Les points extremum sont-ils inclus dans les intervalles d'augmentation ? Fonction croissante et décroissante sur un intervalle, extrema

14.10.2019

Augmentation, diminution et extrema d'une fonction

Trouver les intervalles d'augmentation, de diminution et d'extrema d'une fonction est à la fois une tâche indépendante et une partie essentielle d'autres tâches, en particulier, étude de fonction complète. Les premières informations sur l'augmentation, la diminution et les extrema de la fonction sont données dans chapitre théorique sur la dérivée, que je recommande vivement pour une étude préliminaire (ou répétition)– aussi parce que le matériel suivant est basé sur le même essentiellement dérivé,étant une continuation harmonieuse de cet article. Cependant, si le temps manque, une pratique purement formelle des exemples de la leçon d’aujourd’hui est également possible.

Et aujourd'hui, il y a un esprit d'une rare unanimité dans l'air, et je sens directement que toutes les personnes présentes brûlent de désir. apprendre à explorer une fonction à l'aide de sa dérivée. Par conséquent, une terminologie raisonnable, bonne et éternelle apparaît immédiatement sur vos écrans.

Pour quoi? L’une des raisons est la plus pratique : afin qu'il soit clair ce qui est généralement exigé de vous dans une tâche particulière!

Monotonie de la fonction. Points extremum et extremum d'une fonction

Considérons une fonction. Pour faire simple, nous supposons qu'elle continu sur toute la droite numérique :

Au cas où, débarrassons-nous immédiatement des illusions possibles, surtout pour les lecteurs qui ont récemment pris connaissance de intervalles de signe constant de la fonction. Maintenant nous PAS INTÉRESSÉ, comment se situe le graphique de la fonction par rapport à l'axe (en haut, en bas, à l'intersection de l'axe). Pour être convaincant, effacez mentalement les axes et laissez un graphique. Car c’est là que réside l’intérêt.

Fonction augmente sur un intervalle si pour deux points quelconques de cet intervalle reliés par la relation , l'inégalité est vraie. C'est, plus grande valeur l'argument correspond à une valeur plus grande de la fonction, et son graphique va « de bas en haut ». La fonction de démonstration croît au fil de l'intervalle.

De même, la fonction diminue sur un intervalle si pour deux points quelconques d'un intervalle donné tel que , l'inégalité est vraie. C'est-à-dire qu'une valeur plus grande de l'argument correspond à une valeur plus petite de la fonction, et son graphique va « de haut en bas ». Notre fonction diminue à intervalles réguliers .

Si une fonction augmente ou diminue sur un intervalle, alors elle est appelée strictement monotoneà cet intervalle. Qu'est-ce que la monotonie ? Prenez-le au pied de la lettre : la monotonie.

Vous pouvez également définir non décroissant fonction (condition détendue dans la première définition) et non croissant fonction (condition adoucie dans la 2ème définition). Une fonction non décroissante ou non croissante sur un intervalle est appelée fonction monotoneà cet intervalle (la monotonie stricte est un cas particulier de monotonie « simplement »).

La théorie envisage également d'autres approches pour déterminer l'augmentation/diminution d'une fonction, y compris sur des demi-intervalles, des segments, mais afin de ne pas vous verser d'huile-huile-huile sur la tête, nous accepterons d'opérer avec des intervalles ouverts avec des définitions catégoriques - c'est plus clair et cela suffit amplement pour résoudre de nombreux problèmes pratiques.

Ainsi, dans mes articles la formulation « monotonie d'une fonction » sera presque toujours cachée intervalles monotonie stricte(fonction strictement croissante ou strictement décroissante).

