Când derivata unei funcții este pozitivă pe grafic. În ce moment este valoarea derivatei cea mai mare?

În problema B9, este dat un grafic al unei funcții sau derivate, din care se cere să se determine una dintre următoarele mărimi:

1. Valoarea derivatei la un punct x 0,
2. Puncte ridicate sau scăzute (puncte extreme),
3. Intervale de funcții crescătoare și descrescătoare (intervale de monotonitate).

Funcțiile și derivatele prezentate în această problemă sunt întotdeauna continue, ceea ce simplifică foarte mult soluția. În ciuda faptului că sarcina aparține secțiunii analiză matematică, este destul de în puterea chiar și a celor mai slabi studenți, deoarece aici nu sunt necesare cunoștințe teoretice profunde.

Pentru a găsi valoarea derivatei, punctelor extreme și a intervalelor de monotonitate, există algoritmi simpli și universali - toți vor fi discutați mai jos.

Citiți cu atenție starea problemei B9 pentru a nu face greșeli stupide: uneori apar texte destul de voluminoase, dar conditii importante, care afectează cursul soluției, sunt puține.

Calculul valorii derivatului. Metoda în două puncte

Dacă problemei i se oferă un grafic al funcției f(x), tangent la acest grafic la un punct x 0 , și este necesar să se găsească valoarea derivatei în acest punct, se aplică următorul algoritm:

1. Găsiți două puncte „adecvate” pe graficul tangentei: coordonatele lor trebuie să fie întregi. Să notăm aceste puncte ca A (x 1 ; y 1) și B (x 2 ; y 2). Notați corect coordonatele - acesta este punctul cheie al soluției, iar orice greșeală aici duce la răspunsul greșit.
2. Cunoscând coordonatele, este ușor de calculat incrementul argumentului Δx = x 2 − x 1 și incrementul funcției Δy = y 2 − y 1 .
3. În final, găsim valoarea derivatei D = Δy/Δx. Cu alte cuvinte, trebuie să împărțiți incrementul funcției la incrementul argumentului - și acesta va fi răspunsul.

Încă o dată, observăm: punctele A și B trebuie căutate tocmai pe tangentă, și nu pe graficul funcției f(x), așa cum se întâmplă adesea. Tangenta va conține în mod necesar cel puțin două astfel de puncte, altfel problema este formulată incorect.

Luați în considerare punctele A (−3; 2) și B (−1; 6) și găsiți incrementele:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Să aflăm valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Sarcină. Figura prezintă graficul funcției y \u003d f (x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 3) și B (3; 0), găsiți incremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Acum găsim valoarea derivatei: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Sarcină. Figura prezintă graficul funcției y \u003d f (x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 2) și B (5; 2) și găsiți incremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Rămâne de găsit valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Din ultimul exemplu, putem formula regula: dacă tangenta este paralelă cu axa OX, derivata funcției în punctul de contact este egală cu zero. În acest caz, nici măcar nu trebuie să calculați nimic - doar uitați-vă la grafic.

Calcularea punctelor mari și scăzute

Uneori, în locul unui grafic al unei funcții din problema B9, este dat un grafic derivat și este necesar să se găsească punctul maxim sau minim al funcției. În acest scenariu, metoda în două puncte este inutilă, dar există un alt algoritm și mai simplu. Mai întâi, să definim terminologia:

1. Punctul x 0 se numește punctul maxim al funcției f(x) dacă în vreo vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punctul x 0 se numește punctul minim al funcției f(x) dacă în vreo vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≤ f(x).

Pentru a găsi punctele maxime și minime pe graficul derivatei, este suficient să efectuați următorii pași:

1. Redesenați graficul derivatei, eliminând toate informațiile inutile. După cum arată practica, datele suplimentare interferează doar cu soluția. Prin urmare, marchem zerourile derivatei pe axa de coordonate - și atât.
2. Aflați semnele derivatei pe intervalele dintre zerouri. Dacă pentru un punct x 0 se știe că f'(x 0) ≠ 0, atunci sunt posibile doar două opțiuni: f'(x 0) ≥ 0 sau f'(x 0) ≤ 0. Semnul derivatei este ușor de determinat din desenul original: dacă graficul derivat se află deasupra axei OX, atunci f'(x) ≥ 0. În schimb, dacă graficul derivat se află sub axa OX, atunci f'(x) ≤ 0.
3. Verificăm din nou zerourile și semnele derivatei. Acolo unde semnul se schimbă de la minus la plus, există un punct minim. În schimb, dacă semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, acesta este punctul maxim. Numărarea se face întotdeauna de la stânga la dreapta.

