Détermination de l'espérance mathématique d'une variable aléatoire. Principes fondamentaux de la théorie des probabilités
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La propriété suivante la plus importante d'une variable aléatoire après l'espérance mathématique est sa variance, définie comme le carré moyen de l'écart par rapport à la moyenne :
Si elle est désignée par alors, la variance VX sera la valeur attendue, c'est une caractéristique de la "dispersion" de la distribution X.
Comme exemple simple de calcul de la variance, disons que nous venons de recevoir une offre que nous ne pouvons pas refuser : quelqu'un nous a donné deux certificats pour participer à la même loterie. Les organisateurs de la loterie vendent 100 billets chaque semaine, participant à un tirage séparé. Le tirage sélectionne l'un de ces billets par un processus aléatoire uniforme - chaque billet a une chance égale d'être sélectionné - et le propriétaire de ce billet porte-bonheur reçoit cent millions de dollars. Les 99 autres détenteurs de billets de loterie ne gagnent rien.
Nous pouvons utiliser le cadeau de deux manières : soit acheter deux billets dans la même loterie, soit acheter un billet chacun pour participer à deux loteries différentes. Quelle est la meilleure stratégie ? Essayons d'analyser. Pour ce faire, nous désignons par des variables aléatoires représentant la taille de nos gains sur les premier et second tickets. La valeur attendue en millions est
et il en va de même pour les valeurs attendues qui s'additionnent, donc notre gain total moyen sera
quelle que soit la stratégie adoptée.
Cependant, les deux stratégies semblent différentes. Allons au-delà des valeurs attendues et étudions toute la distribution de probabilité
Si nous achetons deux billets à la même loterie, nous avons 98 % de chances de ne rien gagner et 2 % de chances de gagner 100 millions. Si nous achetons des billets pour différents tirages, les chiffres seront les suivants : 98,01 % - la probabilité de ne rien gagner, ce qui est un peu plus élevé qu'auparavant ; 0,01 % - une chance de gagner 200 millions, également un peu plus qu'avant ; et la chance de gagner 100 millions est maintenant de 1,98 %. Ainsi, dans le second cas, la distribution des grandeurs est un peu plus dispersée ; la moyenne, 100 millions de dollars, est un peu moins probable, tandis que les extrêmes sont plus probables.
C'est cette notion de dispersion d'une variable aléatoire qui est censée refléter la variance. Nous mesurons la propagation par le carré de l'écart d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique. Ainsi, dans le cas 1, la variance sera
dans le cas 2, la variance est
Comme nous nous y attendions, cette dernière valeur est un peu plus grande, puisque la distribution dans le cas 2 est un peu plus dispersée.
Lorsque nous travaillons avec des variances, tout est au carré, donc le résultat peut être des nombres assez grands. (Le multiplicateur est d'un billion, ça devrait être impressionnant
même les joueurs habitués aux grosses mises.) Pour convertir les valeurs en une échelle originale plus significative, on prend souvent la racine carrée de la variance. Le nombre résultant est appelé l'écart type et est généralement désigné par la lettre grecque a :
Les écarts-types pour nos deux stratégies de loterie sont . À certains égards, la deuxième option est d'environ 71 247 $ plus risquée.
Comment la variance aide-t-elle à choisir une stratégie ? Ce n'est pas clair. Une stratégie avec une plus grande variance est plus risquée ; mais qu'y a-t-il de mieux pour notre portefeuille - risque ou jeu en toute sécurité ? Ayons la possibilité d'acheter non pas deux billets, mais tous cent. Ensuite, nous pourrions garantir un gain à une loterie (et la variance serait nulle) ; ou vous pourriez jouer dans une centaine de tirages différents, n'obtenant rien avec probabilité, mais ayant une chance non nulle de gagner jusqu'à des dollars. Le choix de l'une de ces alternatives dépasse le cadre de ce livre ; tout ce que nous pouvons faire ici est d'expliquer comment faire les calculs.
