Основное понятие теории вероятности. Законы теории вероятности

но и всех дальнейших

наблюдённые частоты стабилизируются,

при

Какового практическое применение методов теории вероятностей?

Практическое применение методов теории вероятностей заключается в пересчёте вероятностей «сложных» событий через вероятности «простых событий».

Пример. Вероятность выпадения герба при однократном подбрасывании правильной монеты равна ½ (к этому числу стремится наблюдённая частота выпадения герба при большом количестве бросаний). Требуется найти вероятность того, что при трёх бросаниях правильной монеты выпадет 2 герба.

Ответ: на этот вопрос даёт формула Берулли:

0.375 (т.е такое событие бывает в 37,5 % случаев при 2 –ух бросаниях правильной монеты).

Характерной особенностью современной теории вероятностей является тот факт, что несмотря на свою практическую направленность, в ней используют новейшие разделы почти всех разделов математики.

Основные понятия: генеральная и выборочная совокупность.

Привем таблицу соотнесения основных понятий генеральной совокупности и выборки.

Генеральная совокупность	Выборочная совокупность
Случайная величина (x, h, z)	Признак (x, y, z)
Вероятность p, p ген	Относительная частота p, p выб
Распределение вероятностей	Частотное распределение
Параметр (характеристика вероятностного распределения)	Статистика (функция от выборочных значений признаков), служит для оценки того или иного параметра генерального вероятностного распределения
Примеры параметров и отвечающих им статистик
Одномерные случайные величины (одномерные распределения)
Математическое ожидание (m, Мx)	Среднее арифметическое (m, )
Мода (Мо)	Мода (Мо)
Медиана (Ме)	Медиана (Ме)
	Среднее квадратическое отклонение (s)
Дисперсия (s 2 , Dx)	Дисперсия (s 2 , Dx)
Двумерные случайные величины (двумерные распределения)
Коэффициент корреляции r(x, h)	Коэффициент корреляции r (x, y)
Многомерные случайные величины (многомерные распределения)
Коэффициенты уравнения регрессии b 1 ,b 2 ,…,b n	Коэффициенты уравнения регрессии b 1 , b 2 , … , b n

Дисперсионный анализ

План лекции.

1. Однофакторный дисперсионный анализ.

Вопросы лекции.

Коэффициент корреляции

Принимает значения в диапазоне от -1 до +1

Безразмерная величина

Показывает тесноту связи (связь как синхронность, согласованность ) между признаками

Коэффициент регрессии

Может принимать любые значения

Привязан к единицам измерения обоих признаков

Показывает структуру связи между признаками: характеризует связь как зависимость, влияние, устанавливает причинно-следственные связи.

Знак коэффициента говорит о направлении связи

Усложнение модели

Совокупное влияние всех независимых факторов на зависимую переменную не может быть представлено как простая сумма нескольких парных регрессий.

Это совокупное влияние находится более сложным методом - методом множественной регрессии.

Этапы проведения корреляционного и регрессионного анализа:

· Выявление наличия взаимосвязи между признаками;

· Определение формы связи;

· Определение силы, тесноты и направления связи.

Задачи,решаемые после прочтения данной лекции:

Можно выписывать уравнения прямой и обратной регрессий для данных величин. Строить соответствующие графики. Находить коэффициент корреляции рассматриваемых величин. По критерию Стьюдента проверять гипотезу о существенности корреляционной связи. Пользуемся командами: ЛИНЕЙН и Мастер диаграмм в Excel.

Литература.

1. Конспект лекций.

1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2003. - 479 с.

1.8. Основные понятия планирования эксперимента и некоторые рекомендации

План лекции.

1. Планирование эксперимента: основные этапы и принципы.

2. Понятие эксперимента, отклика, поверхности отклика, факторного пространства.

3. Определение цели планирования эксперимента.

4. Основные этапы планирования:

Вопросы лекции:

1. Основные понятия. Постановка задачи.

Планирование эксперимента – это оптимальное (наиболее эффективное) управление ходом эксперимента с целью получения максимально возможной информации на основании минимально допустимого количества данных. Под самим же экспериментом понимаем систему операций, действий или наблюдений, направленных на получение информации об объекте.

Теория планирования эксперимента предполагает наличие определенных знаний и условно можно выделить следующие этапы планирования:

1) сбор и первичная обработка статистических данных

2) определение точечных и интервальных оценок распределения

3)и последующая их обработка, что предполагает знание статистических методов измерений случайной величины, теории проверки статистических гипотез, методов планирования эксперимента, в частности, пассивного эксперимента, методов дисперсионного анализа, методов поиска экстремума функции отклика;

2) составление плана эксперимента, проведение самого эксперимента, проведение обработки результатов эксперимента, оценка точности эксперимента.

Итак, дадим понятие самого эксперимента.

Эксперимент. Эксперимент является основным и наиболее совершенным методом познания, который может быть активным или пассивным.

Активный – основной вид эксперимента, который проводится в контролируемых и управляемых условиях, имеющих следующие преимущества:

1) результаты наблюдений независимые нормально распределенные случайные величины;

2) дисперсии равны друг другу (вследствие того, что выборочные оценки являются однородными);

3) независимые переменные измеряются с малой погрешностью в сравнении с погрешностью значения y ;

4) активный эксперимент лучше организован: оптимальное использование факторного пространства позволяет при минимальных затратах получить максимум информации про изучаемые процессы или явления.

Пассивный эксперимент не зависит от экспериментатора, который в данном случае выступает сторонним наблюдателем.

При планировании эксперимента исследуемый объект представляется в виде «черного ящика», на который воздействуют управляемые и неуправляемые факторы:

тут - управляемые факторы; - неуправляемые факторы, - параметры оптимизации, которые могут охарактеризовать работу объекта.

