Комплексные числа

Основные понятия

Первоначальные данные о числе относятся к эпохе каменного века – палеомелита. Это «один», «мало» и «много». Записывались они в виде зарубок, узелков и т.д. Развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия. Первыми появились натуральные числа N , получаемые при счете предметов. Затем, наряду с необходимостью счета, у людей появилась потребность измерять длины, площади, объемы, время и другие величины, где приходилось учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 веке. Множество целых чисел Z – это натуральные числа, натуральные со знаком минус и нуль. Целые и дробные числа образовали совокупность рациональных чисел Q, но и она оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Бытие снова показало несовершенство математики: невозможность решить уравнение вида х 2 = 3, в связи с чем появились иррациональные числа I. Объединение множества рациональных чисел Q и иррациональных чисел I – множество действительных (или вещественных) чисел R . В итоге числовая прямая заполнилась: каждому действительному числу соответствовала на ней точка. Но на множестве R нет возможности решить уравнение вида х 2 = – а 2 . Следовательно, снова возникла необходимость расширения понятия числа. Так в 1545 году появились комплексные числа. Их создатель Дж. Кардано называл их «чисто отрицательными». Название «мнимые» ввел в 1637 году француз Р. Декарт, в 1777 году Эйлер предложил использовать первую букву французского числа i для обозначения мнимой единицы. Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу.

В течение 17 – 18 веков продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, их геометрического истолкования. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой, а вектором, идущим в эту точку из начала координат.

Лишь к концу 18 – началу 19 века комплексные числа заняли достойное место в математическом анализе. Первое их использование – в теории дифференциальных уравнений и в теории гидродинамики.

Определение 1. Комплексным числом называется выражение вида , где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица, .

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда , .

Если , то число называют чисто мнимым ; если , то число является действительным числом, это означает, что множество R С , где С – множество комплексных чисел.

Сопряженным к комплексному числу называется комплексное число .

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Любое комплексное число можно изобразить точкой М (x , y ) плоскости Oxy. Парой действительных чисел обозначаются и координаты радиус-вектора , т.е. между множеством векторов на плоскости и множеством комплексных чисел можно установить взаимно-однозначное соответствие: .

Определение 2. Действительной частью х .

Обозначение:x = Rez (от латинского Realis).

Определение 3. Мнимой частью комплексного числа называется действительное число y .

Обозначение: y = Imz (от латинского Imaginarius).

Rez откладывается на оси (Ох) , Imz откладывается на оси (Оy ), тогда вектор , соответствующий комплексному числу – это радиус-вектор точки М (x , y ), (или М (Rez , Imz )) (рис. 1).

Определение 4. Плоскость, точкам которой поставлено в соответствие множество комплексных чисел, называется комплексной плоскостью . Ось абсцисс называется действительной осью , так как на ней лежат действительные числа . Ось ординат называется мнимой осью , на ней лежат чисто мнимые комплексные числа . Множество комплексных чисел обозначается С .

Определение 5. Модулем комплексного числа z = (x , y ) называется длина вектора : , т.е. .

Определение 6. Аргументом комплексного числа называется угол между положительным направлением оси (Ох ) и вектором : .

Форми зображення чисел

У цифрових пристроях використовуються дві форми зображення чисел: з фіксованою і плаваючою комою .

У попередньому параграфі розглядались лише цілі позитивні числа. Формула (1.14) дає можливість зображати двійкові числа з цілою та дробовою частиною та з фіксованою комою. Знак двійкового числа з фіксованою комою задається допоміжним розрядом, який встановлюється перед числовими. Для додатних чисел значення допоміжного розряду рівне “0 ”, для від’ємних – “1 ”.

У табл. 1.3 приводяться три варіанти кодування додатних і від’ємних чисел чотирьохрозрядним двійковим кодом.

Taблиця 1.3.

У першому варіанті, як витікає з таблиці, у кодовій двійковій послідовності мають місце додатній і від’ємний нулі, що призводить до появи проблем при виконанні арифметичних операцій.

Представлення від’ємних чисел у зворотному коді також не вирішує відміченої проблеми. Вона вирішується лише тоді, коли від’ємні числа представляються у додатковому коді , який обчислюється за формулою:

На рис. 1.12 приведена графічна інтерпретація зображення позитивних і негативних чисел відносно нуля з використанням прямого та доповнюючого кодів. Як буде показано пізніше, така форма представлення десяткових чисел суттєво спрощує виконання арифметичних операцій.

Приклад 1.10. Знайти доповнюючі коди десятковим числам: 0 10 , 17 10 , -127 10 .

Розв’язання. Знаходимо двійкові еквіваленти заданих чисел:

0 10 = 00000000 2 ; 17 10 = 00010001 2 ; -127 10 = 10000001 2 .

