L'aire d'un parallélogramme est le produit de ses diagonales. Parallélogramme dans les problèmes

L'aire d'un parallélogramme est le produit de ses diagonales. Parallélogramme dans les problèmes
L'aire d'un parallélogramme est le produit de ses diagonales. Parallélogramme dans les problèmes
22.09.2019

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Un parallélogramme est une figure quadrangulaire dont les côtés opposés sont parallèles et égaux deux à deux. Il est également égal à angles opposés, et le point d'intersection des diagonales du parallélogramme les divise en deux, étant en même temps le centre de symétrie de la figure. Les cas particuliers d'un parallélogramme sont : figures géométriques comme le carré, le rectangle et le losange. L'aire d'un parallélogramme peut être trouvée différentes façons, en fonction des données initiales qui accompagnent l'énoncé du problème.


La caractéristique clé d’un parallélogramme, très souvent utilisée pour déterminer son aire, est sa hauteur. La hauteur d'un parallélogramme est généralement appelée perpendiculaire tirée d'un point arbitraire du côté opposé à un segment droit formant ce côté.
  1. Dans le cas le plus simple, l'aire d'un parallélogramme est définie comme le produit de sa base et de sa hauteur.

    S = CC ∙ h


    où S est l'aire du parallélogramme ;
    une - base;
    h est la hauteur tirée jusqu'à la base donnée.

    Cette formule est très facile à comprendre et à retenir si vous regardez la figure suivante.

    Comme vous pouvez le voir sur cette image, si nous coupons un triangle imaginaire à gauche du parallélogramme et l’attachons à droite, le résultat sera un rectangle. Comme vous le savez, l'aire d'un rectangle se trouve en multipliant sa longueur par sa hauteur. Ce n'est que dans le cas d'un parallélogramme que la longueur sera la base, et la hauteur du rectangle sera la hauteur du parallélogramme abaissé d'un côté donné.

  2. L'aire d'un parallélogramme peut également être trouvée en multipliant les longueurs de deux bases adjacentes et le sinus de l'angle qui les sépare :

    S = AD∙AB∙sinα


    où AD, AB sont des bases adjacentes formant entre elles un point d'intersection et un angle a ;
    α est l'angle entre les bases AD et AB.

  3. Vous pouvez également trouver l'aire d'un parallélogramme en divisant par deux le produit des longueurs des diagonales du parallélogramme par le sinus de l'angle qui les sépare.

    S = ½∙AC∙BD∙sinβ


    où AC, BD sont les diagonales du parallélogramme ;
    β est l'angle entre les diagonales.

  4. Il existe également une formule pour trouver l'aire d'un parallélogramme passant par le rayon du cercle qui y est inscrit. Il est écrit ainsi :

Lors de la résolution de problèmes sur ce sujet, sauf propriétés de base parallélogramme et les formules correspondantes, vous pouvez retenir et appliquer les éléments suivants :

  1. La bissectrice d'un angle intérieur d'un parallélogramme en coupe un triangle isocèle
  2. Les bissectrices des angles intérieurs adjacents à l'un des côtés d'un parallélogramme sont perpendiculaires entre elles
  3. Les bissectrices provenant des coins intérieurs opposés d'un parallélogramme sont parallèles entre elles ou se trouvent sur la même ligne droite
  4. La somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses côtés
  5. L'aire d'un parallélogramme est égale à la moitié du produit des diagonales et du sinus de l'angle qui les sépare

Considérons des problèmes dans lesquels ces propriétés sont utilisées.

Tache 1.

La bissectrice de l'angle C du parallélogramme ABCD coupe le côté AD au point M et le prolongement du côté AB au-delà du point A au point E. Trouvez le périmètre du parallélogramme si AE = 4, DM = 3.

Solution.

1. Le triangle CMD est isocèle. (Propriété 1). Donc CD = MD = 3 cm.

2. Le triangle EAM est isocèle.
Donc AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Périmètre ABCD = 20 cm.

Répondre. 20 cm.

Tâche 2.

Les diagonales sont tracées dans un quadrilatère convexe ABCD. On sait que les aires des triangles ABD, ACD, BCD sont égales. Montrer que ce quadrilatère est un parallélogramme.

Solution.

1. Soit BE la hauteur du triangle ABD, CF la hauteur du triangle ACD. Puisque, selon les conditions du problème, les aires des triangles sont égales et qu'ils ont une base commune AD, alors les hauteurs de ces triangles sont égales. ÊTRE = CF.

2. BE, CF sont perpendiculaires à AD. Les points B et C sont situés du même côté par rapport à la droite AD. ÊTRE = CF. Par conséquent, la droite BC || ANNONCE. (*)

3. Soit AL la hauteur du triangle ACD, BK la hauteur du triangle BCD. Puisque, selon les conditions du problème, les aires des triangles sont égales et qu'ils ont une base commune CD, alors les hauteurs de ces triangles sont égales. AL = BK.

4. AL et BK sont perpendiculaires à CD. Les points B et A sont situés du même côté par rapport à la droite CD. AL = BK. Donc la droite AB || CD (**)

5. Des conditions (*), (**) il s'ensuit que ABCD est un parallélogramme.

Répondre. Éprouvé. ABCD est un parallélogramme.

Tâche 3.

