Formulaire d'événements groupe complet, si au moins l'un d'entre eux se produira certainement à la suite de l'expérience et est incompatible par paire.

Supposons que l'événement UN ne peut se produire qu'avec l'un des nombreux événements incompatibles par paires qui forment un groupe complet. Nous appellerons les événements ( je= 1, 2,…, n) hypothèses expérience supplémentaire (a priori). La probabilité d'occurrence de l'événement A est déterminée par la formule pleine probabilité :

Exemple 16. Il y a trois urnes. La première urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires, la seconde contient 4 boules blanches et 4 boules noires et la troisième contient 8 boules blanches. L'une des urnes est tirée au sort (cela pourrait par exemple signifier que le choix se fait parmi une urne auxiliaire contenant trois boules numérotées 1, 2 et 3). Une boule est tirée au hasard de cette urne. Quelle est la probabilité qu'il soit noir ?

Solution.Événement UN– la boule noire est retirée. Si l’on savait de quelle urne la balle a été tirée, alors la probabilité souhaitée pourrait être calculée en utilisant la définition classique de la probabilité. Introduisons des hypothèses (hypothèses) concernant l'urne choisie pour récupérer la balle.

La boule peut être tirée soit de la première urne (conjecture), soit de la deuxième (conjecture), soit de la troisième (conjecture). Puisqu'il y a des chances égales de choisir l'une des urnes, alors .

Il s'ensuit que

Exemple 17. Les lampes électriques sont fabriquées dans trois usines. La première usine produit 30 % du nombre total de lampes électriques, la seconde - 25 %,
et le troisième - le reste. Les produits de la première usine contiennent 1% de lampes électriques défectueuses, la seconde - 1,5%, la troisième - 2%. Le magasin reçoit des produits des trois usines. Quelle est la probabilité qu’une lampe achetée en magasin se révèle défectueuse ?

Solution. Des hypothèses doivent être faites concernant l’usine dans laquelle l’ampoule a été fabriquée. Sachant cela, nous pouvons trouver la probabilité qu'il soit défectueux. Introduisons la notation des événements : UN– la lampe électrique achetée s'est avérée défectueuse, – la lampe a été fabriquée par la première usine, – la lampe a été fabriquée par la deuxième usine,
– la lampe a été fabriquée par la troisième usine.

On trouve la probabilité souhaitée à l'aide de la formule de probabilité totale :

La formule de Bayes. Soit un groupe complet d'événements (hypothèses) incompatibles par paires. UN– un événement aléatoire. Alors,

La dernière formule qui permet de réestimer les probabilités des hypothèses après que le résultat du test ayant abouti à l'événement A soit connu s'appelle Formule de Bayes .

Exemple 18. En moyenne, 50 % des patients atteints de la maladie sont admis dans un hôpital spécialisé À, 30% – avec maladie L, 20 % –
avec une maladie M. Probabilité de guérison complète de la maladie Kégal à 0,7 pour les maladies L Et M ces probabilités sont respectivement de 0,8 et 0,9. Le patient admis à l’hôpital est sorti en bonne santé. Trouver la probabilité que ce patient souffre de la maladie K.

Solution. Introduisons les hypothèses : – le patient souffrait d'une maladie À L, – le patient souffrait d’une maladie M.

Alors, selon les conditions du problème, on a . Présentons un événement UN– le patient admis à l’hôpital est sorti en bonne santé. Par condition

En utilisant la formule de probabilité totale, nous obtenons :

D'après la formule de Bayes.

Exemple 19. Supposons qu'il y ait cinq boules dans l'urne et toutes les suppositions sur le nombre de boules blanches sont également possibles. Une boule est prise au hasard dans l'urne et elle s'avère être blanche. Quelle hypothèse sur la composition initiale de l’urne est la plus probable ?

Solution. Soit l'hypothèse qu'il y ait des boules blanches dans l'urne , c'est-à-dire que six hypothèses peuvent être faites. Alors, selon les conditions du problème, on a .

Présentons un événement UN– une boule blanche prise au hasard. Calculons. Puisque , alors d’après la formule de Bayes on a :

Ainsi, l’hypothèse la plus probable est que .

Exemple 20. Deux des trois éléments fonctionnant indépendamment du dispositif informatique sont tombés en panne. Trouver la probabilité que les premier et deuxième éléments échouent si les probabilités de défaillance des premier, deuxième et troisième éléments, respectivement, sont de 0,2 ; 0,4 et 0,3.

Solution. Notons par UNévénement – ​​​​deux éléments ont échoué. Les hypothèses suivantes peuvent être émises :

– les premier et deuxième éléments sont défaillants, mais le troisième élément est opérationnel. Puisque les éléments fonctionnent indépendamment, le théorème de multiplication s’applique :

Formule de probabilité totale. Formules bayésiennes. Exemples de résolution de problèmes

Comme on le sait, probabilité de l'événement A appelons le rapport du nombre m de résultats de tests favorables à l'apparition de l'événement A au nombre total n de tous les résultats incompatibles également possibles : P(A)=m/n.

En plus, probabilité conditionnelle de l'événement A (la probabilité de l'événement A, à condition que l'événement B se soit produit) est le nombre P B (A) = P (AB) / P (B), où A et B sont deux événements aléatoires la même épreuve.

Puisque les événements peuvent être représentés comme une somme et un produit, il existe alors règles pour ajouter des probabilités événements et, par conséquent, règles de multiplication de probabilité . Donnons maintenant la notion de probabilité totale.

Supposons que l'événement A ne puisse se produire qu'avec l'un des événements deux à deux incompatibles H1, H2, H3, ..., Hn, appelés hypothèses. Alors ce qui suit est vrai formule de probabilité totale :

Р(А) = Р(Н1)*Р Н1 (А)+ Р(Н2)*Р Н2 (А)+…+ Р(Нn)*Р Нn (А) = ∑Р(Н je) *RN je(UN),

ceux. la probabilité de l'événement A est égale à la somme des produits des probabilités conditionnelles de cet événement pour chacune des hypothèses et de la probabilité des hypothèses elles-mêmes.

Si l'événement A s'est déjà produit, alors les probabilités des hypothèses (probabilités a priori) peuvent être surestimées (probabilités a posteriori) en Formules bayésiennes :

Exemples de résolution de problèmes sur le thème « Formule de probabilité totale. Formules Bayes"

Problème 1 .

L'ensemble reçoit des pièces provenant de trois machines. On sait que la première machine donne 3% de défauts, la seconde - 2% et la troisième - 4%. Trouvez la probabilité qu'une pièce défectueuse entre dans l'assemblage si 100 pièces arrivent de la première machine, 200 de la deuxième et 250 pièces de la troisième.

Solution.

• événement A = (une pièce défectueuse entre dans l'assemblage) ;
• hypothèse H1 = (cette partie provient de la première machine), P(H1) = 100/(100+200+250) =100/550=2/11 ;
• hypothèse H2 = (cette partie provient de la deuxième machine), P(H2) = 200/(100+200+250) = 200/550=4/11 ;
• hypothèse H3 = (cette partie provient de la troisième machine), P(H3) = 250/(100+200+250) = 250/550=5/11.

2. Les probabilités conditionnelles que la pièce soit défectueuse sont P H1 (A) = 3 % = 0,03, P H2 (A) = 2 % = 0,02, P H3 (A) = 4 % = 0,04.

3. En utilisant la formule de probabilité totale, nous trouvons
P(A)= P(H1)*P H1 (A)+ P(H2)*P H2 (A)+P(H3)*P H3 (A) = 0,03*2/11 + 0,02* 4/11 + 0,04*5/11 = 34/1100 ≈ 0,03

Problème 2 .