Факторы. Каждый фактор может принимать определенное количество значений называемых уровнями факторов. Множество возможных уровней фактора называется областью определения фактора, которые могут быть непрерывными или дискретными, ограниченными и неограниченными. Факторы могут быть:

- совместимыми: предполагается допустимость любой комбинации факторов, которая не должна влиять на сохранение изучаемого процесса;

- независимыми: между факторами должна отсутствовать корреляционная связь, то есть имеется возможность изменять значение каждого из рассматриваемых в системе факторов независимо друг от друга. Нарушение хотя бы одно­го из этих требований приводит либо к невозможности применения планирования эксперимента, либо к весьма серьезным трудностям. Правильный выбор факторов позволяет четко задавать условия опыта.

Исследуемые параметры должны удовлетворять ряду требований:

- эффективность, способствующая скорейшему достижению цели;

- универсальность, характерная не только для исследуемого объекта;

- статистическая однородность, предполагающая соответствие с точностью до погрешности эксперимента определенному набору значений факторов определенного значения фактора ;

- количественное выражение одним числом;

- простота вычислений;

- существование при любом состоянии объекта.

Модель . Зависимость между выходным параметром (откликом) и входными параметрами (факторами) называется функцией откли­ка и имеет следующий вид:

(1)

Тут - отклик (результат эксперимента); - незави­симые переменные (факторы), которые можно варьировать при постановке экспериментов.

Отклик. Отклик – это результат опыта в соответствующих условиях, который также называют функцией цели, критерием эффективности, критерием оптимальности, параметром оптимизации и др.

В теории планирования эксперимента к параметру оптимизации предъявляются требования, выполнение которых необходимо для успешного решения задачи. Выбор параметра оптимизации должен базироваться на четко сформулированной задаче, на ясном понима­нии конечной цели исследования. Параметр оптими­зации должен быть эффективным в статистическом смысле, то есть определяться с достаточной точностью. При большой ошибке его определения необходимо увеличивать число параллельных опытов.

Желательно, чтобы параметров оптимизации было как можно меньше. Однако не следует добиваться уменьшения числа параметров оптимизации за счет полноты характеристики системы. Желатель­но также, чтобы система во всей полноте характеризовалась просты­ми параметрами оптимизации, имеющими ясный физический смысл. Естественно, что простой, с ясным физическим смыслом параметр оптимизации защищает экспериментатора от многих ошибок и избавляет его от многих трудностей, связанных с решением различных методических вопросов экспериментирования и технологиче­ской интерпретации полученных результатов.

Геометрический аналог параметра (функции отклика), соответствующий уравнению (1), называется поверхностью отклика, а пространство, в котором строят указанную поверхность,- факторным пространством. В простейшем случае, когда исследу­ется зависимость отклика от одного фактора, поверхность откли­ка представляет собой линию на плоскости, то есть в двухмерном пространстве. В общем случае, когда рассматриваются факто­ров, уравнение (1) описывает поверхность отклика в - мерном пространстве. Так, например, при двух факторах факторное пространство представляет собой факторную плоскость.

Целью планирования эксперимента является получение математической модели исследуемого объекта или процесса. При весьма ограниченных знаниях о механизме процесса аналитическое выражение функции отклика неизвестно, поэтому обычно используют полиномиальные математические модели (алгебраические полиномы) называемые уравнениями регрессии, общий вид которых:

(2)

где – выборочные коэффициенты регрессии, которые можно получить, пользуясь результатами эксперимента.

4. К основным этапам планирования эксперимента можно отнести:

1.Сбор, изучение, анализ всех данных об объекте.

2. Кодирование факторов.

3. Составление матрицы планирования эксперимента.

4. Проверка воспроизводимости опытов.

5. Расчет оценок коэффициентов регрессионного уравнения.

6. Проверка значимости коэффициентов регрессии.

7. Проверка адекватности полученной модели.

8. Переход к физическим переменным.

Литература

1. Конспект лекций.

4.1 Цепи Маркова. Случайные функции. Метод Монте - Карло. Имитационное моделирование. Сетевое планирование. Динамическое и целочисленное программирование

План лекции.

1. Методы Монте-Карло.

2. Метод статистических испытаний (методы Монте-Карло)

Вопросы лекции.

Что изучает теория вероятностей?

Теория вероятностей изучает так называемые случайные события и устанавливает закономерности в проявлении таких событий, можно сказать, что теория вероятностей является разделом математики, в котором изучаются математические модели случайных экспериментов, т.е. экспериментов, исходы которых нельзя определить однозначно условиями проведения опыта.

Для введения понятия случайного события необходимо рассмотреть некоторые примеры реальных экспериментов.

2. Дать понятие случайного эксперимента и привести примеры случайных экспериментов.

Приведем примеры случайных экспериментов:

1. Однократное подбрасывание монеты.

2.Однократное подбрасывание игральной кости.

3. Случайный выбор шара из урны.

4. Измерение времени безотказной работы электрической лампочки.

5. Измерение числа вызовов, поступающих на АТС за единицу времени.

Эксперимент является случайным, если нельзя предсказать исход не только первого опыта, но и всех дальнейших . Например, проводится некоторая химическая реакция, исход которой неизвестен. Если её один раз провести и получить определённый результат, то при дальнейшем проведении опыта в одних и тех же условиях случайность исчезает.

Примеров такого рода можно привести сколь угодно много. В чём же состоит общность опытов со случайными исходами? Оказывается, несмотря на то, что результата каждого из перечисленных выше экспериментов предсказать невозможно, на практике для них уже давно была замечена закономерность определённого вида, а именно: при проведении большого количества испытаний наблюдённые частоты появления каждого случайного события стабилизируются, т.е. всё меньше отличаются от некоторого числа, называемого вероятностью события.

Наблюдённой частотой события А () называется отношение числа появлений события А () к общему числу испытаний (N):

Такое свойство устойчивости частоты позволяет, не имея возможности предсказать исход отдельного опыта достаточно точно прогнозировать свойства явлений, связанных с рассматриваемым опытом. Поэтому методы теории вероятностей в современной жизни проникли во все сферы деятельности человека, причём не только в естественнонаучные, экономические, но и гуманитарные, такие, как история, лингвистика и т.д. На этом подходе основано статистическое определение вероятности .

при (наблюденная частота события стремится к его вероятности при росте количества опытов, то есть при n ).

