Figura prezintă un grafic al derivatei unei anumite funcții. Graficul derivat
Citeste si
În problema B9, este dat un grafic al unei funcții sau derivate, din care se cere să se determine una dintre următoarele mărimi:
- Valoarea derivatei la un punct x 0,
- Puncte ridicate sau scăzute (puncte extreme),
- Intervale de funcții crescătoare și descrescătoare (intervale de monotonitate).
Funcțiile și derivatele prezentate în această problemă sunt întotdeauna continue, ceea ce simplifică foarte mult soluția. În ciuda faptului că sarcina aparține secțiunii analiză matematică, este destul de în puterea chiar și a celor mai slabi studenți, deoarece aici nu sunt necesare cunoștințe teoretice profunde.
Pentru a găsi valoarea derivatei, punctelor extreme și a intervalelor de monotonitate, există algoritmi simpli și universali - toți vor fi discutați mai jos.
Citiți cu atenție starea problemei B9 pentru a nu face greșeli stupide: uneori apar texte destul de voluminoase, dar conditii importante, care afectează cursul soluției, sunt puține.
Calculul valorii instrumentului derivat. Metoda în două puncte
Dacă problemei i se oferă un grafic al funcției f(x), tangent la acest grafic la un punct x 0 , și este necesar să se găsească valoarea derivatei în acest punct, se aplică următorul algoritm:
- Găsiți două puncte „adecvate” pe graficul tangentei: coordonatele lor trebuie să fie întregi. Să notăm aceste puncte ca A (x 1 ; y 1) și B (x 2 ; y 2). Notați corect coordonatele - acesta este punctul cheie al soluției, iar orice greșeală aici duce la răspunsul greșit.
- Cunoscând coordonatele, este ușor de calculat incrementul argumentului Δx = x 2 − x 1 și incrementul funcției Δy = y 2 − y 1 .
- În final, găsim valoarea derivatei D = Δy/Δx. Cu alte cuvinte, trebuie să împărțiți incrementul funcției la incrementul argumentului - și acesta va fi răspunsul.
Încă o dată, observăm: punctele A și B trebuie căutate tocmai pe tangentă, și nu pe graficul funcției f(x), așa cum se întâmplă adesea. Tangenta va conține în mod necesar cel puțin două astfel de puncte, altfel problema este formulată incorect.
Luați în considerare punctele A (−3; 2) și B (−1; 6) și găsiți incrementele:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.
Să aflăm valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
O sarcină. Figura prezintă graficul funcției y \u003d f (x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .
Luați în considerare punctele A (0; 3) și B (3; 0), găsiți incremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.
Acum găsim valoarea derivatei: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
O sarcină. Figura prezintă graficul funcției y \u003d f (x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .
Luați în considerare punctele A (0; 2) și B (5; 2) și găsiți incremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.
Rămâne de găsit valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Din ultimul exemplu, putem formula regula: dacă tangenta este paralelă cu axa OX, derivata funcției în punctul de contact este egală cu zero. În acest caz, nici măcar nu trebuie să calculați nimic - doar uitați-vă la grafic.
Calcularea punctelor mari și scăzute
Uneori, în locul unui grafic al unei funcții din problema B9, este dat un grafic derivat și este necesar să se găsească punctul maxim sau minim al funcției. În acest scenariu, metoda în două puncte este inutilă, dar există un alt algoritm și mai simplu. Mai întâi, să definim terminologia:
- Punctul x 0 se numește punctul maxim al funcției f(x) dacă în vreo vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≥ f(x).
- Punctul x 0 se numește punctul minim al funcției f(x) dacă în vreo vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≤ f(x).
Pentru a găsi punctele maxime și minime pe graficul derivatei, este suficient să efectuați următorii pași:
- Redesenați graficul derivatei, eliminând toate informațiile inutile. După cum arată practica, datele suplimentare interferează doar cu soluția. Prin urmare, marchem zerourile derivatei pe axa de coordonate - și atât.
