Решение квадратичных неравенств. Квадратные неравенства
Читайте также
Универсальным методом решения неравенств по праву считается метод интервалов. Именно его проще всего использовать для решения квадратных неравенств с одной переменной. В этом материале мы рассмотрим все аспекты применения метода интервалов для решения квадратных неравенств. Для облегчения усвоения материала мы рассмотрим большое количество примеров разной степени сложности.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Алгоритм применения метода интервалов
Рассмотрим алгоритм применения метода интервалов в адаптированном варианте, который пригоден для решения квадратных неравенств. Именно с таким вариантом метода интервалов знакомят учеников на уроках алгебры. Не будем усложнять задачу и мы.
Перейдем собственно к алгоритму.
У нас есть квадратный трехчлен a · x 2 + b · x + c из левой части квадратного неравенства. Находим нули из этого трехчлена.
В системе координат изображаем координатную прямую. Отмечаем на ней корни. Для удобства можем ввести разные способы обозначения точек для строгих и нестрогих неравенств. Давайте договоримся, что «пустыми» точками мы будем отмечать координаты при решении строгого неравенства, а обычными точками - нестрогого. Отметив точки, мы получаем на координатной оси несколько промежутков.
Если на первом шаге мы нашли нули, то определяем знаки значений трехчлена для каждого из полученных промежутков. Если нули мы не получили, то производим это действие для всей числовой прямой. Отмечаем промежутки знаками « + » или « - ».
Дополнительно мы будем вводить штриховку в тех случаях, когда будем решать неравенства со знаками > или ≥ и < или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».
Отметив знаки значений трехчлена и нанеся штриховку над отрезками, мы получаем геометрический образ некоторого числового множества, которое фактически является решением неравенства. Нам остается лишь записать ответ.
Остановимся подробнее на третьем шаге алгоритма, который предполагает определение знака промежутка. Существует несколько подходов определения знаков. Рассмотрим их по порядку, начав с наиболее точного, хотя и не самого быстрого. Этот метод предполагает вычисление значений трехчлена в нескольких точках полученных промежутков.
Пример 1
Для примера возьмем трехчлен x 2 + 4 · x − 5 .
Корни этого трехчлена 1 и - 5 разбивают координатную ось на три промежутка (− ∞ , − 5) , (− 5 , 1) и (1 , + ∞) .
Начнем с промежутка (1 , + ∞) . Для того, чтобы упростить себе задачу, примем х = 2 . Получаем 2 2 + 4 · 2 − 5 = 7 .
7 – положительное число. Это значит, что значения данного квадратного трехчлена на интервале (1 , + ∞) положительные и его можно обозначить знаком « + ».
Для определения знака промежутка (− 5 , 1) примем x = 0 . Имеем 0 2 + 4 · 0 − 5 = − 5 . Ставим над интервалом знак « - ».
Для промежутка (− ∞ , − 5) возьмем x = − 6 , получаем (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7 . Отмечаем этот интервал знаком « + ».
Намного быстрее определить знаки можно с учетом следующих фактов.
При положительном дискриминанте квадратный трехчлен с двумя корнями дает чередование знаков его значений на промежутках, на которые разбивается числовая ось корнями этого трехчлена. Это значит, что нам вовсе не обязательно определять знаки для каждого из интервалов. Достаточно провести вычисления для одного и проставить знаки для остальных, учитывая принцип чередования.
При желании, можно и вовсе обойтись без вычислений, сделав выводы о знаках по значению старшего коэффициента. Если a > 0 , то мы получаем последовательность знаков + , − , + , а если a < 0 – то − , + , − .
У квадратных трехчленов с одним корнем, когда дискриминант равен нулю, мы получаем два промежутка на координатной оси с одинаковыми знаками. Это значит, что мы определяем знак для одного из промежутков и для второго ставим такой же.
Здесь также применим метод определения знака на основе значения коэффициента a: если a > 0 , то будет + , + , а если a < 0 , то − , − .
Если квадратный трехчлен не имеет корней, то знаки его значений для всей координатной прямой совпадают как со знаком старшего коэффициента a , так и со знаком свободного члена c .
