Valeurs approximatives. Grande encyclopédie du pétrole et du gaz

Si l'on sait qu'un< А, то а называют valeur approximative de A avec un inconvénient. Si a > A, alors a est appelé valeur approximative de A en excès.

La différence entre les valeurs exactes et approximatives d'une quantité s'appelle erreur d'approximation et est noté D, c'est-à-dire

D \u003d A - un (1)

L'erreur D de l'approximation peut être à la fois positive et négative.

Pour caractériser la différence entre la valeur approchée d'une grandeur et la valeur exacte, il suffit souvent d'indiquer la valeur absolue de la différence entre les valeurs exactes et approchées.

La valeur absolue de la différence entre la valeur approximative un et précis MAIS les valeurs numériques sont appelées erreur absolue (erreur) d'approximation et noté D un:

ré un = ½ un – MAIS½ (2)

Exemple 1 Lors de la mesure d'une ligne je utilisé une règle dont la valeur de division d'échelle est de 0,5 cm.Nous avons obtenu une valeur approximative pour la longueur du segment un= 204cm.

Il est clair que lors de la mesure, ils ne pouvaient pas se tromper de plus de 0,5 cm, c'est-à-dire l'erreur de mesure absolue ne dépasse pas 0,5 cm.

Habituellement, l'erreur absolue est inconnue car elle n'est pas connue valeur exacte numéro A. Par conséquent, comme une erreur, prenez n'importe quel évaluation erreur absolue:

ré un <= Dun avant de. (3)

où d avant de. – erreur marginale (nombre, Suite zéro), qui est fixé en tenant compte de la certitude avec laquelle le nombre a est connu.

L'erreur absolue limite est aussi appelée marge d'erreur. Ainsi, dans l'exemple donné,
ré avant de. = 0,5 cm.

De (3) on obtient :

ré un = ½ un – MAIS½<= Dun avant de. .

un-RÉ un avant de. ≤ MAIS≤ un+D un avant de. . (4)

un d un avant de. sera une approximation MAIS avec un inconvénient

un + D un avant de – valeur approximative MAIS en excès. Ils utilisent également la sténographie :

MAIS= un± D un avant de (5)

Il résulte de la définition de l'erreur absolue limite que les nombres D un avant de, satisfaisant l'inégalité (3), il y aura un ensemble infini. En pratique, nous essayons de choisir peut-être moinsà partir des nombres D avant de, vérifiant l'inégalité D un <= Dun avant de.

Exemple 2 Déterminons l'erreur absolue limite du nombre a=3.14, pris comme valeur approchée du nombre π.

Il est connu que 3,14<π<3,15. D'où il suit que

|un – π |< 0,01.

Le nombre D peut être pris comme erreur absolue limite un = 0,01.

Cependant, si l'on tient compte du fait que 3,14<π<3,142 , alors nous obtenons une meilleure estimation :D un= 0,002, alors π ≈3,14 ±0,002.

4. Erreur relative(Erreur). Connaître uniquement l'erreur absolue ne suffit pas à caractériser la qualité de la mesure.

Soit, par exemple, lors de la pesée de deux corps, les résultats suivants sont obtenus:

P 1 \u003d 240,3 ± 0,1 g.

P 2 \u003d 3,8 ± 0,1 g.

Bien que les erreurs de mesure absolues des deux résultats soient les mêmes, la qualité de mesure dans le premier cas sera meilleure que dans le second. Elle se caractérise par une erreur relative.

Erreur relative (erreur) approximation des nombres MAIS est appelé le taux d'erreur absolu D un approximation de la valeur absolue du nombre A :

Comme la valeur exacte d'une grandeur est généralement inconnue, on la remplace par une valeur approchée puis :

(7)

Limitation de l'erreur relative ou limite d'erreur d'approximation relative, appelé le numéro d et avant.>0, tel que :

ré un<= ré et avant.(8)

Pour l'erreur relative limite, on peut évidemment prendre le rapport de l'erreur absolue limite sur la valeur absolue de la valeur approchée :

(9)

De (9) on obtient facilement la relation importante suivante :

∆et avant. = |un| ré et avant.(10)

L'erreur relative limite est généralement exprimée en pourcentage :

Exemple. La base des logarithmes naturels pour le calcul est prise égale à e=2,72. Nous avons pris comme valeur exacte e m = 2,7183. Trouver les erreurs absolues et relatives d'un nombre approximatif.

ré e = ½ e – e t ½ = 0,0017 ;

.

La valeur de l'erreur relative reste inchangée avec un changement proportionnel du nombre le plus approximatif et de son erreur absolue. Ainsi, pour le nombre 634,7, calculé avec une erreur absolue D = 1,3, et pour le nombre 6347 avec une erreur D = 13, les erreurs relatives sont les mêmes : ré= 0,2.

