Fractions ordinaires et décimales et opérations sur celles-ci. Calculatrice en ligne Conversion d'une fraction décimale en fraction ordinaire

Ils sont très largement utilisés, et dans la plupart champs variés l'activité humaine, qu'il s'agisse d'informatique scientifique et appliquée, de développement et d'exploitation divers équipements, calcul économique, etc. Pour diverses raisons, il est souvent nécessaire d'effectuer inversion décimale, ainsi que le processus qui lui est inverse. Il convient de noter qu'un tel transformations sont produites relativement facilement, et conformément à certaines règles et méthodes qui existent en mathématiques depuis plusieurs centaines d'années.

Convertir un nombre décimal en une fraction simple

Conversion décimale en fraction "ordinaire" se fait assez facilement et simplement. Pour cela, la technique suivante est utilisée : le nombre qui se trouve à droite de la virgule décimale du nombre d'origine est pris comme numérateur de la nouvelle fraction, le nombre dix est utilisé comme dénominateur, à un degré égal au nombre de chiffres du numérateur. Quant à la partie entière restante, elle reste inchangée. Si la partie entière est égale à zéro, alors après la transformation, elle est simplement omise.

Cinquante virgule vingt cinq centièmes égale cinquante virgule et vingt cinq divisé par cent égale cinquante virgule un quart.

Conversion d'une fraction en nombre décimal

Conversion d'une fraction en nombre décimal, en fait, est l'inverse convertir un décimal en simple. Sa mise en œuvre ne pose également aucune difficulté et est, en fait, assez simple. opération arithmétique. À convertir une fraction simple en nombre décimal vous devez diviser le numérateur par son dénominateur conformément à certaines règles.

Besoin de mettre en œuvre conversion de fractions cinq huitièmes décimal.

Diviser cinq par huit donne décimal zéro virgule six cent vingt-cinq millièmes.

Arrondir le résultat de la conversion d'une fraction en nombre décimal

Il convient de noter que, contrairement à un processus tel que conversion décimale, cette procédure peut souvent durer indéfiniment. Dans de tels cas, on dit que le résultat de la procédure convertir une fraction en nombre décimal peut ne pas être exact. Cependant, la pratique montre que dans la grande majorité des cas, l'obtention d'un résultat parfaitement précis n'est pas nécessaire. En règle générale, le processus de division se termine lorsque les valeurs des parties décimales présentant un intérêt pratique dans chaque cas spécifique ont déjà été obtenues au cours de son déroulement.

Il est nécessaire de couper un morceau de beurre pesant un kilogramme en neuf parties de la même masse. Lors de l'exécution de cette procédure, il s'avère que la masse de chacun d'eux est de 1/9 de kilogramme. Si, selon toutes les règles, pour effectuer transformation cette fraction ordinaire dans fraction décimale, il s'avère que la masse de chacune des parties résultantes est égale à zéro entier et un dans la période d'un kilogramme.

L'arrondi est effectué selon les règles standard prévues en arithmétique: si le premier des chiffres "rejetés" a une valeur de 5 ou plus, le dernier des chiffres significatifs est augmenté de un. Sinon, il reste inchangé.

Convertir une fraction commune un huitième à une décimale.

En divisant un par huit, vous obtenez zéro virgule cent vingt-cinq millièmes, ou arrondi vers le haut - zéro virgule treize centièmes.

Auteur sur Youtube : Anastasie Ivanova

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Conversion décimal en normal

Chaque décimal peut être représenté comme une fraction régulière. Il suffit d'écrire avec le dénominateur pour le faire.

La règle de base pour convertir un nombre décimal en fraction régulière est de lire le nombre décimal, mais il est généralement écrit. Par exemple:

2.3 - deux points sur trois dizaines

Puisque la fraction est complète, elle peut être convertie en nombre fractionnaire ou en fraction irrégulière :

Conversion d'une fraction propre en nombre décimal

Une fraction non conventionnelle peut être convertie en décimal, comme pour la notation décimale normale, le dénominateur doit commencer par un ou plusieurs zéros, tels que 10, 100, 1000, etc.

Comment convertir la part totale en décimal

Si nous développons un tel dénominateur avec des facteurs primaires, nous obtenons le même nombre de doublements et cinq :

100 = 10 10 = 2 5 2,5

1000 = 10 10 10 = 2 5 2 5 2 5

Il n'y a pas d'autres facteurs premiers, donc ces extensions ne contiennent pas, donc :

Une fraction régulière peut être représentée par unités décimales seulement si son dénominateur ne contient aucun facteur autre que 2 et 5.