Например, если мы возьмем квадратный трехчлен − 4 · x 2 − 7 , он не имеет корней (его дискриминант отрицательный). Коэффициент при x 2 есть отрицательное число − 4 , и свободный член − 7 тоже отрицателен. Это значит, что на промежутке (− ∞ , + ∞) его значения отрицательны.
Рассмотрим примеры решения квадратных неравенств с использованием рассмотренного выше алгоритма.
Пример 2
Решите неравенство 8 · x 2 − 4 · x − 1 ≥ 0 .
Решение
Используем для решения неравенства метод интервалов. Для этого найдем корни квадратного трехчлена 8 · x 2 − 4 · x − 1 . В связи с тем, что коэффициент при х четный, нам будет удобнее вычислить не дискриминант, а четвертую часть дискриминанта: D " = (− 2) 2 − 8 · (− 1) = 12 .
Дискриминант больше нуля. Это позволяет нам найти два корня квадратного трехчлена: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 и x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . Отметим эти значения на числовой прямой. Так как уравнение нестрогое, то на графике мы используем обычные точки.
Теперь по методу интервалов определяем знаки трех полученных интервалов. Коэффициент при x 2 равен 8 , то есть, положителен, следовательно, последовательность знаков будет + , − , + .
Так как мы решаем неравенство со знаком ≥ , то изображаем штриховку над промежутками со знаками плюс:
Запишем аналитически числовое множество по полученному графическому изображению. Мы можем сделать это двумя способами:
Ответ: (- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) или x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .
Пример 3
Выполните решение квадратного неравенства - 1 7 · x 2 + 2 · x - 7 < 0 методом интервалов.
Решение
Для начала найдем корни квадратного трехчлена из левой части неравенства:
D " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7
Это строгое неравенство, поэтому на графике используем «пустую» точку. С координатой 7 .
Теперь нам нужно определить знаки на полученных промежутках (− ∞ , 7) и (7 , + ∞) . Так как дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а старший коэффициент отрицательный, то мы проставляем знаки − , − :
Так как мы решаем неравенство со знаком < , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:
В данном случае решениями являются оба промежутка (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) .
Ответ: (− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) или в другой записи x ≠ 7 .
Пример 4
Имеет ли квадратное неравенство x 2 + x + 7 < 0 решения?
Решение
Найдем корни квадратного трехчлена из левой части неравенства. Для этого найдем дискриминант: D = 1 2 − 4 · 1 · 7 = 1 − 28 = − 27 . Дискриминант меньше нуля, значит, действительных корней нет.
Графическое изображение будет иметь вид числовой прямой без отмеченных на ней точек.
Определим знак значений квадратного трехчлена. При D < 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :
Штриховку мы могли бы нанести в данном случае над промежутками со знаком « - ». Но таких промежутков у нас нет. Следовательно, чертеж сохраняет вот такой вид:
В результате вычислений мы получили пустое множество. Это значит, что данное квадратное неравенство решений не имеет.
Ответ: Нет.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Квадратное неравенство – «ОТ и ДО». В этой статье мы с вами рассмотрим решение квадратных неравенств что называется до тонкостей. Изучать материал статьи рекомендую внимательно ничего не пропуская. Осилить статью сразу не получится, рекомендую сделать это за несколько подходов, информации много.
Содержание:
Вступление. Важно!
Вступление. Важно!
Квадратное неравенство – это неравенство вида:
Если взять квадратное уравнение и заменить знак равенства на любой из указанных выше, то получится квадратное неравенство. Решить неравенство - это значит ответить на вопрос, при каких значениях х данное неравенство будет верно. Примеры:
10 x 2 – 6 x +12 ≤ 0
2 x 2 + 5 x –500 > 0
– 15 x 2 – 2 x +13 > 0
8 x 2 – 15 x +45≠ 0
Квадратное неравенство может быть задано в неявном виде, например:
10 x 2 – 6 x +14 x 2 –5 x +2≤ 56
2 x 2 > 36
8 x 2 <–15 x 2 – 2 x +13
0> – 15 x 2 – 2 x +13
В этом случае необходимо выполнить алгебраические преобразования и привести его к стандартному виду (1).
*Коэффициенты могут быть и дробными и иррациональными, но в школьной программе такие примеры редкость, а в заданиях ЕГЭ не встречаются вообще. Но вы не пугайтесь, если, например, встретите:
Это тоже квадратное неравенство.