- Aflați semnele derivatei pe intervalele dintre zerouri. Dacă pentru un punct x 0 se știe că f'(x 0) ≠ 0, atunci sunt posibile doar două opțiuni: f'(x 0) ≥ 0 sau f'(x 0) ≤ 0. Semnul derivatei este ușor de determinat din desenul original: dacă graficul derivat se află deasupra axei OX, atunci f'(x) ≥ 0. În schimb, dacă graficul derivat se află sub axa OX, atunci f'(x) ≤ 0.
- Verificăm din nou zerourile și semnele derivatei. Acolo unde semnul se schimbă de la minus la plus, există un punct minim. În schimb, dacă semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, acesta este punctul maxim. Numărarea se face întotdeauna de la stânga la dreapta.
Această schemă funcționează numai pentru funcții continue - nu există altele în problema B9.
O sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−5; 5]. Aflați punctul minim al funcției f(x) pe acest segment.
Să scăpăm de informațiile inutile - vom lăsa doar granițele [−5; 5] și zerourile derivatei x = −3 și x = 2,5. De asemenea, rețineți semnele:
Evident, în punctul x = −3, semnul derivatei se schimbă din minus în plus. Acesta este punctul minim.
O sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7]. Aflați punctul maxim al funcției f(x) pe acest segment.
Să redesenăm graficul, lăsând doar limitele [−3; 7] și zerourile derivatei x = −1,7 și x = 5. Observați semnele derivatei pe graficul rezultat. Avem:
Evident, în punctul x = 5, semnul derivatei se schimbă de la plus la minus - acesta este punctul maxim.
O sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe segmentul [−6; patru]. Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) care aparțin intervalului [−4; 3].
Din condițiile problemei rezultă că este suficient să se considere doar partea din grafic mărginită de segmentul [−4; 3]. Prin urmare, construim un nou graf, pe care marchem doar limitele [−4; 3] și zerourile derivatei din interiorul acesteia. Și anume, punctele x = −3,5 și x = 2. Se obține:
Pe acest grafic, există un singur punct maxim x = 2. În el, semnul derivatei se schimbă de la plus la minus.
O mică notă despre punctele cu coordonate care nu sunt întregi. De exemplu, în ultima problemă s-a luat în considerare punctul x = −3,5, dar cu același succes putem lua x = −3,4. Dacă problema este formulată corect, astfel de modificări nu ar trebui să afecteze răspunsul, deoarece punctele „fără un loc fix de reședință” nu sunt direct implicate în rezolvarea problemei. Desigur, cu puncte întregi un astfel de truc nu va funcționa.
Găsirea intervalelor de creștere și scădere a unei funcții
Într-o astfel de problemă, precum punctele de maxim și minim, se propune să se găsească zone în care funcția în sine crește sau scade din graficul derivatei. În primul rând, să definim ce sunt crescător și descendent:
- O funcție f(x) se numește crescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment afirmația este adevărată: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Cu alte cuvinte, cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât valoarea funcției este mai mare.
- O funcție f(x) se numește descrescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment afirmația este adevărată: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Acestea. valoare mai mare argumentul corespunde valorii mai mici a funcției.
Formulăm condiții suficiente pentru creșterea și scăderea:
- La functie continua f(x) crește pe segment , este suficient ca derivata sa în interiorul segmentului să fie pozitivă, adică. f'(x) ≥ 0.
- Pentru ca o funcție continuă f(x) să scadă pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie negativă, i.e. f'(x) ≤ 0.
Acceptăm aceste afirmații fără dovezi. Astfel, obținem o schemă pentru găsirea intervalelor de creștere și scădere, care este în multe privințe similară cu algoritmul de calcul al punctelor extreme:
- Eliminați toate informațiile redundante. Pe graficul original al derivatei, ne interesează în primul rând zerourile funcției, așa că le lăsăm doar pe acestea.
- Marcați semnele derivatei la intervalele dintre zerouri. În cazul în care f'(x) ≥ 0, funcția crește, iar unde f'(x) ≤ 0, aceasta scade. Dacă problema are restricții asupra variabilei x, le marchem suplimentar pe noua diagramă.