Engageons-nous :

Lorsque le dénominateur est étendu aux facteurs principaux, le résultat est un produit de 2 2 :

Si vous le multipliez par deux quatre, assimilez le nombre cinq à deux, vous obtiendrez l'un des dénominateurs requis - 100.

Pour obtenir un passage égal à celui-ci, le compteur doit être multiplié par le produit de deux cinq :

Regardons une autre faction :

Lorsque le dénominateur est étendu aux facteurs principaux, le résultat est un produit de 2,7 contenant le nombre 7 :

Un facteur de 7 sera présent dans le dénominateur pour le multiplier ou des nombres entiers, de sorte qu'un produit contenant seulement deux et cinq n'arrivera jamais.

Par conséquent, cette fraction ne peut être réduite à aucun des dénominateurs nécessaires : 10, 100, 1000, etc. Cela signifie qu'elle ne peut pas être représentée sous forme de nombre décimal.

La Fraction Incompatible Régulière ne peut pas être représentée comme un nombre décimal si son dénominateur contient au moins un facteur prépondérant de un à deux.

Notez que la règle ne parle que de fractions irréversibles, puisque certaines fractions peuvent être représentées sous forme de fractions décimales par une abréviation.

Regardons deux parties :

Il ne reste plus qu'à multiplier les deux fractions de phrase par 5 pour obtenir 10 au dénominateur, et vous pouvez convertir la fraction en nombre décimal :

Comment convertir un nombre décimal en une fraction commune

Ici, semble-t-il, la traduction d'une fraction décimale en fraction commune est un sujet élémentaire, mais de nombreux étudiants ne le comprennent pas!

Par conséquent, aujourd'hui, nous examinerons de plus près plusieurs algorithmes à la fois, à l'aide desquels vous traiterez toutes les fractions en une seconde seulement.

Rappelons qu'il existe au moins deux formes d'écriture d'une même fraction : ordinaire et décimale.

Les fractions décimales sont toutes sortes de constructions de la forme 0,75 ; 1,33 ; et même -7,41. Et voici des exemples de fractions ordinaires qui expriment les mêmes nombres :

Voyons maintenant : comment passer du décimal au normal ?

Et le plus important : comment le faire le plus rapidement possible ?

Algorithme de base

En fait, il existe au moins deux algorithmes. Et nous allons maintenant examiner les deux. Commençons par le premier - le plus simple et le plus compréhensible.

Pour convertir un nombre décimal en une fraction commune, vous devez suivre trois étapes :

1. Réécrivez la fraction d'origine comme une nouvelle fraction : la fraction décimale d'origine restera au numérateur, et une doit être mise au dénominateur. Dans ce cas, le signe du nombre d'origine est également placé au numérateur.

   Par exemple:

2. Nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la fraction résultante par 10 jusqu'à ce que la virgule disparaisse du numérateur. Je vous rappelle : à chaque multiplication par 10, la virgule est décalée vers la droite d'une décimale. Bien sûr, puisque le dénominateur est également multiplié, au lieu du nombre 1, 10, 100, etc. y apparaîtront.
3. Enfin, nous réduisons la fraction résultante selon le schéma standard : nous divisons le numérateur et le dénominateur par les nombres dont ils sont des multiples. Par exemple, dans le premier exemple 0,75=75/100, alors que 75 et 100 sont divisibles par 25.

   Par conséquent, nous obtenons $0.75=\frac(75)(100)=\frac(3\cdot 25)(4\cdot 25)=\frac(3)(4)$ - c'est toute la réponse. :)

Remarque importante sur les nombres négatifs. Si dans l'exemple original il y a un signe moins avant la fraction décimale, alors à la sortie il devrait aussi y avoir un signe moins avant la fraction ordinaire.

Conversion d'une fraction ordinaire en nombre décimal

Voici quelques exemples supplémentaires :

Je voudrais porter une attention particulière au dernier exemple. Comme vous pouvez le voir, dans la fraction 0,0025, il y a de nombreux zéros après la virgule décimale. Pour cette raison, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur par 10 jusqu'à quatre fois.Est-il possible de simplifier d'une manière ou d'une autre l'algorithme dans ce cas ?

Oui, vous pouvez certainement. Et maintenant, nous allons considérer un algorithme alternatif - il est un peu plus difficile à comprendre, mais après un peu de pratique, il fonctionne beaucoup plus rapidement que le standard.

Manière plus rapide

Cet algorithme comporte également 3 étapes.