Сначала рассмотрим простой алгоритм решения, не требующий понимания того, что такое квадратичная функция и как её график выглядит на координатной плоскости относительно осей координат. Если вы способны запоминать информацию крепко и надолго, при этом регулярно подкрепляете её практикой, то алгоритм вам поможет. Так же если вам, как говорится, нужно решить такое неравенство «наразок», то алгоритм вам в помощь. Следуя ему вы без труда осуществите решение.
Если же вы учитесь в школе, то настоятельно рекомендую вам начать изучение статьи со второй части, где рассказывается весь смысл решения (смотрите ниже с пункта – ). Если будет понимание сути, то не учить, не запоминать указанный алгоритм будет не нужно, вы без труда быстро решите любое квадратное неравенство.
Конечно, следовало бы сразу начать разъяснение именно с графика квадратичной функции и oбъяснения самого смысла, но решил «построить» статью именно так.
Ещё один теоретический момент! Посмотрите формулу разложения квадратного трёхчлена на множители:
где х 1 и х 2 — корни квадратного уравнения ax 2 + bx +c=0
*Для того, чтобы решить квадратное неравенство, необходимо будет квадратный трёхчлен разложить на множители.
Представленный ниже алгоритм называют ещё методом интервалов. Он подходит для решения неравенств вида f (x )>0, f (x )<0 , f (x )≥0 и f (x )≤0 . Обратите внимание, что множителей может более двух, например:
(х–10)(х+5)(х–1)(х+104)(х+6)(х–1)<0
Алгоритм решения. Метод интервалов. Примеры.
Дано неравенство ax 2 + bx + с > 0 (знак любой).
1. Записываем квадратное уравнение ax 2 + bx + с = 0 и решаем его. Получаем х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения.
2. Подставляем в формулу (2) коэффициент a и корни. :
a (x – x 1 )(x – x 2)>0
3. Определяем интервалы на числовой прямой (корни уравнения делят числовую ось на интервалы):
4. Определяем «знаки» на интервалах (+ или –) путём подстановки произвольного значения «х» из каждого полученного интервала в выражение:
a (x – x 1 )(x – x 2)
и отмечаем их.
5. Остаётся лишь выписать интересующие нас интервалы, они отмечены:
— знаком «+», если в неравенстве стояло «>0» или «≥0».
— знаком «–», если в неравенстве было «<0» или «≤0».
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!!! Сами знаки в неравенстве могут быть:
строгими – это «>», «<» и нестрогими – это «≥», «≤».
Как это влияет на результат решения?
При строгих знаках неравенства границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде (x 1 ; x 2 ) – скобки круглые.
При нестрогих знаках неравенства границы интервала ВХОДЯТ в решение, и ответ записывается в виде [x 1 ; x 2 ] – скобки квадратные.
*Это касается не только квадратных неравенств. Квадратная скобка означает, что сама граница интервала включена в решение.
На примерах вы это увидите. Давайте разберём несколько, чтобы снять все вопросы по этому поводу. В теории алгоритм может показаться несколько сложным, на самом деле всё просто.
ПРИМЕР 1: Решить x 2 – 60 x +500 ≤ 0
Решаем квадратное уравнение x 2 –60 x +500=0
D = b 2 –4 ac = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600
Находим корни:
Подставляем коэффициент a
x 2 –60 x +500 = (х–50)(х–10)
Записываем неравенство в виде (х–50)(х–10) ≤ 0
Корни уравнения делят числовую ось на интервалы. Покажем их на числовой прямой:
Мы получили три интервала (–∞;10), (10;50) и (50;+∞).
Определяем «знаки» на интервалах, делаем это путём подстановки в выражение (х–50)(х–10) произвольных значений их каждого полученного интервала и смотрим соответствие полученного «знака» знаку в неравенстве (х–50)(х–10) ≤ 0 :
при х=2 (х–50)(х–10) = 384 > 0 неверно
при х=20 (х–50)(х–10) = –300 < 0 верно
при х=60 (х–50)(х–10) = 500 > 0 неверно
Решением будет являться интервал .
При всех значениях х из этого интервала неравенство будет верным.
*Обратите внимание, что мы поставили квадратные скобки.
При х = 10 и х = 50 неравенство также будет верно, то есть границы входят в решение.
