donner exemples de nombres rationnels. Les nombres 4, 903, 100,321 sont des nombres rationnels car ce sont des nombres naturels. Les entiers 58, −72, 0, −833 333 333 sont également des exemples de nombres rationnels. Les fractions communes 4/9, 99/3 sont également des exemples de nombres rationnels. Les nombres rationnels sont aussi des nombres.

D’après les exemples ci-dessus, il est clair qu’il existe des nombres rationnels positifs et négatifs, et que le nombre rationnel zéro n’est ni positif ni négatif.

La définition ci-dessus des nombres rationnels peut être formulée sous une forme plus concise.

Définition.

Nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction z/n, où z est un nombre entier et n est un nombre naturel.

Montrons que cette définition des nombres rationnels est équivalente à la définition précédente. Nous savons que nous pouvons considérer la ligne d'une fraction comme un signe de division, puis des propriétés de division des nombres entiers et des règles de division des nombres entiers, la validité des égalités suivantes découle et. Voilà donc la preuve.

Donnons des exemples de nombres rationnels basés sur cette définition. Les nombres −5, 0, 3 et sont des nombres rationnels, puisqu'ils peuvent être écrits sous forme de fractions avec un numérateur entier et un dénominateur naturel de la forme et, respectivement.

La définition des nombres rationnels peut être donnée dans la formulation suivante.

Définition.

Nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction décimale périodique finie ou infinie.

Cette définition est également équivalente à la première définition, puisque toute fraction ordinaire correspond à une fraction décimale finie ou périodique et vice versa, et tout nombre entier peut être associé à une fraction décimale avec des zéros après la virgule.

Par exemple, les nombres 5, 0, −13 sont des exemples de nombres rationnels car ils peuvent être écrits sous la forme des fractions décimales suivantes 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 et −7, (18).

Terminons la théorie de ce point par les affirmations suivantes :

• les nombres entiers et les fractions (positives et négatives) constituent l'ensemble des nombres rationnels ;
• chaque nombre rationnel peut être représenté comme une fraction avec un numérateur entier et un dénominateur naturel, et chacune de ces fractions représente un certain nombre rationnel ;
• chaque nombre rationnel peut être représenté comme une fraction décimale périodique finie ou infinie, et chacune de ces fractions représente un nombre rationnel.

Ce chiffre est-il rationnel ?

Dans le paragraphe précédent, nous avons découvert que tout nombre naturel, tout entier, toute fraction ordinaire, tout nombre fractionnaire, toute fraction décimale finie, ainsi que toute fraction décimale périodique est un nombre rationnel. Cette connaissance nous permet de « reconnaître » des nombres rationnels à partir d’un ensemble de nombres écrits.

Mais que se passe-t-il si le nombre est donné sous la forme de certains , ou comme , etc., comment répondre à la question de savoir si ce nombre est rationnel ? Dans de nombreux cas, il est très difficile de répondre. Indiquons quelques pistes de réflexion.

Si le nombre est donné sous forme d'expression numérique contenant uniquement des nombres et des signes rationnels opérations arithmétiques(+, −, · et :), alors la valeur de cette expression est un nombre rationnel. Cela découle de la façon dont les opérations avec des nombres rationnels sont définies. Par exemple, après avoir effectué toutes les opérations dans l’expression, nous obtenons le nombre rationnel 18.

Parfois, après avoir simplifié les expressions et plus encore type complexe, il devient possible de déterminer si un nombre donné est rationnel.

Allons plus loin. Le nombre 2 est un nombre rationnel, puisque tout nombre naturel est rationnel. Et le numéro ? Est-ce rationnel ? Il s'avère que non, ce n'est pas un nombre rationnel, c'est un nombre irrationnel (la preuve de ce fait par contradiction est donnée dans le manuel d'algèbre de 8e année, listé ci-dessous dans la liste des références). Il a également été prouvé que Racine carrée d'un nombre naturel n'est un nombre rationnel que dans les cas où la racine contient un nombre qui est le carré parfait d'un nombre naturel. Par exemple, et sont des nombres rationnels, puisque 81 = 9 2 et 1 024 = 32 2, et les nombres et ne sont pas rationnels, puisque les nombres 7 et 199 ne sont pas des carrés parfaits de nombres naturels.

Le nombre est-il rationnel ou non ? Dans ce cas, il est facile de remarquer que ce nombre est donc rationnel. Le nombre est-il rationnel ? Il a été prouvé que la kième racine d'un entier est un nombre rationnel seulement si le nombre sous le signe racine est la kième puissance d'un entier. Ce n’est donc pas un nombre rationnel, puisqu’il n’existe pas d’entier dont la puissance cinquième est 121.

La méthode par contradiction permet de prouver que les logarithmes de certains nombres ne sont pas des nombres rationnels pour une raison quelconque. Par exemple, prouvons que - n'est pas un nombre rationnel.