Pour obtenir une fraction commune à partir d'un nombre décimal, vous devez procéder comme suit :

1. Calculez le nombre de chiffres après la virgule décimale. Par exemple, la fraction 1,75 a deux de ces chiffres et 0,0025 en a quatre. Désignons cette quantité par la lettre $n$.
2. Réécrivez le nombre d'origine sous la forme d'une fraction de la forme $\frac(a)(((10)^(n)))$, où $a$ sont tous les chiffres de la fraction d'origine (sans les zéros "de départ" à gauche , le cas échéant), et $n$ est le même nombre de chiffres après la virgule que nous avons compté à la première étape.

   En d'autres termes, il faut diviser les chiffres de la fraction originale par un avec $n$ zéros.

3. Si possible, réduisez la fraction résultante.

C'est tout! À première vue, ce schéma est plus compliqué que le précédent. Mais en fait, c'est à la fois plus simple et plus rapide. Jugez par vous-même :

Comme vous pouvez le voir, dans la fraction 0,64, il y a deux chiffres après la virgule - 6 et 4.

Donc $n=2$. Si nous supprimons la virgule et les zéros à gauche (dans ce cas, un seul zéro), nous obtenons le nombre 64. Passez à la deuxième étape : $((10)^(n))=((10)^( 2))=100$, donc le dénominateur est exactement cent. Eh bien, il ne reste plus qu'à réduire le numérateur et le dénominateur. :)

Un autre exemple :

Ici tout est un peu plus compliqué.

Premièrement, il y a déjà 3 chiffres après la virgule décimale, c'est-à-dire $n=3$, vous devez donc diviser par $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. Deuxièmement, si nous supprimons la virgule de la notation décimale, alors nous obtenons ceci : 0,004 → 0004. Rappelons que les zéros à gauche doivent être supprimés, nous avons donc en fait le nombre 4. Ensuite, tout est simple : diviser, réduire et obtenir la réponse.

Enfin, dernier exemple :

La particularité de cette fraction est la présence d'une partie entière.

Par conséquent, à la sortie, nous obtenons une fraction impropre 47/25. Vous pouvez, bien sûr, essayer de diviser 47 par 25 avec un reste et ainsi isoler à nouveau la partie entière.

Mais pourquoi se compliquer la vie si cela peut se faire même au stade de la transformation ? Eh bien, découvrons-le.

Que faire de toute la partie

En fait, tout est très simple: si nous voulons obtenir la bonne fraction, nous devons en supprimer la partie entière pour le temps de transformation, puis, lorsque nous obtenons le résultat, l'ajouter à nouveau à droite devant de la barre fractionnaire.

Par exemple, considérons le même nombre : 1,88. Notons par un (partie entière) et regardons la fraction 0,88.

Il se convertit facilement :

Ensuite, nous nous souvenons de l'unité "perdue" et l'ajoutons devant :

\[\frac(22)(25)\à 1\frac(22)(25)\]

C'est tout! La réponse s'est avérée être la même qu'après la sélection de la partie entière la dernière fois. Quelques exemples supplémentaires :

\[\begin(align)& 2,15\to 0,15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\à 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\à 13\frac(4)(5).

C'est la beauté des mathématiques : peu importe dans quelle direction vous allez, si tous les calculs sont faits correctement, la réponse sera toujours la même. :)

En conclusion, je voudrais considérer une autre technique qui aide beaucoup.

Transformations à l'oreille

Réfléchissons à ce qu'est un nombre décimal.

Plus précisément, comment nous le lisons. Par exemple, le nombre 0,64 - nous le lisons comme "zéro entier, 64 centièmes", n'est-ce pas ? Eh bien, ou juste "64 centièmes". Le mot clé ici est "centièmes", c'est-à-dire numéro 100.

Qu'en est-il de 0,004 ? C'est "zéro point, 4 millièmes" ou simplement "quatre millièmes".

D'une manière ou d'une autre, le mot clé est "millièmes", c'est-à-dire 1000.

Eh bien, qu'est-ce qui ne va pas avec ça? Et le fait que ce sont ces chiffres qui finissent par "apparaître" dans les dénominateurs à la deuxième étape de l'algorithme. Ceux. 0,004 est "quatre millièmes" ou "4 divisé par 1000":

Essayez de vous entraîner - c'est très simple. L'essentiel est de lire correctement la fraction d'origine. Par exemple, 2,5 est "2 entiers, 5 dixièmes", donc

Et quelque 1,125 est "1 entier, 125 millièmes", donc

Dans le dernier exemple, bien sûr, quelqu'un objectera qu'il n'est pas évident pour chaque étudiant que 1000 est divisible par 125.

Mais ici, vous devez vous rappeler que 1000 = 103, et 10 = 2 ∙ 5, donc

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(aligner)\]

Ainsi, toute puissance de dix se décompose uniquement en facteurs 2 et 5 - ce sont ces facteurs qu'il faut chercher au numérateur, pour qu'au final tout soit réduit.