Однако определение вероятности через частоту не является удовлетворительным для теории вероятностей как математической науки. Это связано с тем, что практически нельзя провести бесконечное число испытаний и наблюдённая частота меняется от опыта к опыту. Поэтому А.Н. Колмогоров предложил аксиоматическое определение вероятности, которое принято в настоящее время.

Мама мыла раму

Под занавес продолжительных летних каникул пришло время потихоньку возвращаться к высшей математике и торжественно открыть пустой вёрдовский файл, чтобы приступить к созданию нового раздела – . Признаюсь, нелегко даются первые строчки, но первый шаг – это пол пути, поэтому я предлагаю всем внимательно проштудировать вводную статью, после чего осваивать тему будет в 2 раза проще! Ничуть не преувеличиваю. …Накануне очередного 1 сентября вспоминается первый класс и букварь…. Буквы складываются в слоги, слоги в слова, слова в короткие предложения – Мама мыла раму. Совладать с тервером и математической статистикой так же просто, как научиться читать! Однако для этого необходимо знать ключевые термины, понятия и обозначения, а также некоторые специфические правила, которым и посвящён данный урок.

Но сначала примите мои поздравления с началом (продолжением, завершением, нужное отметить) учебного года и примите подарок. Лучший подарок – это книга, и для самостоятельной работы я рекомендую следующую литературу:

1) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика

Легендарное учебное пособие, выдержавшее более десяти переизданий. Отличается доходчивостью и предельной простой изложения материала, а первые главы так и вовсе доступны, думаю, уже для учащихся 6-7-х классов.

2) Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике

Решебник того же Владимира Ефимовича с подробно разобранными примерами и задачами.

ОБЯЗАТЕЛЬНО закачайте обе книги из Интернета или раздобудьте их бумажные оригиналы! Подойдёт и версия 60-70-х годов, что даже лучше для чайников. Хотя фраза «теория вероятностей для чайников» звучит довольно нелепо, поскольку почти всё ограничивается элементарными арифметическими действиями. Проскакивают, правда, местами производные и интегралы , но это только местами.

Я постараюсь достичь той же ясности изложения, но должен предупредить, что мой курс ориентирован на решение задач и теоретические выкладки сведены к минимуму. Таким образом, если вам нужна развёрнутая теория, доказательства теорем (теорем-теорем!), пожалуйста, обратитесь к учебнику. Ну, а кто хочет научиться решать задачи по теории вероятностей и математической статистике в самые короткие сроки , следуйте за мной!

Для начала хватит =)

По мере прочтения статей целесообразно знакомиться (хотя бы бегло) с дополнительными задачами рассмотренных видов. На странице Готовые решения по высшей математике будут размещаться соответствующие pdf-ки с примерами решений. Также значительную помощь окажут ИДЗ 18.1 Рябушко (попроще) и прорешанные ИДЗ по сборнику Чудесенко (посложнее).

1) Суммой двух событий и называется событие которое состоит в том, что наступит или событие или событие или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны , последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие или событие .

Правило распространяется и на бОльшее количество слагаемых, например, событие состоит в том, что произойдёт хотя бы одно из событий , а если события несовместны – то одно и только одно событие из этой суммы: или событие , или событие , или событие , или событие , или событие .

Примеров масса:

События (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.

Событие (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка .

Событие (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 или 4 или 6 очков.

Событие заключается в том, что из колоды будет извлечена карта красной масти (черва или бубна), а событие – в том, что будет извлечена «картинка» (валет или дама или король или туз).

Чуть занятнее дело с совместными событиями:

Событие состоит в том, что из колоды будет извлечена трефа или семёрка или семёрка треф. Согласно данному выше определению, хотя бы что-то – или любая трефа или любая семёрка или их «пересечение» – семёрка треф. Легко подсчитать, что данному событию соответствует 12 элементарных исходов (9 трефовых карт + 3 оставшиеся семёрки).

Событие состоит в том, что завтра в 12.00 наступит ХОТЯ БЫ ОДНО из суммируемых совместных событий , а именно:

– или будет только дождь / только гроза / только солнце;
– или наступит только какая-нибудь пара событий (дождь + гроза / дождь + солнце / гроза + солнце);
– или все три события появятся одновременно.

То есть, событие включает в себя 7 возможных исходов.

Второй столп алгебры событий:

2) Произведением двух событий и называют событие , которое состоит в совместном появлении этих событий, иными словами, умножение означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие , и событие . Аналогичное утверждение справедливо и для бОльшего количества событий, так, например, произведение подразумевает, что при определённых условиях произойдёт и событие , и событие , и событие , …, и событие .

Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты и следующие события:

– на 1-й монете выпадет орёл;
– на 1-й монете выпадет решка;
– на 2-й монете выпадет орёл;
– на 2-й монете выпадет решка.

Тогда:
и на 2-й) выпадет орёл;
– событие состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й монете решка;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орёл.

Нетрудно заметить, что события несовместны (т.к. не может, например, выпасть 2 орла и в то же самое время 2 решки) и образуют полную группу (поскольку учтены все возможные исходы броска двух монет) . Давайте просуммируем данные события: . Как интерпретировать эту запись? Очень просто – умножение означает логическую связку И , а сложение – ИЛИ . Таким образом, сумму легко прочитать понятным человеческим языком: «выпадут два орла или две решки или на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й решка или на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орёл »

Это был пример, когда в одном испытании задействовано несколько объектов, в данном случае – две монеты. Другая распространенная в практических задачах схема – это повторные испытания , когда, например, один и тот же игральный кубик бросается 3 раза подряд. В качестве демонстрации рассмотрим следующие события:

– в 1-м броске выпадет 4 очка;
– во 2-м броске выпадет 5 очков;
– в 3-м броске выпадет 6 очков.

Тогда событие состоит в том, что в 1-м броске выпадет 4 очка и во 2-м броске выпадет 5 очков и в 3-м броске выпадет 6 очков. Очевидно, что в случае с кубиком будет значительно больше комбинаций (исходов), чем, если бы мы подбрасывали монету.