Ответ: x∊
Ещё раз:
— Границы интервала ВХОДЯТ в решение неравенства тогда, когда в условии стоит знак ≤ или ≥ (нестрогое неравенство). При этом на эскизе принято полученные корни отображать ЗАШТРИШОВАННЫМ кружком.
— Границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение неравенства тогда, когда в условии стоит знак < или > (строгое неравенство). При этом на эскизе принято корень отображать НЕЗАШТРИХОВАННЫМ кружком.
ПРИМЕР 2: Решить x 2 + 4 x –21 > 0
Решаем квадратное уравнение x 2 + 4 x –21 = 0
D = b 2 –4 ac = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100
Находим корни:
Подставляем коэффициент a и корни в формулу (2), получаем:
x 2 + 4 x –21 = (х–3)(х+7)
Записываем неравенство в виде (х–3)(х+7) > 0.
Корни уравнения делят числовую ось на интервалы. Отметим их на числовой прямой:
*Неравенство нестрогое, поэтому обозначения корней НЕзаштрихованы. Получили три интервала (–∞;–7), (–7;3) и (3;+∞).
Определяем «знаки» на интервалах, делаем это путём подстановки в выражение (х–3)(х+7) произвольных значений их этих интервалов и смотрим соответствие неравенству (х–3)(х+7)> 0 :
при х= –10 (–10–3)(–10 +7) = 39 > 0 верно
при х= 0 (0–3)(0 +7) = –21 < 0 неверно
при х=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 верно
Решением будут являться два интервала (–∞;–7) и (3;+∞). При всех значениях х из этих интервалов неравенство будет верным.
*Обратите внимание, что мы поставили круглые скобки. При х = 3 и х = –7 неравенство будет неверным – границы не входят в решение.
Ответ: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)
ПРИМЕР 3: Решить – x 2 –9 x –20 > 0
Решаем квадратное уравнение – x 2 –9 x –20 = 0.
a = –1 b = –9 c = –20
D = b 2 –4 ac = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.
Находим корни:
Подставляем коэффициент a и корни в формулу (2), получаем:
– x 2 –9 x –20 =–(х–(–5))(х–(–4))= –(х+5)(х+4)
Записываем неравенство в виде –(х+5)(х+4) > 0.
Корни уравнения делят числовую ось на интервалы. Отметим на числовой прямой:
*Неравенство строгое, поэтому обозначения корней незаштрихованы. Получили три интервала (–∞;–5), (–5; –4) и (–4;+∞).
Определяем «знаки» на интервалах, делаем это путём подстановки в выражение –(х+5)(х+4) произвольных значений их этих интервалов и смотрим соответствие неравенству –(х+5)(х+4)>0 :
при х= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30 < 0 неверно
при х= –4,5 – (–4,5+5)(–4,5+4) = 0,25 > 0 верно
при х= 0 – (0+5)(0 +4) = –20 < 0 неверно
Решением будут являться интервал (–5;–4). При всех значениях «х» принадлежащих ему неравенство будет верным.
*Обратите внимание, что границы не входят в решение. При х = –5 и х = –4 неравенство будет неверным.
ЗАМЕЧАНИЕ!
При решении квадратного уравнения у нас может получится один корень или корней не будет вовсе, тогда при использовании данного метода вслепую могут возникнуть затруднения в определении решения.
Небольшой итог! Метод хорош и использовать его удобно, особенно если вы знакомы с квадратичной функцией и знаете свойства её графика. Если нет, то прошу ознакомиться, приступим к следующему разделу.
Использование графика квадратичной функции. Рекомендую!
Квадратичная это функция вида:
Её графиком является парабола, ветви параболы направлены вверх, либо вниз:
График может быть расположен следующим образом: может пересекать ось х в двух точках, может касаться её в одной точке (вершиной), может не пересекать. Об этом подробнее в дальнейшем.
Теперь рассмотрим этот подход на примере. Весь процесс решения состоит из трёх этапов. Решим неравенство x 2 +2 x –8 >0.
Первый этап
Решаем уравнение x 2 +2 x –8=0.
D = b 2 –4 ac = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36
Находим корни:
Получили х 1 =2 и х 2 = – 4.