Cette leçon est terminée.

Passons à une opération inverse plus complexe - voir "Transition d'une fraction ordinaire à un nombre décimal".

Un décimal a deux parties séparées par des virgules. La première partie est une unité entière, la deuxième partie est des dizaines (si le nombre après la virgule est un), des centaines (deux nombres après la virgule, comme deux zéros dans une centaine), des millièmes, etc. Regardons des exemples de décimales : 0, 2 ; 7, 54 ; 235,448 ; 5.1 ; 6,32 ; 0,5. Ce sont tous des nombres décimaux. Comment convertir un nombre décimal en une fraction commune ?

Exemple un

Nous avons une fraction, par exemple, 0,5. Comme mentionné ci-dessus, il se compose de deux parties. Le premier nombre, 0, indique le nombre d'unités entières de la fraction. Dans notre cas, ils ne le sont pas. Le deuxième nombre indique des dizaines. La fraction lit même zéro virgule cinq dixièmes. Nombre décimal convertir en fraction maintenant ce ne sera pas difficile, on écrit 5/10. Si vous voyez que les nombres ont un diviseur commun, vous pouvez réduire la fraction. Nous avons ce nombre 5, en divisant les deux parties de la fraction par 5, nous obtenons - 1/2.

Exemple deux

Prenons une fraction plus complexe - 2,25. Il se lit comme ceci - deux entiers et vingt-cinq centièmes. Faites attention - centièmes, car il y a deux nombres après la virgule. Vous pouvez maintenant convertir en fraction commune. Nous écrivons - 2 25/100. La partie entière est 2, la partie fractionnaire est 25/100. Comme dans le premier exemple, cette partie peut être raccourcie. Le diviseur commun pour 25 et 100 est 25. Notez que nous choisissons toujours le plus grand diviseur commun. En divisant les deux parties de la fraction par GCD, nous avons obtenu 1/4. Donc 2, 25 est 2 1/4.

Exemple trois

Et pour consolider le matériel, prenons la fraction décimale 4,112 - quatre entiers et cent douze millièmes. Pourquoi millièmes, je pense, est clair. Maintenant, nous écrivons 4 112/1000. Selon l'algorithme, on trouve le PGCD des nombres 112 et 1000. Dans notre cas, c'est le nombre 6. On obtient 4 14/125.

Conclusion

1. Nous décomposons la fraction en parties entières et fractionnaires.
2. Nous regardons combien de chiffres après la virgule décimale. Si un est une dizaine, deux est une centaine, trois est un millième, etc.
3. Nous écrivons la fraction sous la forme habituelle.
4. Nous réduisons le numérateur et le dénominateur de la fraction.
5. Notez la fraction résultante.
6. Nous effectuons une vérification, divisons la partie supérieure de la fraction par la partie inférieure. S'il y a une partie entière, ajouter à la fraction décimale résultante. Il s'est avéré que la version originale - génial, alors vous avez tout fait correctement.

À l'aide d'exemples, j'ai montré comment convertir une fraction décimale en fraction ordinaire. Comme vous pouvez le voir, il est très facile et simple de le faire.

Il arrive que pour la commodité des calculs, il soit nécessaire de convertir une fraction ordinaire en décimal et vice versa. Nous parlerons de la façon de procéder dans cet article. Nous analyserons les règles de conversion des fractions ordinaires en décimales et vice versa, et donnerons également des exemples.

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Nous considérerons la conversion de fractions ordinaires en décimales, en respectant une certaine séquence. Considérons d'abord comment les fractions ordinaires avec un dénominateur qui est un multiple de 10 sont converties en décimales : 10, 100, 1000, etc. Les fractions avec de tels dénominateurs, en fait, sont une notation plus lourde des fractions décimales.

Ensuite, nous verrons comment convertir des fractions ordinaires en fractions décimales avec n'importe quel dénominateur, pas seulement un multiple de 10. Notez que lors de la conversion de fractions ordinaires en fractions décimales, non seulement des fractions décimales finales, mais également des fractions décimales périodiques infinies sont obtenues.

Commençons!

Traduction de fractions ordinaires avec les dénominateurs 10, 100, 1000, etc. en décimales

Tout d'abord, disons que certaines fractions nécessitent une préparation avant d'être converties sous forme décimale. Qu'est-ce que c'est? Avant le nombre au numérateur, il faut ajouter autant de zéros que le nombre de chiffres au numérateur devient égal au nombre de zéros au dénominateur. Par exemple, pour la fraction 3100, le nombre 0 doit être ajouté une fois à gauche du 3 au numérateur. La fraction 610, selon la règle ci-dessus, n'a pas besoin d'être améliorée.