…Понимаю, что, возможно, разбираются не очень интересные примеры, но это часто встречающиеся в задачах вещи и от них никуда не деться. Помимо монетки, кубика и колоды карт вас поджидают урны с разноцветными шарами, несколько анонимов, стреляющих по мишени, и неутомимый рабочий, который постоянно вытачивает какие-то детали =)

Вероятность события

Вероятность события – это центральное понятие теории вероятностей. …Убийственно логичная вещь, но с чего-то надо было начинать =) Существует несколько подходов к её определению:

;
Геометрическое определение вероятности ;
Статистическое определение вероятности .

В данной статье я остановлюсь на классическом определении вероятностей, которое находит наиболее широкое применение в учебных заданиях.

Обозначения . Вероятность некоторого события обозначается большой латинской буквой , а само событие берётся в скобки, выступая в роли своеобразного аргумента. Например:

Также для обозначения вероятности широко используется маленькая буква . В частности, можно отказаться от громоздких обозначений событий и их вероятностей в пользу следующей стилистики::

– вероятность того, что в результате броска монеты выпадет «орёл»;
– вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет 5 очков;
– вероятность того, что из колоды будет извлечена карта трефовой масти.

Данный вариант популярен при решении практических задач, поскольку позволяет заметно сократить запись решения. Как и в первом случае, здесь удобно использовать «говорящие» подстрочные/надстрочные индексы.

Все уже давно догадались о числах, которые я только что записал выше, и сейчас мы узнаем, как они получились:

Классическое определение вероятности :

Вероятностью наступления события в некотором испытании называют отношение , где:

– общее число всех равновозможных , элементарных исходов этого испытания, которые образуют полную группу событий ;

– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .

При броске монеты может выпасть либо орёл, либо решка – данные события образуют полную группу , таким образом, общее число исходов ; при этом, каждый из них элементарен и равновозможен . Событию благоприятствует исход (выпадение орла). По классическому определению вероятностей: .

Аналогично – в результате броска кубика может появиться элементарных равновозможных исходов, образующих полную группу, а событию благоприятствует единственный исход (выпадение пятёрки). Поэтому: .ЭТОГО ДЕЛАТЬ НЕ ПРИНЯТО (хотя не возбраняется прикидывать проценты в уме).

Принято использовать доли единицы , и, очевидно, что вероятность может изменяться в пределах . При этом если , то событие является невозможным , если – достоверным , а если , то речь идёт о случайном событии.

! Если в ходе решения любой задачи у вас получилось какое-то другое значение вероятности – ищите ошибку!

При классическом подходе к определению вероятности крайние значения (ноль и единица) получаются посредством точно таких же рассуждений. Пусть из некой урны, в которой находятся 10 красных шаров, наугад извлекается 1 шар. Рассмотрим следующие события:

в единичном испытании маловозможное событие не произойдёт .

Именно поэтому Вы не сорвёте в лотерее Джек-пот, если вероятность этого события, скажем, равна 0,00000001. Да-да, именно Вы – с единственным билетом в каком-то конкретном тираже. Впрочем, бОльшее количество билетов и бОльшее количество розыгрышей Вам особо не помогут. ...Когда я рассказываю об этом окружающим, то почти всегда в ответ слышу: «но ведь кто-то выигрывает». Хорошо, тогда давайте проведём следующий эксперимент: пожалуйста, сегодня или завтра купите билет любой лотереи (не откладывайте!). И если выиграете... ну, хотя бы больше 10 килорублей, обязательно отпишитесь – я объясню, почему это произошло. За процент, разумеется =) =)

Но грустить не нужно, потому что есть противоположный принцип: если вероятность некоторого события очень близка к единице, то в отдельно взятом испытании оно практически достоверно произойдёт. Поэтому перед прыжком с парашютом не надо бояться, наоборот – улыбайтесь! Ведь должны сложиться совершенно немыслимые и фантастические обстоятельства, чтобы отказали оба парашюта.

Хотя всё это лирика, поскольку в зависимости от содержания события первый принцип может оказаться весёлым, а второй – грустным; или вообще оба параллельными.

Пожалуй, пока достаточно, на уроке Задачи на классическое определение вероятности мы выжмем максимум из формулы . В заключительной же части этой статьи рассмотрим одну важную теорему:

Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу, равна единице . Грубо говоря, если события образуют полную группу, то со 100%-й вероятностью какое-то из них произойдёт. В самом простом случае полную группу образуют противоположные события, например:

– в результате броска монеты выпадет орёл;
– в результате броска монеты выпадет решка.

По теореме:

Совершенно понятно, что данные события равновозможны и их вероятности одинаковы .

По причине равенства вероятностей равновозможные события часто называют равновероятными . А вот и скороговорка на определение степени опьянения получилась =)

Пример с кубиком: события противоположны, поэтому .

Рассматриваемая теорема удобна тем, что позволяет быстро найти вероятность противоположного события. Так, если известна вероятность того, что выпадет пятёрка, легко вычислить вероятность того, что она не выпадет:

Это гораздо проще, чем суммировать вероятности пяти элементарных исходов. Для элементарных исходов, к слову, данная теорема тоже справедлива:
. Например, если – вероятность того, что стрелок попадёт в цель, то – вероятность того, что он промахнётся.

! В теории вероятностей буквы и нежелательно использовать в каких-то других целях.

В честь Дня Знаний я не буду задавать домашнее задание =), но очень важно, чтобы вы могли ответить на следующие вопросы:

– Какие виды событий существуют?
– Что такое случайность и равновозможность события?
– Как вы понимаете термины совместность/несовместность событий?
– Что такое полная группа событий, противоположные события?
– Что означает сложение и умножение событий?
– В чём суть классического определения вероятности?
– Чем полезна теорема сложения вероятностей событий, образующих полную группу?

Нет, зубрить ничего не надо, это всего лишь азы теории вероятностей – своеобразный букварь, который довольно быстро уложится в голове. И чтобы это произошло как можно скорее, предлагаю ознакомиться с уроками

Раздел 12. Теория вероятностей.