Quartier d'un point. Des mots après lesquels les étudiants s'enfuient partout où ils peuvent et se cachent avec horreur dans les coins. ...Bien qu'après le post Limites de Cauchy Ils ne se cachent probablement plus, mais frémissent juste légèrement =) Ne vous inquiétez pas, il n'y aura plus de preuves de théorèmes maintenant analyse mathematique– J’avais besoin de l’entourage pour formuler des définitions plus strictement points extrêmes. Souvenons-nous:

Quartier d'un point appelé l'intervalle qui contient ce point, alors que pour plus de commodité, l'intervalle est souvent supposé symétrique. Par exemple, un point et son voisinage standard :

En fait, les définitions :

Le point s'appelle point maximum strict, Si existe son quartier, pour tous valeurs dont, à l'exception du point lui-même, l'inégalité . Dans notre exemple spécifique c'est le point.

Le point s'appelle point minimum strict, Si existe son quartier, pour tous valeurs dont, à l'exception du point lui-même, l'inégalité . Sur le dessin, il y a le point « a ».

Note : l'exigence de symétrie du voisinage n'est pas du tout nécessaire. De plus, il est important le fait même de l'existence quartier (qu'il soit minuscule ou microscopique) qui satisfait aux conditions spécifiées

Les points sont appelés points strictement extrêmes ou simplement points extrêmes les fonctions. Autrement dit, il s’agit d’un terme généralisé désignant le maximum de points et le minimum de points.

Comment comprenons-nous le mot « extrême » ? Oui, tout aussi directement que la monotonie. Points extrêmes des montagnes russes.

Comme dans le cas de la monotonie, des postulats vagues existent et sont encore plus courants en théorie (dont relèvent bien entendu les cas stricts considérés !):

Le point s'appelle point maximum, Si existe ses environs sont tels que pour tous
Le point s'appelle point minimum, Si existe ses environs sont tels que pour tous valeurs de ce quartier, l'inégalité tient.

Notez que selon les deux dernières définitions, tout point d’une fonction constante (ou une « section plate » d’une fonction) est considéré à la fois comme un point maximum et un point minimum ! Soit dit en passant, la fonction est à la fois non croissante et non décroissante, c'est-à-dire monotone. Cependant, nous laisserons ces considérations aux théoriciens, car dans la pratique, nous contemplons presque toujours des « collines » et des « creux » traditionnels (voir dessin) avec un unique « roi de la colline » ou « princesse du marais ». En tant que variété, on le trouve conseil, dirigé vers le haut ou vers le bas, par exemple le minimum de la fonction en ce point.

Oh, et en parlant de royauté :
– le sens s'appelle maximum les fonctions;
– le sens s'appelle le minimum les fonctions.

Nom commun – extrêmes les fonctions.

S'il vous plaît, soyez prudent avec vos mots !

Points extrêmes– ce sont des valeurs « X ».
Extrêmes– les significations « jeu ».

! Note : parfois les termes listés font référence aux points « X-Y » qui se trouvent directement sur le GRAPHIQUE DE la fonction ELLE-MÊME.

Combien d’extrema une fonction peut-elle avoir ?

Aucun, 1, 2, 3, ... etc. à l'infini. Par exemple, le sinus a une infinité de minima et de maxima.

IMPORTANT! Le terme « maximum de fonction » pas identique le terme « valeur maximale d’une fonction ». Il est facile de remarquer que la valeur n'est maximale que dans un quartier local, et en haut à gauche se trouvent des « camarades plus cool ». De même, « minimum d'une fonction » n'est pas la même chose que « valeur minimale d'une fonction », et sur le dessin, nous voyons que la valeur n'est minimale que dans une certaine zone. À cet égard, les points extrêmes sont également appelés points extrêmes locaux, et les extrema – extrêmes locaux. Ils marchent et errent à proximité et mondial frères. Ainsi, toute parabole a à son sommet minimum global ou maximum global. De plus, je ne ferai pas de distinction entre les types d'extrêmes, et l'explication est davantage formulée à des fins pédagogiques générales - les adjectifs supplémentaires « local »/« global » ne devraient pas vous surprendre.

Résumons notre courte excursion dans la théorie par un plan test : que signifie la tâche « trouver les intervalles de monotonie et les points extremum de la fonction » ?

