Обыкновенные и десятичные дроби и действия над ними. Калькулятор онлайн.Перевод десятичной дроби в обыкновенную

19.10.2019

Автор на Youtube: Анастасия Иванова

СКАЧАТЬ Перевод обыкновенной дроби в десятичную и наоборот. Периодические дроби. Видеоуроки по другим темам, а также по подготовке к ЕГЭ и ГИА, Вы […]

Комментарии к этому видео:

Последние комментарии на сайте

Чит на roblox(ПРОХОЖДЕНИЕ СКВОЗЬ СТЕНЫ) — Смотреть/скачать
⇒ "А кто то вам обещал, что здесь можно будет скачать чит? :)"
Добавлено — Comedy Club — Идеальная женщина — Смотреть/скачать
⇒ "Обожаю дуэт Демиса Карибидиса и Андрея Скорохода) Эти ребята умеют смешить, особенно мне нравиться акцент Карибидиса) Надоел уже Пашка Воля и Харламов, а тут можно увидеть свежие, не заезженные шутки. Да и Марина Кравец тоже жжет. Вообще думаю пора немного поменять формат шоу, внести какие-то новые элементы. За столько лет уже чуть надоело. В этом плане очень люблю Comedy Woman, вот у них все очень динамично и современно. "
Добавлено — Лондон, гудбай: беглые бизнесмены хотят вернуться в Россию — Россия 24 — Смотреть/скачать
⇒ "Да уж, больше верьте таким новостям. Наши олигархи, живущие в английских замках, умирают от желания вернуться в Россию, неужели таким пропагандистским новостям кто-то в нашей стране верит. Возвращаемся обратно в Советский союз. С каждым днем все больше понимаю почему телевизор превращается в зомбоящик, нам каждый день диктуют то во что мы должны верить, вне зависимости от того правда ли это, бред который навязывают населению, с целью показать как у нас тут хорошо, а у них там сущий ад. "
Добавлено — Дружко Шоу #23 — Смотреть/скачать
⇒ "Отличный выпуск получился. Практически как всегда. Все таки есть у него свой собственный стиль и харизма, которая очень привлекает. "
Добавлено — ПОЛИТИКИ ПОЗДРАВЛЯЮТ ПУТИНА — Смотреть/скачать
⇒ "Ну молодцы что тут сказать, все таи уважаемый человек, как тут не поздравить. С удовольствием присоединяюсь к поздравлениям."
Добавлено —

Преобразование десятичного в нормальное

Каждая десятичная дробь может быть представлена как регулярная дробь. Просто напишите с помощью знаменателя, чтобы сделать это.

Основным правилом преобразования десятичной дроби в регулярную дробь является чтение десятичной дроби, но она обычно записывается. Например:

2,3 — две точки из трех десятков

Поскольку фракция завершена, ее можно преобразовать в смешанное число или нерегулярную фракцию:

Преобразование правильной дробной части в десятичную

Нетрадиционная фракция может быть преобразована в десятичную, как и для обычной записи десятичной формы, знаменатель должен быть запущен вместе с одним или несколькими нулями, например 10, 100, 1000 и так далее.

Как конвертировать общую долю в десятичную

Если мы разложим такой знаменатель с первичными факторами, получим такое же число удвоений и пять:

100 = 10 · 10 = 2 · 5 · 2,5

1000 = 10 · 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5

Других простых множителей нет, поэтому эти расширения не содержат, поэтому:

Регулярная дробь может быть представлена в виде десятичных единиц только в том случае, если ее знаменатель не содержит других факторов, кроме 2 и 5.

Давайте принять участие:

Когда знаменатель распространяется на основные факторы, получается произведение 2 · 2:

Если вы умножаете его на две четверки, приравняйте число пяти к двум, вы получите один из необходимых знаменателей — 100.

Чтобы получить отрывок, равный этому, счетчик должен умножаться на произведение двух пяти:

Давайте посмотрим на другую фракцию:

Когда знаменатель распространяется на основные факторы, получается произведение 2.7, содержащее число 7:

Множитель 7 будет присутствовать в знаменателе, чтобы умножить его или целые числа, так что продукт, содержащий только два и пять, никогда не произойдет.

Поэтому эту долю нельзя свести к любому из необходимых знаменателей: 10, 100, 1000 и т. Д. Это означает, что он не может быть представлен в виде десятичного числа.