L'ampleur de l'erreur relative peut être approximativement jugée par le nombre vrai significatif chiffres d'un nombre.

1. Les chiffres sont exacts et approximatifs. Les nombres que nous rencontrons dans la pratique sont de deux sortes. Certains donnent la vraie valeur de la quantité, d'autres seulement une approximation. Le premier est appelé exact, le second - approximatif. Le plus souvent, il est pratique d'utiliser un nombre approximatif au lieu d'un nombre exact, d'autant plus que dans de nombreux cas, le nombre exact est introuvable.

Les résultats des opérations avec des nombres donnent : avec des nombres approximatifs des nombres approximatifs. Par exemple. Pendant l'épidémie, 60% des habitants de Saint-Pétersbourg attrapent la grippe. Cela représente environ 3 millions de personnes. avec des nombres exacts des nombres exacts Ex. Il y a 65 personnes dans le public lors d'une conférence sur les mathématiques. nombres approximatifs Par ex. Température corporelle moyenne du patient pendant la journée 37,3 : matin : 37,2 ; jour : 36,8 ; soir38.

La théorie des calculs approchés permet : 1) de connaître le degré de précision des données, d'évaluer le degré de précision des résultats ; 2) prendre des données avec un degré de précision approprié, suffisant pour garantir la précision requise du résultat ; 3) rationaliser le processus de calcul, en le libérant des calculs qui n'affecteront pas la précision du résultat.

1) si le premier (gauche) des chiffres rejetés est inférieur à 5, alors le dernier chiffre restant n'est pas modifié (arrondi vers le bas); 2) si le premier chiffre rejeté est supérieur à 5 ou égal à 5, alors le dernier chiffre restant est augmenté de un (arrondi). Arrondi : a) aux dixièmes 12,34 12,3 ; b) jusqu'aux centièmes 3,2465 3,25 ; 1038.79. c) jusqu'au millième 3,4335 3,434. d) jusqu'à des milliers ; Celui-ci prend en compte les éléments suivants :

Les grandeurs les plus couramment mesurées en médecine : masse m, longueur l, vitesse de traitement v, temps t, température t, volume V, etc. Mesurer une grandeur physique signifie la comparer à une grandeur homogène prise comme unité. 9 Unités de mesure des grandeurs physiques : Longueur de base - 1 m - (mètre) Temps - 1 s - (seconde) Masse - 1 kg - (kilogramme) Produits Volume - 1 m³ - (mètre cube) Vitesse - 1 m/s - (mètre par seconde)

Préfixes aux noms d'unités : Préfixes multiples - augmenter de 10, 100, 1000, etc. fois g - hecto (×100) k - kilo (× 1000) M - méga (×) 1 km (kilomètre) 1 kg (kilogramme) 1 km = 1000 m = 10³ m 1 kg = 1000 g = 10³ g diminuer de 10 , 100, 1000, etc... fois d - déci (×0,1) s - centi (× 0,01) m - milli (× 0,001) 1 dm (décimètre) 1dm = 0,1 m 1 cm (centimètre) 1cm = 0,01 m 1 mm (millimètre) 1mm = 0,001 m

Pour le diagnostic, le traitement, la prévention des maladies en médecine, divers équipements médicaux de mesure sont utilisés.

Thermomètre. Tout d'abord, vous devez prendre en compte les limites supérieure et inférieure de mesure. La limite inférieure est le minimum et la limite supérieure est la valeur maximale mesurable. Si la valeur attendue de la valeur mesurée est inconnue, il est préférable de prendre l'appareil avec une "marge". Par exemple, la mesure de la température de l'eau chaude ne doit pas être effectuée avec un thermomètre de rue ou d'ambiance. Il est préférable de trouver un appareil avec une limite supérieure de 100 ° C. Deuxièmement, vous devez comprendre avec quelle précision la quantité doit être mesurée. Étant donné que l'erreur de mesure dépend de la valeur de division, pour des mesures plus précises, un instrument avec une valeur de division inférieure est sélectionné.

Erreurs de mesure. Pour mesurer divers paramètres de diagnostic, vous avez besoin de votre propre appareil. Par exemple, la longueur est mesurée avec une règle et la température avec un thermomètre. Mais les règles, thermomètres, tonomètres et autres appareils sont différents, donc pour mesurer n'importe quelle quantité physique, vous devez choisir un appareil adapté à cette mesure.