- Acum că știm comportamentul funcției și al constrângerii, rămâne de calculat valoarea necesară în problemă.
O sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe segmentul [−3; 7,5]. Aflați intervalele funcției descrescătoare f(x). În răspunsul dvs., scrieți suma numerelor întregi incluse în aceste intervale.
Ca de obicei, redesenăm graficul și marchem limitele [−3; 7.5], precum și zerourile derivatei x = −1.5 și x = 5.3. Apoi marchem semnele derivatei. Avem:
Deoarece derivata este negativă pe intervalul (− 1,5), acesta este intervalul funcției descrescătoare. Rămâne să însumăm toate numerele întregi care se află în acest interval:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
O sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe segmentul [−10; patru]. Aflați intervalele funcției crescătoare f(x). În răspunsul tău, scrie lungimea celui mai mare dintre ele.
Să scăpăm de informațiile redundante. Lăsăm doar limitele [−10; 4] și zerourile derivatei, care de data aceasta s-au dovedit a fi patru: x = −8, x = −6, x = −3 și x = 2. Observați semnele derivatei și obțineți următoarea imagine:
Suntem interesați de intervalele funcției crescătoare, i.e. unde f'(x) ≥ 0. Există două astfel de intervale pe grafic: (−8; −6) și (−3; 2). Să le calculăm lungimile:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Deoarece este necesar să găsim lungimea celui mai mare dintre intervale, scriem valoarea l 2 = 5 ca răspuns.
Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [–5; 6]. Aflați numărul de puncte ale graficului f (x), în fiecare din care tangenta trasată la graficul funcției coincide sau este paralelă cu axa x
Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții diferențiabile y = f(x).
Aflați numărul de puncte din graficul funcției care aparțin segmentului [–7; 7], în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta dată de ecuația y = –3x.
Punctul material M începe să se miște din punctul A și se mișcă în linie dreaptă timp de 12 secunde. Graficul arată cum s-a schimbat distanța de la punctul A la punctul M în timp. Abscisa arată timpul t în secunde, ordonata arată distanța s în metri. Determinați de câte ori în timpul mișcării viteza punctului M a ajuns la zero (ignorați începutul și sfârșitul mișcării).
Figura prezintă secțiuni ale graficului funcției y \u003d f (x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x \u003d 0. Se știe că această tangentă este paralelă cu linia dreaptă care trece prin punctele lui. graficul cu abscisele x \u003d -2 și x \u003d 3. Folosind aceasta, găsiți valoarea derivatei f "(o).
Figura prezintă un grafic y = f'(x) - derivata funcției f(x), definită pe segmentul (−11; 2). Aflați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției y = f(x) este paralelă cu axa x sau coincide cu aceasta.
Punctul material se deplasează rectiliniu conform legii x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, unde x este distanța de la punctul de referință în metri, t este timpul măsurat în secunde de la începutul mișcării. În ce moment (în secunde) viteza ei a fost egală cu 2 m/s?
Punctul material se deplasează de-a lungul unei linii drepte de la poziția inițială la cea finală. Figura prezintă un grafic al mișcării sale. Timpul în secunde este trasat pe axa absciselor, distanța de la poziția inițială a punctului (în metri) este reprezentată pe axa ordonatelor. Găsi viteza medie mișcarea punctelor. Dați răspunsul în metri pe secundă.
Funcția y \u003d f (x) este definită pe intervalul [-4; patru]. Figura prezintă un grafic al derivatei sale. Găsiți numărul de puncte din graficul funcției y \u003d f (x), tangenta în care formează un unghi de 45 ° cu direcția pozitivă a axei Ox.
Funcția y \u003d f (x) este definită pe segmentul [-2; patru]. Figura prezintă un grafic al derivatei sale. Găsiți abscisa punctului grafic al funcției y \u003d f (x), la care ia cea mai mică valoare pe segmentul [-2; -0,001].