Регулярная Несовместимая фракция не может быть представлена в виде десятичного числа, если ее знаменатель содержит по крайней мере один главный фактор от одного до двух.

Заметим, что правило говорит только о необратимых дробях, так как некоторые дроби могут быть представлены в виде десятичных дробей аббревиатурой.

Рассмотрим две части:

Теперь осталось только умножить как фразовые фракции на 5, чтобы получить 10 в знаменателе, и вы можете преобразовать дробь в десятичную:

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Вот, казалось бы, перевод десятичной дроби в обычную - элементарная тема, но многие ученики её не понимают!

Поэтому сегодня мы подробно рассмотрим сразу несколько алгоритмов, с помощью которых вы разберётесь с любыми дробями буквально за секунду.

Напомню, что существует как минимум две формы записи одной и той же дроби: обыкновенная и десятичная.

Десятичные дроби - это всевозможные конструкции вида 0,75; 1,33; и даже −7,41. А вот примеры обыкновенных дробей, которые выражают те же самые числа:

Сейчас разберёмся: как от десятичной записи перейти к обычной?

И самое главное: как сделать это максимально быстро?

Основной алгоритм

На самом деле существует как минимум два алгоритма. И мы сейчас рассмотрим оба. Начнём с первого - самого простого и понятного.

Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо выполнить три шага:

Переписать исходную дробь в виде новой дроби: в числителе останется исходная десятичная дробь, а в знаменателе нужно поставить единицу. При этом знак исходного числа также помещается в числитель.
Например:
Умножаем числитель и знаменатель полученной дроби на 10 до тех пор, пока в числителе не исчезнет запятая. Напомню: при каждом умножении на 10 запятая сдвигается вправо на один знак. Разумеется, поскольку знаменатель тоже умножается, там вместо числа 1 будут появляться 10, 100 и т.д.
Наконец, сокращаем полученную дробь по стандартной схеме: делим числитель и знаменатель на те числа, которым они кратны. Например, в первом примере 0,75=75/100, при этом и 75, и 100 делятся на 25.
Поэтому получаем $0,75=\frac{75}{100}=\frac{3\cdot 25}{4\cdot 25}=\frac{3}{4}$ - вот и весь ответ.:)

Важное замечание по поводу отрицательных чисел. Если в исходном примере перед десятичной дробью стоит знак «минус», то и на выходе перед обыкновенной дробью тоже должен стоять «минус».

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Вот ещё несколько примеров:

Особое внимание хотелось бы обратить на последний пример. Как видим, в дроби 0,0025 присутствует много нулей после запятой. Из-за этого приходится аж целых четыре раза умножать числитель и знаменатель на 10. Можно ли как-то упростить алгоритм в этом случае?

Конечно, можно. И сейчас мы рассмотрим альтернативный алгоритм - он чуть более сложен для восприятия, но после небольшой практики работает намного быстрее стандартного.

Более быстрый способ

В данном алгоритме также 3 шага.

Чтобы получить обычную дробь из десятичной, нужно выполнить следующее:

Посчитать, сколько цифр стоит после запятой. Например, у дроби 1,75 таких цифр две, а у 0,0025 - четыре. Обозначим это количество буквой $n$.
Переписать исходное число в виде дроби вида $\frac{a}{{{10}^{n}}}$, где $a$ - это все цифры исходной дроби (без «стартовых» нулей слева, если они есть), а $n$ - то самое количество цифр после запятой, которое мы посчитали на первом шаге.
Другими словами, необходимо разделить цифры исходной дроби на единицу с $n$ нулями.
По возможности сократить полученную дробь.

Вот и всё! На первый взгляд, эта схема сложнее предыдущей. Но на самом деле он и проще, и быстрее. Судите сами:

Как видим, в дроби 0,64 после запятой стоит две цифры - 6 и 4.

Поэтому $n=2$. Если убрать запятую и нули слева (в данном случае - всего один ноль), то получим число 64. Переходим ко второму шагу: ${{10}^{n}}={{10}^{2}}=100$, поэтому в знаменателе стоит именно сто. Ну а затем остаётся лишь сократить числитель и знаменатель.:)

Ещё один пример:

Здесь всё чуть сложнее.

Во-первых, цифр после запятой уже 3 штуки, т.е. $n=3$, поэтому делить придётся на ${{10}^{n}}={{10}^{3}}=1000$. Во-вторых, если убрать из десятичной записи запятую, то мы получим вот это: 0,004 → 0004. Вспомним, что нули слева надо убрать, поэтому по факту у нас число 4. Дальше всё просто: делим, сокращаем и получаем ответ.