Il y a deux urnes identiques. Le premier contient 2 boules noires et 3 boules blanches, le second - 2 boules noires et 1 boule blanche. Tout d’abord, une urne est sélectionnée au hasard, puis une boule en est tirée au hasard. Quelle est la probabilité que la boule blanche soit tirée ?

Solution. 1. Considérez les événements et hypothèses suivants :

• A = (une boule blanche est tirée d'une urne arbitraire) ;
• H1 = (la boule appartient à la première urne), P(H1) = 1/2 = 0,5 ;
• H2 = (la boule appartient à la deuxième urne), P(H2) = 1/2 = 0,5 ;

2. La probabilité conditionnelle que la boule blanche appartienne à la première urne R H1 (A) = 3/(2+3) = 3/5, et la probabilité conditionnelle que la boule blanche appartienne à la deuxième urne R H2 (A) = 1/(2+1)=1/3;

3. En utilisant la formule de probabilité totale, nous obtenons P(A) = P(H1)*P H1 (A)+P(H2)*P H2 (A) = 0,5*3/5 + 0,5*1/3 = 3 /10 + 1/6 = 7/15 ≈ 0,47

Problème 3 .

La coulée en ébauches provient de deux ateliers d'approvisionnement : du premier atelier - 70 %, du deuxième atelier - 30 %. La coulée du premier atelier présente 10 % de défauts, la coulée du deuxième - 20 % de défauts. Le flan pris au hasard s'est révélé sans défaut. Quelle est la probabilité de sa production par le premier atelier ?

Solution. 1. Considérez les événements et hypothèses suivants :

• événement A = (blanc sans défaut) ;
• hypothèse H1 = (le flan a été fabriqué par le premier atelier), P(H1) = 70 % = 0,7 ;
• hypothèse H2 = (le flan a été fabriqué par le deuxième atelier), P(H2) = 30% = 0,3.

2. Puisque la coulée du premier atelier présente 10 % de défauts, alors 90 % des ébauches produites par le premier atelier ne présentent aucun défaut, c'est-à-dire R H1 (A) = 0,9.
La coulée du deuxième atelier présente 20% de défauts, alors 80% des ébauches produites par le deuxième atelier ne présentent aucun défaut, c'est-à-dire R H2 (A) = 0,8.

3. En utilisant la formule de Bayes, nous trouvons R A (H1)

0,7*0,9/(0,7*0,9+0,3*0,8)= 0,63/0,87≈0,724.

En pratique, il est souvent nécessaire de déterminer la probabilité qu’un événement d’intérêt se produise avec l’un des événements formant un groupe complet. Le théorème suivant, conséquence des théorèmes d’addition et de multiplication de probabilité, conduit à la dérivation d’une formule importante pour calculer la probabilité de tels événements. Cette formule est appelée formule de probabilité totale.

Laisser H 1 , H 2 , … , H n est nincompatible par paireévénements formant un groupe complet :

1) tous les événements sont incompatibles par paire : Salut ∩ Hj= ; je, j= 1,2, … , n; jej;

2) leur union forme l'espace des résultats élémentaires W :

De tels événements sont parfois appelés hypothèses. Que l'événement se produise UN, qui ne peut se produire que si l'un des événements se produit H je ( je = 1, 2, … , n). Alors le théorème est vrai.

Preuve. En effet, selon la condition de l'événement UN peut se produire si l’un des événements incompatibles se produit H 1 , H 2 … H n, c'est-à-dire survenance d'un événement UN désigne la survenance de l'un des événements H 1 ∙ UN, H 2 ∙ UN, … , H n∙ UN. Les derniers événements sont également incompatibles, car... depuis H je∙ H j = ( je j) il s'ensuit que ( UN ∙ H je) ∙ ( UN ∙ H j) = ( je j). Maintenant, nous notons que Cette égalité est bien illustrée sur la Fig. 1.19. Du théorème d'addition il résulte . Mais selon le théorème de la multiplication, l'égalité est vraie pour tout je, 1 ≤ je ≤ n. Par conséquent, la formule de probabilité totale (1.14) est valide. Le théorème est prouvé. Commentaire. Probabilités d'événements (hypothèses) H 1 , H 2 , … , H n , qui sont inclus dans la formule (1.14) lors de la résolution de problèmes spécifiques, sont soit spécifiés, soit ils doivent être calculés pendant le processus de résolution. Dans ce dernier cas, l'exactitude du calcul R.(H je) ( je = 1, 2, … , n) est vérifié par la relation = 1 et le calcul R.(H i) est effectué à la première étape de la résolution du problème. Lors de la deuxième étape, il est calculé R.(UN). Lors de la résolution de problèmes à l'aide de la formule de probabilité totale, il convient de respecter la technique suivante. Méthodologie d'application de la formule de probabilité totale UN). Introduire un événement en considération (on le note UN), dont la probabilité doit être déterminée en fonction des conditions du problème. b). Introduire des événements (hypothèses) en considération H 1 , H 2 , … , H n , qui forment un groupe complet. V). Écrire ou calculer les probabilités des hypothèses R.(H 1), R.(H 2), … , R.(H n). Vérification de l'exactitude du calcul R.(H i) vérifié par condition Dans des problèmes plus probables R.(H i) sont spécifiés directement dans l'énoncé du problème. Parfois ces probabilités, ainsi que les probabilités p(UN/H 1), p(UN/H 2), …, p(UN/H n) multiplié par 100 (les nombres sont donnés en pourcentage). Dans ce cas, les nombres donnés doivent être divisés par 100. G). Calculer la probabilité requise R.(UN) selon la formule (1.14). Exemple. L'économiste a calculé que la probabilité d'une augmentation du prix des actions de sa société en l'année prochaine sera de 0,75 si l'économie du pays est en hausse et de 0,30 en cas de crise financière. Selon les experts, la probabilité d’une reprise économique est de 0,6. Estimez la probabilité que le prix des actions de la société augmente au cours de la prochaine année. Solution. Au départ, la condition du problème est formalisée en termes de probabilité. Laisser UN– événement « les actions vont monter en prix » (par rapport au problème). Selon les conditions du problème, on distingue des hypothèses : H 1 – « l’économie sera en hausse », H 2 – « l’économie entrera dans une période de crise ». H 1 , H 2 – former un groupe complet, c'est-à-dire H 1 ∙ H 2 = , H 1 + H 2 = . Probabilité p(H 1) = 0,6, donc, p(H 2) = 1 – 0,6 = 0,4. Probabilités conditionnelles p(UN/H 1) = 0,75, p(UN/H 2) = 0,3. En utilisant la formule (1.14), on obtient : p(UN) = p(H 1) ∙ p(UN/H 1) + p(H 2) ∙ p(UN/H 2) = 0,75 ∙ 0,6 + 0,3 ∙ 0,4 = 0,57.

Formule de probabilité totale.

Une conséquence des deux principaux théorèmes - théorèmes l'addition des probabilités et le théorème de multiplication des probabilités est la formule dite de probabilité totale.

Supposons qu'il soit nécessaire de déterminer la probabilité qu'un événement A puisse se produire avec l'un des événements
, formant un groupe complet d’événements incompatibles. Nous appellerons ces événements des hypothèses.

Montrons que dans ce cas

La probabilité de l'événement A est calculée comme la somme des produits de la probabilité de chaque hypothèse et de la probabilité conditionnelle de l'événement lorsque cette hypothèse se réalise.

Cette formule est appelée formule de probabilité totale.

Preuve

Puisque les hypothèses H1, H2..., Hn forment un groupe complet, l'événement A peut apparaître en combinaison avec n'importe laquelle de ces hypothèses.

A=AH1+AH2+…+Ahn.

