При использовании материалов этого сайта - и размещение баннера -ОБЯЗАТЕЛЬНО!!!

Исследование показателя преломления жидкости от концентрации вещества в растворе

Материалы предоставил: научный руководитель Максимов Юрий Алексеевич, учитель физики, МОУ «Большесундырская СОШ» email: [email protected] Исследование выполнила: ученица 10 класса Кузьмина Ксения

ВВЕДЕНИЕ

Преломление (рефракция) - явление изменения пути следования светового луча (или других волн), возникающее на границе раздела двух прозрачных (проницаемых для этих волн) сред или в толще среды с непрерывно изменяющимися свойствами.

Преломление встречается на каждом шагу и воспринимается как совершенно обыденное явление: можно видеть как ложка, которая находится в чашке с чаем, будет «переломлена» на границе воды и воздуха. Преломление и отражение света в каплях воды порождает радугу.

Я решила рассмотреть преломление света в жидкостях. Зная, что преломление света зависит от:

• Цвета света – дисперсия света
• Рода вещества

Мне стало интересно, от каких же еще величин зависит показатель преломления в жидкостях. Я посчитала, что возможно коэффициент преломления зависит еще и от концентрации раствора. И чтобы выяснить это, я поставила перед собой несколько целей и задач:

Цели эксперимента:

1. Изучение зависимости показателя преломления жидкости от концентрации раствора
2. Приобретение новых знаний и навыков проведения экспериментов
3. Повторение и углубление ранее полученных материалов.

Задачи:

1. Путем проведения экспериментов изучить зависимость угла преломления света в жидкостях от концентрации раствора.
2. Установить зависимость показателя преломления от концентрации раствора.
3. Сравнить зависимости показателя преломления растворов различных веществ.
4. Определить, каким образом полученные результаты можно использовать на практике.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Если луч света пересекает границу раздела двух прозрачных однородных сред 1 и 2 то направление луча изменяется в соответствии с законом преломления

где α- угол падения, β - угол преломления, n21 - относительный показатель преломления, т.е. показатель преломления второй среды 2 относительно первой среды 1.

где n1 и n2 - абсолютные показатели преломления сред 1 и 2 соответственно, т.е. показатели преломления этих сред относительно вакуума.

Оборудование для эксперимента

Для достижения поставленных задач я решила провести эксперименты с растворами разных веществ:

• Спирта
• Медного купороса
• Перекиси водорода

Для этого мне понадобились некоторые детали комплекта лаборатории L-микро «Геометрическая оптика»:

• Лампы накаливания с рабочим напряжением 12В, мощностью 21Вт и прямой нитью накала. Лампы устанавливают в патрон держателя, находящегося внутри корпуса осветителя.
• Диафрагма с одной щелью.
• Соединительная колодка, которая служит для подключения осветителей к источнику электропитания.
• Кювета (прямоугольная прозрачная емкость для наполнения жидкости)
• Лимб (транспортир).

Техника исследования

Соединив все эти детали, мы получаем устройство, которое позволяет нам проводить эксперименты для определения зависимости показателя преломления разных жидкостей от концентрации раствора.

При работе с данным оборудованием следует проявить осторожность с осветителем из-за его нагрева, а также с кюветой, которая плохо держится на доске из-за слабых магнитов. Для точного расчета измерений изменим лимб из комплекта, отметив с помощью простого транспортира дополнительные деления на градусы.

Структура исследовательской работы:

• На доске закрепим транспортир с кюветой.
• В кювету налили 100 мл исследуемой жидкости.
• Над кюветой поместили осветитель с диафрагмой с узкой щелью под углом 40°.
• Изменяя концентрацию раствора жидкости, занесли значения полученных углов преломления в таблицу.
• Вычислили значения показателя преломления.
• По полученным значениям построили графики зависимости показателя преломления от концентрации раствора.