Знаходимо коди, зворотні двійковим – відповідно: 11111111; 11101110; 01111110.

Знаходимо доповнюючі коди заданих чисел: 11111111 + 1 = 100000000 2 = 0 10 ;

11101110 + 1 = 11101111 2 = -17 10 ; 01111110 + 1 = 01111111 2 = 127 10 .

Тепер пояснимо суть запису чисел з фіксованою комою. Будь-яке число в цифрових системах зберігається спеціальними пристроями пам’яті, кожен рядок якого складаються з фіксованої кількості елементів. Кома, що відділяє в числі цілу частину від дробової, займає в рядку пам’яті фіксоване положення – перед старшим розрядом або після молодшого.

У першому випадку абсолютне значення числа менше одиниці – наприклад, 0,110101 2 .Якщо рядок пам’яті призначений для десяти розрядів, то число в ньому запишеться так, як показано на рис. 1.13, де крайній лівий розряд відображає знак числа, а решта – розряди модуля. Вільні молодші розряди заповнюються нулями. Оскільки в розгляданому випадку в рядку пам’яті передбачається запис лише дробової частини числа, то і результати всіх операцій повинні бути з абсолютним значенням, меншим одиниці. Виконання цієї умови забезпечується вибором відповідних масштабних коефіцієнтів, на які помножуються вихідні дані. Якщо масштабний коефіцієнт вибраний невірно, то може з’явитись переповнення розрядів і поява цілої частини, яка буде втрачена, оскільки в розрядній сітці не передбачена її поява. Все це приведе до похибки в результаті, що є недоліком такого способу.

У другому випадку, коли кома фіксується після молодшого розряду, маємо справу з цілими числами. Тоді, наприклад, число 10011 2 в рядку пам’яті розміщується в відповідності з рис. 1.14, де лівий розряд знаковий, а слідуючі за ним справа вільні розряди заповнюються нулями. В цьому випадку величина модуля є обмеженою довжиною рядку пам’яті.

Числа з плаваючою комою передбачають зображення числа з використанням мантиси, що помножається на основу системи числення у ступені, який задається порядком. Наприклад, число 200 записується у вигляді 0,2 × 10 3 , а число 0,000312 – як 0,312 × 10 -3 . Відповідно записуються і двійкові числа. Мантиса і порядок зображаються у двійковому коді, а основою є двійка. Наприклад, число 0,111 × 2 10 = 11.10 2 в десятковій системі зображається як 0,875 × 2 2 = 3,5 10 . В рядку пам’яті такі числа зберігаються у вигляді двох груп цифр: перша група – мантиса – визначає саме число, друга - порядок – місце коми в числі (рис. 1.15).

У нульовому елементі рядка пам’яті зображається знак числа (для приведеного вище двійкового числа, що записане у рядок пам’яті - “0 ”). Далі задаються вісім розрядів самого числа (стовпці 1…8). Якщо воно задається меншою кількістю розрядів, то вільні елементи пам’яті справа від числа заповнюються нулями. У дев’ятому розряді зображається знак порядку, а в решті, за аналогією з мантисою, – число, що визначає порядок. При використанні такої форми запису величина числа порядку задається так, щоб перша значуща цифра мантиси не дорівнювала “0 ”. Така форма запису називається нормальною .

Мінімальне додатне число, що може бути записане при нормальній формі в рядку пам’яті, визначається мінімальною мантисою 0,1000..0 2 та максимальним від’ємним порядком 111..1 2 . При кількості k розрядів порядку мінімальне десяткове число, що може бути записаним, визначається формулою:

. (1.15)

Максимальне число матимемо при максимальному значенні мантиси (0,111…1) 2 та максимальному додатному порядку (111…1 2) = 2 k – 1, тобто

Діапазон D чисел, представлених в нормальній формі, як витікає з формул (1.15) та (1.16), визначається лише числом k . Наприклад, для k = 6 знаходимо:

; .

Точність запису числа задається кількістю розрядівm мантиси. Якщо кількість розрядів числа перевершує відведену під мантису кількість розрядів, то число округляється до необхідної довжини. Правило округлення двійкових чисел в цьому випадку таке: якщо старший розряд у частині слова, що відкидається, є одиницею, то до молодшого розряду мантиси додається одиниця. При такому округленні абсолютна похибка e зображення мантиси не перевершує половини вагового коефіцієнта молодшого розряду мантиси, що зберігається, тобто:

Враховуючи, що при нормальній формі запису мантиса не може бути меншою 0.5, відносна похибка η:

Наприклад, при m = 24 маємо:

.

У сучасних цифрових системах для зображення чисел з плаваючою комою використовується рядок довжиною чотири байти. При цьому 23 розряди задають мантису, а 7 – величину порядку. Діапазон чисел, що зображуються, складає від ± 2 127 до ± 2 -127 .