Le prix de division de l'appareil. La température du corps humain doit être déterminée avec précision, les médicaments doivent être administrés en quantité strictement définie, par conséquent, le prix des divisions de l'échelle de l'appareil de mesure est une caractéristique importante de chaque appareil. La règle de calcul de la division de prix de l'appareil Pour calculer le prix des divisions de l'échelle, vous devez: a) sélectionner les deux traits numérisés les plus proches sur l'échelle; b) compter le nombre de divisions entre eux; c) Divisez la différence de valeurs autour des traits sélectionnés par le nombre de divisions.

Le prix de division de l'appareil. Valeur de division (50-30)/4=5 (ml) Valeur de division : (40-20)/10=2 km/h, (20-10)/10= 1gm, (39-19)/10=2 LITR , (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 temp, (4-2)/10=0,2 s

Déterminer le prix de la division des appareils : 16

Erreur de mesure absolue. Des erreurs sont inévitables dans toute mesure. Ces erreurs sont dues à divers facteurs. Tous les facteurs peuvent être divisés en trois parties : les erreurs causées par l'imperfection des instruments ; erreurs causées par l'imperfection des méthodes de mesure; erreurs dues à l'influence de facteurs aléatoires qui ne peuvent pas être éliminés. Lors de la mesure d'une valeur, on veut connaître non seulement sa valeur, mais aussi à quel point cette valeur peut être fiable, à quel point elle est précise. Pour ce faire, il est nécessaire de savoir de combien la vraie valeur d'une quantité peut différer de celle mesurée. À ces fins, le concept d'erreurs absolues et relatives est introduit.

Erreurs absolues et relatives. L'erreur absolue montre à quel point la valeur réelle d'une grandeur physique diffère de celle mesurée. Cela dépend de l'appareil lui-même (erreur instrumentale) et du processus de mesure (erreur de lecture sur l'échelle). L'erreur instrumentale doit être indiquée dans le passeport de l'instrument (en règle générale, elle est égale à la division d'échelle de l'instrument). L'erreur de lecture est généralement prise égale à la moitié de la valeur de la division. L'erreur absolue d'une valeur approximative est la différence Δ x \u003d | x - x 0 |, où x 0 est une valeur approximative et x est la valeur exacte de la valeur mesurée, ou parfois au lieu de x ils utilisent A ΔA \ u003d | A - A 0 |.

Erreurs absolues et relatives. Exemple. On sait que -0,333 est une valeur approximative pour -1/3. Alors par définition de l'erreur absolue Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. Dans de nombreux cas pratiquement importants, il est impossible de trouver l'erreur absolue de l'approximation en raison du fait que la valeur exacte de la quantité est inconnue. Cependant, vous pouvez spécifier un nombre positif, supérieur à ce que cette erreur absolue ne peut pas être. C'est tout nombre h qui satisfait l'inégalité | ∆x | h C'est ce qu'on appelle la limite d'erreur absolue.

Dans ce cas, ils disent que la valeur de x est approximativement jusqu'à h égale à x 0. x \u003d x 0 ± h ou x 0 - h x x 0 + h

Erreurs instrumentales absolues des instruments de mesure

Estimation des erreurs instrumentales des grandeurs mesurées. Pour la plupart des instruments de mesure, l'erreur de l'instrument est égale à sa division d'échelle. L'exception concerne les instruments numériques et les comparateurs à cadran. Pour les appareils numériques, l'erreur est indiquée dans leur passeport et est généralement plusieurs fois supérieure à la division d'échelle de l'appareil. Pour les instruments de mesure à aiguille, l'erreur est déterminée par leur classe de précision, qui est indiquée sur l'échelle de l'instrument, et la limite de mesure. La classe de précision est indiquée sur l'échelle de l'appareil sous la forme d'un nombre qui n'est entouré d'aucun cadre. Par exemple, dans la figure illustrée, la classe de précision du manomètre est de 1,5. La classe de précision indique le pourcentage d'erreur de l'appareil par rapport à la limite de ses mesures. Pour un manomètre à aiguille, la limite de mesure est de 3 atm, respectivement, l'erreur de mesure de pression est de 1,5% de 3 atm, soit 0,045 atm. Il convient de noter que pour la plupart des dispositifs de pointage, leur erreur s'avère être égale à la valeur de division du dispositif. Comme dans notre exemple, où le prix de division du baromètre est de 0,05 atm.