En fait, il existe un moyen plus simple de calculer la variance que d'utiliser directement la définition (8.13). (Il y a toutes les raisons de suspecter des mathématiques cachées ici ; sinon, pourquoi la variance dans les exemples de loterie se révélerait-elle être un multiple entier. Nous avons
car est une constante; Par conséquent,
"La dispersion est la moyenne du carré moins le carré de la moyenne"
Par exemple, dans le problème de la loterie, la moyenne est ou la soustraction (du carré de la moyenne) donne des résultats que nous avons déjà obtenus plus tôt de manière plus difficile.
Il existe cependant une formule encore plus simple qui s'applique lorsque nous calculons pour X et Y indépendants. Nous avons
puisque, comme on le sait, pour des variables aléatoires indépendantes Donc,
"La variance de la somme de variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances" Ainsi, par exemple, la variance du montant pouvant être gagné sur un billet de loterie est égale à
Par conséquent, la variance des gains totaux pour deux billets de loterie dans deux loteries différentes (indépendantes) sera La valeur correspondante de la variance pour les billets de loterie indépendants sera
La variance de la somme des points lancés sur deux dés peut être obtenue en utilisant la même formule, puisqu'il y a une somme de deux variables aléatoires indépendantes. Nous avons
pour le bon cube ; donc, dans le cas d'un centre de masse déplacé
donc, si le centre de masse des deux cubes est déplacé. A noter que dans ce dernier cas, la variance est plus grande, bien qu'il faille en moyenne 7 plus souvent que dans le cas des dés ordinaires. Si notre objectif est d'obtenir plus de sept chanceux, alors la variance n'est pas le meilleur indicateur de succès.
Bon, nous avons établi comment calculer la variance. Mais nous n'avons pas encore répondu à la question de savoir pourquoi il est nécessaire de calculer la variance. Tout le monde le fait, mais pourquoi ? La raison principale est l'inégalité de Chebyshev qui établit une propriété importante de la variance :
(Cette inégalité diffère des inégalités de Chebyshev pour les sommes, que nous avons rencontrées au chapitre 2.) Qualitativement, (8.17) indique qu'une variable aléatoire X prend rarement des valeurs éloignées de sa moyenne si sa variance VX est petite. Preuve
l'action est extraordinairement simple. Vraiment,
la division par complète la preuve.
Si nous dénotons l'espérance mathématique par a et l'écart type - par a et remplaçons dans (8.17) par alors la condition devient donc, nous obtenons de (8.17)
Ainsi, X se situera dans - fois l'écart type de sa moyenne, sauf dans les cas où la probabilité ne dépasse pas La valeur aléatoire se situera dans 2a d'au moins 75 % des essais ; allant de à - au moins pour 99%. Ce sont des cas d'inégalité de Chebyshev.
Si vous lancez quelques fois les dés, le score total de tous les lancers est presque toujours, pour les gros, il sera proche de La raison en est la suivante: la variance des lancers indépendants est
Par conséquent, à partir de l'inégalité de Chebyshev, nous obtenons que la somme des points se situera entre
pour au moins 99 % de tous les lancers de dés corrects. Par exemple, le total d'un million de lancers avec une probabilité de plus de 99 % sera compris entre 6,976 millions et 7,024 millions.
Dans le cas général, soit X une variable aléatoire quelconque sur l'espace de probabilité P qui a une espérance mathématique finie et un écart-type fini a. Ensuite, nous pouvons introduire en considération l'espace de probabilité Пп, dont les événements élémentaires sont des -séquences où chaque , et la probabilité est définie comme
Si nous définissons maintenant les variables aléatoires par la formule
alors la valeur
sera la somme des variables aléatoires indépendantes, ce qui correspond au processus de sommation des réalisations indépendantes de la quantité X sur P. L'espérance mathématique sera égale à et l'écart type - ; donc la valeur moyenne des réalisations,
se situera dans la plage de à au moins 99 % de la période de temps. En d'autres termes, si nous choisissons un nombre suffisamment grand, alors la moyenne arithmétique des essais indépendants sera presque toujours très proche de la valeur attendue (Dans les manuels de théorie des probabilités, un théorème encore plus fort est prouvé, appelé la loi forte des grands nombres ; mais il nous faut aussi un corollaire simple de l'inégalité de Chebyshev, que nous venons de mettre en évidence.)