Sur les côtés BC et CD du parallélogramme ABCD, les points M et H sont marqués respectivement de telle sorte que les segments BM et HD se coupent au point O ;<ВМD = 95 о,

Solution.

1. Dans le triangle DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. Dans un triangle rectangle DHC
(

Alors<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Puisque dans un triangle rectangle, la jambe opposée à l'angle de 30° est égale à la moitié de l'hypoténuse).

Mais CD = AB. Alors AB : HD = 2 : 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Réponse : AB : HD = 2 : 1,<А = <С = 30 о, <В =

Tâche 4.

L'une des diagonales d'un parallélogramme de longueur 4√6 fait un angle de 60° avec la base, et la deuxième diagonale fait un angle de 45° avec la même base. Trouvez la deuxième diagonale.

Solution.

1. AO = 2√6.

2. Nous appliquons le théorème des sinus au triangle AOD.

AO/péché D = OD/péché A.

2√6/péché 45 o = OD/péché 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Réponse : 12.

Tâche 5.

Pour un parallélogramme de côtés 5√2 et 7√2, le plus petit angle entre les diagonales est égal au plus petit angle du parallélogramme. Trouvez la somme des longueurs des diagonales.

Solution.

Soit d 1, d 2 les diagonales du parallélogramme, et l'angle entre les diagonales et le plus petit angle du parallélogramme est égal à φ.

1. Comptons deux différents
façons sa zone.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

On obtient l'égalité 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ou

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. En utilisant la relation entre les côtés et les diagonales du parallélogramme, on écrit l'égalité

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Créons un système :

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Multiplions la deuxième équation du système par 2 et ajoutons-la à la première.

On obtient (d 1 + d 2) 2 = 576. D'où Id 1 + d 2 I = 24.

Puisque d 1, d 2 sont les longueurs des diagonales du parallélogramme, alors d 1 + d 2 = 24.

Réponse : 24.

Tâche 6.

Les côtés du parallélogramme sont 4 et 6. L'angle aigu entre les diagonales est de 45 degrés. Trouvez l'aire du parallélogramme.

Solution.

1. À partir du triangle AOB, en utilisant le théorème du cosinus, on écrit la relation entre le côté du parallélogramme et les diagonales.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o ;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

ré 1 2 + ré 2 2 – ré 1 · ré 2 √2 = 64.

2. De même, nous écrivons la relation pour le triangle AOD.

Prenons en compte cela<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Nous obtenons l'équation d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Nous avons un système
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

En soustrayant la première de la deuxième équation, nous obtenons 2d 1 · d 2 √2 = 80 ou

ré 1 ré 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Note: Dans ce problème et dans le précédent, il n’est pas nécessaire de résoudre complètement le système, sachant que dans ce problème, nous avons besoin du produit des diagonales pour calculer l’aire.

Réponse : 10.

Tâche 7.

L'aire du parallélogramme est de 96 et ses côtés sont de 8 et 15. Trouvez le carré de la plus petite diagonale.

Solution.

1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Faisons une substitution dans la formule.

Nous obtenons 96 = 8 · 15 · sin ВAD. D'où sin ВAD = 4/5.

2. Trouvons cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

Selon les conditions du problème, on trouve la longueur de la plus petite diagonale. La diagonale ВD sera plus petite si l'angle ВАD est aigu. Alors cos VAD = 3/5.

3. A partir du triangle ABD, en utilisant le théorème du cosinus, on trouve le carré de la diagonale BD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Réponse : 145.

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Aire d'un parallélogramme. Dans de nombreux problèmes de géométrie liés au calcul des aires, y compris les tâches de l'examen d'État unifié, des formules pour l'aire d'un parallélogramme et d'un triangle sont utilisées. Il y en a plusieurs, nous allons les examiner ici.

Il serait trop simple de lister ces formules ; il y en a déjà assez dans les ouvrages de référence et sur divers sites Internet. Je voudrais en transmettre l'essence - afin que vous ne les bourriez pas, mais que vous les compreniez et que vous puissiez facilement vous en souvenir à tout moment. Après avoir étudié le contenu de l'article, vous comprendrez qu'il n'est pas du tout nécessaire d'apprendre ces formules. Objectivement parlant, ils surviennent si souvent dans les décisions qu'ils restent longtemps en mémoire.

1. Regardons donc un parallélogramme. La définition se lit comme suit :


Pourquoi donc? C'est simple! Pour montrer clairement quelle est la signification de la formule, effectuons quelques constructions supplémentaires, à savoir construire les hauteurs :

L'aire du triangle (2) est égale à l'aire du triangle (1) - le deuxième signe d'égalité des triangles rectangles « le long de la jambe et de l'hypoténuse ». Maintenant, "coupons" mentalement le deuxième et déplaçons-le en le superposant au premier - nous obtenons un rectangle dont l'aire sera égale à l'aire du parallélogramme d'origine :


On sait que l'aire d'un rectangle est égale au produit de ses côtés adjacents. Comme le montre le croquis, un côté du rectangle obtenu est égal au côté du parallélogramme et l'autre est égal à la hauteur du parallélogramme. On obtient donc la formule de l'aire d'un parallélogramme S = a∙h un

2. Continuons, une autre formule pour son aire. Nous avons:

Aire d'une formule de parallélogramme

Notons les côtés a et b, l'angle entre eux est γ "gamma", la hauteur est h a. Considérons un triangle rectangle :