Наконец, последний пример:

Особенность этой дроби - наличие целой части.

Поэтому на выходе у нас получается неправильная дробь 47/25. Можно, конечно, попытаться разделить 47 на 25 с остатком и таким образом вновь выделить целую часть.

Но зачем усложнять себе жизнь, если это можно сделать ещё на этапе преобразований? Что ж, разберёмся.

Что делать с целой частью

На самом деле всё очень просто: если мы хотим получить правильную дробь, то необходимо убрать из неё целую часть на время преобразований, а затем, когда получим результат, вновь дописать её справа перед дробной чертой.

Например, рассмотрим то же самое число: 1,88. Забьём на единицу (целую часть) и посмотрим на дробь 0,88.

Она легко преобразуется:

Затем вспоминаем про «утерянную» единицу и дописываем её спереди:

\[\frac{22}{25}\to 1\frac{22}{25}\]

Вот и всё! Ответ получился тем же самым, что и после выделения целой части в прошлый раз. Ещё парочка примеров:

\[\begin{align}& 2,15\to 0,15=\frac{15}{100}=\frac{3}{20}\to 2\frac{3}{20}; \\& 13,8\to 0,8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\to 13\frac{4}{5}.

В этом и состоит прелесть математики: каким бы путём вы не пошли, если все вычисления выполнены правильно, ответ всегда будет одним и тем же.:)

В заключение хотел бы рассмотреть ещё один приём, который многим помогает.

Преобразования «на слух»

Давайте задумаемся о том, что вообще такое десятичная дробь.

Точнее, как мы её читаем. Например, число 0,64 - мы читаем его как «ноль целых, 64 сотых», правильно? Ну, или просто «64 сотых». Ключевое слово здесь - «сотых», т.е. число 100.

А что насчёт 0,004? Это же «ноль целых, 4 тысячных» или просто «четыре тысячных».

Так или иначе, ключевое слово - «тысячных», т.е. 1000.

Ну и что в этом такого? А то, что именно эти числа в итоге «всплывают» в знаменателях на втором этапе алгоритма. Т.е. 0,004 - это «четыре тысячных» или «4 разделить на 1000»:

Попробуйте потренироваться сами - это очень просто. Главное - правильно прочесть исходную дробь. Например, 2,5 - это «2 целых, 5 десятых», поэтому

А какое-нибудь 1,125 - это «1 целая, 125 тысячных», поэтому

В последнем примере, конечно, кто-то возразит, мол, не всякому ученику очевидно, что 1000 делится на 125.

Но здесь нужно помнить, что 1000 = 103, а 10 = 2 ∙ 5, поэтому

\[\begin{align}& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end{align}\]

Таким образом, любая степень десятки раскладывается лишь на множители 2 и 5 - именно эти множители нужно искать и в числителе, чтобы в итоге всё сократилось.

На этом урок окончен.

Переходим к более сложной обратной операции - см. «Переход от обыкновенной дроби к десятичной».

Десятичная дробь состоит из двух частей, которые разделены запятыми. Первая часть - это целая единица, вторая часть - это десятки (если число после запятой одно), сотни (два числа после запятой, как два нуля в ста), тысячные итд. Посмотрим на примеры десятичной дроби: 0, 2; 7, 54; 235,448; 5,1; 6,32; 0,5. Всё это - десятичные дроби. Как же перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Пример первый

У нас есть дробь, к примеру, 0,5. Как уже выше писалось, она состоит из двух частей. Первое число 0, показывает, сколько целых единиц у дроби. В нашем случае их нет. Второе число показывает десятки. Дробь даже читается ноль целых пять десятых. Десятичное число перевести в дробь теперь не составит труда, пишем 5/10. Если видите, что у цифр есть общий делитель, можете сократить дробь. У нас это число 5, поделив обе части дроби на 5, получаем - 1/2.

Пример второй

Возьмем более сложную дробь - 2,25. Читается она так - две целых и двадцать пять сотых. Обратите внимание - сотых, так как чисел после запятой две. Теперь можно перевести в обыкновенную дробь. Записываем - 2 25/100. Целая часть - 2, дробная 25/100. Как и в первом примере, эту часть можно сократить. Общим делителем для цифр 25 и 100 является число 25. Заметьте, что мы всегда подбираем наибольший общий делитель. Разделив обе части дроби на НОД, получили 1/4. Итак, 2, 25 это 2 1/4.