Parfois, nous ne connaissons pas les caractéristiques de l'espace de probabilité, mais nous devons estimer l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X par des observations répétées de sa valeur. (Par exemple, nous pourrions vouloir connaître la température moyenne de janvier à midi à San Francisco ; ou nous pourrions vouloir connaître l'espérance de vie sur laquelle les agents d'assurance devraient baser leurs calculs.) Si nous disposons d'observations empiriques indépendantes, nous pouvons supposer que la l'espérance mathématique vraie est approximativement égale à
Vous pouvez également estimer la variance à l'aide de la formule
En regardant cette formule, on pourrait penser qu'il y a une erreur typographique dedans ; il semblerait qu'il devrait y avoir comme dans (8.19), puisque la vraie valeur de la variance est déterminée dans (8.15) par les valeurs attendues. Cependant, le changement ici de permet d'obtenir une meilleure estimation, puisqu'il résulte de la définition (8.20) que
Voici la preuve :
(Dans ce calcul, nous nous appuyons sur l'indépendance des observations lorsque nous remplaçons par )
En pratique, pour évaluer les résultats d'une expérience avec une variable aléatoire X, on calcule généralement la moyenne empirique et l'écart-type empirique puis on écrit la réponse sous la forme Voici, par exemple, les résultats du lancer d'une paire de dés, soi-disant correct.
Des variables aléatoires, en plus des lois de distribution, peuvent également être décrites caractéristiques numériques .
espérance mathématique M (x) d'une variable aléatoire est appelée sa valeur moyenne.
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète est calculée par la formule
où – valeurs d'une variable aléatoire, p je- leurs probabilités.
Considérez les propriétés de l'espérance mathématique :
1. L'espérance mathématique d'une constante est égale à la constante elle-même
2. Si une variable aléatoire est multipliée par un certain nombre k, alors l'espérance mathématique sera multipliée par le même nombre
M (kx) = kM (x)
3. L'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme de leurs espérances mathématiques
M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)
4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)
5. Pour les variables aléatoires indépendantes x 1 , x 2 , … x n l'espérance mathématique du produit est égale au produit de leurs espérances mathématiques
M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)
6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0
Calculons l'espérance mathématique de la variable aléatoire de l'exemple 11.
M(x) == 
.
Exemple 12. Soit les variables aléatoires x 1 , x 2 données par les lois de distribution, respectivement :
x 1 Tableau 2
x 2 Tableau 3
Calculer M (x 1) et M (x 2)
M (x 1) \u003d (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0
M (x 2) \u003d (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0
Les attentes mathématiques des deux variables aléatoires sont les mêmes - elles sont égales à zéro. Cependant, leur répartition est différente. Si les valeurs de x 1 diffèrent peu de leur attente mathématique, alors les valeurs de x 2 diffèrent dans une large mesure de leur attente mathématique, et les probabilités de tels écarts ne sont pas faibles. Ces exemples montrent qu'il est impossible de déterminer à partir de la valeur moyenne quels écarts par rapport à celle-ci se produisent à la fois vers le haut et vers le bas. Ainsi, avec la même précipitation moyenne annuelle dans deux localités, on ne peut pas dire que ces localités soient également favorables aux travaux agricoles. De même, par l'indicateur des salaires moyens, il n'est pas possible de juger de la proportion de travailleurs à haut et bas salaire. Par conséquent, une caractéristique numérique est introduite - dispersion D(x) , qui caractérise le degré d'écart d'une variable aléatoire par rapport à sa valeur moyenne :
ré (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)
La dispersion est l'espérance mathématique de l'écart au carré d'une variable aléatoire par rapport à l'espérance mathématique. Pour une variable aléatoire discrète, la variance est calculée par la formule :
D(x)= 
= 
(3)
Il découle de la définition de la variance que D (x) 0.
Propriétés de dispersion :
1. La dispersion de la constante est nulle
2. Si une variable aléatoire est multipliée par un certain nombre k, alors la variance est multipliée par le carré de ce nombre
ré (kx) = k 2 ré (x)
3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)
4. Pour les variables aléatoires indépendantes deux à deux x 1 , x 2 , … x n la variance de la somme est égale à la somme des variances.
ré (x 1 + x 2 + ... + x n) = ré (x 1) + ré (x 2) + ... + ré (x n)
Calculons la variance de la variable aléatoire de l'exemple 11.