В результате экспериментов, проведенных со спиртом, медным купоросом и перекисью водорода, мы получили следующие результаты:

Показатели преломления в растворе спирта

График зависимости показателя преломления от концентрации спирта в растворе

Показатели преломления в растворе CuSO4

График зависимости показателя преломления от концентрации CuSO4 в растворе

Показатели преломления в перекиси водорода (Н2О2)

Итоговые результаты

/p>

Выводы

1. Показатель преломления увеличивается с возрастанием процентного содержания спирта в растворе до тех пор, пока концентрация спирта не достигает 70%, после этого коэффициент преломления не изменяется, как бы мы не увеличивали содержание спирта.
2. Коэффициент преломления раствора перекиси водорода практически прямо пропорционален концентрации вещества в растворе и возрастает с увеличением содержания перекиси водорода в растворе.
3. Коэффициент преломления раствора медного купороса также почти прямо пропорционален содержанию вещества в растворе.
4. Для всех растворов общей точкой является 1,33 – показатель преломления воды, где содержание других веществ 0%.

Одним из результатов взаимодействия света с веществом является его дисперсия.

Дисперсией света называется зависимость показателя преломления n вещества от частоты ν (длины волн λ) света или зависимость фазовой скорости световых волн от их частоты .

Дисперсия света представляется в виде зависимости:

Следствием дисперсии является разложение в спектр пучка белого света при прохождении его через призму (рис. 10.1). Первые экспериментальные наблюдения дисперсии света проводил в 1672 г. И. Ньютон. Он объяснил это явление различием масс корпускул.

Рассмотрим дисперсию света в призме. Пусть монохроматический пучок света падает на призму с преломляющим углом А и показателем преломления n (рис. 10.2) под углом .

Рис. 10.1	Рис. 10.2

После двукратного преломления (на левой и правой гранях призмы) луч оказывается преломлен от первоначального направления на угол φ. Из рис. следует, что

Предположим, что углы А и малы, тогда углы , , будут также малы и вместо синусов этих углов можно воспользоваться их значениями. Поэтому , , а т.к. , то или .

Отсюда следует, что

,

(10.1.1)

т.е. угол отклонения лучей призмой тем больше, чем больше преломляющий угол призмы .

Из выражения (10.1.1) вытекает, что угол отклонения лучей призмой зависит от показателя преломления n , а n – функция длины волны, поэтому лучи разных длин волн после прохождения призмы отклоняются на разные углы . Пучок белого света за призмой разлагается в спектр, который называется дисперсионным или призматическим , что и наблюдал Ньютон. Таким образом, с помощью призмы, так же как с помощью дифракционной решетки, разлагая свет в спектр, можно определить его спектральный состав.

Рассмотрим различия в дифракционном и призматическом спектрах.

· Дифракционная решетка разлагает свет непосредственно по длинам волн , поэтому по измеренным углам (по направлениям соответствующих максимумов) можно вычислить длину волны (частоты). Разложение света в спектр в призме происходит по значениям показателя преломления, поэтому для определения частоты или длины волны света надо знать зависимость или .

· Составные цвета в дифракционном и призматическом спектрах располагаются различно . Мы знаем, что синус угла в дифракционной решетке пропорционален длине волны . Следовательно, красные лучи, имеющие большую длину волны, чем фиолетовые, отклоняются дифракционной решеткой сильнее . Призма же разлагает лучи света в спектре по значениям показателя преломления, который для всех прозрачных веществ с увеличением длины волны (т.е. с уменьшением частоты) уменьшается (рис. 10.3).

Поэтому, красные лучи отклоняются призмой слабее, в отличие от дифракционной решетки.

Величина (или ), называемая дисперсией вещества , показывает, как быстро меняется показатель преломления с длиной волны .

Из рис. 10.3 следует, что показатель преломления для прозрачных веществ с увеличением длины волны увеличивается, следовательно величина по модулю также увеличивается с уменьшением λ.Такая дисперсия называется нормальной . Вблизи линий и полос поглощения, ход кривой дисперсии будет иным, а именно n уменьшается с уменьшением λ. Такой ход зависимости n от λ называется аномальной дисперсией . Рассмотрим подробнее эти виды дисперсии.