Supposons le contraire, c'est-à-dire disons qu'il s'agit d'un nombre rationnel et qu'il peut s'écrire sous la forme d'une fraction ordinaire m/n. On donne alors les égalités suivantes : . La dernière égalité est impossible, puisque du côté gauche il y a nombre impair 5 n, et sur le côté droit se trouve le nombre pair 2 m. Par conséquent, notre hypothèse est incorrecte et ne constitue donc pas un nombre rationnel.

En conclusion, il convient particulièrement de noter que lors de la détermination de la rationalité ou de l'irrationalité des nombres, il convient de s'abstenir de tirer des conclusions soudaines.

Par exemple, il ne faut pas affirmer immédiatement que le produit des nombres irrationnels π et e est un nombre irrationnel ; cela est « apparemment évident », mais n'est pas prouvé ; Cela soulève la question : « Pourquoi un produit serait-il un nombre rationnel ? » Et pourquoi pas, car vous pouvez donner un exemple de nombres irrationnels dont le produit donne un nombre rationnel : .

On ne sait pas non plus si les nombres et bien d’autres nombres sont rationnels ou non. Par exemple, il existe des nombres irrationnels dont le pouvoir irrationnel est un nombre rationnel. A titre d'illustration, nous présentons un degré de la forme , la base de ce degré et l'exposant ne sont pas des nombres rationnels, mais , et 3 est un nombre rationnel.

Bibliographie.

• Mathématiques. 6e année : pédagogique. pour l'enseignement général institutions / [N. Ya. Vilenkin et autres]. - 22e éd., rév. - M. : Mnémosyne, 2008. - 288 p. : ill. ISBN978-5-346-00897-2.
• Algèbre: cahier de texte pour la 8ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.

Entiers

La définition des nombres naturels sont des entiers positifs. Les nombres naturels sont utilisés pour compter des objets et à de nombreuses autres fins. Voici les chiffres :

Il s'agit d'une série naturelle de nombres.
Zéro est-il un nombre naturel ? Non, zéro n'est pas un nombre naturel.
Combien y a-t-il de nombres naturels ? Il existe un nombre infini de nombres naturels.
Quel est le plus petit nombre naturel ? Un est le plus petit nombre naturel.
Quel est le plus grand nombre naturel ? Il est impossible de le préciser, car il existe un nombre infini d’entiers naturels.

La somme des nombres naturels est un nombre naturel. Donc, en additionnant les nombres naturels a et b :

Le produit de nombres naturels est un nombre naturel. Ainsi, le produit des nombres naturels a et b :

c est toujours un nombre naturel.

Différence des nombres naturels Il n'y a pas toujours un nombre naturel. Si le minuscule est supérieur au sous-traitant, alors la différence des nombres naturels est un nombre naturel, sinon elle ne l'est pas.

Le quotient des nombres naturels n'est pas toujours un nombre naturel. Si pour les nombres naturels a et b

où c est un nombre naturel, cela signifie que a est divisible par b. Dans cet exemple, a est le dividende, b est le diviseur et c est le quotient.

Le diviseur d'un nombre naturel est un nombre naturel par lequel le premier nombre est divisible par un entier.

Tout nombre naturel est divisible par un et par lui-même.

Les nombres naturels premiers ne sont divisibles que par un et par eux-mêmes. Nous entendons ici entièrement divisé. Exemple, numéros 2 ; 3 ; 5 ; 7 n'est divisible que par un et lui-même. Ce sont des nombres naturels simples.

Un n’est pas considéré comme un nombre premier.

Les nombres supérieurs à un et qui ne sont pas premiers sont appelés nombres composés. Exemples de nombres composés :

Un n’est pas considéré comme un nombre composé.

L'ensemble des nombres naturels est un, nombres premiers et les nombres composés.

L'ensemble des nombres naturels est désigné par la lettre latine N.

Propriétés d'addition et de multiplication des nombres naturels :

propriété commutative d'addition

propriété associative d'addition

(une + b) + c = une + (b + c) ;

propriété commutative de multiplication

propriété associative de multiplication

(ab) c = a (bc);

propriété distributive de la multiplication

A (b + c) = ab + ac ;

Nombres entiers

Les nombres entiers sont les nombres naturels, zéro et les opposés des nombres naturels.

Le contraire des nombres naturels sont les entiers négatifs, par exemple :

1; -2; -3; -4;...

L'ensemble des nombres entiers est désigné par la lettre latine Z.

Nombres rationnels

Les nombres rationnels sont des nombres entiers et des fractions.

Tout nombre rationnel peut être représenté comme une fraction périodique. Exemples:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

D’après les exemples, il est clair que tout nombre entier est une fraction périodique de période zéro.

Tout nombre rationnel peut être représenté par une fraction m/n, où m est un entier nombre,n naturel nombre. Imaginons le nombre 3,(6) de l'exemple précédent comme une telle fraction.