Використання чисел з плаваючою комою суттєво розширює і спрощує зображення чисел, але виконання операцій над такими числами більш складне, ніж над числами з фіксованою комою.

Выразительное геометрическое представление системы рациональных чисел может быть получено следующим образом.

Рис. 8. Числовая ось

На некоторой прямой линии, «числовой оси», отметим отрезок от 0 до 1 (рис. 8). Тем самым устанавливается длина единичного отрезка, которая, вообще говоря, может быть выбрана произвольно. Положительные и отрицательные целые числа тогда изображаются совокупностью равноотстоящих точек на числовой оси, именно, положительные числа отмечаются вправо, а отрицательные - влево от точки 0. Чтобы изобразить числа со знаменателем разделим каждый из полученных отрезков единичной длины на равных частей; точки деления будут изображать дроби со знаменателем Если сделаем так для значений соответствующих всем натуральным числам, то каждое рациональное число будет изображено некоторой точкой числовой оси. Эти точки мы условимся называть «рациональными»; вообще термины «рациональное число» и «рациональная точка» будем употреблять как синонимы.

В главе I, § 1 было определено соотношение неравенства для натуральных чисел. На числовой оси это соотношение отражено следующим образом: если натуральное число А меньше, чем натуральное число В, то точка А лежит левее точки В. Так как указанное геометрическое соотношение устанавливается для любой пары рациональных точек, то естественно пытаться обобщить арифметическое отношение неравенства таким образом, чтобы сохранить этот геометрический порядок для рассматриваемых точек. Это удается, если принять следующее определение: говорят, что рациональное число А меньше, чем Рациональное число или что число В больше, чем число если разность положительна. Отсюда следует (при ), что точки (числа) между это те, которые

одновременно Каждая такая пара точек вместе со всеми точками между ними, называется сегментом (или отрезком) и обозначается (а множество одних только промежуточных точек - интервалом (или промежутком), обозначаемым

Расстояние произвольной точки А от начала 0, рассматриваемое как положительное число, называется абсолютным значением А и обозначается символом

Понятие «абсолютное значение» определяется следующим образом: если , то если то Ясно, что если числа имеют один и тот же знак, то справедливо равенство если же имеют разные знаки, то . Соединяя эти два результата вместе, мы приходим к общему неравенству

которое справедливо независимо от знаков

Факт фундаментальной важности выражается следующим предложением: рациональные точки расположены на числовой прямой всюду плотно. Смысл этого утверждения тот, что внутри всякого интервала, как бы он ни был мал, содержатся рациональные точки. Чтобы убедиться в справедливости высказанного утверждения, достаточно взять число настолько большое, что интервал ( будет меньше, чем данный интервал ; тогда по меньшей мере одна из точек вида окажется внутри данного интервала. Итак, не существует такого интервала на числовой оси (даже самого маленького, какой только можно вообразить), внутри которого не было бы рациональных точек. Отсюда вытекает дальнейшее следствие: во всяком интервале содержится бесконечное множество рациональных точек. Действительно, если бы в некотором интервале содержалось лишь конечное число рациональных точек, то внутри интервала, образованного двумя соседними такими точками, рациональных точек уже не было бы, а это противоречит тому, что только что было доказано.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II

§ 44 Геометрическое изображение действительных чисел

Геометрически действительные числа, так же как и рациональные числа, изображаются точками прямой.

Пусть l - произвольная прямая, а О - некоторая ее точка (рис. 58). Каждому положительному действительному числу α поставим в соответствие точку А, лежащую справа от О на расстоянии в α единиц длины.

Если, например, α = 2,1356..., то

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

и т. д. Очевидно, что точка А в этом случае должна находиться на прямой l правее точек, соответствующих числам

2; 2,1; 2,13; ... ,

но левее точек, соответствующих числам

3; 2,2; 2,14; ... .

Можно показать, что эти условия определяют на прямой l единственную точку А, которую мы и рассматриваем как геометрический образ действительного числа α = 2,1356... .

Аналогично, каждому отрицательному действительному числу β поставим в соответствие точку В, лежащую слева от О на расстоянии в | β | единиц длины. Наконец, числу «нуль» поставим в соответствие точку О.

Так, число 1 изобразится на прямой l точкой А, находящейся справа от О на расстоянии в одну единицу длины (рис. 59), число - √2 - точкой В, лежащей слева от О на расстоянии в √2 единиц длины, и т. д.

Покажем, как на прямой l с помощью циркуля и линейки можно отыскать точки, соответствующие действительным числам √2 , √3 , √4 , √5 и т. д. Для этого прежде всего покажем, как можно построить отрезки, длины которых выражаются этими числами. Пусть АВ есть отрезок, принятый за единицу длины (рис. 60).