Figura prezintă graficul funcției y \u003d f (x) și tangenta la acest grafic, desenată în punctul x0. Tangenta este dată de ecuația y = -2x + 15. Aflați valoarea derivatei funcției y = -(1/4)f(x) + 5 în punctul x0.
Pe graficul funcției diferențiabile y = f(x) sunt marcate șapte puncte: x1,..,x7. Găsiți toate punctele marcate în care derivata funcției f(x) Peste zero. Introduceți numărul acestor puncte în răspunsul dvs.
Figura prezintă graficul y \u003d f "(x) al derivatei funcției f (x), definită pe intervalul (-10; 2). Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției f (x) este paralelă cu linia y \u003d -2x-11 sau se potrivește cu aceasta.
Figura prezintă un grafic al lui y \u003d f "(x) - derivata funcției f (x). Nouă puncte sunt marcate pe axa x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7 , x8, x9.
Câte dintre aceste puncte aparțin intervalelor funcției descrescătoare f(x)?
Figura prezintă graficul funcției y \u003d f (x) și tangenta la acest grafic, desenată în punctul x0. Tangenta este dată de ecuația y = 1,5x + 3,5. Găsiți valoarea derivatei funcției y \u003d 2f (x) - 1 în punctul x0.
Figura prezintă un grafic y=F(x) al uneia dintre antiderivatele funcției f (x). Pe grafic sunt marcate șase puncte cu abscise x1, x2, ..., x6. În câte dintre aceste puncte funcția y=f(x) ia valori negative?
Figura arată programul mașinii de-a lungul traseului. Timpul este trasat pe axa absciselor (în ore), pe axa ordonatelor - distanța parcursă (în kilometri). Găsiți viteza medie a mașinii pe această rută. Dati raspunsul in km/h
Punctul material se deplasează rectiliniu conform legii x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, unde x este distanța de la punctul de referință (în metri), t este timpul de mișcare (în secunde). Aflați viteza acesteia (în metri pe secundă) la momentul t=6 s
Figura prezintă un grafic al antiderivatei y \u003d F (x) a unei funcții y \u003d f (x), definită pe intervalul (-6; 7). Folosind figura, determinați numărul de zerouri ale funcției f(x) într-un interval dat.
Figura prezintă un grafic y = F(x) al uneia dintre antiderivatele unei funcții f(x) definite pe intervalul (-7; 5). Folosind figura, determinați numărul de soluții ale ecuației f(x) = 0 pe segmentul [- 5; 2].
Figura prezintă un grafic al unei funcții diferențiabile y=f(x). Nouă puncte sunt marcate pe axa x: x1, x2, ... x9. Găsiți toate punctele marcate în care derivata lui f(x) este negativă. Introduceți numărul acestor puncte în răspunsul dvs.
Punctul material se deplasează rectiliniu conform legii x(t)=12t^3−3t^2+2t, unde x este distanța de la punctul de referință în metri, t este timpul în secunde măsurat de la începutul mișcării. Aflați viteza acesteia (în metri pe secundă) la momentul t=6 s.
Figura prezintă graficul funcției y=f(x) și tangenta la acest grafic desenată în punctul x0. Ecuația tangentei este prezentată în figură. aflați valoarea derivatei funcției y=4*f(x)-3 în punctul x0.
(fig.1)
Figura 1. Graficul derivatei
Proprietăți de parcelă derivată
- La intervale crescătoare, derivata este pozitivă. Dacă derivata la un anumit punct dintr-un interval are valoare pozitivă, atunci graficul funcției pe acest interval crește.
- La intervale descrescătoare, derivata este negativă (cu semnul minus). Dacă derivata la un anumit punct dintr-un interval are sens negativ, atunci graficul funcției scade pe acest interval.
- Derivata in punctul x este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acelasi punct.
- În punctele maxim-minim ale funcției, derivata este egală cu zero. Tangenta la graficul funcției în acest punct este paralelă cu axa OX.
Exemplul 1
Conform graficului (Fig. 2) al derivatei, determinați în ce punct al segmentului [-3; 5] funcția este maximă.