Второй этап
Строим параболу у= x 2 +2 x –8 по точкам:
Точки – 4 и 2 это точки пересечения параболы и оси ох. Всё просто! Что сделали? Мы решили квадратное уравнение x 2 +2 x –8=0. Посмотрите его запись в таком виде:
0 = x 2 +2x – 8
Ноль у нас это значение «у». При у = 0, мы получаем абсциссы точек пересечения параболы с осью ох. Можно сказать, что нулевое значение «у» это есть ось ох.
Теперь посмотрите при каких значениях х выражение x 2 +2 x – 8 больше (или меньше) нуля? По графику параболы это определить несложно, как говорится, всё на виду:
1. При х < – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 будет положительным.
2. При –4 < х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2 +2 x –8 будет отрицательным.
3. При х > 2 ветвь параболы лежит выше оси ох. При указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 будет положительным.
Третий этап
По параболе нам сразу видно, при каких х выражение x 2 +2 x –8 больше нуля, равно нулю, меньше нуля. В этом заключается суть третьего этапа решения, а именно увидеть и определить положительные и отрицательные области на рисунке. Сопоставляем полученный результат с исходным неравенством и записываем ответ. В нашем примере необходимо определить все значения х при которых выражение x 2 +2 x –8 больше нуля. Мы это сделали во втором этапе.
Остаётся записать ответ.
Ответ: x∊(–∞;–4) U (2;∞).
Подведём итог: вычислив в первом шаге корни уравнения, мы можем отметить полученные точки на оси ох (это точки пересечения параболы с осью ох). Далее схематично строим параболу и уже можем увидеть решение. Почему схематично? Математически точный график нам не нужен. Да и представьте, например, если корни получатся 10 и 1500, попробуй-ка построй точный график на листе в клетку с таким разбегом значений. Возникает вопрос! Ну получили мы корни, ну отметили их на оси ох, а зарисовать расположение самой парабола – ветвями вверх или вниз? Тут всё просто! Коэффициент при х 2 вам подскажет:
— если он больше нуля, то ветви параболы направлены вверх.
— если меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз.
В нашем примере он равен единице, то есть положителен.
*Примечание! Если в неравенстве будет стоять знак нестрогий, то есть ≤ или ≥, то корни на числовой прямой следует заштриховать, этим условно обозначается, что сама граница интервала входит в решение неравенства. В данном случае корни не заштрихованы (выколоты), так как неравенство у нас строгое (стоит знак «>»). При чем в ответе, в данном случае, ставятся круглые скобки, а не квадратные (границы не входят в решение).
Написано много, кого-то запутал, наверное. Но если вы решите минимум 5 неравенств с использованием парабол, то восхищению вашему предела не будет. Всё просто!
Итак, кратко:
1. Записываем неравенство, приводим к стандартному.
2. Записываем квадратное уравнение и решаем его.
3. Рисуем ось ох, отмечаем полученные корни, схематично рисуем параболу, ветвями вверх, если коэффициент при х 2 положителен, или ветвями вниз, если он отрицателен.
4. Определяем визуально положительные или отрицательные области и записываем ответ по исходному неравенству.
Рассмотрим примеры.
ПРИМЕР 1: Решить x 2 –15 x +50 > 0
Первый этап.
Решаем квадратное уравнение x 2 –15 x +50=0
D = b 2 –4 ac = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25
Находим корни:
Второй этап.
Строим ось ох. Отмечем полученные корни. Так как неравенство у нас строгое, то заштриховывать их не будем. Схематично строим параболу, расположена она ветвями вверх, так как коэффициент при х 2 положительный:
Третий этап.
Определяем визуально положительные и отрицательные области, здесь мы их отметили разными цветами для наглядности, можно этого и не делать.
Записываем ответ.
Ответ: x∊(–∞;5) U (10;∞).
*Знак U обозначает объёдинение решение. Образно можно выразиться так, решением является «этот» И « ещё этот» интервал.
ПРИМЕР 2: Решить – x 2 + x +20 ≤ 0
Первый этап.
Решаем квадратное уравнение – x 2 + x +20=0
D = b 2 –4 ac = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81
Находим корни:
Второй этап.
Строим ось ох. Отмечем полученные корни. Так как неравенство у нас нестрогое, то заштрихуем обозначения корней. Схематично строим параболу, расположена она ветвями вниз, так как коэффициент при х 2 отрицательный (он равен –1):
Третий этап.