Considérons un autre exemple, après quoi nous formulons une règle particulièrement pratique à utiliser au début, alors que nous n'avons pas beaucoup d'expérience dans le traitement des fractions. Ainsi, la fraction 1610000 après avoir ajouté des zéros au numérateur ressemblera à 001510000.

Comment traduire une fraction ordinaire avec un dénominateur de 10, 100, 1000, etc. en décimal ?

La règle de conversion des fractions propres ordinaires en nombres décimaux

1. Écrivez 0 et mettez une virgule après.
2. Nous notons le nombre du numérateur, qui s'est avéré après avoir ajouté des zéros.

Passons maintenant aux exemples.

Exemple 1. Conversion de fractions ordinaires en nombres décimaux

Convertissez la fraction commune 39100 en nombre décimal.

Tout d'abord, nous regardons la fraction et voyons qu'aucune action préparatoire n'est nécessaire - le nombre de chiffres dans le numérateur correspond au nombre de zéros dans le dénominateur.

En suivant la règle, écrivez 0 , mettez un point décimal après et écrivez le nombre à partir du numérateur. On obtient la fraction décimale 0, 39.

Analysons la solution d'un autre exemple sur ce sujet.

Exemple 2. Conversion de fractions ordinaires en nombres décimaux

Écrivons la fraction 105 10000000 sous forme de fraction décimale.

Le nombre de zéros au dénominateur est 7 et le numérateur n'a que trois chiffres. Ajoutons 4 zéros supplémentaires devant le nombre au numérateur :

0000105 10000000

Maintenant, nous écrivons 0 , mettons un point décimal après et écrivons le nombre à partir du numérateur. Nous obtenons la fraction décimale 0 , 0000105 .

Les fractions considérées dans tous les exemples sont des fractions propres ordinaires. Mais comment convertir une fraction commune impropre en nombre décimal ? Disons tout de suite qu'il n'y a pas besoin de préparation avec l'ajout de zéros pour de telles fractions. Formulons une règle.

La règle de conversion des fractions impropres ordinaires en décimales

1. Nous écrivons le nombre qui est dans le numérateur.
2. Avec un point décimal, on sépare autant de chiffres à droite qu'il y a de zéros au dénominateur de la fraction ordinaire d'origine.

Vous trouverez ci-dessous un exemple d'utilisation de cette règle.

Exemple 3. Conversion de fractions ordinaires en nombres décimaux

Convertissons la fraction 56888038009 100000 d'un irrégulier ordinaire en décimal.

D'abord, écrivez le nombre à partir du numérateur :

Maintenant, à droite, nous séparons cinq chiffres par un point décimal (le nombre de zéros au dénominateur est de cinq). On a:

La prochaine question qui se pose naturellement est de savoir comment convertir un nombre fractionnaire en une fraction décimale si le dénominateur de sa partie fractionnaire est le nombre 10, 100, 1000, etc. Pour convertir en une fraction décimale d'un tel nombre, vous pouvez utiliser la règle suivante.

Règle de conversion des nombres fractionnaires en décimaux

1. Nous préparons la partie fractionnaire du nombre, si nécessaire.
2. Nous écrivons la partie entière du nombre d'origine et mettons une virgule après.
3. Nous écrivons le nombre à partir du numérateur de la partie fractionnaire avec les zéros ajoutés.

Prenons un exemple.

Exemple 4. Conversion de nombres fractionnaires en décimaux

Convertissez le nombre fractionnaire 23 17 10000 en décimal.

Dans la partie fractionnaire, nous avons l'expression 17 10000. Préparons-le et ajoutons deux autres zéros à gauche du numérateur. Nous obtenons : 0017 10000 .

Maintenant, nous écrivons la partie entière du nombre et mettons une virgule après : 23,. .

Après la virgule, nous écrivons le nombre du numérateur avec des zéros. On obtient le résultat :

23 17 10000 = 23 , 0017

Conversion de fractions ordinaires en fractions périodiques finies et infinies

Bien sûr, vous pouvez convertir en fractions décimales et en fractions ordinaires avec un dénominateur différent de 10, 100, 1000, etc.

Souvent, une fraction peut être facilement réduite à un nouveau dénominateur, puis utilisez la règle décrite dans le premier paragraphe de cet article. Par exemple, il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction 25 par 2, et on obtient la fraction 410, qui se réduit facilement à la forme décimale 0,4.