К ЛЕКЦИИ №24

«ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА»

РЕФРАКТОМЕТРИЯ.

Литература:

1. В.Д. Пономарёв «Аналитическая химия» 1983год 246-251

2. А.А. Ищенко «Аналитическая химия» 2004 год стр 181-184

РЕФРАКТОМЕТРИЯ.

Рефрактометрия является одним их самых простых физических методов анализа с затратой минимального количества анализируемого вещества и проводится за очень короткое время.

Рефрактометрия - метод, основанный на явлении преломления или рефракции т.е. изменении направления распространения света при переходе из одной среды в другую.

Преломление, так же как и поглощение света, является следствием взаимодействия его со средой. Слово рефрактометрия означает измерение преломления света, которое оценивается по величине показателя преломления.

Величина показателя преломления n зависит

1)от состава веществ и систем,

2) от того, в какой концентрации и какие молекулы встречает световой луч на своем пути, т.к. под действием света молекулы разных веществ поляризуются по-разному. Именно на этой зависимости и основан рефрактометрический метод.

Метод этот обладает целым рядом преимуществ, в результате чего он нашел широкое применение как в химических исследованиях, так и при контроле технологических процессов.

1)Измерение показатели преломления являются весьма простым процессом, который осуществляется точно и при минимальных затратах времени и количества вещества.

2) Обычно рефрактометры обеспечивают точность до 10% при определении показателя преломления света и содержания анализируемого вещества

Метод рефрактометрии применяют для контроля подлинности и чистоты, для идентификации индивидуальных веществ, для определения строения органических и неорганических соединений при изучении растворов. Рефрактометрия находит применение для определения состава двухкомпонентных растворов и для тройных систем.

Физические основы метода

ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ.

Отклонение светового луча от первоначального направления при переходе его из одной среды в другую тем больше, чем больше разница в скоростях распространения света в двух

данных средах.

Рассмотрим преломление светового луча на границе каких-либо двух прозрачных сред I и II(См. Рис.). Условимся, что среда II обладает большей преломляющей способностью и, следовательно, n 1 и n 2 - показывает преломление соответствующих сред. Если среда I -это не вакуум и не воздух, то отношение sin угла падения светового луча к sin угла преломления даст величину относительного показателя преломления n отн. Величина n отн. может быть так же определена как отношение показателей преломления рассматриваемых сред.

n отн. = ----- = ---

Величина показателя преломления зависит от

1) природы веществ

Природу вещества в данном случае определяет степень деформируемости его молекул под действием света - степень поляризуемости. Чем интенсивней поляризуемость, тем сильнее преломление света.

2)длины волны падающего света

Измерение показателя преломления проводится при длине волны света 589,3 нм (линия D спектра натрия).

Зависимость показателя преломления от длины световой волны называется дисперсией. Чем меньше длина волны, тем значительнее преломление . Поэтому, лучи разных длин волн преломляются по-разному.

3)температуры , при которой проводится измерение. Обязательным условием определения показателя преломления является соблюдение температурного режима. Обычно определение выполняется при 20±0,3 0 С.

При повышении температуры величина показателя преломления уменьшается, при понижении - увеличивается .

Поправку на влияние температуры рассчитывают по следующей формуле:

n t =n 20 + (20-t) ·0,0002, где

n t – показатель преломления при данной температуре,

n 20 -показатель преломления при 20 0 С

Влияние температуры на значения показателей преломления газов и жидких тел связано с величинами их коэффициентов объемного расширения. Объем всех газов и жидких тел при нагревании увеличивается, плотность уменьшается и,следовательно, уменьшается показатель

Показатель преломления, измеренный при 20 0 С и длине волны света 589,3 нм, обозначается индексом n D 20

Зависимость показателя преломления гомогенной двухкомпонентной системы от ее состояния устанавливается экспериментально, путем определения показателя преломления для ряда стандартных систем(например,растворов), содержание компонентов в которых известно.

