La surface latérale du cône est facultative. La zone de la surface latérale et complète du cône

Les corps de révolution étudiés à l'école sont un cylindre, un cône et une boule.

Si, dans une tâche USE en mathématiques, vous devez calculer le volume d'un cône ou l'aire d'une sphère, considérez-vous comme chanceux.

Appliquez des formules pour le volume et la surface d'un cylindre, d'un cône et d'une sphère. Tous sont dans notre tableau. Apprendre par cœur. C'est là que commence la connaissance de la stéréométrie.

Parfois, il est bon de dessiner une vue de dessus. Ou, comme dans ce problème, d'en bas.

2. Combien de fois le volume d'un cône circonscrit près de la bonne pyramide quadrangulaire, supérieur au volume du cône inscrit dans cette pyramide ?

Tout est simple - nous dessinons une vue d'en bas. Nous voyons que le rayon du plus grand cercle est plusieurs fois plus grand que le rayon du plus petit. Les hauteurs des deux cônes sont les mêmes. Par conséquent, le volume du plus grand cône sera deux fois plus grand.

Une autre point important. Rappelez-vous que dans les tâches de la partie B UTILISER les options en mathématiques, la réponse s'écrit sous la forme d'un nombre entier ou fini fraction décimale. Par conséquent, vous ne devriez pas avoir de ou dans votre réponse à la partie B. Remplacer la valeur approximative du nombre n'est pas non plus nécessaire ! Il faut le réduire ! C'est pour cela que dans certaines tâches, la tâche est formulée, par exemple, comme suit: "Trouver l'aire de la surface latérale du cylindre divisée par".

Et où sont utilisées les formules du volume et de la surface des corps de révolution? Bien sûr, dans le problème C2 (16). Nous vous en parlerons également.

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Type de leçon : une leçon d'étude de nouveau matériel en utilisant des éléments d'une méthode d'enseignement axée sur le développement de problèmes.

Objectifs de la leçon:

• cognitif:
  • familiarisation avec un nouveau concept mathématique;
  • formation d'un nouveau ZUN ;
  • la formation de compétences pratiques pour résoudre des problèmes.
• développement:
  • développement de la pensée indépendante des étudiants;
  • développement de compétences discours correctécoliers.
• éducatif:
  • développement des compétences de travail en équipe.

Matériel de cours : tableau magnétique, ordinateur, écran, projecteur multimédia, modèle de cône, présentation de cours, polycopié.

Objectifs de la leçon (pour les étudiants):

• se familiariser avec un nouveau concept géométrique - un cône;
• dériver une formule pour calculer la surface d'un cône;
• apprendre à appliquer les connaissances acquises pour résoudre des problèmes pratiques.

Pendant les cours

je mets en scène. Organisationnel.

Remise de cahiers avec travail de test à domicile sur le sujet traité.

Les élèves sont invités à découvrir le sujet de la leçon à venir en résolvant le rébus (diapositive 1):

Image 1.

Annonce aux élèves du sujet et des objectifs de la leçon (diapositive 2).

IIe stade. Explication du nouveau matériel.

1) Conférence du professeur.

Au tableau se trouve une table avec l'image d'un cône. nouveau matériel expliqué dans le matériel de programme d'accompagnement "Stéréométrie". Une image tridimensionnelle d'un cône apparaît à l'écran. L'enseignant donne une définition d'un cône, parle de ses éléments. (diapositive 3). On dit qu'un cône est un corps formé par la rotation d'un triangle rectangle par rapport à la jambe. (diapos 4, 5). Une image du développement de la surface latérale du cône apparaît. (diapositive 6)

2) Travaux pratiques.