) sont des nombres avec un signe positif ou négatif (entiers et fractions) et zéro. Un concept plus précis de nombres rationnels ressemble à ceci :

Nombre rationnel - un nombre représenté comme une fraction commune m/n, où le numérateur m sont des entiers, et le dénominateur n- des entiers, par exemple 2/3.

Les fractions infinies non périodiques ne sont PAS incluses dans l'ensemble des nombres rationnels.

un B, Où un∈ Z (un appartient aux entiers), b∈ N (b appartient aux nombres naturels).

Utiliser des nombres rationnels dans la vraie vie.

DANS vrai vie l'ensemble des nombres rationnels est utilisé pour compter les parties de certains objets entiers divisibles, Par exemple, des gâteaux ou d'autres aliments coupés en morceaux avant consommation, ou pour estimer approximativement les relations spatiales d'objets étendus.

Propriétés des nombres rationnels.

Propriétés de base des nombres rationnels.

1. Ordre un Et b il existe une règle qui permet d'identifier sans ambiguïté 1 et une seule des 3 relations entre elles : «<», «>" ou " = ". Cette règle est - règle de commande et formulez-le ainsi :

• 2 nombres positifs a=m a /n a Et b = m b / n b sont liés par la même relation que 2 entiers ma⋅ nb Et mb⋅ n / A;
• 2 nombres négatifs un Et b sont liés par le même rapport que 2 nombres positifs |b| Et |une|;
• Quand un positif et b- négatif, alors un>b.

∀ un B∈ Q(un ∨ un>b∨ une=b)

2. Opération d'addition. Pour tous les nombres rationnels un Et b Il y a règle de sommation, ce qui leur attribue un certain nombre rationnel c. En même temps, le numéro lui-même c- Ce somme Nombres un Et b et il est noté (a+b) addition.

Règle de sommation Ressemble à ça:

ma/n a + m b/n b = (m a⋅ nb + mb⋅ n / A)/(n / A⋅ nb).

∀ un B∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Opération de multiplication. Pour tous les nombres rationnels un Et b Il y a règle de multiplication, il les associe à un certain nombre rationnel c. Le nombre c s'appelle travail Nombres un Et b et désigne (une⋅b), et le processus de recherche de ce numéro s'appelle multiplication.

Règle de multiplication Ressemble à ça: un homme⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Transitivité de la relation d'ordre. Pour trois nombres rationnels quelconques un, b Et c Si un moins b Et b moins c, Que un moins c, et si unéquivaut à b Et béquivaut à c, Que unéquivaut à c.

∀ abc∈ Q(un ∧ b ⇒ un ∧ (une = b∧ b = c⇒ une = c)

5. Commutativité de l'addition. Changer la place des termes rationnels ne change pas la somme.

∀ un B∈ Q a+b=b+a

6. Associativité des ajouts. L’ordre dans lequel 3 nombres rationnels sont ajoutés n’affecte pas le résultat.

∀ abc∈ Q (une+b)+c=une+(b+c)

7. Présence de zéro. Il existe un nombre rationnel 0, il conserve tous les autres nombres rationnels une fois ajoutés.

∃ 0 ∈ Q∀ un∈ Q une+0=une

8. Présence de nombres opposés. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel opposé, et lorsqu'ils sont ajoutés, le résultat est 0.

∀ un∈ Q∃ (−une)∈ Q une+(−une)=0

9. Commutativité de la multiplication. Changer la place des facteurs rationnels ne change pas le produit.

∀ un B∈ Qa⋅ b = b⋅ un

10. Associativité de la multiplication. L’ordre dans lequel 3 nombres rationnels sont multipliés n’a aucun effet sur le résultat.

∀ abc∈ Q(un⋅ b)⋅ c = un⋅ (b⋅ c)

11. Disponibilité des unités. Il existe un nombre rationnel 1, il préserve tous les autres nombres rationnels lors du processus de multiplication.

∃ 1 ∈ Q∀ un∈ Qa⋅ 1=un

12. Présence de nombres réciproques. Tout nombre rationnel autre que zéro a un nombre rationnel inverse, en multipliant par lequel on obtient 1 .

∀ un∈ Q∃ a−1∈ Qa⋅ une−1=1

13. Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. L'opération de multiplication est liée à l'addition utilisant la loi distributive :

∀ abc∈ Q(a+b)⋅ c = un⋅ c+b⋅ c

14. Relation entre la relation d'ordre et l'opération d'addition. Le même nombre rationnel est ajouté aux côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle.

∀ abc∈ Qa ⇒ a+c

15. Relation entre la relation d'ordre et l'opération de multiplication. Les côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle peuvent être multipliés par le même nombre rationnel non négatif.

∀ abc∈ Qc>0∧ un ⇒ un⋅ c ⋅ c

16. Axiome d'Archimède. Quel que soit le nombre rationnel un, il est facile de prendre tellement d'unités que leur somme sera plus grande un.