Figura 2. Graficul derivatei
Soluție: Pe acest segment, derivata este negativă, ceea ce înseamnă că funcția scade de la stânga la dreapta și cea mai mare valoare situat pe partea stângă la punctul -3.
Exemplul 2
Conform graficului (Fig. 3) al derivatei, determinați numărul de puncte maxime de pe segmentul [-11; 3].
Figura 3. Graficul derivatei
Rezolvare: Punctele maxime corespund punctelor în care semnul derivatei se schimbă de la pozitiv la negativ. În acest interval, funcția își schimbă semnul de două ori de la plus la minus - la punctul -10 și la punctul -1. Deci numărul maxim de puncte este de două.
Exemplul 3
Conform graficului (Fig. 3) al derivatei, determinați numărul de puncte minime din segmentul [-11; -unu].
Rezolvare: Punctele minime corespund punctelor în care semnul derivatei se schimbă din negativ în pozitiv. Pe acest segment, doar -7 este un astfel de punct. Aceasta înseamnă că numărul minim de puncte pe un anumit segment este unul.
Exemplul 4
Conform graficului (Fig. 3) al derivatei, determinați numărul de puncte extreme.
Soluție: Extremul este punctul atât al minimului, cât și al maximului. Aflați numărul de puncte la care derivata își schimbă semnul.
Arătând relația semnului derivatei cu natura monotonității funcției.
Vă rugăm să fiți extrem de atenți în cele ce urmează. Uite, programul CE ți se dă! Funcția sau derivata ei
Dat un grafic al derivatei, atunci ne interesează doar semnele și zerourile funcției. Nu ne interesează, în principiu, nicio „denivelare” și nici un „gold”!
Sarcina 1.
Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe un interval. Determinați numărul de puncte întregi în care derivata funcției este negativă.
Soluţie:
În figură, zonele cu funcție descrescătoare sunt evidențiate în culoare:
4 valori întregi se încadrează în aceste zone de funcție descrescătoare.
Sarcina 2.
Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe un interval. Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta.
Soluţie:
Deoarece tangenta la graficul funcției este paralelă (sau coincide) cu o dreaptă (sau, care este aceeași, ) având pantă , egal cu zero, atunci tangenta are o pantă .
Aceasta înseamnă, la rândul său, că tangenta este paralelă cu axa, deoarece panta este tangenta unghiului de înclinare a tangentei la axă.
Prin urmare, găsim puncte extreme pe grafic (puncte maxime și minime), - în ele funcțiile tangente la grafic vor fi paralele cu axa.
Există 4 astfel de puncte.
Sarcina 3.
Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe intervalul . Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta.
Soluţie:
Deoarece tangenta la graficul funcției este paralelă (sau coincide) cu o dreaptă, care are o pantă, atunci tangenta are o pantă.
Aceasta înseamnă, la rândul său, că la punctele de contact.
Prin urmare, ne uităm la câte puncte de pe grafic au o ordonată egală cu .
După cum puteți vedea, există patru astfel de puncte.
Sarcina 4.
Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe un interval. Aflați numărul de puncte în care derivata funcției este 0.
Soluţie:
Derivata este zero la punctele extreme. Avem 4 dintre ele:
Sarcina 5.
Figura prezintă un grafic al funcției și unsprezece puncte pe axa x:. În câte dintre aceste puncte derivata funcției este negativă?
Soluţie:
La intervale de funcție descrescătoare, derivata sa ia valori negative. Și funcția scade la puncte. Există 4 astfel de puncte.
Sarcina 6.
Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe un interval. Aflați suma punctelor extreme ale funcției.
Soluţie:
puncte extremum sunt punctele maxime (-3, -1, 1) și punctele minime (-2, 0, 3).
Suma punctelor extreme: -3-1+1-2+0+3=-2.
Sarcina 7.
Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe intervalul . Aflați intervalele funcției crescătoare. În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.
Soluţie:
Figura evidențiază intervalele la care derivata funcției este nenegativă.
Nu există puncte întregi pe intervalul mic de creștere, pe intervalul de creștere există patru valori întregi: , , și .