Espérance mathématique M (x) = 1. Par conséquent, selon la formule (3) nous avons :
D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2
Notez qu'il est plus facile de calculer la variance si nous utilisons la propriété 3 :
D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).
Calculons les variances pour les variables aléatoires x 1 , x 2 de l'exemple 12 en utilisant cette formule. Les espérances mathématiques des deux variables aléatoires sont égales à zéro.
D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 \u003d 0,00204
D (x 2) \u003d (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 \u003d 240 +20 \u003d 260
Plus la valeur de dispersion est proche de zéro, plus la dispersion de la variable aléatoire par rapport à la valeur moyenne est petite.
La valeur est appelée écart-type. Mode aléatoire X type discret Md est la valeur de la variable aléatoire, qui correspond à la probabilité la plus élevée.
Mode aléatoire X type continu Md, est un nombre réel défini comme le point maximum de la densité de distribution de probabilité f(x).
Médiane d'une variable aléatoire X type continu Mn est un nombre réel qui satisfait l'équation
L'espérance mathématique (valeur moyenne) d'une variable aléatoire X , donnée sur un espace de probabilité discret, est le nombre m =M[X]=∑x i p i , si la série converge absolument.
Mission de service. Avec un service en ligne l'espérance mathématique, la variance et l'écart type sont calculés(voir exemple). De plus, un graphique de la fonction de distribution F(X) est tracé.
Propriétés de l'espérance mathématique d'une variable aléatoire
- L'espérance mathématique d'une valeur constante est égale à elle-même : M[C]=C , C est une constante ;
- M=C M[X]
- L'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme de leurs espérances mathématiques : M=M[X]+M[Y]
- L'espérance mathématique du produit de variables aléatoires indépendantes est égale au produit de leurs espérances mathématiques : M=M[X] M[Y] si X et Y sont indépendants.
Propriétés de dispersion
- La dispersion d'une valeur constante est égale à zéro : D(c)=0.
- Le facteur constant peut être extrait du signe de la dispersion en le mettant au carré : D(k*X)= k 2 D(X).
- Si les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, alors la variance de la somme est égale à la somme des variances : D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Si les variables aléatoires X et Y sont dépendantes : D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Pour la variance, la formule de calcul est valable :
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Exemple. Les espérances mathématiques et les variances de deux variables aléatoires indépendantes X et Y sont connues : M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Trouvez l'espérance mathématique et la variance de la variable aléatoire Z=9X-8Y+7 .
La solution. Basé sur les propriétés de l'espérance mathématique : M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Basé sur les propriétés de dispersion : D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algorithme de calcul de l'espérance mathématique
Propriétés des variables aléatoires discrètes : toutes leurs valeurs peuvent être renumérotées par des nombres naturels ; Attribuez à chaque valeur une probabilité non nulle.- Multipliez les paires une par une : x i par p i .
- On additionne le produit de chaque couple x i p i .
Par exemple, pour n = 4 : m = ∑x je p je = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Exemple 1.
| x je | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
L'espérance mathématique est trouvée par la formule m = ∑x i p i .
Espérance mathématique M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
La dispersion est trouvée par la formule d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Dispersion D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Écart type σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
Exemple #2. Une variable aléatoire discrète a la série de distribution suivante :
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | un | 0,32 | 2un | 0,41 | 0,03 |
La solution. La valeur a se trouve à partir de la relation : Σp i = 1
Σp je = une + 0,32 + 2 une + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 une = 1
0,76 + 3 a = 1 soit 0,24=3 a , d'où a = 0,08
Exemple #3. Déterminer la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète si sa variance est connue, et x 1
p 1 = 0,3 ; p2=0,3 ; p3 = 0,1 ; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96
La solution.
Ici, vous devez faire une formule pour trouver la variance d (x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
où espérance m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Pour nos données
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
ou -9/100 (x 2 -20x+96)=0
En conséquence, il est nécessaire de trouver les racines de l'équation, et il y en aura deux.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
On choisit celui qui satisfait la condition x 1
Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète
x 1 = 6 ; x2=9 ; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 = 0,3 ; p2=0,3 ; p3 = 0,1 ; p 4 \u003d 0,3
L'espérance mathématique et la variance sont les caractéristiques numériques les plus couramment utilisées d'une variable aléatoire. Ils caractérisent les caractéristiques les plus importantes de la distribution : sa position et son degré de dispersion. Dans de nombreux problèmes de pratique, une description complète et exhaustive d'une variable aléatoire - la loi de distribution - soit ne peut pas être obtenue du tout, soit n'est pas du tout nécessaire. Dans ces cas, ils se limitent à une description approximative d'une variable aléatoire à l'aide de caractéristiques numériques.