Пример третий

И для закрепления материала возьмем десятичную дробь 4,112 - четыре целых и сто двенадцать тысячных. Почему тысячных, думаю, ясно. Записываем теперь 4 112/1000. По алгоритму находим НОД чисел 112 и 1000. В нашем случае - это число 6. Получаем 4 14/125.

Вывод

Разбиваем дробь на целую и дробную части.
Смотрим, сколько цифр после запятой. Если одна - это десятки, две - сотни, три -тысячные итд.
Записываем дробь в обыкновенном виде.
Сокращаем числитель и знаменатель дроби.
Записываем полученную дробь.
Выполняем проверку, делим верхнюю часть дроби на нижнюю. Если есть целая часть, прибавляем к полученной десятичной дроби. Получился исходный вариант - замечательно, значит, вы все сделали правильно.

На примерах я показала, как можно перевести десятичную дробь в обыкновенную. Как видите, сделать это очень легко и просто.

Бывает, что для удобства расчетов нужно перевести обыкновенную дробь в десятичную и наоборот. О том, как это делать, мы поговорим в данной статье. Разберем правила перевода обыкновенных дробей в десятичные и обратно, а также приведем примеры.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Мы будем рассматривать перевод обыкновенных дробей в десятичные, придерживаясь определенной последовательности. Во первых, рассмотрим, как в десятичные переводятся обыкновенные дроби со знаменателем, кратным 10: 10, 100, 1000 и т.д.Дроби с такими знаменателями, по сути, являются, более громоздкой записью десятичных дробей.

Далее мы рассмотрим, как переводить в десятичные дроби обыкновенные дроби с любым, не только кратным 10, знаменателем. Отметим, что при обращении обыкновенных дробей в десятичные получаются не только конечные десятичные, но и бесконечные периодические десятичные дроби.

Приступим!

Перевод обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. в десятичные дроби

Первым делом, скажем, что некоторые дроби нуждаются в определенной подготовке перед обращением в десятичный вид. В чем она заключается? Перед цифрой, стоящей в числителе, необходимо дописать столько нулей, чтобы количество цифр числителя стало равно числу нулей в знаменателе. Например, для дроби 3100 число 0 необходимо один раз дописать слева от 3 в числителе. Дробь 610, согласно изложенному выше правилу, не нуждается в доработке.

Рассмотрим еще один пример, после чего сформулируем правило, которым особенно удобно пользоваться на первых порах, пока опыта в обращении дробей не так много. Так, дробь 1610000 после дописывания нулей в числителе будет иметь вид 001510000.

Как перевести обыкновенную дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. в десятичную?

Правило перевода обыкновенных правильных дробей в десятичные

Записываем 0 и ставим после него запятую.
Записываем число из числителя, которое получилось после дописывания нулей.

Теперь перейдем к примерам.

Пример 1. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

Переведем обыкновенную дробь 39 100 в десятичную.

Сначала смотрим на дробь и видим, что никаких подготовительных действий проводить не нужно - количество цифр в числителе совпадает с количеством нулей в знаменателе.

Следуя правилу, записываем 0 , ставим после него десятичную запятую и записываем число из числителя. Получаем десятичную дробь 0 , 39 .

Разберем решение еще одного примера по этой теме.

Пример 2. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

Запишем дробь 105 10000000 в виде десятичной дроби.

Количество нулей в знаменателе равно 7 , а в числителе только три цифры. Допишем перед числом в числителе еще 4 нуля:

0000105 10000000

Теперь записываем 0 , ставим после него десятичную запятую и записываем число из числителя. Получаем десятичную дробь 0 , 0000105 .

Рассмотренные во всех примерах дроби - обыкновенные правильные дроби. Но как перевести неправильную обыкновенную дробь в десятичную? Сразу скажем, что необходимость в подготовке с дописыванием нулей для таких дробей отпадает. Сформулируем правило.

Правило перевода обыкновенных неправильных дробей в десятичные

Записываем число, которое находится в числителе.
Десятичной запятой отделяем столько цифр справа, сколько нулей есть в знаменателе исходной обыкновенной дроби.

Ниже приведем пример на использование этого правила.

Пример 3. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

Переведем дробь 56888038009 100000 из обыкновенной неправильной в десятичную.