Suma lor:
Sarcina 8.
Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe intervalul . Aflați intervalele funcției crescătoare. În răspunsul tău, scrie lungimea celui mai mare dintre ele.
Soluţie:
În figură sunt evidențiate toate intervalele la care derivata este pozitivă, ceea ce înseamnă că funcția în sine crește pe aceste intervale.
Lungimea celui mai mare dintre ele este de 6.
Sarcina 9.
Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe intervalul . În ce punct al segmentului ia cea mai mare valoare.
Soluţie:
Ne uităm la modul în care se comportă graficul pe segment, și anume, ne interesează numai semn derivat .
Semnul derivatei pe este minus, deoarece graficul acestui segment este sub axă.
Salut! Să lovim USE care se apropie cu pregătire sistematică de înaltă calitate și perseverență în măcinarea granitului științei !!! LALa sfârșitul postării există o sarcină competitivă, fii primul! Într-unul dintre articolele din această secțiune vă suntem alături, în care s-a dat graficul funcției, și s-au ridicat diverse întrebări referitoare la extreme, intervale de creștere (scădere) și altele.
În acest articol, vom lua în considerare sarcinile incluse în USE în matematică, în care este dat graficul derivatei unei funcții și se pun următoarele întrebări:
1. În ce punct al unui segment dat funcția ia cea mai mare (sau cea mai mică) valoare.
2. Aflați numărul de puncte maxime (sau minime) ale funcției care aparțin unui segment dat.
3. Aflați numărul de puncte extreme ale funcției care aparțin unui segment dat.
4. Aflați punctul extrem al funcției care aparține segmentului dat.
5. Găsiți intervale de creștere (sau scădere) a funcției și în răspuns indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.
6. Găsiți intervale de creștere (sau scădere) a funcției. În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre aceste intervale.
7. Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta y = kx + b sau coincide cu aceasta.
8. Aflați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa absciselor sau coincide cu aceasta.
Pot fi și alte întrebări, dar nu vă vor crea dificultăți dacă înțelegeți și (sunt furnizate link-uri către articole care oferă informațiile necesare rezolvării, recomand repetarea).
Informații de bază (pe scurt):
1. Derivata pe intervale crescatoare are semn pozitiv.
Dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare pozitivă, atunci graficul funcției pe acest interval crește.
2. Pe intervalele de scădere, derivata are semn negativ.
Dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare negativă, atunci graficul funcției pe acest interval scade.
3. Derivata in punctul x este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei din acelasi punct.
4. În punctele de extremum (maximum-minim) ale funcției, derivata este egală cu zero. Tangenta la graficul funcției în acest punct este paralelă cu axa x.
Acest lucru trebuie înțeles și amintit clar!!!
Graficul derivatului „încurcă” mulți oameni. Unii o iau din neatenție drept graficul funcției în sine. Prin urmare, în astfel de clădiri, unde vezi că este dat un grafic, concentrează-ți imediat atenția în condiția asupra a ceea ce este dat: un grafic al unei funcții sau un grafic al unei derivate a unei funcții?
Dacă este un grafic al derivatei unei funcții, atunci tratați-l ca pe o „reflecție” a funcției în sine, care pur și simplu vă oferă informații despre această funcție.
Luați în considerare sarcina:
Figura prezintă un grafic y=f'(X)- funcţie derivată f(X), definit pe intervalul (–2;21).
Vom răspunde la următoarele întrebări:
1. În ce punct al segmentului se află funcția f(X) ia cea mai mare valoare.
Pe un segment dat, derivata funcției este negativă, ceea ce înseamnă că funcția scade pe acest segment (descrește de la limita stângă a intervalului la dreapta). Astfel, valoarea maximă a funcției este atinsă la limita stângă a segmentului, adică la punctul 7.
Raspuns: 7
2. În ce punct al segmentului se află funcția f(X)
Din acest grafic al derivatei, putem spune următoarele. Pe un segment dat, derivata funcției este pozitivă, ceea ce înseamnă că funcția crește pe acest segment (crește de la marginea stângă a intervalului la cea dreaptă). Astfel, cea mai mică valoare a funcției este atinsă pe marginea din stânga a segmentului, adică în punctul x = 3.