Erreurs absolues et relatives. Une erreur absolue est nécessaire pour déterminer la plage dans laquelle la vraie valeur peut tomber, mais pour évaluer l'exactitude du résultat dans son ensemble, elle n'est pas très indicative. Après tout, mesurer une longueur de 10 m avec une erreur de 1 mm est certainement très précis, en même temps, mesurer une longueur de 2 mm avec une erreur de 1 mm est évidemment extrêmement imprécis. L'erreur de mesure absolue est généralement arrondie à un chiffre significatif ΔA 0,17 0,2. La valeur numérique du résultat de la mesure est arrondie de sorte que son dernier chiffre soit dans le même chiffre que le chiffre d'erreur A=10,332 10,3

Erreurs absolues et relatives. Parallèlement à l'erreur absolue, il est d'usage de considérer l'erreur relative, qui est égale au rapport de l'erreur absolue à la valeur de la quantité elle-même. L'erreur relative d'un nombre approché est le rapport de l'erreur absolue d'un nombre approché à ce nombre lui-même : E = Δx. 100% x 0 L'erreur relative montre combien de pourcentage de la valeur elle-même une erreur pourrait se produire et est indicative lors de l'évaluation de la qualité des résultats expérimentaux.

Exemple. Lors de la mesure de la longueur et du diamètre du capillaire, l = (10,0 ± 0,1) cm, d = (2,5 ± 0,1) mm ont été obtenus. Laquelle de ces mesures est la plus précise ? Lors de la mesure de la longueur du capillaire, une erreur absolue de 10 mm par 100 mm est autorisée, donc l'erreur absolue est de 10/100 = 0,1 = 10 %. Lors de la mesure du diamètre capillaire, l'erreur absolue tolérée est de 0,1/2,5 = 0,04 = 4 %. Par conséquent, la mesure du diamètre capillaire est plus précise.

Dans de nombreux cas, aucune erreur absolue ne peut être trouvée. D'où l'erreur relative. Mais vous pouvez trouver la limite de l'erreur relative. Tout nombre δ satisfaisant l'inégalité | ∆x | / | xo | δ, est la limite de l'erreur relative. En particulier, si h est la limite d'erreur absolue, alors le nombre δ= h/| x o |, est la borne de l'erreur relative de l'approximation x o. D'ici. Connaître la frontière rel.p-i. δ, on peut trouver la limite de l'erreur absolue h. h=δ | xo |

Exemple. On sait que 2=1.41… Trouver la précision relative de l'égalité approchée ou la limite de l'erreur relative de l'égalité approchée 2 1.41. Ici x \u003d 2, x o \u003d 1,41, Δ x \u003d 2-1,41. Évidemment 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x o 0,01/1,41=1/141, la limite d'erreur absolue est de 0,01, la limite d'erreur relative est de 1/141

Exemple. Lors de la lecture de la lecture de l'échelle, il est important que votre regard tombe perpendiculairement à l'échelle de l'instrument, tandis que l'erreur sera moindre. Pour déterminer la lecture du thermomètre : 1. déterminez le nombre de divisions, 2. multipliez-les par le prix de la division 3. tenez compte de l'erreur 4. notez le résultat final. t = 20 °C ± 1,5 °C Cela signifie que la température est comprise entre 18,5° et 21,5°. C'est-à-dire qu'il peut être, par exemple, de 19, 20 et 21 degrés Celsius. Pour augmenter la précision des mesures, il est d'usage de les répéter au moins trois fois et de calculer la valeur moyenne de la valeur mesurée

N A C O R D E N I A A N E D E N G O N I N I O N I Résultats des mesures C 1 \u003d 34,5 C 2 \u003d 33,8 C 3 \u003d 33,9 C 4 \u003d 33 ,5 C 5 \u003d 54,2 a) Trouvons la valeur moyenne de quatre quantités avec cp \u003d (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 c cf \u003d (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33 ,5):4 = 33,925 33,9 b) Trouvez l'écart de la valeur par rapport à la valeur moyenne Δс = | c-cp | ∆c 1 = | c 1 – c cp | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6 ∆c 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 ∆c 3 = | c 3 – c cp | = | 33,9 – 33,9 | = 0 ∆c 4 = | c 4 – c cp | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4

C) Trouvez l'erreur absolue Δc \u003d (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 Δc \u003d (0,6 + 0,4): 4 \u003d 0,275 0,3 g) Trouvez l'erreur relative δ \u003d Δc: s SR δ = (0,3 : 33,9) 100 % = 0,9 % e) Écrivez la réponse finale c = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9 %

DEVOIRS Préparez-vous pour une leçon pratique basée sur le matériel de cours. Exécuter une tâche. Trouvez la valeur moyenne et l'erreur : a 1 = 3,685 a 2 = 3,247 a 3 = 3,410 a 4 = 3,309 a 5 = 3,392. Créer des présentations sur les sujets : « Arrondissement des valeurs en médecine », « Erreurs de mesure », « Appareils de mesure médicale »

Valeurs exactes et approximatives des quantités

Dans la plupart des cas, les données numériques des problèmes sont approximatives. Dans les conditions des tâches, des valeurs exactes sont également rencontrées, par exemple, les résultats du comptage d'un petit nombre d'objets, certaines constantes, etc.