Puisque les hypothèses H1, H2,…,Hn sont incompatibles, alors les combinaisons H1A, H2A,…,HnA sont également incompatibles ; En lui appliquant le théorème d’addition, on obtient :

En appliquant le théorème de multiplication à l'événement HiA, on obtient

Q.E.D.

Il existe trois urnes identiques : la première contient deux boules blanches et une noire ; dans la seconde, il y a trois boules blanches et une boule noire ; dans le troisième il y a deux boules blanches et deux boules noires.

Quelqu’un choisit une des urnes au hasard et en prend une boule. Trouvez la probabilité que cette boule soit blanche.

Considérons trois hypothèses :

H1-sélection de la première urne,

H2-sélection de la deuxième urne,

H3-choix de la troisième urne

Et l’événement A est l’apparition d’une boule blanche.

Puisque les hypothèses selon les conditions du problème sont également possibles, alors

Les probabilités conditionnelles de l'événement A sous ces hypothèses sont respectivement égales

Problème 3.5.

L'usine fabrique des produits dont chacun présente un défaut avec une probabilité p.

Il y a trois superviseurs dans l'atelier ; est considéré par un seul inspecteur, avec une probabilité égale le premier, le deuxième ou le troisième. La probabilité de détecter un défaut (le cas échéant) pour le i-ième inspecteur est égale à Pi (i = 1,2,3). Si le produit n’a pas été rejeté en atelier, il est alors envoyé au service de contrôle qualité de l’usine, où le défaut, le cas échéant, est détecté avec une probabilité P0.

Déterminez la probabilité que le produit soit rejeté.

A - le produit sera rejeté

B - le produit sera rejeté en atelier

C- le produit sera rejeté par le service de contrôle qualité de l’usine.

Puisque les événements B et C sont incompatibles et

P(A)=P(B)+P(C)

On trouve P(B). Pour qu'un produit soit rejeté en atelier, il faut, d'une part, qu'il ait un défaut, et d'autre part, que le défaut soit détecté.

La probabilité qu'un défaut soit découvert en atelier est égale à

Vraiment,

Formuler des hypothèses

Défaut H1 détecté par le 1er inspecteur

Défaut H2 détecté par le 2ème inspecteur

Défaut H3 détecté par le 3ème inspecteur

D'ici

De même

Théorème d'hypothèse (formule de Bayes)

Une conséquence du théorème de multiplication et de la formule de probabilité totale est ce qu'on appelle le théorème d'hypothèse ou formule de Bayes.

Posons le problème suivant.

Il existe un groupe complet d'hypothèses incompatibles Н1, Н2,…Hn. Les probabilités de ces hypothèses sont connues avant l'expérience et sont respectivement égales à Р(Н1), Р(Н2),…, P(Hn). a été réalisée, à la suite de laquelle la survenance d'un événement A a été observée. La question est de savoir comment modifier les probabilités des hypothèses en relation avec la survenance de cet événement.

Ici, nous parlons essentiellement de trouver la probabilité conditionnelle P (Hi/A) pour chaque hypothèse.

Du théorème de multiplication nous avons :

P(AHi)=P(A)*P(Salut/A)=P(Salut)*H(A/Salut),

Ou jetez le côté gauche

P(A)*P(Hi/A)=P(Hi)*P(A/Hi), i=1,2,…,n d'où

Ou en exprimant P(A) en utilisant la formule de probabilité totale, nous avons

Cette formule est appelée formule de Bayes ou théorème d'hypothèse.

L'appareil peut être assemblé à partir de pièces de haute qualité et de pièces de qualité ordinaire ; en général, environ 40 % des appareils sont assemblés à partir de pièces de haute qualité. Si l'appareil est assemblé à partir de pièces de haute qualité, sa fiabilité (probabilité de fonctionnement sans panne) dans le temps t est de 0,05 ; si les pièces sont de qualité ordinaire, sa fiabilité est de 0,7. L'appareil est testé pendant un temps t et fonctionne parfaitement. Trouvez la probabilité qu'il soit assemblé à partir de pièces de haute qualité.

Deux hypothèses sont possibles :

L'appareil H1 est assemblé à partir de pièces de haute qualité,

L'appareil H2 est assemblé à partir de pièces de qualité ordinaire.

La probabilité de ces hypothèses avant l'expérience

P(H1) = 0,4 ; P(H2)=0,6.

À la suite de l'expérience, l'événement A a été observé : l'appareil est sans défaut.

A travaillé pendant le temps t. Probabilités conditionnelles de cet événement à

Les hypothèses H1 et H2 sont égales :

P(A/H1) = 0,95 ; P(A/H2) = 0,7.

En utilisant la formule de Weiss, on trouve la probabilité de l'hypothèse H1 après

Problèmes de combinatoire.

Dans de nombreux recherche statistique Il existe des problèmes combinatoires dont le caractère unique est utile de démontrer avec des exemples :

De combien de façons peut-on disposer 10 livres différents sur une étagère ?

8 équipes participent au tournoi. Combien d’idées différentes peuvent être formulées concernant les trois premières places (en fonction des résultats du concours) ?

Combien de mots différents de trois lettres peuvent être formés à partir de 32 lettres de l'alphabet, que les mots composés de lettres aient un sens ou non ?

De combien de manières r éléments peuvent-ils être sélectionnés parmi un ensemble de k éléments (différents) ?

Quel est le nombre de résultats différents obtenus en lançant deux dés ?

Les exemples donnés montrent que dans les problèmes combinatoires on s'intéresse généralement au nombre d'échantillons différents de certains objets, et, selon le type exigences supplémentaires, il est nécessaire de distinguer quels échantillons sont considérés comme identiques et lesquels sont différents.

En théorie des probabilités et statistiques mathématiques Ils utilisent principalement trois concepts de combinatoire :

Emplacements

Réarrangements

Combinaisons

Les arrangements de n éléments par m sont les connexions qui diffèrent les unes des autres par les éléments eux-mêmes ou par leur ordre. Par exemple : placements de 3 éléments a, b, c par 2 : ab, ac, bc, ba, ca, cb Nombre de tous les placements de n éléments différents par m A.

Par exemple : placements de 3 éléments a, b, c par 2 : ab,ac,bc, ba, ca,cb Nombre de tous les placements de n éléments différents par m A.

Total m multiplicateurs

Les permutations de n éléments sont les connexions qui diffèrent les unes des autres uniquement par l'ordre des éléments qu'elles contiennent. Par exemple : une permutation de trois. éléments a,b et c : abc, bca, cab, cba, bac, acb. Nombre de toutes les permutations de n éléments différents Pn

Pn= 1*2*3* …*n=n!=Un

De combien de façons peut-on disposer 10 livres sur une étagère ?

P10=10!=3628800.

Les combinaisons de n éléments de m sont appelées leurs composés, ne différant les uns des autres que par les éléments eux-mêmes. Par exemple : combinaisons de trois éléments a, b et c, deux chacun : ab, ac, bc. Le nombre de toutes les combinaisons de n éléments différents par m est noté Cn

Nous pouvons écrire

Répéter les expériences

À application pratique La théorie des probabilités rencontre souvent des problèmes dans lesquels la même expérience ou des expériences similaires sont répétées à plusieurs reprises. À la suite de chaque expérience, un événement A peut apparaître ou non à la suite d'une série d'expériences.

De tels problèmes sont très facilement résolus lorsque les expériences sont indépendantes.

Plusieurs expériences sont dites indépendantes si la probabilité de l'un ou l'autre résultat de chaque expérience ne dépend pas des résultats des autres expériences. Plusieurs retraits successifs d'une carte du jeu constituent des expériences indépendantes, à condition que la carte retirée soit remise dans le jeu à chaque fois et que les cartes soient mélangées ; sinon, expériences dépendantes.