Această schemă funcționează numai pentru funcții continue - nu există altele în problema B9.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−5; 5]. Aflați punctul minim al funcției f(x) pe acest segment.

Să scăpăm de informațiile inutile - vom lăsa doar granițele [−5; 5] și zerourile derivatei x = −3 și x = 2,5. De asemenea, rețineți semnele:

Evident, în punctul x = −3, semnul derivatei se schimbă din minus în plus. Acesta este punctul minim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7]. Aflați punctul maxim al funcției f(x) pe acest segment.

Să redesenăm graficul, lăsând doar limitele [−3; 7] și zerourile derivatei x = −1,7 și x = 5. Observați semnele derivatei pe graficul rezultat. Avem:

Evident, în punctul x = 5, semnul derivatei se schimbă de la plus la minus - acesta este punctul maxim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe segmentul [−6; 4]. Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) care aparțin intervalului [−4; 3].

Din condițiile problemei rezultă că este suficient să se considere doar partea din grafic mărginită de segmentul [−4; 3]. Prin urmare, construim un nou graf, pe care marchem doar limitele [−4; 3] și zerourile derivatei din interiorul acesteia. Și anume, punctele x = −3,5 și x = 2. Se obține:

Pe acest grafic, există un singur punct maxim x = 2. În el, semnul derivatei se schimbă de la plus la minus.

O mică notă despre punctele cu coordonate care nu sunt întregi. De exemplu, în ultima problemă s-a luat în considerare punctul x = −3,5, dar cu același succes putem lua x = −3,4. Dacă problema este formulată corect, astfel de modificări nu ar trebui să afecteze răspunsul, deoarece punctele „fără un loc fix de reședință” nu sunt direct implicate în rezolvarea problemei. Desigur, cu puncte întregi un astfel de truc nu va funcționa.

Găsirea intervalelor de creștere și scădere a unei funcții

Într-o astfel de problemă, precum punctele de maxim și minim, se propune să se găsească zone în care funcția în sine crește sau scade din graficul derivatei. În primul rând, să definim ce sunt crescător și descendent:

1. O funcție f(x) se numește crescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment afirmația este adevărată: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Cu alte cuvinte, cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât valoarea funcției este mai mare.
2. O funcție f(x) se numește descrescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment afirmația este adevărată: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Acestea. valoare mai mare argumentul corespunde valorii mai mici a funcției.

Formulăm condiții suficiente pentru creșterea și scăderea:

1. Pentru a functie continua f(x) crește pe segment , este suficient ca derivata sa în interiorul segmentului să fie pozitivă, adică. f'(x) ≥ 0.
2. Pentru ca o funcție continuă f(x) să scadă pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie negativă, i.e. f'(x) ≤ 0.

Acceptăm aceste afirmații fără dovezi. Astfel, obținem o schemă pentru găsirea intervalelor de creștere și scădere, care este în multe privințe similară cu algoritmul de calcul al punctelor extreme:

1. Eliminați toate informațiile redundante. Pe graficul original al derivatei, ne interesează în primul rând zerourile funcției, așa că le lăsăm doar pe acestea.
2. Marcați semnele derivatei la intervalele dintre zerouri. În cazul în care f'(x) ≥ 0, funcția crește, iar unde f'(x) ≤ 0, aceasta scade. Dacă problema are restricții asupra variabilei x, le marchem suplimentar pe noua diagramă.
3. Acum că știm comportamentul funcției și al constrângerii, rămâne de calculat valoarea necesară în problemă.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe segmentul [−3; 7,5]. Aflați intervalele funcției descrescătoare f(x). În răspunsul dvs., scrieți suma numerelor întregi incluse în aceste intervale.