В точке А восставим к этому отрезку перпендикуляр и отложим на нем отрезок АС, равный отрезку АВ. Тогда, применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABC, получим; ВС = √АВ 2 + АС 2 = √1+1 = √2

Следовательно, отрезок ВС имеет длину √2 . Теперь восставим перпендикуляр к отрезку ВС в точке С и выберем на нем точку D так, чтобы отрезок CD был равен единице длины АВ. Тогда из прямоугольною треугольника BCD найдем:

ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3

Следовательно, отрезок BD имеет длину √3 . Продолжая описанный процесс дальше, мы могли бы получить отрезки BE, BF, ..., длины которых выражаются числами √4 , √5 и т. д.

Теперь на прямой l легко найти те точки, которые служат геометрическим изображением чисел √2 , √3 , √4 , √5 и т. д.

Откладывая, например, справа от точки О отрезок ВС (рис. 61), мы получим точку С, которая служит геометрическим изображением числа √2 . Точно так же, откладывая справа от точки О отрезок BD, мы получим точку D", которая является геометрическим образом числа √3 , и т. д.

Не следует, однако, думать, что с помощью циркуля и линейки на числовой прямой l можно найти точку, соответствующую любому заданному действительному числу. Доказано, например, что, имея в своем распоряжении только циркуль и линейку, нельзя построить отрезок, длина которого выражается числом π = 3,14 ... . Поэтому на числовой прямой l с помощью таких построений нельзя указать точку, соответствующую этому числу Тем не менее такая точка существует.

Итак, каждому действительному числу α можно поставить в соответствие некоторую вполне определенную точку прямой l . Эта точка будет отстоять от начальной точки О на расстоянии в | α | единиц длины и находиться справа от О, если α > 0, и слева от О, если α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l . В самом деле, пусть числу α соответствует точка А, а числу β - точка В. Тогда, если α > β , то А будет находиться правее В (рис. 62, а); если же α < β , то А будет лежать левее В (рис. 62,б).

Говоря в § 37 о геометрическом изображении рациональных чисел, мы поставили вопрос: любую ли точку прямой можно рассматривать как геометрический образ некоторого рационального числа? Тогда мы не могли дать ответ на этот вопрос; теперь же мы можем ответить на него вполне определенно. На прямой есть точки, которые служат геометрическим изображением иррациональных чисел (например, √2 ). Поэтому не всякая точка прямой изображает рациональное число. Но в таком случае напрашивается другой вопрос: любую ли точку числовой прямой можно рассматривать как геометрический образ некоторого действительного числа? Этот вопрос решается уже положительно.

В самом деле, пусть А - произвольная точка прямой l , лежащая справа от О (рис. 63).

Длина отрезка ОА выражается некоторым положительным действительным числом α (см § 41). Поэтому точка А является геометрическим образом числа α . Аналогично устанавливается, что каждая точка В, лежащая слева от О, может рассматриваться как геометрический образ отрицательного действительного числа - β , где β - длина отрезка ВО. Наконец, точка О служит геометрическим изображением числа нуль. Понятно, что две различные точки прямой l не могут быть геометрическим образом одного и того же действительного числа.

В силу изложенных выше причин прямая, на которой указана в качестве «начальной» некоторая точка О (при заданной единице длины), называется числовой прямой .

Вывод. Множество всех действительных чисел и множество всех точек числовой прямой находятся во взаимно однозначном соответствии.

Это означает, что каждому действительному числу соответствует одна, вполне определенная точка числовой прямой и, наоборот, каждой точке числовой прямой при таком соответствии отвечает одно, вполне определенное действительное число.

Упражнения

320. Выяснить, какая из двух точек находится на числовой прямой левее и какая правее, если эти точки соответствуют числам:

а) 1,454545... и 1,455454...; в) 0 и - 1,56673...;

б) - 12,0003... и - 12,0002...; г) 13,24... и 13,00....

321. Выяснить, какая из двух точек находится на числовой прямой дальше от начальной точки О, если эти точки соответствуют числам:

а) 5,2397... и 4,4996...; .. в) -0,3567... и 0,3557... .

г) - 15,0001 и - 15,1000...;

322. В этом параграфе было показано, что для построения отрезка длиной в √n с помощью циркуля и линейки можно поступить следующим образом: сначала построить отрезок длиной √2 , затем отрезок длиной √3 и т. д., пока не дойдем до отрезка длиной √n . Но при каждом фиксированном п > 3 этот процесс можно ускорить. Как бы, например, вы стали строить отрезок длиной √10 ?

323*. Как с помощью циркуля и линейки найти на числовой прямой точку, соответствующую числу 1 / α , если положение точки, соответствующей числу α , известно?