Des expériences indépendantes peuvent être réalisées dans des conditions identiques ou différentes.

Théorème général sur la répétition des expériences.

Un théorème particulier sur la répétition des expériences concerne le cas où la probabilité de l'événement A est la même dans toutes les expériences. Dans la pratique, nous rencontrons souvent un cas plus complexe, lorsque les expériences sont réalisées dans des conditions différentes et que la probabilité d'un événement change d'une expérience à l'autre. Une méthode pour calculer la probabilité d'un nombre donné d'occurrences d'événements dans de telles conditions est donnée par le théorème général sur la répétition des expériences.

Soit le nombre d'expériences u=2, alors le groupe complet d'événements :

P1P2+P1q2+q1P2+q1q2

Soit le nombre d'expériences u=3, alors le groupe complet d'événements :

P1P2P3+P1P2q3+P1q2P3+q1P2P3+P1q2q3+q1P2q3+q1q2P+q1q2q3

De même, pour le nombre d’expériences n, le groupe complet d’événements est :

P1P2*…*Pn+P1P2*…*qn+…+q1P2*…*Pn+…+q1*q2*…qn, et dans chacun des produits, l'événement A apparaît m fois, et l'événement A apparaît n-m fois. les combinaisons sont toujours

ou plus court

où z est un paramètre arbitraire.

La fonction jn(z), dont le développement en puissances du paramètre z donne pm,n comme coefficients de probabilité, est appelée fonction de probabilité génératrice pm,n ou simplement fonction génératrice.

En utilisant la notion de fonctions génératrices, on peut formuler un théorème général sur la répétition d'expériences sous la forme suivante :

La probabilité que l'événement A apparaisse exactement m fois dans n expériences indépendantes est égale au coefficient de zm dans l'expression de la fonction génératrice

jn(z)=(qi+piz) où pi est la probabilité d'occurrence de l'événement A dans la i-ème expérience

La formulation ci-dessus du théorème général sur la répétition des expériences, contrairement au théorème particulier, ne fournit pas d'expression explicite de la probabilité pm,n.

En principe, une telle expression peut être écrite, mais elle est trop complexe et nous ne la donnerons pas.

Cependant, sans recourir à une expression aussi explicite, il est encore possible d'écrire le théorème général sur la répétition des expériences sous la forme d'une formule unique

valeur aléatoire.

L’un des concepts de base les plus importants de la théorie des probabilités est le concept de variable aléatoire.

Une variable aléatoire est une quantité qui, à la suite d'une expérience, peut prendre telle ou telle valeur, et on ne sait pas à l'avance quel nom.

Exemples de variables aléatoires :

Le nombre d'appels reçus au central téléphonique par jour ;

Nombre de garçons nés à la maternité par mois ;

Nombre de filles nées à la maternité par mois ;

Dans les trois exemples, les variables aléatoires peuvent prendre des valeurs individuelles et isolées qui peuvent être énumérées à l'avance.

Dans l'exemple 1 ;

De telles variables aléatoires qui ne prennent que des valeurs individuelles séparées les unes des autres sont appelées variables discrètes.

Il existe d'autres types de variables aléatoires.

Par exemple, la température de l'air, l'humidité de l'air, la tension du réseau électrique.

Fonction de répartition.

Série de distribution, polygone de distribution non

sont des caractéristiques universelles Variable aléatoire: elles n'existent que pour des variables aléatoires discrètes. Il est facile de voir qu'une telle caractéristique ne peut pas être construite pour une variable aléatoire continue. En effet, une variable aléatoire continue a un nombre infini de valeurs possibles, ???? occupant un certain intervalle (ce qu'on appelle « l'ensemble indénombrable »). Il est impossible de créer un tableau répertoriant toutes les valeurs possibles d'une telle variable aléatoire. Par conséquent, pour une variable aléatoire continue, il n’existe pas de série de distribution au sens où elle existe pour une variable discontinue. Cependant, différentes régions de valeurs possibles d'une variable aléatoire ne sont toujours pas également probables, et pour une variable continue, il existe une distribution de probabilité, mais pas dans le même sens que pour une variable discontinue (ou discrète).

Pour caractériser quantitativement cette distribution de probabilité, il convient d'utiliser non pas la probabilité de l'événement x=x, mais la probabilité de l'événement x.

La fonction de distribution F(x) est parfois aussi appelée fonction de distribution cumulative ou loi de distribution cumulative.

La fonction de distribution est une caractéristique universelle d'une variable aléatoire. Elle existe pour toutes les variables aléatoires : fonction de distribution discrète et continue.

Caractérise complètement une variable aléatoire d'un point de vue probable, c'est-à-dire est l'une des formes de distribution.

Formulons quelques propriétés générales de la fonction de distribution :

La fonction de distribution F(x) est une fonction non décroissante de son argument, c'est-à-dire pour x2>x1 F(x2)>F(x1).

À moins l'infini, la fonction de distribution est nulle

3. À plus l'infini, la fonction de distribution est égale à 1.

Une fonction de distribution typique d'une variable aléatoire continue a la forme

Probabilité de lire une variable aléatoire pour une zone donnée.

Lors de la résolution de problèmes pratiques impliquant des variables aléatoires, il est souvent nécessaire de calculer la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur contenue dans certaines limites, par exemple de a à b.

Pour plus de précision, convenons d'inclure l'extrémité gauche de a dans la section (a,b), et de ne pas inclure l'extrémité droite. Alors l'occurrence d'une variable aléatoire x dans la section (a,b) équivaut à l'inégalité suivante. :

Exprimons la probabilité de cet événement à travers la fonction de distribution de la valeur x. Pour ce faire, considérons trois événements :

événement A, consistant dans le fait que C

événement B, consistant dans le fait que C

événement C, consistant dans le fait qu'un

Considérant que A=B+C, par le théorème d'addition des probabilités on a

R(C

F(b)=F(a)+R(a£C

P(a £ C

Ceux. la probabilité d'indiquer une variable aléatoire à une limite donnée est égale à l'incrément de la fonction de distribution dans cette zone.

Densité de distribution.

Soit une variable aléatoire continue x avec une fonction de distribution F(x), que nous proposerons comme continue et différentiable.

Calculons la probabilité que cette valeur tombe sur l'aire de x à x+DC :

R(C£C

c'est-à-dire l'incrément de la fonction dans cette zone. Considérons le rapport de cette probabilité à la longueur de la section, c'est-à-dire la probabilité moyenne par unité de longueur dans cette section, et nous rapprocherons DC de 0. Dans l'allée, nous obtiendrons la dérivée de la fonction de distribution.

Introduisons la notation :

La fonction f (x) - la dérivée de la fonction de distribution - caractérise en quelque sorte la densité avec laquelle les valeurs d'une variable aléatoire sont distribuées en un point donné. Cette fonction est appelée densité de distribution

(autrement connue sous le nom de « densité de probabilité ») d'une variable aléatoire continue X. Parfois, la fonction f (x) est appelée « fonction de distribution différentielle » ou « loi de distribution différentielle » de la variable X.

Une courbe représentant la densité de distribution d’une variable aléatoire est appelée courbe de distribution.

La densité de distribution, comme la fonction de distribution, est l'une des formes de la loi de distribution. Contrairement à la fonction de distribution, cette forme est universelle : elle n'existe que pour les variables aléatoires continues.

Considérons une valeur continue X de densité de distribution f (x) et une section élémentaire DX,

adjacent au point X.

La probabilité de trouver une variable aléatoire X sur cette section élémentaire (avec une précision jusqu'à l'infinitésimal d'ordre supérieur) est égale à f (x)dx. La quantité f (x)dx est appelée élément de probabilité. Géométriquement, c'est l'aire d'un rectangle élémentaire reposant sur le segment dx.