Ca de obicei, redesenăm graficul și marchem limitele [−3; 7.5], precum și zerourile derivatei x = −1.5 și x = 5.3. Apoi marchem semnele derivatei. Avem:

Deoarece derivata este negativă pe intervalul (− 1,5), acesta este intervalul funcției descrescătoare. Rămâne să însumăm toate numerele întregi care se află în acest interval:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe segmentul [−10; 4]. Aflați intervalele funcției crescătoare f(x). În răspunsul tău, scrie lungimea celui mai mare dintre ele.

Să scăpăm de informațiile redundante. Lăsăm doar limitele [−10; 4] și zerourile derivatei, care de data aceasta s-au dovedit a fi patru: x = −8, x = −6, x = −3 și x = 2. Observați semnele derivatei și obțineți următoarea imagine:

Suntem interesați de intervalele funcției crescătoare, i.e. unde f'(x) ≥ 0. Există două astfel de intervale pe grafic: (−8; −6) și (−3; 2). Să le calculăm lungimile:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Deoarece este necesar să găsim lungimea celui mai mare dintre intervale, scriem valoarea l 2 = 5 ca răspuns.

Investigarea unei funcții cu ajutorul unei derivate. În acest articol, vom analiza câteva dintre sarcinile asociate cu studiul graficului unei funcții. În astfel de sarcini, se oferă un grafic al funcției y = f (x) și se ridică întrebări legate de determinarea numărului de puncte la care derivata funcției este pozitivă (sau negativă), precum și altele. Ele sunt clasificate ca sarcini pentru aplicarea derivatei la studiul funcțiilor.

Rezolvarea unor astfel de probleme, și în general a problemelor legate de studiu, este posibilă numai cu o înțelegere completă a proprietăților derivatei pentru studiul graficelor funcțiilor și derivatei. Prin urmare, vă recomand cu tărie să studiați teoria relevantă. Puteți studia și, de asemenea, să priviți (dar conține un rezumat).

Vom lua în considerare și sarcini în care graficul derivatului este dat în articolele viitoare, nu-l ratați! Deci sarcinile sunt:

Figura prezintă un grafic al funcției y \u003d f (x), definită pe intervalul (−6; 8). Defini:

1. Numărul de puncte întregi la care derivata funcției este negativă;

2. Numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta y = 2;

1. Derivata functiei este negativa pe intervalele pe care functia scade, adica pe intervalele (−6; -3), (0; 4.2), (6.9; 8). Ele conțin puncte întregi -5, -4, 1, 2, 3, 4 și 7. Avem 7 puncte.

2. Direct y= 2 axe paraleleOhy= 2 numai la punctele extreme (în punctele în care graficul își schimbă comportamentul de la creștere la descreștere sau invers). Există patru astfel de puncte: –3; 0; 4,2; 6.9

Decide pentru tine:

Determinați numărul de puncte întregi în care derivata funcției este pozitivă.

Figura prezintă un grafic al funcției y \u003d f (x), definită pe intervalul (−5; 5). Defini:

2. Numărul de puncte întregi la care tangenta la graficul funcției este paralelă cu linia dreaptă y \u003d 3;

3. Numărul de puncte în care derivata este zero;

1. Din proprietățile derivatei unei funcții, se știe că aceasta este pozitivă pe intervalele la care funcția crește, adică pe intervalele (1.4; 2.5) și (4.4; 5). Acestea conțin un singur punct întreg x = 2.

2. Direct y= 3 axe paraleleOh. Tangenta va fi paralelă cu dreaptay= 3 numai la punctele extreme (în punctele în care graficul își schimbă comportamentul de la creștere la descreștere sau invers).

Există patru astfel de puncte: –4,3; 1,4; 2,5; 4.4

3. Derivata este egala cu zero in patru puncte (la punctele extreme), le-am indicat deja.

Decide pentru tine:

Determinați numărul de puncte întregi în care derivata funcției f(x) este negativă.

Figura prezintă un grafic al funcției y \u003d f (x), definită pe intervalul (−2; 12). Găsi:

1. Numărul de puncte întregi la care derivata funcției este pozitivă;

2. Numărul de puncte întregi la care derivata funcției este negativă;

3. Numărul de puncte întregi la care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta y \u003d 2;

4. Numărul de puncte în care derivata este egală cu zero.

1. Din proprietățile derivatei unei funcții, se știe că aceasta este pozitivă pe intervalele la care funcția crește, adică pe intervalele (–2; 1), (2; 4), (7; 9). ) și (10; 11). Acestea conțin puncte întregi: -1, 0, 3, 8. Sunt patru în total.