L'espérance mathématique est souvent appelée simplement la valeur moyenne d'une variable aléatoire. La dispersion d'une variable aléatoire est une caractéristique de dispersion, dispersion d'une variable aléatoire autour de son espérance mathématique.
Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète
Abordons le concept d'espérance mathématique, en partant d'abord de l'interprétation mécanique de la distribution d'une variable aléatoire discrète. Laissez la masse unitaire être répartie entre les points de l'axe des abscisses X1 , X 2 , ..., X n, et chaque point matériel a une masse qui lui correspond de p1 , p 2 , ..., p n. Il est nécessaire de choisir un point sur l'axe des x, qui caractérise la position de l'ensemble du système de points matériels, en tenant compte de leurs masses. Il est naturel de prendre le centre de masse du système de points matériels comme un tel point. C'est la moyenne pondérée de la variable aléatoire X, où l'abscisse de chaque point Xje entre avec un "poids" égal à la probabilité correspondante. La valeur moyenne de la variable aléatoire ainsi obtenue X s'appelle son espérance mathématique.
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète est la somme des produits de toutes ses valeurs possibles et des probabilités de ces valeurs :
Exemple 1 Organisation d'une loterie gagnant-gagnant. Il y a 1000 gains, dont 400 à 10 roubles chacun. 300 - 20 roubles chacun 200 - 100 roubles chacun. et 100 - 200 roubles chacun. Quel est le gain moyen pour une personne qui achète un billet ?
La solution. Nous trouverons le gain moyen si le montant total des gains, qui est égal à 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 roubles, est divisé par 1000 (le montant total des gains). Ensuite, nous obtenons 50000/1000 = 50 roubles. Mais l'expression de calcul du gain moyen peut aussi être représentée sous la forme suivante :
En revanche, dans ces conditions, le montant des gains est une variable aléatoire pouvant prendre les valeurs de 10, 20, 100 et 200 roubles. avec des probabilités égales à 0,4, respectivement ; 0,3 ; 0,2 ; 0.1. Par conséquent, le gain moyen attendu est égal à la somme des produits de la taille des gains et de la probabilité de les recevoir.
Exemple 2 L'éditeur a décidé de publier un nouveau livre. Il va vendre le livre 280 roubles, dont 200 lui seront remis, 50 à la librairie et 30 à l'auteur. Le tableau donne des informations sur le coût de publication d'un livre et la probabilité de vendre un certain nombre d'exemplaires du livre.
Trouvez le bénéfice attendu de l'éditeur.
La solution. La variable aléatoire "bénéfice" est égale à la différence entre le revenu de la vente et le coût des frais. Par exemple, si 500 exemplaires d'un livre sont vendus, le revenu de la vente est de 200 * 500 = 100 000 et le coût de la publication est de 225 000 roubles. Ainsi, l'éditeur fait face à une perte de 125 000 roubles. Le tableau suivant résume les valeurs attendues de la variable aléatoire - profit :
| Numéro | Profit Xje | Probabilité pje | Xje p je |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Total: | 1,00 | 25000 |
Ainsi, nous obtenons l'espérance mathématique du profit de l'éditeur :
.
Exemple 3 Chance de toucher d'un seul coup p= 0,2. Déterminez la consommation d'obus qui fournit l'espérance mathématique du nombre de coups égal à 5.
La solution. À partir de la même formule d'espérance que nous avons utilisée jusqu'à présent, nous exprimons X- consommation de coquillages :
.
Exemple 4 Déterminer l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X nombre de coups avec trois coups, si la probabilité de toucher à chaque coup p = 0,4 .
Indice : trouver la probabilité des valeurs d'une variable aléatoire en Formule de Bernoulli .
Propriétés d'attente
Considérez les propriétés de l'espérance mathématique.