Exprimons la probabilité que la valeur X tombe sur le segment de a à b à travers la densité de distribution :

Évidemment, elle est égale à la somme des éléments de probabilité dans toute cette section, c'est-à-dire l'intégrale :

Géométriquement, la probabilité d'entrer la valeur X dans la section (a, b) est égale à l'aire de la courbe de distribution basée sur cette section.

exprime la densité de distribution à travers la fonction de distribution. Posons-nous le problème inverse : exprimer la fonction de distribution en termes de densité.

F(x)=P(X

D'où, d'après la formule (3), on a :

F(x)=

Géométriquement, F(x) n'est rien d'autre que l'aire de la courbe de distribution située à gauche du point : X

Indiquons les principales propriétés de la densité de distribution :

1. La densité de distribution est une fonction non négative

Cette propriété découle directement du fait que la fonction de distribution F(x) est une fonction non décroissante.

2. L'intégrale sur les limites infinies de la densité de distribution est égale à 1

Cela découle du fait que F(+¥)=1

Géométriquement, les propriétés fondamentales de la densité de distribution signifient :

1. La courbe de distribution entière ne se situe pas en dessous de l’axe des x.

2. La superficie totale délimitée par la courbe de distribution et l'axe des x est égale à 1.

CARACTÉRISTIQUES NUMÉRIQUES DE VARIABLES ALÉATOIRES. LEUR RÔLE ET OBJECTIF.

Nous avons pris connaissance d'un certain nombre de caractéristiques complètes des variables aléatoires - les lois de distribution. Ces caractéristiques étaient :

Pour une variable aléatoire discrète

a) fonction de distribution ;

b) série de distribution (graphiquement – ​​courbe de distribution).

Chaque loi de distribution représente une certaine fonction, et l'indication de cette fonction est complètement

Décrit une variable aléatoire d'un point de vue probabiliste.

Cependant, dans de nombreuses questions pratiques, il n'est pas nécessaire de caractériser une variable aléatoire par densité de manière exhaustive.

Il suffit souvent d'indiquer uniquement des paramètres numériques individuels qui, dans une certaine mesure, caractérisent les caractéristiques essentielles de la distribution.

valeur du thé : par exemple, une valeur moyenne, autour de laquelle sont regroupées les valeurs possibles d'une variable aléatoire ; un nombre caractérisant le degré de dispersion de ces valeurs par rapport à la moyenne, etc.

En utilisant de telles caractéristiques, nous pouvons exprimer toutes les informations essentielles sur une variable aléatoire dont nous disposons de la manière la plus compacte possible en utilisant des paramètres numériques. Ces paramètres, qui expriment les caractéristiques les plus significatives de la distribution sous une forme numérique compressée, sont appelés caractéristiques numériques de. une variable aléatoire.

Dans la théorie des probabilités et des statistiques mathématiques, un grand nombre de caractéristiques numériques différentes sont utilisées, qui ont des objectifs différents et des domaines d'application différents, mais elles sont toutes divisées en deux classes :

1. Caractéristiques du poste.

2. Caractéristiques de diffusion.

Caractéristiques du poste.

Valeur attendue. Médian. Mode. Moment de départ.

Parmi les caractéristiques numériques des variables aléatoires, il faut tout d'abord noter celles qui caractérisent les positions de la variable aléatoire sur l'axe des nombres, c'est-à-dire e. Ils indiquent une valeur moyenne et approximative autour de laquelle sont regroupées toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire.

Parmi les caractéristiques d'une position dans la théorie des probabilités, le rôle le plus important est joué par l'espérance mathématique d'une variable aléatoire, parfois appelée valeur moyenne d'une variable aléatoire.

Considérons une variable discrète aléatoire X ayant des valeurs possibles X1,X2,…Xn avec des probabilités P1, P2,…Pn.

Nous devons caractériser par un nombre la position des valeurs d'une variable aléatoire sur l'axe des abscisses. A cet effet, il est naturel d'utiliser ce que l'on appelle la « moyenne pondérée » des valeurs de Xi, chaque valeur de Xi étant à ?????????? doit être pris en compte avec un « poids » proportionnel à la probabilité de cette valeur. Que. Nous calculerons la valeur moyenne de la variable aléatoire x, que nous noterons M[x]

Ou en considérant que

Cette moyenne pondérée est appelée l’espérance mathématique de la variable aléatoire.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est la somme des produits de toutes les valeurs possibles de c. V. sur la probabilité de ces valeurs.

Notez que dans la formulation ci-dessus, la définition de l'espérance mathématique n'est valide que pour les variables aléatoires discrètes.

Pour une valeur continue x, l'espérance mathématique s'exprime naturellement non pas comme une somme, mais comme une intégrale :

Où f(x) est la densité de distribution de la variable aléatoire X.

Élément de probabilité F(x)dx.

En plus de la plus importante des caractéristiques de position - l'espérance mathématique - en pratique, d'autres caractéristiques de position sont parfois utilisées, notamment le mode et la médiane.

Le mode d'une variable aléatoire est sa valeur la plus probable à proprement parler, on applique uniquement x aux variables discrètes ;

Pour une variable aléatoire continue, le mode est la valeur à laquelle la densité de probabilité est maximale

Médiane s. V. X est appelé sa valeur Me, c'est-à-dire qu'il est également probable que la variable aléatoire s'avère être inférieure ou supérieure à Me

Géométriquement, la médiane est l'abscisse du point auquel la zone délimitée par la courbe de distribution est divisée en parties.

‘ PLe graphique de la fonction de distribution ressemble à

Problème 5.50

Il y a un feu de circulation automatique à l'intersection, dans lequel

Le voyant vert est allumé pendant 1 minute et le voyant rouge est allumé pendant 0,5 minute, puis le voyant vert est allumé pendant 1 minute, le voyant rouge est allumé pendant 0,5 minute, etc.

quelqu'un s'approche d'une intersection en voiture à un moment aléatoire sans rapport avec le travail

feu de circulation

a) trouver la probabilité qu'il franchisse l'intersection sans s'arrêter

b) trouver le temps d'attente moyen à l'intersection

Le moment où une voiture traverse l'intersection est réparti uniformément dans un intervalle égal à

La période des changements de couleurs dans les feux de circulation

Cette période est de 1+0,5=1,5 minutes

Pour qu'une voiture traverse une intersection sans s'arrêter, il suffit que

Le moment du passage de l'intersection s'est produit pendant l'intervalle de temps (0,1)

Pour une valeur aléatoire, soumise à la loi de densité constante dans l'intervalle (0,1,5)

La probabilité qu'il tombe sur l'intervalle (0,1) est égale au Temps d'attente est une variable aléatoire mixte, avec probabilité elle est égale à 0, et avec Probabilité elle prend avec la même densité de probabilité n'importe quelle valeur comprise entre 0 et 0,5 minutes

Temps d'attente moyen à une intersection

Loi de distribution de Poisson

Dans de nombreux problèmes pratiques, on doit traiter des variables aléatoires distribuées selon une loi particulière appelée loi de Poisson. Considérons

Une quantité discrète qui ne peut prendre que des valeurs entières non négatives

0,1,2,...,m,...,

et la séquence de ces valeurs est pratiquement illimitée.

Une variable aléatoire X est dite distribuée selon la loi de Poison si la probabilité que

Il faudra certaines valeurs m exprimées par la formule

où a est une valeur positive appelée paramètre de Poisson. La série de distribution de la variable aléatoire X, distribuée selon la loi de Poisson, a la forme :

Xm				...	m	...
PM

La variance de la valeur X est égale à

La probabilité qu'une variable aléatoire soumise à la loi normale tombe dans une zone donnée.