Cependant, cette méthode de conversion d'une fraction ordinaire en nombre décimal ne peut pas toujours être utilisée. Ci-dessous, nous examinerons ce qu'il faut faire s'il est impossible d'appliquer la méthode considérée.

Fondamentalement nouvelle façon convertir une fraction ordinaire en un nombre décimal revient à diviser le numérateur par le dénominateur par une colonne. Cette opération est très similaire à la division des nombres naturels par une colonne, mais a ses propres caractéristiques.

Lors de la division, le numérateur est représenté par une fraction décimale - une virgule est placée à droite du dernier chiffre du numérateur et des zéros sont ajoutés. Dans le quotient résultant, la virgule décimale est placée lorsque la division de la partie entière du numérateur se termine. Le fonctionnement exact de cette méthode deviendra clair après avoir examiné les exemples.

Exemple 5. Conversion de fractions ordinaires en nombres décimaux

Traduisons la fraction ordinaire 621 4 sous forme décimale.

Représentons le nombre 621 du numérateur comme une fraction décimale, en ajoutant quelques zéros après la virgule. 621 = 621 00

Nous allons maintenant diviser la colonne 621, 00 par 4. Les trois premières étapes de division seront les mêmes que lors de la division de nombres naturels, et nous obtenons.

Lorsque nous sommes arrivés à la virgule dans le dividende et que le reste est non nul, nous mettons la virgule dans le quotient et continuons à diviser, sans plus faire attention à la virgule dans le dividende.

En conséquence, nous obtenons la fraction décimale 155 , 25 , qui est le résultat de l'inversion de la fraction ordinaire 621 4

621 4 = 155 , 25

Envisagez de résoudre un autre exemple pour fixer le matériau.

Exemple 6. Conversion de fractions ordinaires en nombres décimaux

Inversons la fraction ordinaire 21 800 .

Pour ce faire, divisez la fraction 21 000 par 800 dans une colonne. La division de la partie entière se terminera à la première étape, donc immédiatement après, nous mettons un point décimal dans le quotient et continuons la division, en ignorant la virgule dans le dividende jusqu'à ce que nous obtenions le reste égal à zéro.

En conséquence, nous avons obtenu : 21 800 = 0 . 02625 .

Mais que se passe-t-il si, lors de la division, nous n'obtenons jamais un reste de 0. Dans de tels cas, la division peut être poursuivie indéfiniment. Cependant, à partir d'un certain pas, les résidus se répéteront périodiquement. En conséquence, les nombres du quotient seront également répétés. Cela signifie qu'une fraction ordinaire est traduite en une fraction périodique infinie décimale. Illustrons ce qui a été dit par un exemple.

Exemple 7. Conversion de fractions ordinaires en décimales

Transformons la fraction ordinaire 1944 en un nombre décimal. Pour ce faire, nous effectuons une division par une colonne.

On voit qu'en divisant, les restes 8 et 36 se répètent. En même temps, les nombres 1 et 8 sont répétés dans le quotient. C'est la période en décimal. Lors de l'écriture, ces chiffres sont pris entre parenthèses.

Ainsi, la fraction ordinaire d'origine est traduite en une fraction décimale périodique infinie.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Soit une fraction ordinaire irréductible. Quelle forme prendra-t-il ? Quelles fractions ordinaires sont converties en nombres décimaux finis, et lesquelles en nombres périodiques infinis ?

D'abord, disons que si une fraction peut être réduite à l'un des dénominateurs 10, 100, 1000 .., alors elle ressemblera à une fraction décimale finale. Pour qu'une fraction soit réduite à l'un de ces dénominateurs, son dénominateur doit être un diviseur d'au moins un des nombres 10, 100, 1000, etc. Des règles de décomposition des nombres en facteurs premiers il s'ensuit que le diviseur des nombres 10, 100, 1000, etc. doit, lorsqu'il est décomposé en facteurs premiers, ne contenir que les nombres 2 et 5.

Résumons ce qui a été dit :

1. Une fraction ordinaire peut être réduite à la forme d'une fraction décimale finale si son dénominateur peut être décomposé en facteurs premiers de 2 et 5.
2. Si, en plus des nombres 2 et 5, il y en a d'autres dans l'expansion du dénominateur nombres premiers, la fraction est réduite à la forme d'une fraction décimale périodique infinie.

Prenons un exemple.

Exemple 8. Conversion de fractions ordinaires en nombres décimaux

Laquelle des fractions données 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 est convertie en fraction décimale finale, et laquelle - uniquement en fraction périodique. Nous allons donner une réponse à cette question sans convertir directement une fraction ordinaire en un nombre décimal.

La fraction 47 20 , comme vous pouvez facilement le voir, en multipliant le numérateur et le dénominateur par 5 est réduite à un nouveau dénominateur 100 .