Pour indiquer la valeur approximative d'un nombre, utilisez le signe d'égalité approximative; lire comme ceci : « approximativement égal » (ne devrait pas être lu : « approximativement égal »).

Découvrir la nature des données numériques est une étape préparatoire importante dans la résolution de tout problème.

Les directives suivantes peuvent vous aider à reconnaître les valeurs exactes et approximatives des nombres :

Valeurs exactes	Valeurs approximatives
1. Les valeurs d'un certain nombre de facteurs de conversion pour le passage d'une unité de mesure à une autre (1m = 1000 mm; 1h = 3600 s) De nombreux facteurs de conversion ont été mesurés et calculés avec une précision (métrologique) si élevée que pratiquement ils sont maintenant considérés comme exacts.	1. La plupart des valeurs des quantités mathématiques spécifiées dans les tableaux (racines, logarithmes, valeurs des fonctions trigonométriques, ainsi que la valeur du nombre et de la base des logarithmes naturels utilisés dans la pratique (nombre e))
2. Facteurs d'échelle. Si, par exemple, on sait que l'échelle est de 1:10000, alors les nombres 1 et 10000 sont considérés comme exacts. S'il est indiqué qu'il y a 4 m dans 1 cm, alors 1 et 4 sont les longueurs exactes	2. Résultats de mesure. (Quelques constantes de base : la vitesse de la lumière dans le vide, la constante gravitationnelle, la charge et la masse d'un électron, etc.) Valeurs tabulaires de grandeurs physiques (densité d'une substance, points de fusion et d'ébullition, etc.)
3. Tarifs et prix. (le coût de 1 kWh d'électricité est la valeur exacte du prix)	3. Les données de conception sont également approximatives, car ils sont définis avec quelques écarts, qui sont normalisés par les GOST. (Par exemple, selon la norme, dimensions de la brique: longueur 250 6 mm, largeur 120 4 mm, épaisseur 65 3 mm) Le même groupe de nombres approximatifs comprend les dimensions tirées du dessin
4. Valeurs conditionnelles des grandeurs (Exemples : zéro absolu température -273,15 C, pression atmosphérique normale 101325 Pa)
5. Coefficients et exposants trouvés dans des formules physiques et mathématiques (;%; etc.).
6. Résultats du comptage d'articles (nombre de piles dans la batterie ; nombre de cartons de lait produits par l'usine et comptés par le compteur photoélectrique)
7. Valeurs données des grandeurs (Par exemple, dans la tâche « Trouver les périodes d'oscillation des pendules de 1 et 4 m de long », les nombres 1 et 4 peuvent être considérés comme les valeurs exactes de la longueur du pendule)

Complet les tâches suivantes, écrivez la réponse sous forme de tableau :

1. Indiquez lesquelles des valeurs données sont exactes, lesquelles sont approximatives:

1) Densité de l'eau (4 C)………..………………………………..……………1000kg/m 3

2) Vitesse du son (0 С)…………………………………………………….332 m/s

3) Capacité calorifique spécifique de l'air….……………………………1.0 kJ/(kg∙K)

4) Point d'ébullition de l'eau…………….……………………………………….100 C

5) Constante d'Avogadro….…………………………………………..…..6.02∙10 23 mol -1

6) Masse atomique relative de l'oxygène……………………………………..16

2. Trouvez des valeurs exactes et approximatives dans les conditions des tâches suivantes :

1) Dans une machine à vapeur, une bobine en bronze dont la longueur et la largeur sont respectivement de 200 et 120 mm subit une pression de 12 MPa. Trouvez la force nécessaire pour déplacer la bobine sur la surface en fonte du cylindre. Le coefficient de frottement est de 0,10.

2) Déterminer la résistance du filament de la lampe électrique selon les données de marquage suivantes : "220V, 60 W".

3. Quelles réponses - exactes ou approximatives - obtiendrons-nous en résolvant les problèmes suivants ?

1) Quelle est la vitesse d'un corps en chute libre à la fin de la 15e seconde, compte tenu de l'intervalle de temps spécifié exactement ?

2) Quelle est la vitesse de la poulie si son diamètre est de 300 mm, la vitesse de rotation est de 10 tr/min ? Les données sont considérées comme exactes.

3) Déterminer le module de force. Échelle 1 cm - 50N.

4) Déterminez le coefficient de frottement statique pour un corps situé sur un plan incliné, si le corps commence à glisser uniformément le long de la pente à = 0,675, où est l'angle d'inclinaison du plan.