Dans de nombreux problèmes liés aux variables aléatoires normalement distribuées, il est nécessaire de déterminer la probabilité d'apparition d'une variable aléatoire X, soumise à une loi normale avec des paramètres

m, s, à la zone de a à b.

Pour calculer cette probabilité, nous utilisons la formule générale.

R(une< C< b) = F(b) – F(a) (1)

où F(b) est la fonction de distribution de la valeur X au point b

F(a)-fonction de distribution de la valeur X au point a

Trouvons la fonction de distribution F(x) d'une variable aléatoire distribuée selon la loi normale de paramètres m, s. Densité

la distribution de la valeur X est égale à :

De là, nous trouvons la fonction de distribution :

Faisons un changement de variable dans l'intégrale :

Et mettons-le sous cette forme :

Cette intégrale ne s'exprime pas en termes de fonctions élémentaires, mais pour elle

des tableaux ont été compilés.

La fonction de distribution tabulaire (appelée table intégrale de probabilité) est désignée par :

Il est facile de voir que cette fonction n’est rien de plus qu’une fonction de distribution pour un nombre aléatoire normalement distribué.

quantités avec paramètres m=0 ; s=1

La fonction de distribution Ф*(х) est également appelée fonction de distribution normale.

Exprimons la fonction de distribution de la valeur X avec les paramètres m, s à travers la fonction de distribution normale :

Trouvons maintenant la probabilité qu'une variable aléatoire X tombe sur la section de a à b.

D'après la formule (1) :

Ainsi, nous exprimons la probabilité de toucher la zone de a à

B d'une variable aléatoire distribuée selon la loi de distribution normale avec des paramètres quelconques, via la fonction de distribution standard Ф*(x), correspondant à la loi de distribution normale avec des paramètres m=0 et s=1. Notez que les arguments de la fonction Ф* dans la dernière formule ont une signification simple :

Il existe une distance entre l'extrémité droite de la section b et le centre de diffusion, exprimée en écarts types ;

Il y a la même distance pour l'extrémité gauche de la section, et la distance est considérée comme positive si l'extrémité est située à droite du centre de diffusion, et négative si elle est à gauche.

Comme toute fonction de distribution, la fonction Ф*(х) a les propriétés suivantes :

3.Ф*(х) - fonction non décroissante.

De plus, de la symétrie de la distribution normale de paramètres m=0 et s=1 par rapport à l'origine, il s'ensuit que

4.Ф*(-х)=1-Ф*(х).

Considérez l'exemple suivant.

Une variable aléatoire X, distribuée selon une loi normale, représente l'erreur de mesure d'une certaine distance.

Lors de la mesure, une erreur systématique est autorisée dans le sens d'une surestimation de 1,2 (m) ; L'écart type de l'erreur de mesure est de 0,8 (m).

Trouvez la probabilité que l'écart de la valeur mesurée par rapport à la valeur réelle ne dépasse pas 1,6 (m) en valeur absolue.

L'erreur de mesure est une variable aléatoire X, soumise à la loi normale de paramètres m=12, s=0,8.

Nous devons trouver la probabilité que cette quantité tombe sur la zone de

a=--1, b à b= +1,6.

D'après la formule on a :

Utilisation des tables de fonctions Ф*(0.5)=0.6915 et Ф*(-3.5)=0.0002

P(-1,6<х<1,6)=0,6915-0,0002=0,6913

Problème 5.48.

Le rejet des billes pour roulements s'effectue comme suit :

si la balle ne passe pas par un trou de diamètre d2>d1, alors sa taille est considérée comme acceptable. Si l’une de ces conditions n’est pas remplie, la balle est rejetée. On sait que le diamètre de la bille D est une variable aléatoire normalement distribuée ayant les caractéristiques

Déterminez la probabilité q que la balle soit rejetée.

q= 1-p(d1< d < d2);

On sait que la taille D d'une bille pour un roulement est une variable aléatoire distribuée selon la loi normale. La balle est rejetée de la même manière qu'indiqué dans le problème précédent. On sait que la taille moyenne de la balle est égale à

Et les défauts représentent 10 % de la production totale. Déterminez l’écart type du diamètre de la balle sd.

Semblable au problème précédent, la probabilité de mariage

Où

Problème 5-54

La variable aléatoire x est soumise à la loi normale avec la mathématique mx = 0. La probabilité de lire cette variable aléatoire dans les tranches de -1 à 1 est de 0,5.

Trouvez l'écart type et écrivez l'expression de la loi normale

D'où vient la parité de répartition ?

Traçons la fonction de parité de distribution

X	-5	-4	-3	-2	-1
	-5,68	-3,64	-2,05	-0,91	-0,22		-0,22	-0,91	-2,05	-3,64	-5,68
	0,003	0,026	0,129	0,403	0,803		0,803	0,403	0,129	0,026	0,003
	0,001	0,01	0,03	0,11	0,22	0,3	0,22	0,11	0,03	0,01	0,001

Il devrait y avoir un graphique ici

Problème 5-58.

Il existe une variable aléatoire x, soumise à la loi normale e par l'espérance mathématique mx et par l'écart type sigma de x. Nécessaire environ

Remplacer la loi normale par la loi de densité constante dans l'intervalle alpha, bêta ; les limites alpha et bêta doivent être choisies de manière à conserver inchangées les principales caractéristiques de la variable aléatoire x : espérance mathématique et dispersion.

-2 -1 -5,68 -3,64 -2,05 -0,91 -0,22 -0,22 -0,91 -2,05 -3,64 -5,68 0,0033 0,0262 0,1287 0,4025 0,8025 0,8025 0,4025 0,1287 0,0262 0,033 0,001 0,01 0,03 0,11 0,22 0,270 0,22 0,11 0,03 0,01 0,001

Option 2

La variable aléatoire X est soumise à la loi normale avec l'espérance mathématique Mx=6. La probabilité que cette variable aléatoire tombe dans la zone de 4 à 8 est de 0,6. Trouvez l'écart type et écrivez l'expression de la loi normale. Construisez un graphique de densité de distribution.

D’où vient la densité de distribution ?

Traçons la densité de distribution.

X	-1
	-4,36	-3,04	-2,20	-1,35	-0,76	-0,34	-0,08		-0,08	-0,34	-0,76	-1,35	-2,20	-3,04	-4,36

RÈGLE DE TROIS

Supposons que la valeur normale X soit distribuée selon la loi normale avec les paramètres M et s. Nous montrerons qu'avec une précision de 03%, il arrive qu'une grandeur soumise à la loi prenne des valeurs possibles qui ne s'écartent pas du centre de diffusion de ± 3s.

Nous voulons trouver quelque chose

Ne dépassera pas 0003

La règle des 3 en statistiques est très importante.

L’une des règles les plus courantes des 3 est l’expérience de sélection. Dans une expérience de dépistage, les valeurs aberrantes sont éliminées.

Principaux problèmes de statistiques mathématiques

Compilé par le professeur du département de mathématiques supérieures Ishchanov T.R. Leçon n°4. Formule de probabilité totale. Probabilité des hypothèses. Formules bayésiennes.

Matériel théorique
Formule de probabilité totale
Théorème. La probabilité de l'événement A, qui ne peut se produire que si l'un des événements incompatibles formant un groupe complet se produit, est égale à la somme des produits des probabilités de chacun de ces événements par la probabilité conditionnelle correspondante de l'événement A :

.
Cette formule est appelée « formule de probabilité totale ».