Actualisation des connaissances de base : répéter les formules pour calculer l'aire d'un cercle, l'aire d'un secteur, la longueur d'un cercle, la longueur d'un arc de cercle. (diapos 7-10)

La classe est divisée en groupes. Chaque groupe reçoit un scan de la surface latérale du cône découpé dans du papier (un secteur de cercle avec un numéro attribué). Les élèves prennent les mesures nécessaires et calculent l'aire du secteur résultant. Des instructions pour effectuer le travail, des questions - des énoncés de problèmes - apparaissent à l'écran (diapos 11-14). Le représentant de chaque groupe écrit les résultats des calculs dans un tableau préparé au tableau. Les participants de chaque groupe collent le modèle du cône à partir du développement dont ils disposent. (diapositive 15)

3) Énoncé et solution du problème.

Comment calculer la surface latérale d'un cône si seuls le rayon de la base et la longueur de la génératrice du cône sont connus ? (diapositive 16)

Chaque groupe effectue les mesures nécessaires et essaie de dériver une formule pour calculer la surface requise en utilisant les données disponibles. En faisant ce travail, les élèves doivent remarquer que la circonférence de la base du cône est égale à la longueur de l'arc du secteur - le développement de la surface latérale de ce cône. (diapos 17-21) En utilisant les formules nécessaires, la formule souhaitée est dérivée. Le raisonnement des élèves devrait ressembler à ceci :

Le rayon du secteur - balayage est égal à je, la mesure du degré de l'arc est φ. L'aire du secteur est calculée par la formule : la longueur de l'arc délimitant ce secteur est égale au rayon de la base du cône R. La longueur du cercle situé à la base du cône est C = 2πR . Notez que Puisque l'aire de la surface latérale du cône est égale à l'aire de développement de sa surface latérale, alors

Ainsi, l'aire de la surface latérale du cône est calculée par la formule S DBO = πRl.

Après avoir calculé la surface latérale du modèle de cône selon la formule dérivée indépendamment, un représentant de chaque groupe écrit le résultat des calculs dans un tableau au tableau conformément aux numéros de modèle. Les résultats du calcul dans chaque ligne doivent être égaux. Sur cette base, l'enseignant détermine l'exactitude des conclusions de chaque groupe. Le tableau de résultat devrait ressembler à ceci :

Paramètres du modèle :

1. l=12 cm, φ=120°
2. l=10 cm, φ=150°
3. l=15 cm, φ=120°
4. l=10 cm, φ=170°
5. l=14 cm, φ=110°

L'approximation des calculs est associée à des erreurs de mesure.

Après vérification des résultats, la sortie des formules pour les aires des surfaces latérales et complètes du cône apparaît à l'écran (diapos 22-26) les élèves prennent des notes dans des cahiers.

Stade III. Consolidation du matériel étudié.

1) Les étudiants se voient proposer tâches pour la solution orale sur des dessins prêts à l'emploi.

Trouver les aires des surfaces totales des cônes représentés sur les figures (diapos 27-32).

2) Questions : Les aires des surfaces des cônes formées par la rotation d'un triangle rectangle autour de différentes jambes sont-elles égales ? Les élèves formulent une hypothèse et la testent. Le test d'hypothèse est effectué en résolvant des problèmes et est écrit par l'élève au tableau noir.

Donné:ΔABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a ;

BAA", ABV" - corps de révolution.

Trouver: S PPC 1 , S PPC 2 .

Figure 5 (diapositive 33)

La solution:

1) R=BC = un; S PPC 1 = S DBO 1 + S principal 1 = π une c + π une 2 \u003d π une (une + c).

2) R=CA = b; S PPC 2 = S DBO 2 + S principal 2 = π b c + π b 2 \u003d π b (b + c).

Si S PPC 1 = S PPC 2, alors une 2 + ac \u003d b 2 + bc, une 2 - b 2 + ac - bc \u003d 0, (a-b) (a + b + c) \u003d 0. Car un, b, c nombres positifs (les longueurs des côtés du triangle), l'égalité tore n'est vraie que si un =b.

Conclusion: Les aires des surfaces de deux cônes ne sont égales que si les côtés du triangle sont égaux. (diapositive 34)

3) Solution du problème du manuel : n° 565.

stade IV. Résumé de la leçon.