Определяем визуально положительные и отрицательные области. Сопоставляем с исходным неравенством (знак у нас ≤ 0). Неравенство будет верно при х ≤ – 4 и х ≥ 5.
Записываем ответ.
Ответ: x∊(–∞;–4] U ∪ или в другой записи x 1 ≤x≤x 2 ,
где x 1
и x 2
– корни квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c
, причем x 1 По чертежу отчетливо видно, что парабола расположена выше оси Ox всюду, кроме точки касания, то есть, на промежутках (−∞, x 0)
, (x 0 , ∞)
. Для наглядности выделим на чертеже области по аналогии с предыдущим пунктом. Делаем выводы: при a>0
и D=0
где x 0
- корень квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c
. Очевидно, парабола расположена выше оси Ox
на всем ее протяжении (нет интервалов, на которых она ниже оси Ox
, нет точки касания). Таким образом, при a>0
и D<0
решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0
и a·x 2 +b·x+c≥0
является множество всех действительных чисел, а неравенства a·x 2 +b·x+c<0
и a·x 2 +b·x+c≤0
не имеют решений. И остаются три варианта расположения параболы с направленными вниз, а не вверх, ветвями относительно оси Ox
. В принципе их можно и не рассматривать, так как умножение обеих частей неравенства на −1
позволяет перейти к равносильному неравенству с положительным коэффициентом при x 2
. Но все же не помешает получить представление и об этих случаях. Рассуждения здесь аналогичные, поэтому запишем лишь главные результаты. Итогом всех предыдущих выкладок выступает алгоритм решения квадратных неравенств графическим способом
: На координатной плоскости выполняется схематический чертеж, на котором изображается ось Ox
(ось Oy
изображать не обязательно) и эскиз параболы, отвечающей квадратичной функции y=a·x 2 +b·x+c
. Для построения эскиза параболы достаточно выяснить два момента: Когда чертеж готов, по нему на втором шаге алгоритма они и составляют искомое решение квадратного неравенства, а если таких промежутков нет и нет точек касания, то исходное квадратное неравенство не имеет решений. Остается лишь решить несколько квадратных неравенств с использованием этого алгоритма. Пример.
Решите неравенство Решение.
Нам требуется решить квадратное неравенство, воспользуемся алгоритмом из предыдущего пункта. На первом шаге нам нужно изобразить эскиз графика квадратичной функции Отсюда понятно, что парабола пересекает ось Ox
в двух точках с абсциссами −3
и 1/3
. Эти точки изобразим на чертеже обычными точками, так как решаем нестрогое неравенство. По выясненным данным получаем следующий чертеж (он подходит под первый шаблон из первого пункта статьи): Переходим ко второму шагу алгоритма. Так как мы решаем нестрогое квадратное неравенство со знаком ≤, то нам нужно определить промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс и добавить к ним абсциссы точек пересечения. Из чертежа видно, что парабола ниже оси абсцисс на интервале (−3, 1/3)
и к нему добавляем абсциссы точек пересечения, то есть, числа −3
и 1/3
. В результате приходим к числовому отрезку [−3, 1/3]
. Это и есть искомое решение. Его можно записать в виде двойного неравенства −3≤x≤1/3
. Ответ:
[−3, 1/3]
или −3≤x≤1/3
. Пример.
Найдите решение квадратного неравенства −x 2 +16·x−63<0
. Решение.
По обыкновению начинаем с чертежа. Числовой коэффициент при квадрате переменной отрицательный, −1
, поэтому, ветви параболы направлены вниз. Вычислим дискриминант, а лучше – его четвертую часть: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1
. Его значение положительно, вычислим корни квадратного трехчлена: Так как мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком <, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс: По чертежу видно, что решениями исходного квадратного неравенства являются два промежутка (−∞, 7)
, (9, +∞)
. Ответ:
(−∞, 7)∪(9, +∞)
или в другой записи x<7
, x>9
. При решении квадратных неравенств, когда дискриминант квадратного трехчлена в его левой части равен нулю, нужно быть внимательным с включением или исключением из ответа абсциссы точки касания. Это зависит от знака неравенства: если неравенство строгое, то она не является решением неравенства, а если нестрогое – то является. Пример.