Preuve. Selon la condition, l'événement A peut se produire si l'un des événements incompatibles se produit. En d’autres termes, la survenance de l’événement A signifie la survenance de l’un des événements incompatibles, quel qu’il soit. En utilisant le théorème d'addition pour calculer la probabilité de l'événement A, nous obtenons
. (*)
Reste à calculer chacun des termes. Par le théorème de multiplication des probabilités d'événements dépendants on a
.
En substituant les membres droits de ces égalités dans la relation (*), on obtient la formule de la probabilité totale

Exemple 1. Il y a deux ensembles de pièces. La probabilité que la partie du premier ensemble soit standard est de 0,8 et la seconde est de 0,9. Trouvez la probabilité qu'une partie prise au hasard (dans un ensemble pris au hasard) soit standard.
Solution. Notons A l'événement « la pièce extraite est standard ».
La pièce peut être récupérée soit à partir du premier ensemble (événement), soit à partir du second (événement).
La probabilité qu’une pièce soit extraite du premier ensemble est de .
La probabilité qu’une pièce soit extraite du deuxième ensemble est de .
La probabilité conditionnelle qu'une pièce standard soit tirée du premier ensemble est .
Probabilité conditionnelle qu'une pièce standard soit tirée du deuxième ensemble .
La probabilité requise pour qu'une pièce extraite au hasard soit une pièce standard, selon la formule de probabilité totale, est égale à

Exemple 2. La première boîte contient 20 tubes radio, dont 18 standards ; dans la deuxième boîte il y a 10 lampes, dont 9 standards. Une lampe est prise au hasard dans la deuxième boîte et placée dans la première. Trouvez la probabilité qu’une lampe tirée au hasard dans la première case soit standard.
Solution. Notons A l'événement « un lampadaire est retiré de la première boîte ».
De la deuxième case, on pouvait retirer soit une lampe standard (événement), soit une lampe non standard (événement).
La probabilité qu’un lampadaire soit retiré de la deuxième boîte est .
La probabilité qu'une lampe non standard ait été retirée de la deuxième boîte est
La probabilité conditionnelle qu'un lampadaire soit retiré de la première case, à condition qu'un lampadaire ait été transféré de la deuxième case à la première, est égale à .
La probabilité conditionnelle qu'une lampe standard soit retirée de la première case, à condition qu'une lampe non standard ait été transférée de la deuxième case à la première, est égale à .
La probabilité requise qu'un lampadaire soit retiré de la première case, selon la formule de probabilité totale, est égale à

Probabilité des hypothèses. Formules bayésiennes

Supposons que l'événement A puisse se produire sous réserve de l'apparition de l'un des événements incompatibles qui forment un groupe complet. Puisqu’on ne sait pas à l’avance lesquels de ces événements se produiront, on les appelle des hypothèses. La probabilité d'occurrence de l'événement A est déterminée par la formule de probabilité totale :

Supposons qu'un test ait été effectué, à la suite duquel l'événement A est apparu. Fixons notre tâche pour déterminer comment les probabilités des hypothèses ont changé (en raison du fait que l'événement A s'est déjà produit). En d’autres termes, nous chercherons des probabilités conditionnelles

Trouvons d'abord la probabilité conditionnelle. Par le théorème de multiplication, nous avons

.

En remplaçant P(A) ici par la formule (*), nous obtenons

De même, des formules sont dérivées qui déterminent les probabilités conditionnelles des hypothèses restantes, c'est-à-dire que la probabilité conditionnelle de toute hypothèse peut être calculée à l'aide de la formule

Les formules résultantes sont appelées Formules bayésiennes(du nom du mathématicien anglais qui les a dérivés ; publié en 1764). Les formules de Bayes nous permettent de réestimer les probabilités des hypothèses après que le résultat du test ayant abouti à l'événement A soit connu.

Exemple. Les pièces produites par l'atelier de l'usine sont envoyées à l'un des deux inspecteurs pour vérifier leur conformité. La probabilité que la pièce parvienne au premier inspecteur est de 0,6 et au second de 0,4. La probabilité qu'une pièce appropriée soit reconnue comme standard par le premier inspecteur est de 0,94 et par le second de 0,98. La pièce valide s’est avérée standard lors de l’inspection. Trouvez la probabilité que le premier inspecteur ait vérifié cette pièce.
Solution. Notons A l'événement dans lequel une pièce adaptée est reconnue comme standard. Deux hypothèses peuvent être faites :
1) la pièce a été vérifiée par le premier inspecteur (hypothèse) ;
2) la pièce a été vérifiée par le deuxième inspecteur (hypothèse). On trouve la probabilité souhaitée que le premier inspecteur ait vérifié la pièce à l'aide de la formule de Bayes :

Selon les conditions problématiques, nous avons :
(probabilité que la pièce parvienne au premier inspecteur) ;
(la probabilité que la pièce parvienne au deuxième inspecteur) ;
(la probabilité qu'une pièce adaptée soit reconnue comme standard par le premier inspecteur) ;
(la probabilité qu'une pièce adaptée soit reconnue comme standard par le deuxième inspecteur).
Probabilité requise

Comme vous pouvez le constater, avant le test, la probabilité de l'hypothèse était de 0,6 ; après que le résultat du test soit connu, la probabilité de cette hypothèse (plus précisément, la probabilité conditionnelle) a changé et est devenue égale à 0,59. Ainsi, l'utilisation de la formule de Bayes a permis de surestimer la probabilité de l'hypothèse considérée.

Matériel pratique.
1. (4) L'assembleur a reçu 3 cartons de pièces fabriquées par l'usine n° 1 et 2 cartons de pièces fabriquées par l'usine n° 2. La probabilité qu'une pièce de l'usine n° 1 soit standard est de 0,8, et celle de l'usine n° 2 est 0.9, l'assembleur sortait au hasard la pièce d'une boîte choisie au hasard. Trouvez la probabilité qu'une pièce standard soit supprimée.
représentant 0,84.
2. (5) La première boîte contient 20 pièces, dont 15 standards ; dans la seconde, il y a 30 pièces, dont 24 standards ; dans le troisième il y a 10 pièces, dont 6 standards. Trouvez la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans une boîte prise au hasard soit standard.
représentant 43/60.
3. (6) Il y a 4 kinéscopes dans le studio de télévision. Les probabilités que le kinescope résiste à la durée de vie de la garantie sont respectivement égales à 0,8 ; 0,85 ; 0,9 ; 0,95. Trouvez la probabilité qu'un kinéscope pris au hasard résiste à la période de garantie.
représentant 0,875.
4. (3) Le groupe d'athlètes est composé de 20 skieurs, 6 cyclistes et 4 coureurs. La probabilité de satisfaire à la norme de qualification est la suivante : pour un skieur - 0,9, pour un cycliste - 0,8. et pour le coureur - 0,75. Trouvez la probabilité qu’un athlète choisi au hasard satisfasse à la norme.
représentant 0,86.
5. (C) Il y a 12 boules rouges et 6 boules bleues dans une boîte blanche. En noir, il y a 15 boules rouges et 10 boules bleues. Jeter un dé. Si le nombre de points est un multiple de 3, alors une boule est tirée au hasard dans la case blanche. Si un autre nombre de points est obtenu, une boule est tirée au hasard dans la boîte noire. Quelle est la probabilité qu’une boule rouge apparaisse ?
Solution:
Deux hypothèses sont possibles :
– lors du lancement d’un dé, apparaîtra le nombre de points multiple de 3, c’est-à-dire ou 3 ou 6 ;
– lors du lancement des dés, un nombre différent de points apparaîtra, c'est-à-dire ou 1 ou 2 ou 4 ou 5.
Selon la définition classique, les probabilités des hypothèses sont égales à :

Puisque les hypothèses constituent un groupe complet d’événements, l’égalité doit être satisfaite

Supposons que l'événement A consiste en l'apparition d'une boule rouge. Les probabilités conditionnelles de cet événement dépendent de l'hypothèse qui a été réalisée et sont donc :

Alors, selon la formule de probabilité totale, la probabilité de l'événement A sera égale à :

6. (7) Deux cartons contiennent des tubes radio. Le premier carton contient 12 lampes dont 1 non standard ; dans la seconde il y a 10 lampes, dont 1 non standard. Une lampe est prise au hasard dans la première boîte et placée dans la seconde. Trouvez la probabilité qu’une lampe prise au hasard dans la deuxième boîte ne soit pas standard.
représentant 13/132.