4)концентрации вещества в растворе.

Для многих водных растворов веществ показатели преломления при разных концентрациях и температурах надежно измерены, и в этих случаях можно пользоваться справочными рефрактометрическими таблицами . Практика показывает, что при содержании растворенного вещества, не превышающем 10-20%, наряду с графическим методом в очень многих случаях можно пользоваться линейным уравнением типа:

n=n о +FC,

n- показатель преломления раствора,

nо - показатель преломления чистого растворителя,

C - концентрация растворенного вещества,%

F -эмпирический коэффициент, величина которого найдена

путем определения коэффициентов преломления растворов известной концентрации.

РЕФРАКТОМЕТРЫ.

Рефрактометрами называют приборы, служащие для измерения величины показателя преломления. Существует 2 вида этих приборов: рефрактометр типа Аббе и типа Пульфриха. И в тех и в др. измерения основаны на определении величины предельного угла преломления. На практике применяются рефрактометры различных систем: лабораторный-РЛ, универсальный РЛУ и др.

Показатель преломления дистиллированной воды n 0 =1,33299, практически же этот показатель принимает в качестве отсчетного как n 0 =1,333.

Принцип работы на рефрактометрах основан на определении показателя преломления методом предельного угла (угол полного отражения света).

Ручной рефрактометр

Рефрактометр Аббе

5. Применение рефрактометрии для идентификации в-ва и контроля качества.

6. Физ. Основы поляриметрического метода.

7. Зав-мость угла вращения плоскости поляризации от строения в-ва.

10. Физ. Основы нефелометрии и турбидиметрии.

11. Приборы нефелометрического анализа.

12. Применение нефелометрии и турбидиметрии.

13. Основные характеристики электромагнитного излучения. Классификация методов спектрального анализа.

14.Физ. Основы спектрального анализа.

15. Типы и хар-тер электронных переходов.

16. Зависимость числа доп.Энерг.Сост. От положения в таблице.

17. Классиф. Хим.Элементов по способности к возбужд. И иониз.

18. Схемы энергетических переходов в атомах.

20. Зависимость длин волн рез.Спектр.Линий от полож.В таблице.

22. Факторы, влияющие на интенсивность спектр.Линий в спектрах атомной эмиссии.

23. Ширина спектральной линии. Причины уширения.

24. Схемы энергетических переходов в молекулах.

26*. Условия и механизм атомизации и возбуждения в-ва в пламенной атомно-эмиссионной спектроскопии.

27. Условия и механизм атомизации и возбуждения в-ва в дуговой и искровой атомно-эмиссионной спектроскопии.

25. Блок-схема и функции основных узлов атомно-эмиссионного спектрометра. Основные характеристики атомно-эмиссионных спектрометров.

28. Устройство и принцип действия трехтрубчатого плазмотрона для атомно-эмиссионного анализа с индуктивно-связанной плазмой.

29. Способы выделения аналитических спектральных линий элементов из полихроматического излучения анализируемого образца. Схема и принцип действия монохроматора дисперсионного типа.

30. Типы детекторов атомно-эмиссионных спектрометров. Принцип их действия.

33. Достоинства и недостатки фотографической регистрации спектров атомной эмиссии.

31. Основы качественного атомно-эмиссионного анализа. Определение длин волн характеристических спектральных линий элементов.

33. Определение интенсивности спектральной линии элемента при фотографической регистрации спектра.

34. Полуколич. Метод сравнения в атомно-эмиссионном анализе.

35. Полуколичественный метод гомологических пар в атомно-эмиссионном анализе.

36. Полуколичественный метод появления и усиления спектральных линий в атомно-эмиссионном анализе.

32. Уравнение Ломакина-Шейбе.