1. Введение

2. Простейшие понятия теории вероятностей

3. Алгебра событий

4. Вероятность случайного события

5. Геометрические вероятности

6. Классические вероятности. Формулы комбинаторики.

7. Условная вероятность. Независимость событий.

8. Формула полной вероятности и формулы Байеса

9. Схема повторных испытаний. Формула Бернулли и её асимптотика

10. Случайные величины (СВ)

11. Ряд распределения ДСВ

12. Интегральная функция распределения

13. Функция распределения НСВ

14. Плотность вероятности НСВ

15. Числовые характеристики случайных величин

16. Примеры важных распределений СВ

16.1. Биномиальное распределение ДСВ.

16.2. Распределение Пуассона

16.3. Равномерное распределение НСВ.

16.4. Нормальное распределение.

17. Предельные теоремы теории вероятностей.

Введение

Теория вероятностей, подобно многим другим математическим дисциплинам, развивалась из потребностей практики. При этом, изучая реальный процесс, приходилось создавать абстрактную математическую модель реального процесса. Обычно учитывают главные, наиболее существенные движущие силы реального процесса, отбрасывая из рассмотрения второстепенные, которые называются случайными. Конечно, что считать главным, а что второстепенным,- отдельная задача. Решение этого вопроса определяет уровень абстракции, простоту или сложность математической модели и уровень адекватности модели реальному процессу. В сущности, любая абстрактная модель является результатом двух противостоящих устремлений: простоты и адекватности реальности.

Например, в теории стрельбы разработаны достаточно простые и удобные формулы для определения траектории полёта снаряда из орудия, расположенного в точке (рис. 1).

В определённых условиях упомянутая теория является достаточной, например, при массированной артподготовке.

Однако ясно, что если из одного орудия при одинаковых условиях произвести несколько выстрелов, то траектории будут хотя и близкими, но все же отличающимися. И если размер цели мал по сравнению с областью рассеивания, то возникают специфические вопросы, связанные именно с влиянием факторов, неучтённых в рамках предлагаемой модели. При этом учёт дополнительных факторов приведёт к слишком сложной модели, пользоваться которой практически невозможно. К тому же, этих случайных факторов бывает много, природа их чаще всего неизвестна.

В приведённом примере такими специфическими вопросами, выходящими за рамки детерминированной модели, являются, например, следующие: сколько надо произвести выстрелов, чтобы с определённой уверенностью (например, на ) гарантировать поражение цели? как надо провести пристрелку, чтобы на поражение цели затратить наименьшее количество снарядов? и т.п.

Как мы увидим в дальнейшем, слова «случайный», «вероятность» станут строгими математическими терминами. Вместе с тем они весьма распространены в обычной разговорной речи. При этом считается, что прилагательное «случайный» является противопоставлением «закономерному». Однако, это не так, ибо природа устроена таким образом, что случайные процессы обнаруживают закономерности, но при определённых условиях.

Основное условие называется массовостью.

Например, если подбросить монету, то нельзя предсказать, что выпадает, герб или цифра,- можно лишь угадать. Однако, если эту монету подбросить большое число раз, что доля выпадений герба будет не сильно отличается от некоторого числа, близкого к 0,5 (в дальнейшем это число мы назовем вероятностью). Причем, с увеличением числа подбрасываний отклонение от этого числа будет уменьшаться. Это свойство называется устойчивостью средних показателей (в данном случае - доли гербов). Надо сказать, что на первых шагах теории вероятностей, когда надо было на практике убедиться в наличии свойства устойчивости, даже большие учёные не считали за труд провести самостоятельно проверку. Так, известен опыт Бюффона, который подбросил монету 4040 раз, и герб выпал 2048 раз, следовательно, доля (или относительная частота) выпадения герба равна 0,508, что близко интуитивно к ожидаемому числу 0,5.

Поэтому обычно даётся определение предмета теории вероятностей как раздела математики, изучающего закономерности массовых случайных процессов.

Надо сказать, что, несмотря на то, что наибольшие достижения теории вероятностей относятся к началу прошлого века, в особенности благодаря аксиоматическому построению теории в работах А.Н. Колмогорова (1903-1987), интерес к изучению случайностей проявился давно.

Сначала интересы были связаны с попытками применить числовой подход к азартным играм. Первые достаточно интересные результаты теории вероятностей принято связывать с работами Л. Пачоли (1494г), Д. Кардано (1526) и Н. Тартальи (1556).

Позже Б. Паскаль (1623-1662), П. Ферма (1601-1665), Х. Гюйгенс (1629-1695) заложили основы классической теории вероятностей. В начале 18 века Я. Бернулли (1654-1705) формирует понятие вероятности случайного события как отношение числа благоприятствующих шансов к числу всех возможных. На использовании понятия меры множества строили свои теории Э. Борель (1871-1956), А. Ломницкий (1881-1941), Р. Мизес (1883-1953).

Теоретико-множественная точка зрения в наиболее законченном виде была изложена в 1933г. А.Н. Колмогоровым в его монографии «Основные понятия теории вероятностей». Именно с этого момента теория вероятностей становится строгой математической наукой.

Большой вклад в развитие теории вероятностей внесли русские математики П.Л. Чебышёв (1821-1894), А.А. Марков (1856-1922), С.Н. Бернштейн (1880-1968) и другие.

Теория вероятностей бурно развивается и в настоящее время.

Простейшие понятия теории вероятностей

Как любая математическая дисциплина, теория вероятностей начинается с введения простейших понятий, которые не определяются, а лишь поясняются.

Одним из основных первичных понятий является опыт. Под опытом понимается некоторый комплекс условий, которые могут воспроизводиться неограниченное число раз. Каждую реализацию этого комплекса и назовем опытом или испытанием. Результаты опыта могут быть различными, в этом и проявляется элемент случайности. Различные результаты или исходы опыта называются событиями (точнее случайными событиями). Таким образом, при осуществлении опыта может произойти то или иное событие. Другими словами, случайное событие – это исход опыта, который при осуществлении опыта может произойти (появиться) или не произойти.