Propriété 1. L'espérance mathématique d'une valeur constante est égale à cette constante :
Propriété 2. Le facteur constant peut être extrait du signe d'attente :
Propriété 3. L'espérance mathématique de la somme (différence) des variables aléatoires est égale à la somme (différence) de leurs espérances mathématiques :
Propriété 4. L'espérance mathématique du produit de variables aléatoires est égale au produit de leurs espérances mathématiques :
Propriété 5. Si toutes les valeurs de la variable aléatoire X diminuer (augmenter) du même nombre DE, alors son espérance mathématique diminuera (augmentera) du même nombre :
Quand vous ne pouvez pas être limité uniquement à l'espérance mathématique
Dans la plupart des cas, seule l'espérance mathématique ne peut pas caractériser adéquatement une variable aléatoire.
Laisser les variables aléatoires X et Oui sont donnés par les lois de distribution suivantes :
| Sens X | Probabilité |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Sens Oui | Probabilité |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Les attentes mathématiques de ces quantités sont les mêmes - égales à zéro :
Cependant, leur répartition est différente. Valeur aléatoire X ne peut prendre que des valeurs peu différentes de l'espérance mathématique, et la variable aléatoire Oui peut prendre des valeurs qui s'écartent considérablement de l'espérance mathématique. Un exemple similaire : le salaire moyen ne permet pas de juger de la proportion de travailleurs bien rémunérés et peu rémunérés. En d'autres termes, par espérance mathématique, on ne peut pas juger quels écarts par rapport à celle-ci, du moins en moyenne, sont possibles. Pour ce faire, vous devez trouver la variance d'une variable aléatoire.
Dispersion d'une variable aléatoire discrète
dispersion variable aléatoire discrète X est appelée l'espérance mathématique du carré de son écart par rapport à l'espérance mathématique :
L'écart type d'une variable aléatoire X est la valeur arithmétique de la racine carrée de sa variance :
.
Exemple 5 Calculer les variances et les écarts-types des variables aléatoires X et Oui, dont les lois de distribution sont données dans les tableaux ci-dessus.
La solution. Espérances mathématiques des variables aléatoires X et Oui, comme trouvé ci-dessus, sont égaux à zéro. Selon la formule de dispersion pour E(X)=E(y)=0 on obtient :
Alors les écarts-types des variables aléatoires X et Oui constituer
.
Ainsi, avec les mêmes attentes mathématiques, la variance de la variable aléatoire X très petit et aléatoire Oui- important. Ceci est une conséquence de la différence de leur distribution.
Exemple 6 L'investisseur a 4 projets d'investissement alternatifs. Le tableau résume les données sur le bénéfice attendu dans ces projets avec la probabilité correspondante.
| Projet 1 | Projet 2 | Projet 3 | Projet 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Trouvez pour chaque alternative l'espérance mathématique, la variance et l'écart type.
La solution. Montrons comment ces quantités sont calculées pour la 3ème alternative :
Le tableau résume les valeurs trouvées pour toutes les alternatives.
Toutes les alternatives ont la même espérance mathématique. Cela signifie qu'à long terme, tout le monde a le même revenu. L'écart type peut être interprété comme une mesure du risque - plus il est grand, plus le risque de l'investissement est grand. Un investisseur qui ne veut pas trop de risque choisira le projet 1 car il a le plus petit écart type (0). Si l'investisseur préfère le risque et des rendements élevés sur une courte période, il choisira le projet avec le plus grand écart type - projet 4.
Propriétés de dispersion
Présentons les propriétés de la dispersion.
Propriété 1. La dispersion d'une valeur constante est nulle :
Propriété 2. Le facteur constant peut être extrait du signe de dispersion en le mettant au carré :
.
Propriété 3. La variance d'une variable aléatoire est égale à l'espérance mathématique du carré de cette valeur, à laquelle on soustrait le carré de l'espérance mathématique de la valeur elle-même :
,
où 
.
Propriété 4. La variance de la somme (différence) des variables aléatoires est égale à la somme (différence) de leurs variances :
Exemple 7 On sait qu'une variable aléatoire discrète X ne prend que deux valeurs : −3 et 7. De plus, l'espérance mathématique est connue : E(X) = 4 . Trouver la variance d'une variable aléatoire discrète.