37. Методы точного количественного атомно-эмиссионного анализа с использованием стандартов.

38-39. Общие положения теории аас.

41. Пламенная атомизация в атомно-абсорбционном анализе: условия проведения, механизм

29. Монохроматоры

39. Конструкция и принцип действия безэлектродной газоразрядной лампы.

30. Детекторы

26. Подготовка проб к анализу методами оптической атомной спектроскопии

45. Физические основы рентгеноспектрального анализа.

46. Схема возбуждения и испускания рентгеновских спектральных линий. Критический край поглощения.

47. Диспергирующие и детектирующие устройства рентгеновских спектрометров.

48. Основы кач-го и кол-го рентгеноспектрального анализа

49. Схема проведения, достоинства и недостатки рентгено-эмиссионного анализа.

50. Схема проведения, достоинства и недостатки рентгено-флуоресцентного анализа.

3. Дисперсия показателя преломления. Зависимость показателей преломления от температуры, давления. Мольная рефракция.

Электромагнитная теория Максвелла для прозрачных сред связывает показатель преломления n и диэлектрическую постоянную  уравнением: =n 2 (1). Поляризации Р молекулы связана е диэлектрической проницае­мостью среды: Р = Р деф +Р ор = (-1)/(+ 2) (М /d) = 4/3 N A , (2) где Р деф - деформационная поляризация; Р ор –ориентационная поляризация; М- молекулярная масса вещества; d-плотность вещества; N A -число Авагадро; - поляризуемость молекулы. Подставив в уравнение (2) n 2 вместо  и  эл, вместо , получим (n 2 - 1)/ (n 2 + 2) (М /d) = 4/3 N A  эл =Р эл = R M (3) Эту формулу называют формулой Лорентца-Лоренца, величина R M в ней - мольная рефракция. Из этой формулы следует, что величина R M , определяемая через показатель преломления вещества, служит мерой электронной поляризации его молекул. В физико-химических исследованиях пользуются также удельной рефракцией: г = R M / М = (n 2 1)/ (n 2 + 2) (1/d) (4)

Мольная рефракция имеет размерность объема, отнесенного к 1 моль вещества (см 3 /моль), удельная рефракция - размерность объема, отнесенного к 1 грамму (см 3 /г). Приближенно рассматривая молекулу как сферу радиуса г м с проводящей поверхностью, показано, что  эл = г M 3 . В этом случае R M = 4/3  N A г 3 (5), т.е. мольная рефракция равна собственному объему молекул 1 моля вещества. Для неполярных веществ R M =P, для полярных R M меньше Р на величину ориентационной поляризации.

Как следует из уравнения (3), величина мольной рефракции оп­ределяется только поляризуемостью и не зависит от температуры и агрегатногосостояниявещества, т.е. является характеристической константой вещества.

Рефракция - это мера поляризуемости молекулярной электрон­ной оболочки. Электронная оболочка молекулы слагается из оболочек атомов, образующих данную молекулу. Поэтому, если приписать оп­ределенные значения рефракции отдельным атомам или ионам, то рефракция молекулы будет равна сумме рефракций атомов и ионов. Рассчитывая рефракцию молекулы через рефракции составляющих ее частиц, необходимо учитывать валентные состояния атомов, особен­ности их расположения, для чего вводят особые слагаемые- инкре­менты кратных (двойной и тройной углерод-углеродной) и других связей, а также поправки на особое положение отдельных атомов и группв молекуле: Rm= Ra+Ri, (6), где R A и Ri - атомные рефракции и инкременты кратных связей соот­ветственно,которые приведены в справочниках.

Уравнение (6) выражает правило аддитивности мольной реф­ракции. Физически более обоснован способ расчета мольной рефрак­ции как суммы рефракций не атомов, а связей (С-Н, О-Н, N-H и т.п.), поскольку светом поляризуются именно валентные электроны, обра­зующие химическую связь.