Опыт будем обозначать буквой , а случайные события обозначаются обычно заглавными буквами

Часто в опыте можно заранее выделить его исходы, которые можно назвать простейшими, которые нельзя разложить на более простые. Такие события называются элементарными событиями (или случаями).

Пример 1. Пусть подбрасывается монета. Исходами опыта являются: выпадение герба (обозначим это событие буквой ); выпадение цифры (обозначим ). Тогда можно записать: опыт ={подбрасывание монеты}, исходы: Ясно, что элементарные события в данном опыте. Иначе говоря, перечисление всех элементарных событий опыта полностью его описывает. По этому поводу будем говорить, что опыт есть пространство элементарных событий, и в нашем случае опыт кратко можно записать в виде: ={подбрасывание монеты}={Г;Ц}.

Пример 2 . ={монета подбрасывается дважды}= Здесь приведено словесное описание опыта и перечисление всех элементарных событий: означает, что сначала при первом подбрасывании монеты выпал герб, при втором – тоже герб; означает, что при первом подбрасывании монеты выпал герб, при втором цифра и т.д.

Пример 3. В системе координат в квадрат бросаются точки. В этом примере элементарными событиями являются точки с координатами которые удовлетворяют приведенным неравенствам. Кратко это записывается следующим образом:

Двоеточие в фигурных скобках означает, что состоит из точек но не любых, а только тех, которые удовлетворяют условию (или условиям), указанным после двоеточия (в нашем примере это неравенства).

Пример 4. Монета подбрасывается до первого выпадения герба. Другими словами, подбрасывание монеты продолжается до тех пор, пока не выпадет герб. В этом примере элементарные события перечислить можно, хотя их бесконечное число:

Заметим, что в примерах 3 и 4 пространство элементарных событий насчитывает бесконечное число исходов. В примере 4 их можно перечислить, т.е. пересчитать. Такое множество называется счетным. В примере 3 пространство является несчетным.

Введем в рассмотрение еще два события, которые присутствуют в любом опыте и которые имеют большое теоретические значение.

Назовем событие невозможным, если в результате опыта оно обязательно не произойдет. Будем его обозначать знаком пустого множества . Наоборот, событие, которое в результате опыта обязательно произойдёт называется достоверным. Достоверное событие обозначается так же, как и само пространство элементарных событий – буквой .

Например, при подбрасывании игральной кости событие {выпало меньше 9 очков} - достоверное, а событие {выпало ровно 9 очков} невозможное.

Итак, пространство элементарных событий может задаваться словесным описанием, перечислением всех его элементарных событий, заданием правил или условий, по которым получаются все его элементарные события.

Алгебра событий

До сих пор мы говорили лишь об элементарных событиях как непосредственных результатах опыта. Однако в рамках опыта можно говорить и о других случайных событиях, кроме элементарных.

Пример 5. При подбрасывании игральной кости, кроме элементарных событий выпадений соответственно единицы, двойки,…, шестерки, можно говорить о других событиях: (выпадение четного числа), (выпадение нечетного числа), (выпадение числа, кратного трем), (выпадение числа, меньшего 4) и т.п. В данном примере указанные события, кроме словесного задания, можно задать перечислением элементарных событий:

Образование новых событий из элементарных, а также из других событий осуществляется с помощью операций (или действий) над событиями.

Определение. Произведением двух событий и называется событие, состоящее в том, что в результате опыта произойдет и событие ,и событие , т. е произойдут оба события вместе (одновременно).

Знак произведения (точку) часто не ставят:

Определение. Суммой двух событий называется событие, состоящее в том, что в результате опыта произойдет или событие ,или событие ,или оба вместе (одновременно).

В обоих определениях мы намеренно подчеркнули союзы и и или -сцелью привлечь внимание читателя к своей речи при решении задач. Если мы произносим союз «и», то речь идет о произведении событий; если произносится союз «или», то события надо складывать. При этом заметим что союз «или» в обиходной речи часто используется в смысле исключения одного из двух: «только или только ». В теории вероятностей такое исключение не предполагается: и ,и , и означают появление события

Если задано перечислением элементарных событий, то сложные события с помощью указанных операций получить просто. Для получения надо найти все элементарные события, принадлежащие обоим событиям, если таковых нет, то Сумму событий также составить несложно: надо взять любое из двух событий и добавить к нему те элементарные события из другого события, которые не входят в первое.

В примере 5 получаем, в частности

Введенные операции называются бинарными, т.к. определены для двух событий. Большое значение имеет следующая унарная операция (определенная для одного события): событие называется противоположным событию если оно состоит в том, что в данном опыте событие не произошло. Из определения ясно, что всякое событие и ему противоположное обладают следующими свойствами: Введённая операция называется дополнением события А.

Отсюда следует, что если задано перечислением элементарных событий, то, зная задание события ,легко получить оно состоит из всех элементарных событий пространства которые не принадлежат В частности, для примера 5 событие

Если нет скобок, то устанавливается следующий приоритет в выполнении операций: дополнение, умножение, сложение.

Итак, с помощью введённых операций пространство элементарных событий пополняется другими случайными событиями, которые образуют так называемую алгебру событий.

Пример 6. По мишени стрелок произвёл три выстрела. Рассмотрим события = {стрелок попал в мишень при i-м выстреле}, i = 1,2,3.

Составим из этих событий (не забудем и о противоположных ) некоторые события. Пространных комментариев не приводим; полагаем, что читатель проведёт их самостоятельно.

Событие В = {все три выстрела попали в мишень}. Подробнее: В = {и первый, и второй, и третий выстрелы попали в мишень}. Использовали союз и, следовательно, события перемножаются:

Аналогично:

С = {ни один из выстрелов не попал в цель}

Е = {один выстрел достиг мишени}

Д = {мишень поражена при втором выстреле} = ;

F = {мишень поражена двумя выстрелами}

Н = {в мишени окажется хотя бы одно попадание}

Как известно, в математике большое значение имеет геометрическая интерпретация аналитических объектов, понятий и формул.