Pour les problèmes modernes, il est nécessaire d'utiliser un appareil mathématique complexe et des méthodes développées pour les résoudre. Dans ce cas, on rencontre souvent des problèmes dont la solution analytique, c'est-à-dire une solution sous la forme d'une expression analytique reliant les données initiales aux résultats requis est soit impossible du tout, soit exprimée dans des formules si lourdes qu'il est impossible de les utiliser à des fins pratiques.

Dans ce cas, on utilise des méthodes de résolution numérique qui permettent d'obtenir assez simplement une solution numérique au problème. Les méthodes numériques sont mises en œuvre à l'aide d'algorithmes de calcul.

Toute la variété des méthodes numériques est divisée en deux groupes :

Exact - ils supposent que si les calculs sont effectués avec précision, alors à l'aide d'un nombre fini d'opérations arithmétiques et logiques, les valeurs exactes des quantités souhaitées peuvent être obtenues.

Approché - qui, même dans l'hypothèse où les calculs sont effectués sans arrondi, vous permet d'obtenir une solution au problème uniquement avec une précision donnée.

1. valeur et nombre. Une quantité est quelque chose qui peut être exprimé par un nombre dans certaines unités.

Quand ils parlent de la valeur d'une quantité, ils veulent dire un certain nombre, appelé la valeur numérique de la quantité, et son unité de mesure.

Ainsi, une quantité est une caractéristique d'une propriété d'un objet ou d'un phénomène, qui est commune à de nombreux objets, mais qui a des valeurs individuelles pour chacun d'eux.

Les valeurs peuvent être constantes ou variables. Si, sous certaines conditions, une quantité ne prend qu'une seule valeur et ne peut pas la changer, on l'appelle une constante, mais si elle peut prendre différentes valeurs, on l'appelle une variable. Ainsi, l'accélération de chute libre d'un corps en un endroit donné de la surface de la terre est une valeur constante, prenant une seule valeur numérique g = 9,81 ... m/s2, tandis que le chemin s parcouru par un point matériel au cours de sa le mouvement est une valeur variable.

2. valeurs approximatives des nombres. La valeur de la quantité, dont nous ne doutons pas de la vérité, est dite exacte. Souvent, cependant, lors de la recherche de la valeur d'une quantité, seule sa valeur approximative est obtenue. Dans la pratique des calculs, on a souvent affaire à des valeurs approximatives de nombres. Ainsi, p est un nombre exact, mais en raison de son irrationalité, seule sa valeur approximative peut être utilisée.

Dans de nombreux problèmes, en raison de la complexité et souvent de l'impossibilité d'obtenir des solutions exactes, des méthodes de résolution approchées sont utilisées, notamment: solution approchée d'équations, interpolation de fonctions, calcul approché d'intégrales, etc.

La principale exigence pour les calculs approximatifs est le respect de la précision spécifiée des calculs intermédiaires et du résultat final. Dans le même temps, une augmentation des erreurs (erreurs) par un grossissement injustifié des calculs et la rétention de chiffres redondants qui ne correspondent pas à la précision réelle sont également inacceptables.

Il existe deux classes d'erreurs résultant des calculs et des nombres arrondis - absolues et relatives.

1. Erreur absolue (erreur).

Introduisons la notation :

Soit A la valeur exacte d'une certaine quantité, Record un » un Nous lirons "a est approximativement égal à A". Parfois, nous écrirons A = a, en gardant à l'esprit que nous parlons d'égalité approximative.

Si l'on sait qu'un< А, то а называют valeur approximative de A avec un inconvénient. Si a > A, alors a est appelé valeur approximative de A en excès.

La différence entre les valeurs exactes et approximatives d'une quantité s'appelle erreur d'approximation et est noté D, c'est-à-dire

D \u003d A - un (1)

L'erreur D de l'approximation peut être à la fois positive et négative.

Pour caractériser la différence entre la valeur approchée d'une grandeur et la valeur exacte, il suffit souvent d'indiquer la valeur absolue de la différence entre les valeurs exactes et approchées.

La valeur absolue de la différence entre la valeur approximative un et précis MAIS les valeurs numériques sont appelées erreur absolue (erreur) d'approximation et noté D un:

ré un = ½ un – MAIS½ (2)

Exemple 1 Lors de la mesure d'une ligne je utilisé une règle dont la valeur de division d'échelle est de 0,5 cm.Nous avons obtenu une valeur approximative pour la longueur du segment un= 204cm.

Il est clair que lors de la mesure, ils ne pouvaient pas se tromper de plus de 0,5 cm, c'est-à-dire l'erreur de mesure absolue ne dépasse pas 0,5 cm.