Мольную рефракцию соединений, построенных из ионов, рас­считывают как сумму ионных рефракций.

Правило аддитивности (6) может быть использовано для установления строения молекул: сравнивают Rm, найденную из данных опыта по уравнению(3), с рассчитанной по уравнению (6) для предполагаемой структуры молекулы.

В ряде случаев наблюдается т.н. экзальтация рефракции, состоящая в значительном превышении экспериментального значения R M no сравнению с вычисленным по уравнению (6). Экзальтация рефракции указывает на наличие в молекуле сопряженных кратных связей. Экзальтация рефракция в молекулах с такими связями обусловлена тем, что -электроны в них принадлежат всем атомам, образую­щим систему сопряжения и могут свободно перемещаться вдоль этой системы, т.е. обладают высокой подвижностью и, следовательно, повышенной поляризуемостью в электромагнитном поле.

Аддитивность имеет место и для рефракции жидких смесей и растворов - рефракция смеси равна сумме рефракций компонентов, отнесенных к их долям в смеси. Для мольной рефракции бинарной смеси в соответствии с правилом аддитивности можно записать: R=N 1 R 1 +(1 N 1)R 2 , (7)

для удельной рефракции r = f 1 r 1 + (lf 1)r 2 (8), где N 1 и f 1 - мольная и весовая доли первого компонента.

Эти формулы можно использовать для определения состава смесей и рефракции компонентов. Кроме химического строения вещества, величину его показателя преломления определяет длина волны падающего света и температура измерения. Как правило, с увеличением длины волны показатель преломления уменьшается, но для некоторых кристаллических веществ наблюдается аномальный ход этой зависимости. Чаще всего показа­ли, преломления определяют для длин волн (желтая линия Na-линия D-589нм, красная линия водорода-линия С-656нм, синяя линия водорода-линия F-486нм).

Зависимость рефракции или показателяпреломлении света от длины волныназывается дисперсией. Мерой дисперсии может яв­ляться разностьмежду значениями показателей преломления, изме­ренными при различных длинах волн, т.н. средняя дисперсия. Мерой дисперсии -относительная дисперсия: F , C , D =(n f – n C)/(n D -l)]10 3 (9), где n f , n C , n D - показатели преломления, измеренные для линий F и С водорода и D-линии натрия. Относительная дисперсия  F , C , D очень чувствительна к присутствию и положению в молекуле двойных свя­зей.

Величина показателя преломления вещества зависит также от температуры измерения. При понижении температуры вещество ста­новится более оптически плотным, т.е. показатель преломления уве­личивается. Поэтому при проведении рефрактометрических измере­ний необходимо проводить термостатированние рефрактометра. Для газов показатель преломления зависит и от давления. Общая зависимость показателя преломления газа от температуры и давления выражается формулой: n-1=(n 0 -1)(Р/760)[(1+Р)/(1+t) (10), где n - показатель преломления при давлении Р и температуре t ° C ; n 0 - показатель преломления при нормальных условиях; Р - давление к мм рт. ст.;  и  - коэффициенты, зависящие oт природы газа.

Дисперсия света - это зависимость показателя преломления n вещества от длины волны света (в вакууме)

или, что то же самое, зависимость фазовой скорости световых волн от частоты:

Дисперсией вещества называется производная от n по

Дисперсия - зависимость показателя преломления вещества от частоты волны – особенно ярко и красиво проявляет себя совместно с эффектом двойного лучепреломления (см. Видео 6.6 в предыдущем параграфе), наблюдаемом при прохождении света через анизотропные вещества. Дело в том, что показатели преломления обыкновенной и необыкновенной волн различно зависят от частоты волны. В результате цвет (частота) света прошедшего через анизотропное вещество помещенное между двумя поляризаторами зависит как от толщины слоя этого вещества, так и от угла между плоскостями пропускания поляризаторов.