Devoirs: pages 55, 56 ; N° 548, N° 561. (diapositive 35)

Annonce des notes.

Conclusions pendant la leçon, répétition des principales informations reçues dans la leçon.

Littérature (diapositive 36)

1. Grades de géométrie 10-11 - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev et al., M., Enlightenment, 2008.
2. "Énigmes mathématiques et charades" - N.V. Udaltsov, bibliothèque "Premier septembre", série "MATHÉMATIQUES", numéro 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Nous savons ce qu'est un cône, essayons de trouver sa surface. Pourquoi est-il nécessaire de résoudre un tel problème ? Par exemple, vous devez comprendre combien de pâte ira pour faire un cône de gaufre ? Ou combien de briques faudrait-il pour poser le toit en brique d'un château ?

Il n'est pas facile de mesurer la surface latérale d'un cône. Mais imaginez la même corne enveloppée de tissu. Pour trouver la surface d'un morceau de tissu, vous devez le couper et l'étaler sur la table. Nous obtenons une figure plate, nous pouvons trouver son aire.

Riz. 1. Coupe du cône le long de la génératrice

Faisons de même avec le cône. Coupons-le surface latérale le long de n'importe quelle génératrice, par exemple, (voir Fig. 1).

Maintenant, nous "déroulons" la surface latérale sur un plan. Nous obtenons un secteur. Le centre de ce secteur est le sommet du cône, le rayon du secteur est égal à la génératrice du cône et la longueur de son arc coïncide avec la circonférence de la base du cône. Un tel secteur s'appelle un développement de la surface latérale du cône (voir Fig. 2).

Riz. 2. Développement de la surface latérale

Riz. 3. Mesure d'angle en radians

Essayons de trouver la superficie du secteur en fonction des données disponibles. Introduisons d'abord une notation : soit l'angle au sommet du secteur soit en radians (voir Fig. 3).

Nous rencontrerons souvent l'angle au sommet du balayage dans les tâches. En attendant, essayons de répondre à la question : cet angle ne peut-il pas s'avérer être supérieur à 360 degrés ? C'est-à-dire, ne s'avérera-t-il pas que le balayage se superposera ? Bien sûr que non. Prouvons-le mathématiquement. Laissez le balayage "se chevaucher". Cela signifie que la longueur de l'arc de balayage est supérieure à la circonférence du rayon. Mais, comme déjà mentionné, la longueur de l'arc de balayage est la circonférence du rayon. Et le rayon de la base du cône, bien sûr, est inférieur à la génératrice, par exemple, car la jambe d'un triangle rectangle est inférieure à l'hypoténuse

Rappelons ensuite deux formules du cours de planimétrie : longueur d'arc. Secteur secteur : .

Dans notre cas, le rôle est joué par la génératrice , et la longueur de l'arc est égale à la circonférence de la base du cône, c'est-à-dire. Nous avons:

On obtient finalement :

Outre la surface latérale, la surface totale peut également être trouvée. Pour ce faire, ajoutez la surface de base à la surface latérale. Mais la base est un cercle de rayon , dont l'aire, selon la formule, est .

Enfin nous avons : , où est le rayon de la base du cylindre, est la génératrice.

Résolvons quelques problèmes sur les formules données.

Riz. 4. Angle souhaité

Exemple 1. Le développement de la surface latérale du cône est un secteur avec un angle au sommet. Trouvez cet angle si la hauteur du cône est de 4 cm et le rayon de la base est de 3 cm (voir Fig. 4).

Riz. 5. Triangle rectangle formant un cône

Par la première action, d'après le théorème de Pythagore, on trouve la génératrice : 5 cm (voir Fig. 5). De plus, nous savons que .

Exemple 2. L'aire de la section axiale du cône est , la hauteur est . Trouver la surface totale (voir Fig. 6).