4720 = 235100. Nous en concluons que cette fraction est traduite en une fraction décimale finale.

La factorisation du dénominateur de la fraction 7 12 donne 12 = 2 2 3 . Le simple facteur 3 étant différent de 2 et de 5, cette fraction ne pourra pas être représentée comme une fraction décimale finie, mais aura la forme d'une fraction périodique infinie.

Fraction 21 56, premièrement, vous devez réduire. Après réduction par 7, on obtient une fraction irréductible 3 8 , dont le développement du dénominateur en facteurs donne 8 = 2 · 2 · 2 . Il s'agit donc d'un décimal de terminaison.

Dans le cas de la fraction 31 17, la factorisation du dénominateur est le nombre premier 17 lui-même. En conséquence, cette fraction peut être convertie en une fraction décimale périodique infinie.

Une fraction ordinaire ne peut pas être convertie en une fraction décimale infinie et non répétitive

Ci-dessus, nous n'avons parlé que des fractions périodiques finies et infinies. Mais toute fraction ordinaire peut-elle être convertie en une fraction infinie non périodique ?

Nous répondons : non !

Important!

Lorsque vous convertissez une fraction infinie en nombre décimal, vous obtenez soit une fraction décimale finie, soit une fraction décimale périodique infinie.

Le reste d'une division est toujours inférieur au diviseur. En d'autres termes, selon le théorème de divisibilité, si nous divisons entier naturel par le nombre q, alors le reste de la division ne peut en aucun cas être supérieur à q-1. Après la fin de la division, une des situations suivantes est possible :

1. Nous obtenons un reste de 0, et c'est là que la division se termine.
2. Nous obtenons un reste, qui se répète lors de la division suivante, nous avons donc une fraction périodique infinie.

Il ne peut y avoir d'autres options lors de la conversion d'une fraction ordinaire en nombre décimal. Disons aussi que la longueur de la période (le nombre de chiffres) dans une fraction périodique infinie est toujours inférieure au nombre de chiffres dans le dénominateur de la fraction ordinaire correspondante.

Convertir des nombres décimaux en fractions communes

Il est maintenant temps de considérer le processus inverse de conversion d'une fraction décimale en fraction ordinaire. Formulons une règle de traduction qui comprend trois étapes. Comment convertir un nombre décimal en une fraction commune ?

Règle de conversion des fractions décimales en fractions communes

1. Dans le numérateur, nous écrivons le nombre à partir de la fraction décimale d'origine, en supprimant la virgule et tous les zéros à gauche, le cas échéant.
2. Au dénominateur, nous écrivons un et après autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la fraction décimale d'origine après la virgule.
3. Si nécessaire, réduisez la fraction ordinaire résultante.

Considérez l'application de cette règle avec des exemples.

Exemple 8. Conversion de décimaux en nombre ordinaire

Représentons le nombre 3, 025 comme une fraction ordinaire.

1. Au numérateur, nous écrivons la fraction décimale elle-même, en supprimant la virgule : 3025.
2. Au dénominateur, nous écrivons un, suivi de trois zéros - c'est le nombre de chiffres contenus dans la fraction d'origine après la virgule : 3025 1000.
3. La fraction résultante 3025 1000 peut être réduite de 25 , nous obtenons ainsi : 3025 1000 = 121 40 .

Exemple 9. Conversion de décimaux en nombre ordinaire

Convertissons la fraction 0, 0017 de décimal en ordinaire.

1. Au numérateur, nous écrivons la fraction 0, 0017, en supprimant la virgule et les zéros à gauche. Obtenez 17 .
2. Nous écrivons un au dénominateur, et après nous écrivons quatre zéros : 17 10000. Cette fraction est irréductible.

S'il y a une partie entière dans une fraction décimale, alors une telle fraction peut être immédiatement convertie en un nombre fractionnaire. Comment faire?

Formulons une autre règle.

La règle de conversion des fractions décimales en nombres mixtes.

1. Le nombre jusqu'à la virgule décimale s'écrit comme la partie entière du nombre fractionnaire.
2. Au numérateur, nous écrivons le nombre qui se trouve dans la fraction après la virgule décimale, en supprimant les zéros à gauche, le cas échéant.
3. Au dénominateur de la partie fractionnaire, on ajoute un et autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la partie fractionnaire après la virgule.

Regardons un exemple

Exemple 10 : Conversion d'un nombre décimal en un nombre fractionnaire

Représentons la fraction 155, 06005 sous la forme d'un nombre fractionnaire.