2. Derivata functiei este negativa pe intervalele pe care functia scade, adica pe intervalele (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Ele conțin puncte întregi 5 și 6. Am primit 2 puncte.

3. Direct y= 2 axe paraleleOh. Tangenta va fi paralelă cu dreaptay= 2 numai la punctele extreme (în punctele în care graficul își schimbă comportamentul de la creștere la descreștere sau invers). Există șapte astfel de puncte: 1; 2; 4; 7; 9; 10; unsprezece.

4. Derivata este egala cu zero in sapte puncte (la punctele extreme), le-am indicat deja.

Arătând relația semnului derivatei cu natura monotonității funcției.

Vă rugăm să fiți extrem de atenți în cele ce urmează. Uite, programul CE ți se dă! Funcția sau derivata ei

Dat un grafic al derivatei, atunci ne interesează doar semnele și zerourile funcției. Nu ne interesează, în principiu, nicio „denivelare” și nici un „gold”!

Sarcina 1.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe un interval. Determinați numărul de puncte întregi în care derivata funcției este negativă.

Soluţie:

În figură, zonele cu funcție descrescătoare sunt evidențiate în culoare:

4 valori întregi se încadrează în aceste zone de funcție descrescătoare.

Sarcina 2.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe un interval. Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta.

Soluţie:

Deoarece tangenta la graficul funcției este paralelă (sau coincide) cu o dreaptă (sau, care este aceeași, ) având pantă, egal cu zero, atunci tangenta are o pantă .

Aceasta înseamnă, la rândul său, că tangenta este paralelă cu axa, deoarece panta este tangenta unghiului de înclinare a tangentei la axă.

Prin urmare, găsim puncte extreme pe grafic (puncte maxime și minime), - în ele funcțiile tangente la grafic vor fi paralele cu axa.

Există 4 astfel de puncte.

Sarcina 3.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe intervalul . Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta.

Soluţie:

Deoarece tangenta la graficul funcției este paralelă (sau coincide) cu o dreaptă, care are o pantă, atunci tangenta are o pantă.

Aceasta înseamnă, la rândul său, că la punctele de contact.

Prin urmare, ne uităm la câte puncte de pe grafic au o ordonată egală cu .

După cum puteți vedea, există patru astfel de puncte.

Sarcina 4.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe un interval. Aflați numărul de puncte în care derivata funcției este 0.

Soluţie:

Derivata este zero la punctele extreme. Avem 4 dintre ele:

Sarcina 5.

Figura prezintă un grafic al funcției și unsprezece puncte pe axa x:. În câte dintre aceste puncte derivata funcției este negativă?

Soluţie:

La intervale de funcție descrescătoare, derivata sa ia valori negative. Și funcția scade la puncte. Există 4 astfel de puncte.

Sarcina 6.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe un interval. Aflați suma punctelor extreme ale funcției.

Soluţie:

puncte extremum sunt punctele maxime (-3, -1, 1) și punctele minime (-2, 0, 3).

Suma punctelor extreme: -3-1+1-2+0+3=-2.

Sarcina 7.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe intervalul . Aflați intervalele funcției crescătoare. În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Soluţie:

Figura evidențiază intervalele la care derivata funcției este nenegativă.

Nu există puncte întregi pe intervalul mic de creștere, pe intervalul de creștere există patru valori întregi: , , și .

Suma lor:

Sarcina 8.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe intervalul . Aflați intervalele funcției crescătoare. În răspunsul tău, scrie lungimea celui mai mare dintre ele.

Soluţie:

În figură sunt evidențiate toate intervalele la care derivata este pozitivă, ceea ce înseamnă că funcția în sine crește pe aceste intervale.

Lungimea celui mai mare dintre ele este de 6.

Sarcina 9.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe intervalul . În ce punct de pe segment face cea mai mare valoare.

Soluţie:

Ne uităm la modul în care se comportă graficul pe segment, și anume, ne interesează numai semn derivat .