La solution. Dénoter par p la probabilité avec laquelle une variable aléatoire prend une valeur X1 = −3 . Alors la probabilité de la valeur X2 = 7 sera 1 − p. Dérivons l'équation de l'espérance mathématique :
E(X) = X 1 p + X 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
où l'on obtient les probabilités : p= 0,3 et 1 − p = 0,7 .
La loi de distribution d'une variable aléatoire :
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
On calcule la variance de cette variable aléatoire en utilisant la formule de la propriété 3 de la variance :
ré(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Trouvez vous-même l'espérance mathématique d'une variable aléatoire, puis voyez la solution
Exemple 8 Variable aléatoire discrète X ne prend que deux valeurs. Il prend la plus grande valeur de 3 avec une probabilité de 0,4. De plus, la variance de la variable aléatoire est connue ré(X) = 6 . Trouver l'espérance mathématique d'une variable aléatoire.
Exemple 9 Une urne contient 6 boules blanches et 4 boules noires. 3 boules sont extraites de l'urne. Le nombre de boules blanches parmi les boules tirées est une variable aléatoire discrète X. Trouvez l'espérance mathématique et la variance de cette variable aléatoire.
La solution. Valeur aléatoire X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3. Les probabilités correspondantes peuvent être calculées à partir règle de multiplication des probabilités. La loi de distribution d'une variable aléatoire :
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
D'où l'espérance mathématique de cette variable aléatoire :
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
La variance d'une variable aléatoire donnée est :
ré(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Espérance mathématique et dispersion d'une variable aléatoire continue
Pour une variable aléatoire continue, l'interprétation mécanique de l'espérance mathématique gardera le même sens : le centre de masse pour une masse unitaire répartie continûment sur l'axe des abscisses de densité F(X). Contrairement à une variable aléatoire discrète, pour laquelle l'argument de la fonction Xje change brusquement, pour une variable aléatoire continue, l'argument change continuellement. Mais l'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue est également liée à sa valeur moyenne.
Pour trouver l'espérance mathématique et la variance d'une variable aléatoire continue, vous devez trouver des intégrales définies . Si une fonction de densité d'une variable aléatoire continue est donnée, alors elle entre directement dans l'intégrande. Si une fonction de distribution de probabilité est donnée, alors en la différenciant, vous devez trouver la fonction de densité.
La moyenne arithmétique de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire continue est appelée son espérance mathématique, noté ou .
Comme on le sait déjà, la loi de distribution caractérise complètement une variable aléatoire. Cependant, la loi de distribution est souvent inconnue et il faut se limiter à des informations moindres. Parfois, il est encore plus avantageux d'utiliser des nombres qui décrivent une variable aléatoire au total ; ces numéros sont appelés caractéristiques numériques d'une variable aléatoire. L'espérance mathématique est l'une des caractéristiques numériques importantes.
L'espérance mathématique, comme on le verra ci-dessous, est approximativement égale à la valeur moyenne de la variable aléatoire. Pour résoudre de nombreux problèmes, il suffit de connaître l'espérance mathématique. Par exemple, si l'on sait que l'espérance mathématique du nombre de points marqués par le premier tireur est supérieure à celle du second, alors le premier tireur, en moyenne, assomme plus de points que le second, et tire donc mieux que la deuxième. Bien que l'espérance mathématique donne beaucoup moins d'informations sur une variable aléatoire que la loi de sa distribution, mais pour résoudre des problèmes comme celui-ci et bien d'autres, la connaissance de l'espérance mathématique est suffisante.
§ 2. Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète
espérance mathématique Une variable aléatoire discrète est appelée la somme des produits de toutes ses valeurs possibles et de leurs probabilités.
Soit la variable aléatoire X ne peut prendre que des valeurs X 1 , X 2 , ..., X P , dont les probabilités sont respectivement égales R 1 , R 2 , . . ., R P . Alors l'espérance mathématique M(X) Variable aléatoire X est défini par l'égalité
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + X n p n .
Si une variable aléatoire discrète X prend un ensemble dénombrable de valeurs possibles, alors
M(X)=
de plus, l'espérance mathématique existe si la série du côté droit de l'égalité converge absolument.