Для всех прозрачных бесцветных веществ в видимой части спектра с уменьшением длины волны показатель преломления увеличивается, то есть дисперсия вещества отрицательна: . (рис. 6.7, области 1-2, 3-4)

Если вещество поглощает свет в каком-то диапазоне длин волн (частот), то в области поглощения дисперсия

оказывается положительной и называется аномальной (рис. 6.7, область 2–3).

Рис. 6.7. Зависимость квадрата показателя преломления (сплошная кривая) и коэффициента поглощения света веществом
(штриховая кривая) от длины волны l вблизи одной из полос поглощения ()

Изучением нормальной дисперсии занимался ещё Ньютон. Разложение белого света в спектр при прохождении сквозь призму является следствием дисперсии света. При прохождении пучка белого света через стеклянную призму на экране возникает разноцветный спектр (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Прохождение белого света через призму: вследствие различия значений показателя преломления стекла для разных
длин волн пучок разлагается на монохроматические составляющие - на экране возникает спектр

Наибольшую длину волны и наименьший показатель преломления имеет красный свет, поэтому красные лучи отклоняются призмой меньше других. Рядом с ними будут лучи оранжевого, потом желтого, зеленого, голубого, синего и, наконец, фиолетового света. Произошло разложение падающего на призму сложного белого света на монохроматические составляющие (спектр).

Ярким примером дисперсии является радуга. Радуга наблюдается, если солнце находится за спиной наблюдателя. Красные и фиолетовые лучи преломляются сферическими капельками воды и отражаются от их внутренней поверхности. Красные лучи преломляются меньше и попадают в глаз наблюдателя от капелек, находящихся на большей высоте. Поэтому верхняя полоса радуги всегда оказывается красной (рис. 26.8).

Рис. 6.9. Возникновение радуги

Используя законы отражения и преломления света, можно рассчитать ход световых лучей при полном отражении и дисперсии в дождевых каплях. Оказывается, что лучи рассеиваются с наибольшей интенсивностью в направлении, образующем угол около 42° с направлением солнечных лучей (рис. 6.10).

Рис. 6.10. Расположение радуги

Геометрическое место таких точек представляет собой окружность с центром в точке 0. Часть ее скрыта от наблюдателя Р под горизонтом, дуга над горизонтом и есть видимая радуга. Возможно также двойное отражение лучей в дождевых каплях, приводящее к радуге второго порядка, яркость которой, естественно, меньше яркости основной радуги. Для нее теория дает угол 51 °, то есть радуга второго порядка лежит вне основной. В ней порядок цветов заменен на обратный: внешняя дуга окрашена в фиолетовый цвет, а нижняя - в красный. Радуги третьего и высших порядков наблюдаются редко.

Элементарная теория дисперсии. Зависимость показателя преломления вещества от длины электромагнитной волны (частоты) объясняется на основе теории вынужденных колебаний. Строго говоря, движение электронов в атоме (молекуле) подчиняется законам квантовой механики. Однако для качественного понимания оптических явлений можно ограничиться представлением об электронах, связанных в атоме (молекуле) упругой силой. При отклонении от равновесного положения такие электроны начинают колебаться, постепенно теряя энергию на излучение электромагнитных волн или передавая свою энергию узлам решетки и нагревая вещество. В результате этого колебания будут затухающими.

При прохождении через вещество электромагнитная волна воздействует на каждый электрон с силой Лоренца:

где v - скорость колеблющегося электрона. В электромагнитной волне отношение напряженностей магнитного и электрического полей равно

Поэтому нетрудно оценить отношение электрической и магнитной сил, действующих на электрон:

Электроны в веществе движутся со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме:

где - амплитуда напряженности электрического поля в световой волне, - фаза волны, определяемая положением рассматриваемого электрона. Для упрощения вычислений пренебрежем затуханием и запишем уравнение движения электрона в виде

где, - собственная частота колебаний электрона в атоме. Решение такого дифференциального неоднородного уравнения мы уже рассматривали ранее и получили

Следовательно, смещение электрона из положения равновесия пропорционально напряженности электрического поля. Смещениями ядер из положения равновесия можно пренебречь, так как массы ядер весьма велики по сравнению с массой электрона.