Имеет ли квадратное неравенство 10·x 2 −14·x+4,9≤0
хотя бы одно решение? Решение.
Построим график функции y=10·x 2 −14·x+4,9
. Ее ветви направлены вверх, так как коэффициент при x 2
положительный, и она касается оси абсцисс в точке с абсциссой 0,7
, так как D"=(−7) 2 −10·4,9=0
, откуда
или 0,7
в виде десятичной дроби. Схематически это выглядит так: Так как мы решаем квадратное неравенство со знаком ≤, то его решением будут промежутки, на которых парабола ниже оси Ox
, а также абсцисса точки касания. Из чертежа видно, что нет ни одного промежутка, где бы парабола была ниже оси Ox
, поэтому его решением будет лишь абсцисса точки касания, то есть, 0,7
. Ответ:
данное неравенство имеет единственное решение 0,7
. Пример.
Решите квадратное неравенство –x 2 +8·x−16<0
. Решение.
Действуем по алгоритму решения квадратных неравенств и начинаем с построения графика. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при x 2
отрицательный, −1
. Найдем дискриминант квадратного трехчлена –x 2 +8·x−16
, имеем D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0
и дальше x 0 =−4/(−1)
, x 0 =4
. Итак, парабола касается оси Ox
в точке с абсциссой 4
. Выполним чертеж: Смотрим на знак исходного неравенства, он есть <. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс. В нашем случае это открытые лучи (−∞, 4)
, (4, +∞)
. Отдельно заметим, что 4
- абсцисса точки касания - не является решением, так как в точке касания парабола не ниже оси Ox. Ответ:
(−∞, 4)∪(4, +∞)
или в другой записи x≠4
. Обратите особое внимание на случаи, когда дискриминант квадратного трехчлена, находящегося в левой части квадратного неравенства, меньше нуля. Здесь не нужно спешить и говорить, что неравенство решений не имеет (мы же привыкли делать такой вывод для квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом). Дело в том, что квадратное неравенство при D<0
может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел. Пример.
Найдите решение квадратного неравенства 3·x 2 +1>0
. Решение.
Как обычно начинаем с чертежа. Коэффициент a
равен 3
, он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вычисляем дискриминант: D=0 2 −4·3·1=−12
. Так как дискриминант отрицателен, то парабола не имеет с осью Ox
общих точек. Полученных сведений достаточно для схематичного графика: Мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком >. Его решением будут все промежутки, на которых парабола находится выше оси Ox
. В нашем случае парабола выше оси абсцисс на всем ее протяжении, поэтому искомым решением будет множество всех действительных чисел. Ox
, а также к ним нужно добавить абсциссы точек пересечения или абсциссу точки касания. Но по чертежу хорошо видно, что таких промежутков нет (так как парабола всюду ниже оси абсцисс), как нет и точек пересечения, как нет и точки касания. Следовательно, исходное квадратное неравенство не имеет решений. Ответ:
нет решений или в другой записи ∅. Список литературы.
Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же
появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д.,
обозначающие результаты сравнения однородных величин. Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней
Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит
большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру
с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра. Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше),
С числовыми неравенствами вы встречались и в младших классах. Знаете, что неравенства могут быть верными, а могут быть и неверными.
Например, \(\frac{1}{2} > \frac{1}{3} \) верное числовое неравенство, 0,23 > 0,235 - неверное числовое неравенство. Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других.
Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 - неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить
задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений.
Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах
математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения. Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование
определённого объекта, например, корня уравнения. Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями,
но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с
помощью нахождения знака их разности. Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач
сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях
сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства. Определение.
Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна. Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а Таким образом, неравенство а > b означает, что разность а - b положительна, т.е. а - b > 0. Неравенство а Для любых двух чисел а и b из следующих трёх соотношений a > b, a = b, a Сравнить числа а и b - значит выяснить, какой из знаков >, = или Теорема.
Если a > b и Ь > с, то а > с. Теорема.
Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Теорема.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия
с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать
задачи оценивания и сравнения значений выражений. При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом
иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во
второй - более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше
13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2. При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:
Теорема.
При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то
a + c > b + d. Теорема.