Raspuns: 3
3. Aflați numărul maxim de puncte ale funcției f(X)
Punctele maxime corespund punctelor în care semnul derivatei se schimbă de la pozitiv la negativ. Luați în considerare unde se schimbă semnul în acest fel.
Pe segmentul (3;6) derivata este pozitivă, pe segmentul (6;16) este negativă.
Pe segmentul (16;18) derivata este pozitivă, pe segmentul (18;20) este negativă.
Astfel, pe un segment dat, funcția are două puncte maxime x = 6 și x = 18.
Raspuns: 2
4. Aflați numărul de puncte minime ale funcției f(X) aparţinând segmentului .
Punctele minime corespund punctelor în care semnul derivatei se schimbă de la negativ la pozitiv. Avem o derivată negativă pe intervalul (0; 3), și pozitivă pe intervalul (3; 4).
Astfel, pe segment, funcția are un singur punct minim x = 3.
*Atenție când scrieți răspunsul - se înregistrează numărul de puncte, nu valoarea x, o astfel de greșeală poate fi făcută din cauza neatenției.
Raspunsul 1
5. Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(X) aparţinând segmentului .
Vă rugăm să rețineți că trebuie să găsiți Cantitate puncte extremum (acestea sunt ambele puncte maxime și minime).
Punctele extreme corespund punctelor în care semnul derivatei se modifică (de la pozitiv la negativ sau invers). Pe graficul dat în condiție, acestea sunt zerourile funcției. Derivata dispare la punctele 3, 6, 16, 18.
Astfel, funcția are 4 puncte extreme pe segment.
Raspuns: 4
6. Aflați intervalele funcției crescătoare f(X)
Intervale de creştere a acestei funcţii f(X) corespund intervalelor la care derivata sa este pozitivă, adică intervalele (3;6) și (16;18). Vă rugăm să rețineți că limitele intervalului nu sunt incluse în acesta (paranteze rotunde - limitele nu sunt incluse în interval, parantezele pătrate sunt incluse). Aceste intervale conțin puncte întregi 4, 5, 17. Suma lor este: 4 + 5 + 17 = 26
Raspuns: 26
7. Aflați intervalele funcției descrescătoare f(X) la un interval dat. În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.
Intervale descrescătoare a funcției f(X) corespund intervalelor la care derivata functiei este negativa. În această problemă, acestea sunt intervalele (–2;3), (6;16), (18;21).
Aceste intervale conțin următoarele puncte întregi: -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Suma lor este:
(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +
11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140
Raspuns: 140
*Acordați atenție condiției: dacă limitele sunt incluse sau nu în interval. Dacă limitele sunt incluse, atunci aceste limite trebuie luate în considerare și în intervalele luate în considerare în procesul de soluționare.
8. Aflați intervalele funcției crescătoare f(X)
Intervalele de creștere a funcției f(X) corespund intervalelor la care derivata functiei este pozitiva. Le-am indicat deja: (3;6) și (16;18). Cel mai mare dintre ele este intervalul (3;6), lungimea sa este de 3.
Raspuns: 3
9. Aflați intervalele funcției descrescătoare f(X). În răspunsul tău, scrie lungimea celui mai mare dintre ele.
Intervale descrescătoare a funcției f(X) corespund intervalelor la care derivata functiei este negativa. Le-am indicat deja, acestea sunt intervalele (–2; 3), (6; 16), (18; 21), lungimile lor sunt, respectiv, egale cu 5, 10, 3.
Lungimea celui mai mare este de 10.
Raspuns: 10
10. Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției f(X) paralel cu linia y \u003d 2x + 3 sau coincide cu ea.