La formulation vous encourage à trouver :

– intervalles de fonction croissante/décroissante (non décroissant, non croissant apparaît beaucoup moins souvent) ;

– points maximum et/ou minimum (le cas échéant). Bon, pour éviter l'échec, mieux vaut trouver soi-même les minimums/maximums ;-)

Comment déterminer tout cela ? Utilisation de la fonction dérivée !

Comment trouver des intervalles croissants, décroissants,
points extremum et extremum de la fonction ?

De nombreuses règles, en fait, sont déjà connues et comprises depuis leçon sur la signification d'un dérivé.

Dérivée tangente apporte de joyeuses nouvelles selon lesquelles la fonction augmente partout domaine de définition.

Avec cotangente et sa dérivée la situation est exactement le contraire.

L'arc sinus augmente au cours de l'intervalle - la dérivée ici est positive : .
Lorsque la fonction est définie, mais non différentiable. Cependant, au point critique, il y a une dérivée à droite et une tangente à droite, et à l’autre bord se trouvent leurs homologues à gauche.

Je pense qu’il ne vous sera pas trop difficile de faire un raisonnement similaire pour l’arc cosinus et sa dérivée.

Tous les cas ci-dessus, dont beaucoup sont dérivés tabulaires, je vous le rappelle, suivez directement de définitions dérivées.

Pourquoi explorer une fonction à l’aide de sa dérivée ?

Pour mieux comprendre à quoi ressemble le graphique de cette fonction: où il va « de bas en haut », où « de haut en bas », où il atteint les minimums et les maximums (si tant est qu'il les atteigne). Toutes les fonctions ne sont pas aussi simples : dans la plupart des cas, nous n’avons aucune idée du graphique d’une fonction particulière.

Il est temps de passer à des exemples plus significatifs et de considérer algorithme pour trouver des intervalles de monotonie et des extrema d'une fonction:

Exemple 1

Trouver les intervalles d'augmentation/diminution et les extrema de la fonction

Solution:

1) La première étape consiste à trouver domaine d'une fonction, et prenez également note des points d'arrêt (s'ils existent). Dans ce cas, la fonction est continue sur toute la droite numérique, et cette action est dans une certaine mesure formelle. Mais dans un certain nombre de cas, des passions sérieuses éclatent ici, alors traitons le paragraphe sans dédain.

2) Le deuxième point de l’algorithme est dû à

une condition nécessaire pour un extremum :

S'il y a un extremum en un point, alors soit la valeur n'existe pas.

Vous êtes confus par la fin ? Extremum de la fonction « module x » .

La condition est nécessaire, mais pas assez, et l’inverse n’est pas toujours vrai. Ainsi, il ne résulte pas encore de l'égalité que la fonction atteint un maximum ou un minimum au point . Un exemple classique a déjà été souligné ci-dessus : il s'agit d'une parabole cubique et de son point critique.

Quoi qu'il en soit, la condition nécessaire à l'extremum dicte la nécessité de trouver les points suspects. Pour ce faire, trouvez la dérivée et résolvez l'équation :

Au début du premier article à propos des graphiques de fonctions Je vous ai expliqué comment construire rapidement une parabole à l'aide d'un exemple : "...on prend la dérivée première et on l'égale à zéro : ...Donc, la solution de notre équation : - c'est en ce point que se situe le sommet de la parabole...". Maintenant, je pense que tout le monde comprend pourquoi le sommet de la parabole se situe exactement à cet endroit =) En général, nous devrions commencer par un exemple similaire ici, mais il est trop simple (même pour les nuls). De plus, il y a un analogue à la toute fin de la leçon sur dérivée d'une fonction. Par conséquent, augmentons le degré :

Exemple 2

Trouver les intervalles de monotonie et les extrema de la fonction

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Solution complète et un échantillon final approximatif de la tâche à la fin de la leçon.

Le moment tant attendu de rencontre avec les fonctions fractionnaires-rationnelles est arrivé :

Exemple 3

Explorer une fonction en utilisant la dérivée première

Veuillez noter à quel point une même tâche peut être reformulée de différentes manières.