Commentaire. Il découle de la définition que l'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète est une variable non aléatoire (constante). Nous vous recommandons de vous souvenir de cette déclaration, car elle sera utilisée à plusieurs reprises par la suite. Plus tard, il sera montré que l'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue est également une valeur constante.
Exemple 1 Trouver l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X, connaissant la loi de sa distribution :
La solution. L'espérance mathématique souhaitée est égale à la somme des produits de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire et de leurs probabilités :
M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.
Exemple 2 Trouver l'espérance mathématique du nombre d'occurrences d'un événement MAIS dans un essai, si la probabilité d'un événement MAIS est égal à R
La solution. Valeur aléatoire X - nombre d'occurrences de l'événement MAIS dans un test - ne peut prendre que deux valeurs : X 1 = 1 (un événement MAIS arrivé) avec une probabilité R et X 2 = 0 (un événement MAIS n'a pas eu lieu) avec une probabilité q= 1 -R L'espérance mathématique souhaitée
M(X)= 1* p+ 0* q= p
Alors, l'espérance mathématique du nombre d'occurrences d'un événement dans un essai est égale à la probabilité de cet événement. Ce résultat sera utilisé ci-dessous.
§ 3. Signification probabiliste de l'espérance mathématique
Laissez produire P tests dans lesquels la variable aléatoire X accepté t 1 fois la valeur X 1 , t 2 fois la valeur X 2 ,...,m k fois la valeur X k , et t 1 + t 2 + …+t à =p. Puis la somme de toutes les valeurs prises X, est égal à
X 1 t 1 + X 2 t 2 + ... + X à t à .
Trouver la moyenne arithmétique 
de toutes les valeurs acceptées comme variable aléatoire, pour lesquelles on divise la somme trouvée par le nombre total d'essais :
=
(X 1 t 1
+
X 2 t 2 +
... +
X à t à)/P,
=
X 1
(m 1 /
n)
+
X 2
(m 2 /
n)
+ ... +
X à
(t à /P).
(*)
Remarquant que la relation m 1 / n- fréquence relative O 1 valeurs X 1 , m 2 / n - fréquence relative O 2 valeurs X 2 etc., on écrit la relation (*) comme suit :
=X 1
O 1
+
X 2 O 2
+ ..
. + X à O k .
(**)
Supposons que le nombre d'essais soit suffisamment grand. Alors la fréquence relative est approximativement égale à la probabilité d'occurrence de l'événement (ceci sera démontré au chapitre IX, § 6) :
O 1
p 1 ,
O 2
p 2 ,
…,
O k
p k .
En remplaçant les fréquences relatives en relation (**) par les probabilités correspondantes, on obtient
X 1 p 1
+
X 2 R 2
+ … +
X à R à .
Le côté droit de cette égalité approximative est M(X). Alors,
M(X).
La signification probabiliste du résultat obtenu est la suivante : l'espérance mathématique est approximativement égale à(plus le nombre d'essais est élevé) la moyenne arithmétique des valeurs observées de la variable aléatoire.
Remarque 1. Il est facile de voir que l'espérance mathématique est supérieure à la plus petite et inférieure à la plus grande des valeurs possibles. Autrement dit, sur l'axe des nombres, les valeurs possibles sont situées à gauche et à droite de la valeur attendue. En ce sens, l'espérance caractérise l'emplacement de la distribution et est donc souvent appelée Centre de distribution.
Ce terme est emprunté à la mécanique : si les masses R 1 , R 2 , ..., R P situés aux points avec abscisses X 1 ,
X 2 ,
...,
X n, et 
puis l'abscisse du centre de gravité
X c =
.
Étant donné que
=
M
(X)
et 
on a M(X)=x Avec .
Ainsi, l'espérance mathématique est l'abscisse du centre de gravité d'un système de points matériels, dont les abscisses sont égales aux valeurs possibles d'une variable aléatoire, et les masses sont égales à leurs probabilités.
Remarque 2. L'origine du terme "espérance" est associée à la période initiale de l'émergence de la théorie des probabilités (XVI-XVII siècles), lorsque sa portée était limitée aux jeux de hasard. Le joueur était intéressé par la valeur moyenne du gain attendu, ou, en d'autres termes, l'espérance mathématique du gain.