Valoarea derivatei în punctul de contact este egală cu panta tangentei. Deoarece tangenta este paralelă cu linia y \u003d 2x + 3 sau coincide cu aceasta, atunci pantele lor sunt egale cu 2. Prin urmare, este necesar să se afle numărul de puncte la care y (x 0) \u003d 2. Geometric , aceasta corespunde numărului de puncte de intersecție ale graficului derivat cu linia y = 2. Există 4 astfel de puncte pe acest interval.
Raspuns: 4
11. Aflați punctul extremum al funcției f(X) aparţinând segmentului .
Un punct extremum al unei funcții este un punct în care derivata sa este egală cu zero, iar în vecinătatea acestui punct, derivata își schimbă semnul (de la pozitiv la negativ sau invers). Pe segment, graficul derivatei traversează axa x, derivata își schimbă semnul din negativ în pozitiv. Prin urmare, punctul x = 3 este un punct extrem.
Raspuns: 3
12. Găsiți abscisele punctelor în care tangentele la graficul y \u003d f (x) sunt paralele cu axa absciselor sau coincid cu aceasta. În răspunsul dvs., indicați cel mai mare dintre ele.
Tangenta la graficul y \u003d f (x) poate fi paralelă cu axa x sau coincide cu aceasta, numai în punctele în care derivata este zero (acestea pot fi puncte extreme sau puncte staționare, în vecinătatea cărora derivata nu își schimbă semnul). Acest grafic arată că derivata este zero la punctele 3, 6, 16, 18. Cel mai mare este 18.
Argumentul poate fi structurat astfel:
Valoarea derivatei în punctul de contact este egală cu panta tangentei. Deoarece tangenta este paralelă sau coincide cu axa x, panta ei este 0 (într-adevăr, tangenta unui unghi de zero grade este zero). Prin urmare, căutăm un punct în care panta este egală cu zero, ceea ce înseamnă că derivata este egală cu zero. Derivata este egală cu zero în punctul în care graficul său traversează axa x, iar acestea sunt punctele 3, 6, 16, 18.
Raspuns: 18
Figura prezintă un grafic y=f'(X)- funcţie derivată f(X) definit pe intervalul (–8;4). În ce punct al segmentului [–7;–3] se află funcția f(X) ia cea mai mică valoare.
Figura prezintă un grafic y=f'(X)- funcţie derivată f(X), definit pe intervalul (–7;14). Aflați numărul maxim de puncte ale unei funcții f(X) aparținând segmentului [–6;9].
Figura prezintă un grafic y=f'(X)- funcţie derivată f(X) definit pe intervalul (–18;6). Aflați numărul de puncte minime ale unei funcții f(X) aparținând segmentului [–13;1].
Figura prezintă un grafic y=f'(X)- funcţie derivată f(X), definit pe intervalul (–11; –11). Aflați numărul de puncte extreme ale unei funcții f(X), aparținând segmentului [–10; -zece].
Figura prezintă un grafic y=f'(X)- funcţie derivată f(X) definit pe intervalul (–7;4). Aflați intervalele funcției crescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.
Figura prezintă un grafic y=f'(X)- funcţie derivată f(X), definit pe intervalul (–5; 7). Aflați intervalele funcției descrescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.
Figura prezintă un grafic y=f'(X)- funcţie derivată f(X) definit pe intervalul (–11;3). Aflați intervalele funcției crescătoare f(X). În răspunsul tău, scrie lungimea celui mai mare dintre ele.
F Figura prezintă un grafic
Starea problemei este aceeași (pe care am considerat-o). Aflați suma a trei numere:
1. Suma pătratelor extremelor funcției f (x).
2. Diferența pătratelor sumei punctelor maxime și a sumei punctelor minime ale funcției f (x).
3. Numărul de tangente la f (x) paralele cu dreapta y \u003d -3x + 5.
Primul care va da răspunsul corect va primi un premiu stimulativ - 150 de ruble. Scrieți răspunsurile dvs. în comentarii. Dacă acesta este primul tău comentariu pe blog, atunci nu va apărea imediat, puțin mai târziu (nu vă faceți griji, se înregistrează momentul scrierii unui comentariu).
Multă baftă!
Cu stimă, Alexander Krutitsikh.
P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.