Solution:

1) La fonction subit des discontinuités infinies en certains points.

2) Nous détectons les points critiques. Trouvons la dérivée première et égalons-la à zéro :

Résolvons l'équation. Une fraction est nulle lorsque son numérateur est nul :

Ainsi, nous obtenons trois points critiques :

3) Nous traçons TOUS les points détectés sur la droite numérique et méthode d'intervalle on définit les signes du DÉRIVÉ :

Je vous rappelle que vous devez prendre un point dans l'intervalle et y calculer la valeur de la dérivée et déterminer son signe. Il est plus rentable de ne même pas compter, mais d'« estimer » verbalement. Prenons, par exemple, un point appartenant à l'intervalle et effectuons la substitution : .

Deux « plus » et un « moins » donnent donc un « moins », ce qui signifie que la dérivée est négative sur tout l'intervalle.

L'action, comme vous le comprenez, doit être effectuée pour chacun des six intervalles. À propos, notez que le facteur numérateur et le dénominateur sont strictement positifs pour tout point de n'importe quel intervalle, ce qui simplifie grandement la tâche.

Ainsi, la dérivée nous a dit que la FONCTION ELLE-MÊME augmente de et diminue de . Il est pratique de joindre des intervalles du même type avec l'icône de jointure.

Au moment où la fonction atteint son maximum :
Au moment où la fonction atteint un minimum :

Réfléchissez à la raison pour laquelle vous n'avez pas besoin de recalculer la deuxième valeur ;-)

En passant par un point, la dérivée ne change pas de signe, donc la fonction n'y a AUCUN EXTREMUM - elle a à la fois diminué et est restée décroissante.

! Répétons point important : les points ne sont pas considérés comme critiques - ils contiennent une fonction non déterminé. En conséquence, ici En principe, il ne peut y avoir d'extrêmes(même si la dérivée change de signe).

Répondre: la fonction augmente de et diminue de Au moment où le maximum de la fonction est atteint : , et au point – le minimum : .

Connaissance des intervalles de monotonie et des extrema, associée à des connaissances établies asymptote donne déjà une très bonne idée apparence graphiques de fonctions. Une personne de formation moyenne est capable de déterminer verbalement que le graphique d'une fonction comporte deux asymptotes verticales et une asymptote oblique. Voici notre héros :

Essayez à nouveau de corréler les résultats de l'étude avec le graphique de cette fonction.
Il n’y a pas d’extremum au point critique, mais il y a inflexion du graphique(ce qui arrive généralement dans des cas similaires).

Exemple 4

Trouver les extrema de la fonction

Exemple 5

Trouver les intervalles de monotonie, les maxima et les minima de la fonction

…c’est presque comme une sorte de vacances « X dans un cube » aujourd’hui….
Alors, qui dans la galerie a proposé de boire pour ça ? =)

Chaque tâche a ses propres nuances de fond et subtilités techniques, qui sont commentées à la fin de la leçon.

La fonction s'appelle augmentant sur l'intervalle
, si pour des points

l’inégalité persiste
(une valeur d'argument plus grande correspond à une valeur de fonction plus grande).

De même, la fonction
appelé décroissant sur l'intervalle
, si pour des points
de cet intervalle si la condition est remplie
l’inégalité persiste
(une valeur d'argument plus grande correspond à une valeur de fonction plus petite).

Augmentation sur l'intervalle
et décroissant sur l'intervalle
les fonctions sont appelées monotone sur l'intervalle
.

Connaître la dérivée d'une fonction différentiable permet de trouver des intervalles de sa monotonie.

Théorème (condition suffisante pour une augmentation d'une fonction).
les fonctions
positif sur l'intervalle
, alors la fonction
augmente de façon monotone sur cet intervalle.

Théorème (condition suffisante pour qu'une fonction diminue). Si la dérivée est différentiable sur l'intervalle
les fonctions
négatif sur l'intervalle
, alors la fonction
diminue de façon monotone sur cet intervalle.