1. Nous écrivons le nombre 155 sous la forme d'une partie entière.
2. Au numérateur, nous écrivons les nombres après la virgule décimale, en supprimant zéro.
3. Au dénominateur, nous écrivons un et cinq zéros

Enseigner un nombre mixte : 155 6005 100000

La partie fractionnaire peut être réduite de 5 . On réduit, et on obtient le résultat final :

155 , 06005 = 155 1201 20000

Conversion de nombres décimaux récurrents infinis en fractions communes

Regardons des exemples de la façon de traduire des fractions décimales périodiques en fractions ordinaires. Avant de commencer, clarifions : toute fraction décimale périodique peut être convertie en fraction ordinaire.

Le cas le plus simple est que la période de la fraction est nulle. Une fraction périodique avec une période de zéro est remplacée par une fraction décimale finie, et le processus d'inversion d'une telle fraction est réduit à l'inversion d'une fraction décimale finale.

Exemple 11. Conversion d'un nombre décimal périodique en une fraction commune

Inversons la fraction périodique 3, 75 (0) .

En supprimant les zéros à droite, nous obtenons la fraction décimale finale 3, 75.

En transformant cette fraction en une fraction ordinaire selon l'algorithme discuté dans les paragraphes précédents, nous obtenons :

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Que faire si la période d'une fraction est non nulle ? La partie périodique doit être considérée comme la somme des membres d'une progression géométrique, qui est décroissante. Expliquons cela avec un exemple :

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Il existe une formule pour la somme des termes d'une progression géométrique décroissante infinie. Si le premier terme de la progression est b et le dénominateur de q est tel que 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Regardons quelques exemples utilisant cette formule.

Exemple 12. Conversion d'un nombre décimal périodique en une fraction commune

Supposons que nous ayons une fraction périodique 0, (8) et que nous devions la convertir en fraction ordinaire.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

On a ici une diminution infinie progression géométrique avec premier membre 0 , 8 et dénominateur 0 , 1 .

Appliquons la formule :

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

C'est la fraction ordinaire recherchée.

Pour consolider le matériel, considérons un autre exemple.

Exemple 13. Conversion d'un décimal périodique en un nombre ordinaire

Inverser la fraction 0 , 43 (18) .

Tout d'abord, nous écrivons la fraction sous la forme d'une somme infinie :

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Considérez les termes entre parenthèses. Cette progression géométrique peut être représentée comme suit :

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Nous ajoutons la fraction résultante à la fraction finale 0, 43 \u003d 43 100 et nous obtenons le résultat :

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Après avoir additionné ces fractions et réduit, nous obtenons la réponse finale :

0 , 43 (18) = 19 44

À la fin de cet article, nous dirons que les fractions décimales infinies non périodiques ne peuvent pas être converties en fractions ordinaires.

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Très souvent, dans le programme scolaire de mathématiques, les enfants sont confrontés au problème de la conversion d'une fraction commune en un nombre décimal. Afin de convertir une fraction commune en un nombre décimal, rappelons d'abord ce que sont une fraction commune et une fraction décimale. Une fraction commune est une fraction de la forme m/n, où m est le numérateur et n est le dénominateur. Exemple : 8/13 ; 6/7 etc... Les fractions sont divisées en nombres réguliers, impropres et mixtes. Une fraction propre est lorsque le numérateur est inférieur au dénominateur: m / n, où m 3. Une fraction impropre peut toujours être représentée par un nombre fractionnaire, à savoir: 4/3 \u003d 1 et 1/3;

Conversion d'une fraction ordinaire en nombre décimal

Voyons maintenant comment traduire fraction mixte en décimal. Toute fraction ordinaire, qu'elle soit correcte ou incorrecte, peut être convertie en nombre décimal. Pour ce faire, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur. Exemple : fraction simple (propre) 1/2. On divise le numérateur 1 par le dénominateur 2, on obtient 0,5. Prenons l'exemple de 45/12, il est immédiatement clair qu'il s'agit d'une fraction impropre. Ici, le dénominateur est inférieur au numérateur. Nous transformons la fraction impropre en décimal: 45 : 12 \u003d 3,75.

Convertir des nombres fractionnaires en décimaux

Exemple : 25/8. D'abord, nous transformons le nombre fractionnaire en une fraction impropre : 25/8 = 3x8+1/8 = 3 et 1/8 ; puis on divise le numérateur égal à 1 par le dénominateur égal à 8, dans une colonne ou sur une calculatrice, et on obtient une fraction décimale égale à 0,125. L'article fournit les exemples les plus simples de conversion en fractions décimales. Ayant compris la méthode de traduction en exemples simples, vous pouvez facilement résoudre le plus difficile d'entre eux.