Атом со смещенным электроном приобретает дипольный момент

(для простоты положим пока, что в атоме имеется только один «оптический» электрон, смещение которого вносит определяющий вклад в поляризацию). Если в единице объема содержится N атомов, то поляризованность среды (дипольный момент единицы объема) можно записать в виде

В реальных средах возможны разные типы колебаний зарядов (групп электронов или ионов), вносящих вклад в поляризацию. Эти типы колебаний могут иметь разные величины заряда е i и массы т i , а также различные собственные частоты (мы будем обозначать их индексом k), при этом число атомов в единице объема с данным типом колебаний N k пропорционально концентрации атомов N:

Безразмерный коэффициент пропорциональности f k характеризует эффективный вклад каждого типа колебаний в общую величину поляризации среды:

С другой стороны, как известно,

где - диэлектрическая восприимчивость вещества, которая связана с диэлектрической проницаемостью e соотношением

В результате получаем выражение для квадрата показателя преломления вещества:

Вблизи каждой из собственных частот функция , определяемая формулой (6.24), терпит разрыв. Такое поведение показателя преломления обусловлено тем, что мы пренебрегли затуханием. Аналогично, как мы видели ранее, пренебрежение затуханием приводит к бесконечному росту амплитуды вынужденных колебаний при резонансе. Учет затухания избавляет нас от бесконечностей, и функция имеет вид, изображенный на рис. 6.11.

Рис. 6.11. Зависимость диэлектрической проницаемости среды от частоты электромагнитной волны

Учитывая связь частоты с длиной электромагнитной волны в вакууме

можно получить зависимость показателя преломления вещества п от длины волны в области нормальной дисперсии (участки 1–2 и 3–4 на рис. 6.7):

Длины волн, соответствующие собственным частотам колебаний , - постоянные коэффициенты.

В области аномальной дисперсии () частота внешнего электро­маг­нитного поля близка к одной из собственных частот колебаний молекулярных диполей, то есть возникает резонанс. Именно в этих областях (например, участок 2–3 на рис. 6.7) наблюдается существенное поглощение электромагнитных волн; коэффициент поглощения света веществом показан штриховой линией на рис. 6.7.

Понятие о групповой скорости. С явлением дисперсии тесно связано понятие о групповой скорости. При распространении в среде с дисперсией реальных электромагнитных импульсов, например известных нам цугов волн, испускаемых отдельными атомными излучателями, происходит их «расплывание» - расширение протяженности в пространстве и длительности во времени. Это связано с тем, что такие импульсы представляют собой не монохроматическую синусоидальную волну, а так называемый волновой пакет, или группу волн - совокупность гармонических составляющих с разными частотами и с разными амплитудами, каждая из которых распространяется в среде со своей фазовой скоростью (6.13).

Если бы волновой пакет распространялся в вакууме, то его форма и пространственно-временная протяженность оставались бы неизменными, а скоростью распространения такого цуга волн была бы фазовая скорость света в вакууме

Из-за наличия дисперсии зависимость частоты электромагнитной волны от волнового числа k становится нелинейной, и скорость распространения цуга волн в среде, то есть скорость переноса энергии, определяется производной

где - волновое число для «центральной» волны в цуге (обладающей наибольшей амплитудой).

Мы не будем выводить эту формулу в общем виде, но на частном примере поясним ее физический смысл. В качестве модели волнового пакета примем сигнал, состоящий из двух плоских волн, распространяющихся в одном направлении с одинаковыми амплитудами и начальными фазами , но различающихся частотами, сдвинутыми относительно «центральной» частоты на небольшую величину . Соответствующие волновые числа сдвинуты относительно «центрального» волнового числа на небольшую величину . Эти волны описываются выражениями.