7. (89 D) Une boule blanche est jetée dans une urne contenant deux boules, après quoi une boule est tirée au hasard. Trouvez la probabilité que la boule extraite soit blanche si toutes les hypothèses possibles sur la composition initiale des boules (basées sur la couleur) sont également possibles.
Solution. Notons A l'événement - une boule blanche est tirée. Les hypothèses (hypothèses) suivantes sur la composition initiale des boules sont possibles : - pas de boules blanches, - une boule blanche, - deux boules blanches.
Puisqu'il y a trois hypothèses au total, et selon la condition elles sont également probables, et que la somme des probabilités des hypothèses est égale à un (puisqu'elles forment un groupe complet d'événements), alors la probabilité de chacune des hypothèses est égal à 1/3, soit .
La probabilité conditionnelle qu'une boule blanche soit tirée, étant donné qu'il n'y avait pas de boule blanche dans l'urne initialement, .
La probabilité conditionnelle qu'une boule blanche soit tirée, étant donné qu'il y avait initialement une boule blanche dans l'urne, .
La probabilité conditionnelle qu’une boule blanche soit tirée étant donné qu’il y avait initialement deux boules blanches dans l’urne.
Nous trouvons la probabilité requise qu'une boule blanche soit tirée à l'aide de la formule de probabilité totale :

8. (10) Une pièce standard est jetée dans une boîte contenant 3 pièces identiques, puis une pièce est tirée au sort. Déterminez la probabilité qu'une pièce standard soit retirée si toutes les suppositions possibles sur le nombre de pièces standard initialement contenues dans la boîte sont également probables.
représentant 0,625.

9. (6.5.2L) Pour améliorer la qualité des communications radio, deux récepteurs radio sont utilisés. La probabilité que chaque récepteur reçoive un signal est de 0,8, et ces événements (réception du signal par le récepteur) sont indépendants. Déterminez la probabilité de réception du signal si la probabilité de fonctionnement sans panne pendant une session de communication radio pour chaque récepteur est de 0,9.
Solution.
Soit l'événement A = (le signal sera reçu). Considérons quatre hypothèses :

=(le premier récepteur fonctionne, le second non) ;

=(le deuxième fonctionne, le premier non) ;

=(les deux récepteurs fonctionnent) ;

=(les deux récepteurs ne fonctionnent pas).

L’événement A ne peut se produire que sous l’une de ces hypothèses. Trouvons la probabilité de ces hypothèses en considérant les événements suivants :

=(le premier récepteur fonctionne),

=(le deuxième récepteur fonctionne).

Contrôle:

.

Les probabilités conditionnelles sont respectivement égales à :

;

;

Maintenant, en utilisant la formule de probabilité totale, nous trouvons la probabilité souhaitée

10. (11) Si la machine s'écarte du mode de fonctionnement normal, l'alarme C-1 est déclenchée avec une probabilité de 0,8 et l'alarme C-11 est déclenchée avec une probabilité de 1. Les probabilités que la machine soit équipée d'un C -1 ou C-11 sont respectivement égaux à 0, 6 et 0,4. Un signal a été reçu pour couper la mitrailleuse. Qu'est-ce qui est le plus probable : la machine est équipée d'un dispositif de signalisation S-1 ou S-11 ?
représentant La probabilité que la machine soit équipée d'un dispositif de signalisation S-1 est de 6/11, et S-11 est de 5/11

11. (12) Pour participer aux compétitions sportives qualificatives des étudiants, 4 étudiants ont été répartis dans le premier groupe du cours, 6 dans le deuxième et 5 dans le troisième groupe. Les probabilités qu'un étudiant des premier, deuxième et troisième groupes entre dans l'équipe de l'institut sont respectivement égales à 0,9 ; 0,7 et 0,8. Un étudiant sélectionné au hasard s'est retrouvé dans l'équipe nationale à la suite du concours. À quel groupe cet élève appartenait-il le plus probablement ?
représentant Les probabilités qu'un élève du premier, deuxième, troisième groupe soit sélectionné sont respectivement : 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1,34K) Une société commerciale a reçu des téléviseurs de trois fournisseurs dans un rapport de 1:4:5. La pratique a montré que les téléviseurs provenant des 1er, 2ème et 3ème fournisseurs ne nécessiteront pas de réparation pendant la période de garantie dans respectivement 98, 88 et 92 % des cas.
1) Trouvez la probabilité qu'un téléviseur reçu par une société commerciale ne nécessite pas de réparation pendant la période de garantie.
2) Le téléviseur vendu a nécessité des réparations pendant la période de garantie. De quel fournisseur ce téléviseur provient-il probablement ?
Solution.
Notons les événements : - le téléviseur est arrivé à la société commerciale en provenance du i-ème fournisseur (i=1,2,3) ;
R – le téléviseur ne nécessitera aucune réparation pendant la période de garantie.
Par condition

D'après la formule de probabilité totale

Event TV nécessitera des réparations pendant la période de garantie ; .
Par condition

D'après la formule de Bayes

;

Ainsi, après la survenance de l’événement, la probabilité de l’hypothèse augmente avec au maximum, et l'hypothèse a diminué du maximum à ; Si auparavant (avant la survenance de l'événement A) l'hypothèse la plus probable était , alors désormais, à la lumière de nouvelles informations (la survenance de l'événement A), l'hypothèse la plus probable est la réception de ce téléviseur du 2ème fournisseur.

13. (1,35K) On sait qu'en moyenne 95 % des produits manufacturés répondent à la norme. Un système de contrôle simplifié reconnaît un produit comme étant approprié avec une probabilité de 0,98 s'il est standard, et avec une probabilité de 0,06 s'il n'est pas standard. Déterminez la probabilité que :
1) un produit pris au hasard fera l’objet d’un contrôle simplifié ;
2) un produit standard s'il : a) a passé avec succès le contrôle simplifié ; b) a réussi le contrôle simplifié à deux reprises.
Solution.
1). Notons les événements :
- un produit pris au hasard, respectivement standard ou non standard ;
- le produit a passé un contrôle simplifié.

Par condition

La probabilité qu'un produit pris au hasard réussisse le contrôle simplifié, selon la formule de probabilité totale :

2, a). La probabilité qu'un produit ait passé avec succès le contrôle simplifié est standard, selon la formule de Bayes :

2,b). Laissez l'événement - le produit passer deux fois par un contrôle simplifié. Alors, par le théorème de multiplication de probabilité :

D'après la formule de Bayes

est très faible, alors l'hypothèse selon laquelle un produit ayant passé deux fois le contrôle simplifié est non standard doit être écartée comme un événement pratiquement impossible.

14. (1,36K) Deux tireurs tirent sur une cible indépendamment l'un de l'autre, chacun tirant un coup. La probabilité d'atteindre la cible pour le premier tireur est de 0,8 ; pour le second – 0,4. Après le tir, un trou a été constaté dans la cible. Quelle est la probabilité qu'il appartienne à :
a) 1er tireur ;
b) 2ème tireur ?
Solution.
Notons les événements :

Les deux tireurs ont raté le cadre ;

Les deux tireurs ont touché la cible ;

Le 1er tireur a touché la cible, le 2ème ne l'a pas fait ;

Le 1er tireur a raté la cible, le 2ème l'a fait ;

Il y a un trou dans la cible (un coup).