При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается
неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d - положительные числа, то ac > bd. Неравенства со знаком > (больше) и 1/2, 3/4 b, c Наряду со знаками строгих неравенств > и Точно так же неравенство \(a \geq b \) означает, что число а больше или равно b, т. е. а не меньше b. Неравенства, содержащие знак \(\geq \) или знак \(\leq \), называют нестрогими. Например,
\(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) - нестрогие неравенства. Все свойства строгих неравенств справедливы и для нестрогих неравенств. При этом если для строгих неравенств противоположными
считались знаки > и Вы знаете, что для решения ряда прикладных задач приходится составлять математическую модель в виде уравнения или системы
уравнений. Далее вы узнаете, что математическими моделями для решения многих задач являются неравенства с неизвестными.
Будет введено понятие решения неравенства и показано, как проверить, является ли данное число решением конкретного неравенства. Неравенства вида Определение.
Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство
обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство - это значит найти все его решения или установить, что их нет. Решение уравнений вы осуществляли путём приведения их к простейшим уравнениям. Аналогично при решении неравенств их стремятся
с помощью свойств привести к виду простейших неравенств. Неравенства вида Решение неравенства Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной:
Рассмотрим функцию Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область
определения функции на промежутки \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) и \((5; +\infty) \) Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков. Выражение (х + 2)(х - 3)(х - 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых
промежутках указан в таблице: Вообще пусть функция задана формулой Это свойство используется для решения неравенств вида Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.
Приведем примеры решения неравенств методом интервалов. Решить неравенство:
Наносим на числовую ось нули функции и вычисляем знак на каждом промежутке: Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ. Ответ:
Здесь мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая касается оси абсцисс, то есть, имеет с ней одну общую точку, обозначим абсциссу этой точки как x 0
. Представленному случаю отвечает a>0
(ветви направлены вверх) и D=0
(квадратный трехчлен имеет один корень x 0
). Для примера можно взять квадратичную функцию y=x 2 −4·x+4
, здесь a=1>0
, D=(−4) 2 −4·1·4=0
и x 0 =2
.
В этом случае ветви параболы направлены вверх, и она не имеет общих точек с осью абсцисс. Здесь мы имеем условия a>0
(ветви направлены вверх) и D<0
(квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1
, здесь a=2>0
, D=0 2 −4·2·1=−8<0
.
Алгоритм решения
Примеры с решениями
.
. Коэффициент при x 2
равен 2
, он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Выясним еще, имеет ли парабола с осью абсцисс общие точки, для этого вычислим дискриминант квадратного трехчлена 
. Имеем 
. Дискриминант оказался больше нуля, следовательно, трехчлен имеет два действительных корня: 
и 
, то есть, x 1 =−3
и x 2 =1/3
.
и 
, x 1 =7
и x 2 =9
. Так парабола пересекает ось Ox
в двух точках с абсциссами 7
и 9
(исходное неравенство строгое, поэтому эти точки будем изображать с пустым центром).Теперь можно сделать схематический рисунок:
Числовые неравенства
Следствие.
Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на
противоположный.
Следствие.
Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
\(ax > b, \quad ax
в которых а и b - заданные числа, а x - неизвестное, называют линейными неравенствами с одним неизвестным
.Решение неравенств второй степени с одной переменной
\(ax^2+bx+c >0 \) и \(ax^2+bx+c
где x - переменная, a, b и c - некоторые числа и \(a \neq 0 \), называют неравенствами второй степени с одной переменной
.
\(ax^2+bx+c >0 \) или \(ax^2+bx+c
можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция \(y= ax^2+bx+c \) принимает положительные или отрицательные
значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции \(y= ax^2+bx+c \) в координатной плоскости:
куда направлены ветви параболы - вверх или вниз, пересекает ли парабола ось x и если пересекает, то в каких точках.
1) находят дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2+bx+c \) и выясняют, имеет ли трехчлен корни;
2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси x и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой
направлены вверх при a > 0 или вниз при a 0 или в нижней при a
3) находят на оси x промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси x (если решают неравенство \(ax^2+bx+c >0 \))
или ниже оси x (если решают неравенство
\(ax^2+bx+c Решение неравенств методом интервалов
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
где x–переменная, а x 1 , x 2 , ..., x n – не равные друг другу числа. Числа
x 1 , x 2 , ..., x n являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения
разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n)
где x 1 , x 2 , ..., x n - не равные друг другу числа
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)