Signification géométrique de ces théorèmes est celui sur les intervalles de fonctions décroissantes, tangentes au graphe de la fonction forme avec l'axe
angles obtus, et à intervalles croissants – aigus (voir Fig. 1).

Théorème (condition nécessaire à la monotonie d'une fonction). Si la fonction
différenciable et
(
) sur l'intervalle
, alors il ne diminue pas (n'augmente pas) sur cet intervalle.

Algorithme pour trouver les intervalles de monotonie d'une fonction
:

Exemple. Trouver les intervalles de monotonie d'une fonction
.

Point appelé point maximum de la fonction

de telle sorte que pour tout le monde , satisfaisant la condition
, l'inégalité est vraie
.

Fonction maximale est la valeur de la fonction au point maximum.

La figure 2 montre un exemple de graphique d'une fonction qui a des maxima aux points
.

Point appelé point minimum de la fonction
, s'il y a un numéro
de telle sorte que pour tout le monde , satisfaisant la condition
, l'inégalité est vraie
. Figue. 2 fonctions ont un minimum au point .

Il existe un nom commun pour les hauts et les bas : extrêmes . En conséquence, les points maximum et minimum sont appelés points extrêmes .

Une fonction définie sur un segment ne peut avoir un maximum et un minimum qu'en des points situés à l'intérieur de ce segment. Il ne faut pas non plus confondre le maximum et le minimum d'une fonction avec son plus grand et valeur la plus basse sur un segment – ce sont des concepts fondamentalement différents.

Aux points extrêmes, la dérivée a des propriétés particulières.

Théorème (condition nécessaire pour l'extremum). Laissez au point fonction
a un extremum. Alors soit
n'existe pas, ou
.

Ces points du domaine de définition de la fonction auxquels
n'existe pas ou dans lequel
, sont appelés points critiques de la fonction .

Les points extrêmes font donc partie des points critiques. En général, le point critique ne doit pas nécessairement être un point extrême. Si la dérivée d'une fonction en un certain point est égale à zéro, cela ne signifie pas que la fonction a un extremum en ce point.

Exemple. Considérons
. Nous avons
, mais souligne
n’est pas un point extrême (voir Figure 3).

Théorème (la première condition suffisante pour un extremum). Laissez au point fonction
est continue, et la dérivée
en passant par un point change de signe. Alors – point extremum : maximum si le signe passe de « + » à « – », et minimum si de « – » à « + ».

Si, en passant par un point la dérivée ne change pas de signe, alors au point il n'y a pas d'extrême.

Théorème (deuxième condition suffisante pour extremum). Laissez au point dérivée d'une fonction deux fois différentiable
égal à zéro (
), et sa dérivée seconde à ce stade est non nulle (
) et est continue dans un certain voisinage du point . Alors – point extrême
; à
c'est le point minimum, et à
c'est le point maximum.

Algorithme pour trouver les extrema d'une fonction en utilisant la première condition suffisante pour un extremum :

Trouvez la dérivée.

Trouvez les points critiques de la fonction.

Recherchez le signe de la dérivée à gauche et à droite de chaque point critique et tirez une conclusion sur la présence d'extrema.

Trouvez les valeurs extrêmes de la fonction.

Algorithme pour trouver les extrema d'une fonction en utilisant la deuxième condition suffisante pour un extremum :

Exemple. Trouver les extrema de la fonction
.

Fonction croissante et décroissante

fonction oui = F(X) est appelé croissant sur l'intervalle [ un, b], si pour une paire de points X Et X", a ≤ x l'inégalité est vraie F(X) ≤ F (X"), et strictement croissant - si l'inégalité est satisfaite F (X)F(X"). Les fonctions décroissantes et strictement décroissantes sont définies de la même manière. Par exemple, la fonction à = X 2 (riz. , a) augmente strictement sur le segment , et

(riz. , b) diminue strictement sur ce segment. Des fonctions croissantes sont désignées F (X), et diminue F (X)↓. Pour avoir une fonction différentiable F (X) était en hausse sur le segment [ UN, b], il faut et il suffit que sa dérivée F"(X) était non négatif sur [ UN, b].