Habituellement, l'erreur absolue est inconnue, car la valeur exacte du nombre A est inconnue. évaluation erreur absolue:

ré un <= Dun avant de. (3)

où d avant de. – erreur marginale (nombre, Suite zéro), qui est fixé en tenant compte de la certitude avec laquelle le nombre a est connu.

L'erreur absolue limite est aussi appelée marge d'erreur. Ainsi, dans l'exemple donné,
ré avant de. = 0,5 cm.

De (3) on obtient : D un = ½ un – MAIS½<= Dun avant de. . et alors

un-RÉ un avant de. ≤ MAIS≤ un+D un avant de. . (4)

Moyens, un d un avant de. sera une approximation MAIS avec un inconvénient et un + D un avant de – valeur approximative MAIS en excès. Ils utilisent également la sténographie : MAIS= un± D un avant de (5)

Il résulte de la définition de l'erreur absolue limite que les nombres D un avant de, satisfaisant l'inégalité (3), il y aura un ensemble infini. En pratique, nous essayons de choisir peut-être moinsà partir des nombres D avant de, vérifiant l'inégalité D un <= Dun avant de.

Exemple 2 Déterminons l'erreur absolue limite du nombre a=3.14, pris comme valeur approchée du nombre π.

Il est connu que 3,14<π<3,15. D'où il suit que

|un – π |< 0,01.

Le nombre D peut être pris comme erreur absolue limite un = 0,01.

Cependant, si l'on tient compte du fait que 3,14<π<3,142 , alors nous obtenons une meilleure estimation :D un= 0,002, alors π ≈3,14 ±0,002.

Erreur relative (erreur). Connaître uniquement l'erreur absolue ne suffit pas à caractériser la qualité de la mesure.

Soit, par exemple, lors de la pesée de deux corps, les résultats suivants sont obtenus:

P 1 \u003d 240,3 ± 0,1 g.

P 2 \u003d 3,8 ± 0,1 g.

Bien que les erreurs de mesure absolues des deux résultats soient les mêmes, la qualité de mesure dans le premier cas sera meilleure que dans le second. Elle se caractérise par une erreur relative.

Erreur relative (erreur) approximation des nombres MAIS est appelé le taux d'erreur absolu D un approximation de la valeur absolue du nombre A :

Comme la valeur exacte d'une grandeur est généralement inconnue, on la remplace par une valeur approchée puis :

Limitation de l'erreur relative ou limite d'erreur d'approximation relative, appelé le numéro d et avant.>0, tel que :

ré un<= ré et avant.

Pour l'erreur relative limite, on peut évidemment prendre le rapport de l'erreur absolue limite sur la valeur absolue de la valeur approchée :

De (9) on obtient facilement la relation importante suivante :

∆et avant. = |un| ré et avant.

L'erreur relative limite est généralement exprimée en pourcentage :

Exemple. La base des logarithmes naturels pour le calcul est prise égale à e=2,72. Nous avons pris comme valeur exacte e m = 2,7183. Trouver les erreurs absolues et relatives d'un nombre approximatif.

ré e = ½ e – e t ½ = 0,0017 ;

.

La valeur de l'erreur relative reste inchangée avec un changement proportionnel du nombre le plus approximatif et de son erreur absolue. Ainsi, pour le nombre 634,7, calculé avec une erreur absolue D = 1,3, et pour le nombre 6347 avec une erreur D = 13, les erreurs relatives sont les mêmes : ré= 0,2.

Région de Sakhaline

"École professionnelle n ° 13"

Instructions méthodologiques pour le travail indépendant des étudiants

Aleksandrovsk-Sakhalinsky

Valeurs approximatives des grandeurs et erreurs d'approximation : Méthode spec. / Comp.

GBOU NPO "École professionnelle n ° 13", - Aleksandrovsk-Sakhalinsky, 2012

Les instructions méthodiques sont destinées aux étudiants de toutes les professions qui étudient le cours de mathématiques

Président du MK

Valeur approximative de la quantité et erreurs d'approximation.

En pratique, on ne connaît presque jamais les valeurs exactes des quantités. Aucune balance, aussi précise soit-elle, n'indique exactement le poids ; n'importe quel thermomètre indique la température avec une erreur ou une autre; aucun ampèremètre ne peut donner des lectures précises du courant, etc. De plus, notre œil n'est pas capable de lire les lectures des instruments de mesure de manière absolument correcte. Par conséquent, au lieu de traiter les vraies valeurs des quantités, nous sommes obligés d'opérer avec leurs valeurs approximatives.

Le fait que un" est la valeur approximative du nombre un , s'écrit comme suit :

un ≈ un" .

Si un un" est une valeur approximative de la quantité un , alors la différence Δ = a-a" appelé erreur d'approximation*.