Semnul derivatei pe este minus, deoarece graficul acestui segment este sub axă.

Derivată întâi Dacă derivata unei funcții este pozitivă (negativă) într-un anumit interval, atunci funcția din acest interval este monoton crescător (monoton descrescător). Dacă funcția derivată este pozitivă (negativă) într-un anumit interval, atunci funcția din acest interval este monoton crescător (monoton descrescător). Mai departe

Definiție O curbă se numește convexă într-un punct dacă într-o vecinătate a acestui punct este situată sub tangenta sa într-un punct. , este situat deasupra tangentei sale într-un punct Se spune că o curbă este concavă într-un punct, dacă într-o vecinătate a acestui punct este situată deasupra tangentei sale într-un punct Următorul

Semnul concavității și al convexității Dacă derivata a doua a unei funcții într-un interval dat este pozitivă, atunci curba este concavă în acest interval, iar dacă este negativă, este convexă în acest interval. Dacă derivata a doua a unei funcții într-un interval dat este pozitivă, atunci curba este concavă în acest interval, iar dacă este negativă, este convexă în acest interval. Definiție

Planificați studierea funcției și construirea graficului acesteia 1. Aflați domeniul funcției și determinați punctele de întrerupere, dacă există 1. Aflați domeniul funcției și determinați punctele de întrerupere, dacă există 2. Aflați dacă funcția este pare sau impar; verificați periodicitatea acesteia 2. Aflați dacă funcția este pară sau impară; verificați periodicitatea acestuia 3. Determinați punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate 3. Determinați punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate 4. Aflați punctele critice de primul fel 4. Aflați punctele critice ale primului fel fel 5. Determinați intervalele de monotonitate și extreme ale funcției 5. Determinați intervale de monotonitate și extreme ale funcției 6. Determinați intervalele de convexitate și concavitate și găsiți punctele de inflexiune 6. Determinați intervalele de convexitate și concavitate și găsiți punctele de inflexiune 7 Folosind rezultatele studiului, conectați punctele obținute ale unei curbe netede 7. Folosind rezultatele studiului, conectați punctele obținute ale unei curbe netede Ieșire

(fig.1)

Figura 1. Graficul derivatei

Proprietăți de parcelă derivată

1. La intervale crescătoare, derivata este pozitivă. Dacă derivata la un anumit punct dintr-un interval are valoare pozitivă, atunci graficul funcției pe acest interval crește.
2. La intervale descrescătoare, derivata este negativă (cu semnul minus). Dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare negativă, atunci graficul funcției pe acest interval scade.
3. Derivata in punctul x este coeficient unghiular tangenta trasata la graficul functiei in acelasi punct.
4. În punctele maxim-minim ale funcției, derivata este egală cu zero. Tangenta la graficul funcției în acest punct este paralelă cu axa OX.

Exemplul 1

Conform graficului (Fig. 2) al derivatei, determinați în ce punct al segmentului [-3; 5] funcția este maximă.

Figura 2. Graficul derivatei

Soluție: Pe acest segment, derivata este negativă, ceea ce înseamnă că funcția scade de la stânga la dreapta, iar cea mai mare valoare este în partea stângă în punctul -3.

Exemplul 2

Conform graficului (Fig. 3) al derivatei, determinați numărul de puncte maxime de pe segmentul [-11; 3].

Figura 3. Graficul derivatei

Rezolvare: Punctele maxime corespund punctelor în care semnul derivatei se schimbă de la pozitiv la negativ. În acest interval, funcția își schimbă semnul de două ori de la plus la minus - la punctul -10 și la punctul -1. Deci numărul maxim de puncte este de două.

Exemplul 3

Conform graficului (Fig. 3) al derivatei, determinați numărul de puncte minime din segmentul [-11; -1].

Rezolvare: Punctele minime corespund punctelor în care semnul derivatei se schimbă din negativ în pozitiv. Pe acest segment, doar -7 este un astfel de punct. Aceasta înseamnă că numărul minim de puncte pe un anumit segment este unul.

Exemplul 4

Conform graficului (Fig. 3) al derivatei, determinați numărul de puncte extreme.

Soluție: Extremul este punctul atât al minimului, cât și al maximului. Aflați numărul de puncte la care derivata își schimbă semnul.