Parallèlement à l'augmentation et à la diminution d'une fonction sur un segment, nous considérons l'augmentation et la diminution d'une fonction en un point. Fonction à = F (X) est appelé croissant au point X 0 s'il existe un intervalle (α, β) contenant le point X 0, qui pour n'importe quel point X de (α, β), x> X 0 , l'inégalité est vraie F (X 0) ≤ F (X), et pour tout point X de (α, β), x 0 , l'inégalité est vraie F (X) ≤f (X 0). L'augmentation stricte d'une fonction en ce point est définie de la même manière X 0 . Si F"(X 0) > 0, alors la fonction F(X) augmente strictement au point X 0 . Si F (X) augmente à chaque point de l'intervalle ( un, b), puis il augmente sur cet intervalle.

S.B. Stechkin.

Grande Encyclopédie soviétique. - M. : Encyclopédie soviétique. 1969-1978 .

Voyez ce que sont les « fonctions croissantes et décroissantes » dans d’autres dictionnaires :

Concepts d'analyse mathématique. La fonction f(x) est appelée le rapport des nombres de différents groupes d'âge de la population qui augmente sur le segment STRUCTURE PAR ÂGE DE LA POPULATION. Cela dépend des taux de natalité et de mortalité, de l'espérance de vie des gens... Grand dictionnaire encyclopédique

Concepts d'analyse mathématique. Une fonction f(x) est dite croissante sur le segment si pour toute paire de points x1 et x2, a≤x1 ... Dictionnaire encyclopédique

Notions de mathématiques. analyse. La fonction f(x) est appelée. croissant sur le segment [a, b], si pour toute paire de points x1 et x2, et<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Sciences naturelles. Dictionnaire encyclopédique

Branche des mathématiques qui étudie les dérivées et les différentielles des fonctions et leurs applications à l'étude des fonctions. Conception de D. et. dans une discipline mathématique indépendante est associé aux noms de I. Newton et G. Leibniz (seconde moitié du 17 ... Grande Encyclopédie Soviétique

Une branche des mathématiques dans laquelle sont étudiés les concepts de dérivée et de différentielle et la manière dont ils sont appliqués à l'étude des fonctions. Développement de D. et. étroitement lié au développement du calcul intégral. Leur contenu est également indissociable. Ensemble, ils constituent la base... ... Encyclopédie mathématique

Ce terme a d'autres significations, voir fonction. La requête « Affichage » est redirigée ici ; voir aussi d'autres significations... Wikipédia

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La vie d’une plante, comme celle de tout autre organisme vivant, est un ensemble complexe de processus interdépendants ; Comme on le sait, le plus important d’entre eux est l’échange de substances avec l’environnement. L'environnement est la source à partir de laquelle... ... Encyclopédie biologique

Extréma de la fonction

Définition 2

Un point $x_0$ est appelé point maximum d'une fonction $f(x)$ s'il existe un voisinage de ce point tel que pour tout $x$ dans ce voisinage l'inégalité $f(x)\le f(x_0) $ tient.

Définition 3

Un point $x_0$ est appelé point maximum d'une fonction $f(x)$ s'il existe un voisinage de ce point tel que pour tout $x$ dans ce voisinage l'inégalité $f(x)\ge f(x_0) $ tient.

La notion d'extremum d'une fonction est étroitement liée à la notion de point critique d'une fonction. Présentons sa définition.

Définition 4

$x_0$ est appelé point critique de la fonction $f(x)$ si :

1) $x_0$ - point interne du domaine de définition ;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ ou n'existe pas.

Pour la notion d'extremum, on peut formuler des théorèmes sur les conditions suffisantes et nécessaires à son existence.