В теории вероятностей удобно наглядное представление (геометрическая интерпретация) опыта, случайных событий и операций над ними в виде так называемых диаграмм Эйлера-Венна . Суть состоит в том, что всякий опыт отождествляется (интерпретируется) с бросанием точек в некоторый квадрат. Точки бросаются наугад, так что у всех точек имеются одинаковые шансы попасть в любое место этого квадрата. Квадрат определяет рамки рассматриваемого опыта. Каждое событие в рамках опыта отождествляется с некоторой областью квадрата. Иначе говоря, осуществление события означает попадание случайной точки внутрь области, обозначенной буквой Тогда операции над событиями легко интерпретируются геометрически (рис.2)

А:

А + В: всякая

штриховка

На рис.2 а) для наглядности событие А выделено вертикальной штриховкой, событие В - горизонтальной. Тогда операции умножения соответствует двойная штриховка - событию соответствует та часть квадрата которая покрыта двойной штриховкой. При этом, если то и называются несовместными событиями. Соответственно операции сложения соответствует любая штриховка- событие означает часть квадрата, заштрихованная любой штриховкой – вертикальной, горизонтальной и двойной. На рис.2 б) показано событие ему соответствует заштрихованная часть квадрата - все, что не входит в область Введенные операции обладают следующими основными свойствами, некоторые из которых справедливы для одноименных операций над числами, но есть и специфические.

1 0 . коммутативность умножения;

2 0 . коммутативность сложения;

3 0 . ассоциативность умножения;

4 0 . ассоциативность сложения,

5 0 . дистрибутивность умножения относительно сложения,

6 0 . дистрибутивность сложения относительно умножения;

9 0 . законы двойственности де Моргана,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

Пример 7. Иван и Петр договорились встретиться на временном промежутке в Т час, например, (0,Т). При этом они условились, что каждый из них, придя на встречу, ждет другого не более час.

Придадим этому примеру геометрическую интерпретацию. Обозначим: время прихода на встречу Ивана; время прихода на встречу Петра. Согласно договоренности: 0 . Тогда в системе координат получаем: = Нетрудно заметить, что в нашем примере пространство элементарных событий представляет собой квадрат. 1

0 x соответствует та часть квадрата, которая расположена выше этой прямой.Аналогично, второму неравенству y≤x+ и; и не работает, если не работают все элементы, т.е. .Таким образом, второй закон двойственности де Моргана: реализуется при параллельном соединении элементов.

Приведённый пример показывает, почему теория вероятностей находит большое применение в физике, в частности, в расчетах надежности реальных технических устройств.

Некоторые программисты после работы в области разработки обычных коммерческих приложений задумываются о том, чтобы освоить машинное обучение и стать аналитиком данных. Часто они не понимают, почему те или иные методы работают, и большинство методов машинного обучения кажутся магией. На самом деле, машинное обучение базируется на математической статистике, а та, в свою очередь, основана на теории вероятностей. Поэтому в этой статье мы уделим внимание базовым понятиям теории вероятностей: затронем определения вероятности, распределения и разберем несколько простых примеров.

Возможно, вам известно, что теория вероятностей условно делится на 2 части. Дискретная теория вероятностей изучает явления, которые можно описать распределением с конечным (или счетным) количеством возможных вариантов поведения (бросания игральных костей, монеток). Непрерывная теория вероятностей изучает явления, распределенные на каком-то плотном множестве, например на отрезке или в круге.

Можно рассмотреть предмет теории вероятностей на простом примере. Представьте себя разработчиком шутера. Неотъемлемой частью разработки игр этого жанра является механика стрельбы. Ясно, что шутер в котором всё оружие стреляет абсолютно точно, будет малоинтересен игрокам. Поэтому, обязательно нужно добавлять оружию разброс. Но простая рандомизация точек попадания оружия не позволит сделать его тонкую настройку, поэтому, корректировка игрового баланса будет сложна. В то же время, используя случайные величины и их распределения можно проанализировать то, как будет работать оружие с заданным разбросом, и поможет внести необходимые корректировки.

Пространство элементарных исходов

Допустим, из некоторого случайного эксперимента, который мы можем многократно повторять (например, бросание монеты), мы можем извлечь некоторую формализуемую информацию (выпал орел или решка). Эта информация называется элементарным исходом, при этом целесообразно рассматривать множество всех элементарных исходов, часто обозначаемое буквой Ω (Омега).

Структура этого пространства целиком зависит от природы эксперимента. Например, если рассматривать стрельбу по достаточно большой круговой мишени, - пространством элементарных исходов будет круг, для удобства размещенный с центром в нуле, а исходом - точка в этом круге.

Кроме того, рассматривают множества элементарных исходов - события (например, попадание в «десятку» - это концентрический круг маленького радиуса с мишенью). В дискретном случае всё достаточно просто: мы можем получить любое событие, включая или исключая элементарные исходы за конечное время. В непрерывном же случае всё гораздо сложнее: нам понадобится некоторое достаточно хорошее семейство множеств для рассмотрения, называемое алгеброй по аналогии с простыми вещественными числами, которые можно складывать, вычитать, делить и умножать. Множества в алгебре можно пересекать и объединять, при этом результат операции будет находиться в алгебре. Это очень важное свойство для математики, которая лежит за всеми этими понятиями. Минимальное семейство состоит всего из двух множеств - из пустого множества и пространства элементарных исходов.

Мера и вероятность

Вероятность - это способ делать выводы о поведении очень сложных объектов, не вникая в принцип их работы. Таким образом, вероятность определяется как функция от события (из того самого хорошего семейства множеств), которая возвращает число - некоторую характеристику того, насколько часто может происходить такое событие в реальности. Для определённости математики условились, что это число должно лежать между нулем и единицей. Кроме того, к этой функции предъявляются требования: вероятность невозможного события нулевая, вероятность всего множества исходов единичная, и вероятность объединения двух независимых событий (непересекающихся множеств) равна сумме вероятностей. Другое название вероятности - вероятностная мера. Чаще всего используется Лебегова мера , обобщающая понятия длина, площадь, объём на любые размерности (n -мерный объем), и таким образом она применима для широкого класса множеств.