* Δ - lettre grecque ; lire : delta. Vient ensuite une autre lettre grecque ε (lire : epsilon).

Par exemple, si le nombre 3,756 est remplacé par sa valeur approximative de 3,7, alors l'erreur sera égale à : Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Si nous prenons 3,8 comme valeur approximative, alors l'erreur sera égale à : Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.

En pratique, l'erreur d'approximation est le plus souvent utilisée Δ , et la valeur absolue de cette erreur | Δ |. Dans ce qui suit, nous nous référerons simplement à cette valeur absolue de l'erreur comme erreur absolue. On considère qu'une approximation est meilleure qu'une autre si l'erreur absolue de la première approximation est inférieure à l'erreur absolue de la seconde approximation. Par exemple, l'approximation 3,8 pour le nombre 3,756 est meilleure que l'approximation 3,7, car pour la première approximation
|Δ | = | - 0,044| =0.044, et pour le second | Δ | = |0,056| = 0,056.

Numéro un" un jusqu'àε , si l'erreur absolue de cette approximation est inférieure àε :

|a-a" | < ε .

Par exemple, 3,6 est une approximation de 3,671 à 0,1 près, car |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.

De même, -3/2 peut être considéré comme une approximation de -8/5 à 1/5 près, puisque

< un , alors un" est appelée la valeur approchée du nombre un avec un inconvénient.

Si un" > un , alors un" est appelée la valeur approchée du nombre un en excès.

Par exemple, 3,6 est une valeur approximative de 3,671 avec un inconvénient, puisque 3,6< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .

Si nous au lieu de chiffres un et b additionner leurs valeurs approximatives un" et b" , alors le résultat un" + b" sera une valeur approximative de la somme un + b . La question se pose : comment estimer la précision de ce résultat si la précision de l'approximation de chaque terme est connue ? La solution de ce problème et de problèmes similaires est basée sur la propriété suivante de la valeur absolue :

|un + b | < |un | + |b |.

La valeur absolue de la somme de deux nombres quelconques ne dépasse pas la somme de leurs valeurs absolues.

les erreurs

La différence entre le nombre exact x et sa valeur approchée a est appelée l'erreur de ce nombre approché. Si l'on sait que | | x - une |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.

Le rapport de l'erreur absolue au module de la valeur approchée est appelé l'erreur relative de la valeur approchée. L'erreur relative est généralement exprimée en pourcentage.

Exemple. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.

Vraiment,

|1 - 20| = |-19| = 19,

|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,

Exercices pour le travail indépendant.

1. Avec quelle précision peut-on mesurer des longueurs à l'aide d'une règle ordinaire ?

2. Quelle est la précision de l'horloge ?

3. Savez-vous avec quelle précision le poids corporel peut être mesuré sur les balances électriques modernes ?

4. a) Quelles sont les limites du nombre un , si sa valeur approchée à 0,01 près est égale à 0,99 ?

b) Quelles sont les limites du nombre un , si sa valeur approximative déficiente à 0,01 près est 0,99 ?

c) Quelle est la plage du nombre ? un , si sa valeur approximative avec un excès à 0,01 près est 0,99 ?

5 . Quel est le nombre approximatif π ≈ 3.1415 c'est mieux : 3.1 ou 3.2 ?

6. La valeur approximative d'un certain nombre avec une précision de 0,01 peut-elle être considérée comme une valeur approximative du même nombre avec une précision de 0,1 ? Et vice versa?

sept. Sur la droite numérique, la position du point correspondant au nombre un . Pointez sur cette ligne :

a) la position de tous les points qui correspondent aux valeurs approximatives du nombre un avec un inconvénient avec une précision de 0,1 ;

b) la position de tous les points qui correspondent aux valeurs approximatives du nombre un en excès avec une précision de 0,1 ;

c) la position de tous les points qui correspondent aux valeurs approximatives du nombre un avec une précision de 0,1.

8. Dans quel cas est la valeur absolue de la somme de deux nombres :

a) inférieur à la somme des valeurs absolues de ces nombres ;

b) est égal à la somme des valeurs absolues de ces nombres ?

9. Démontrer les inégalités :

a) | un B | < |un| + |b |; b)* | un B | > ||un | - | b ||.

Quand le signe égal apparaît-il dans ces formules ?

Littérature:

1. Chaussures (niveau de base) 10-11 cellules. - M., 2012

2. Bachmakov, 10 cellules. Collection de tâches. - M : Centre d'édition "Académie", 2008

3., Mordkovich: Documents de référence: Livre pour les étudiants.-2e éd.-M.: Enlightenment, 1990

4. Dictionnaire encyclopédique jeune mathématicien / Comp. .-M. : Pédagogie, 1989