Théorème 2

Condition suffisante pour un extremum

Soit le point $x_0$ être critique pour la fonction $y=f(x)$ et se situer dans l'intervalle $(a,b)$. Soit sur chaque intervalle $\left(a,x_0\right)\ et\ (x_0,b)$ la dérivée $f"(x)$ existe et maintient un signe constant. Alors :

1) Si sur l'intervalle $(a,x_0)$ la dérivée est $f"\left(x\right)>0$, et sur l'intervalle $(x_0,b)$ la dérivée est $f"\left( x\droite)

2) Si sur l'intervalle $(a,x_0)$ la dérivée $f"\left(x\right)0$, alors le point $x_0$ est le point minimum pour cette fonction.

3) Si à la fois sur l'intervalle $(a,x_0)$ et sur l'intervalle $(x_0,b)$ la dérivée $f"\left(x\right) >0$ ou la dérivée $f"\left(x \droite)

Ce théorème est illustré sur la figure 1.

Figure 1. Condition suffisante pour l’existence d’extrema

Exemples d'extrêmes (Fig. 2).

Figure 2. Exemples de points extrêmes

Règle d'étude d'une fonction pour extremum

2) Trouvez la dérivée $f"(x)$ ;

7) Tirer des conclusions sur la présence de maxima et de minima sur chaque intervalle, en utilisant le théorème 2.

Fonction croissante et décroissante

Introduisons d’abord les définitions des fonctions croissantes et décroissantes.

Définition 5

Une fonction $y=f(x)$ définie sur l'intervalle $X$ est dite croissante si pour tout point $x_1,x_2\in X$ à $x_1

Définition 6

Une fonction $y=f(x)$ définie sur l'intervalle $X$ est dite décroissante si pour n'importe quel point $x_1,x_2\in X$ pour $x_1f(x_2)$.

Étudier une fonction croissante et décroissante

Vous pouvez étudier les fonctions croissantes et décroissantes en utilisant la dérivée.

Afin d'examiner une fonction pour des intervalles d'augmentation et de diminution, vous devez procéder comme suit :

1) Trouver le domaine de définition de la fonction $f(x)$ ;

2) Trouvez la dérivée $f"(x)$ ;

3) Trouvez les points auxquels l'égalité $f"\left(x\right)=0$ est vraie ;

4) Trouvez les points auxquels $f"(x)$ n'existe pas ;

5) Marquer sur la droite de coordonnées tous les points trouvés et le domaine de définition de cette fonction ;

6) Déterminer le signe de la dérivée $f"(x)$ sur chaque intervalle résultant ;

7) Tirez une conclusion : sur les intervalles où $f"\left(x\right)0$ la fonction augmente.

Exemples de problèmes pour l'étude des fonctions d'augmentation, de diminution et de présence de points extrema

Exemple 1

Examinez la fonction d'augmentation et de diminution, ainsi que la présence de points maximum et minimum : $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Puisque les 6 premiers points sont les mêmes, réalisons-les d’abord.

1) Domaine de définition - tous les nombres réels ;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$ ;

3) $f"\gauche(x\droite)=0$ ;

\ \ \

4) $f"(x)$ existe en tous points du domaine de définition ;

5) Ligne de coordonnées :

Figure 3.

6) Déterminer le signe de la dérivée $f"(x)$ sur chaque intervalle :

\ \}

Les points extremum sont-ils inclus dans les intervalles d'augmentation ? Fonction croissante et décroissante sur un intervalle, extrema

Lire aussi

Augmentation, diminution et extrema d'une fonction

Monotonie de la fonction. Points extremum et extremum d'une fonction

Comment trouver des intervalles croissants, décroissants,points extremum et extremum de la fonction ?

Pourquoi explorer une fonction à l’aide de sa dérivée ?

une condition nécessaire pour un extremum :

Voyez ce que sont les « fonctions croissantes et décroissantes » dans d’autres dictionnaires :

Règle d'étude d'une fonction pour extremum

Fonction croissante et décroissante

Étudier une fonction croissante et décroissante

Exemples de problèmes pour l'étude des fonctions d'augmentation, de diminution et de présence de points extrema

Comment trouver des intervalles croissants, décroissants,
points extremum et extremum de la fonction ?