Вместе совокупность множества элементарных исходов, семейства множеств и вероятностной меры называется вероятностным пространством . Рассмотрим, каким образом можно построить вероятностное пространство для примера со стрельбой в мишень.

Рассмотрим стрельбу в большую круглую мишень радиуса R , в которую невозможно промахнуться. Множеством элементарных событий положим круг с центром в начале координат радиуса R . Поскольку мы собираемся использовать площадь (меру Лебега для двумерных множеств) для описания вероятности события, то будем использовать семейство измеримых (для которых эта мера существует) множеств.

Примечание На самом деле, это технический момент и в простых задачах процесс определения меры и семейства множеств не играет особой роли. Но понимать, что эти два объекта существуют, необходимо, ведь во многих книгах по теории вероятности теоремы начинаются со слов: «Пусть (Ω,Σ,P) - вероятностное пространство … ».

Как уже сказано выше, вероятность всего пространства элементарных исходов должна равняться единице. Площадь (двумерная мера Лебега, которую мы обозначим λ 2 (A) , где А — событие) круга по хорошо известной со школы формуле равна π *R 2 . Тогда мы можем ввести вероятность P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) , и эта величина уже будет лежать между 0 и 1 для любого события А.

Если предположить, что попадание в любую точку мишени равновероятно, поиск вероятности попадания стрелком в какую-то то область мишени сводится к поиску площади этого множества (отсюда можно сделать вывод, что вероятность попадания в конкретную точку нулевая, ведь площадь точки равна нулю).

Например, мы хотим узнать, какова вероятность того, что стрелок попадёт в «десятку» (событие A — стрелок попал в нужное множество). В нашей модели, «десятка» представляется кругом с центром в нуле и радиусом r. Тогда вероятность попадания в этот круг P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 .

Это одна из самых простых разновидностей задач на «геометрическую вероятность», - большинство таких задач требуют поиска площади.

Случайные величины

Случайная величина — функция, переводящая элементарные исходы в вещественные числа. К примеру, в рассмотренной задаче мы можем ввести случайную величину ρ(ω) — расстояние от точки попадания до центра мишени. Простота нашей модели позволяет явно задать пространство элементарных исходов: Ω = {ω = (x,y) такие числа, что x 2 +y 2 ≤ R 2 } . Тогда случайная величина ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Средства абстракции от вероятностного пространства. Функция распределения и плотность

Хорошо, когда структура пространства хорошо известна, но на самом деле так бывает далеко не всегда. Даже если структура пространства известна, она может быть сложна. Для описания случайных величин, если их выражение неизвестно, существует понятие функции распределения, которую обозначают F ξ (x) = P(ξ < x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Функция распределения обладает несколькими свойствами:

1. Во-первых, она находится между 0 и 1 .
2. Во-вторых, она не убывает, когда ее аргумент x растёт.
3. В третьих, когда число -x очень велико, функция распределения близка к 0 , а когда само х большое, функция распределения близка к 1 .

Вероятно, смысл этой конструкции при первом чтении не слишком понятен. Одно из полезных свойств — функция распределения позволяет искать вероятность того, что величина принимает значение из интервала. Итак, P (случайная величина ξ принимает значения из интервала ) = F ξ (b)-F ξ (a) . Исходя из этого равенства, можем исследовать, как изменяется эта величина, если границы a и b интервала близки.

Пусть d = b-a , тогда b = a+d . А следовательно, F ξ (b)-F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . При малых значениях d , указанная выше разность так же мала (если распределение непрерывное). Имеет смысл рассматривать отношение p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d . Если при достаточно малых значениях d это отношение мало отличается от некоторой константы p ξ (a) , не зависящей от d, то в этой точке случайная величина имеет плотность, равную p ξ (a) .

Примечание Читатели, которые ранее сталкивались понятием производной, могут заметить что p ξ (a) — производная функции F ξ (x) в точке a . Во всяком случае, можно изучить понятие производной в посвященной этой теме статье на сайте Mathprofi.

Теперь смысл функции распределения можно определить так: её производная (плотность p ξ , которую мы определили выше) в точке а описывает, насколько часто случайная величина будет попадать в небольшой интервал с центром в точке а (окрестность точки а) по сравнению с окрестностями других точек. Другими словами, чем быстрее растёт функция распределения, тем более вероятно появление такого значения при случайном эксперименте.

Вернемся к примеру. Мы можем вычислить функцию распределения для случайной величины, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , которая обозначает расстояние от центра до точки случайного попадания в мишень. По определению F ρ (t) = P(ρ(x,y) < t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Мы можем найти плотность p ρ этой случайной величины. Сразу заметим, что вне интервала она нулевая, т.к. функция распределения на этом промежутке неизменна. На концах этого интервала плотность не определена. Внутри интервала её можно найти, используя таблицу производных (например из на сайте Mathprofi) и элементарные правила дифференцирования. Производная от t 2 /R 2 равна 2t/R 2 . Значит, плотность мы нашли на всей оси вещественных чисел.

Ещё одно полезное свойство плотности — вероятность того, что функция принимает значение из промежутка, вычисляется при помощи интеграла от плотности по этому промежутку (ознакомиться с тем, что это такое, можно в статьях о собственном , несобственном , неопределенном интегралах на сайте Mathprofi).

При первом чтении, интеграл по промежутку от функции f(x) можно представлять себе как площадь криволинейной трапеции. Ее сторонами являются фрагмент оси Ох, промежуток (горизонтальной оси координат), вертикальные отрезки, соединяющие точки (a,f(a)), (b,f(b)) на кривой с точками (a,0), (b,0) на оси Ох. Последней стороной является фрагмент графика функции f от (a,f(a)) до (b,f(b)) . Можно говорить об интеграле по промежутку (-∞; b] , когда для достаточно больших отрицательных значений, a значение интеграла по промежутку будет меняться пренебрежимо мало по сравнению с изменением числа a. Аналогичным образом определяется и интеграл по промежуткам }