Сначала запишем число из числителя:

Теперь справа отделим десятичной запятой пять цифр (количество нулей в знаменателе - пять). Получим:

Следующий вопрос, который закономерно возникает: как перевести в десятичную дробь смешанное число, если знаменателем его дробной части является число 10, 100, 1000 и т.д. Для обращения в десятичную дробь такого числа можно воспользоваться следующим правилом.

Правило перевода смешанных чисел в десятичные дроби

Выполняем подготовку дробной части числа, если это необходимо.
Записываем целую часть исходного числа и ставим после него запятую.
Записываем число из числителя дробной части вместе с дописанными нулями.

Обратимся к примеру.

Пример 4. Перевод смешанных чисел в десятичные дроби

Переведем смешанное число 23 17 10000 в десятичную дробь.

В дробной части имеем выражение 17 10000 . Выполним его подготовку и допишем слева от числителя еще два нуля. Получим: 0017 10000 .

Теперь записываем целую часть числа и ставим после него запятую: 23 , . .

После запятой записываем число из числителя вместе с нулями. Получаем результат:

23 17 10000 = 23 , 0017

Перевод обыкновенных дробей в конечные и бесконечные периодические дроби

Конечно, можно переводить в десятичные дроби и обыкновенные дроби со знаменателем, не равным 10, 100, 1000 и т.д.

Часто дробь можно легко привести к новому знаменателю, а затем уже воспользоваться правилом, изложенным в первом пункте данной статьи. Например, достаточно умножить числитель и знаменатель дроби 25 на 2, и мы получим дробь 410, которая легко приводится к десятичному виду 0,4.

Однако такой способ перевода обыкновенной дроби в десятичную удается использовать не всегда. Ниже рассмотрим, как поступать, если применить рассмотренный способ невозможно.

Принципиально новый способ обращения обыкновенной дроби в десятичную сводится к делению числителя на знаменатель столбиком. Эта операция очень похожа на деление натуральных чисел столбиком, но имеет свои особенности.

Числитель при делении представляется в виде десятичной дроби - справа от последней цифры числителя ставится запятая и дописываются нули. В получившемся частном десятичная запятая ставится тогда, когда заканчивается деление целой части числителя. Как именно работает этот способ, станет понятно после рассмотрения примеров.

Пример 5. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

Переведем обыкновенную дробь 621 4 в десятичный вид.

Представим число 621 из числителя в виде десятичной дроби, добавив после запятой несколько нулей. 621 = 621 , 00

Теперь разделим столбиком 621 , 00 на 4 . Первые три шага деления будут такими же, как при делении натуральных чисел, и мы получим.

Когда мы добрались до десятичной запятой в делимом, а остаток отличен от нуля, ставим в частном десятичную запятую, и продолжаем делить, не обращая более внимания на запятую в делимом.

В итоге мы получаем десятичную дробь 155 , 25 , которая и является результатом обращения обыкновенной дроби 621 4

621 4 = 155 , 25

Рассмотрим решение еще одного примера, чтобы закрепить материал.

Пример 6. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

Обратим обыкновенную дробь 21 800 .

Для этого в столбик разделим дробь 21 , 000 на 800 . Деление целой части закончится на первом же шаге, поэтому сразу после него ставим в частном десятичную запятую и продолжаем деление, не обращая внимания на запятую в делимом до того момента, пока не получим остаток, равный нулю.

В результате мы получили: 21 800 = 0 , 02625 .

Но как быть, если при делении мы так и не получим в остатке 0. В таких случаях деление можно продолжать бесконечно долго. Однако, начиная с определенного шага, остатки будут периодически повторяться. Соответственно, будут повторяться и цифры в частном. Это значит, что обыкновенная дробь переводится в десятичную бесконечную периодическую дробь. Проиллюстрируем сказанное на примере.

Пример 7. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

Обратим обыкновенную дробь 19 44 в десятичную. Для этого выполним деление столбиком.

Мы видим, что при делении повторяются остатки 8 и 36 . При этом в частном повторяются цифры 1 и 8 . Это и есть период в десятичной дроби. При записи эти цифры берутся в скобки.

Таким образом, исходная обыкновенная дробь переведена в бесконечную периодическую десятичную дробь.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Пусть перед нами несократимая обыкновенная дробь. К какому виду она приведется? Какие обыкновенные дроби переводятся в конечные десятичные, а какие - в бесконечные периодические?

Во первых, скажем, что если дробь удается привести к одному из знаменателей 10, 100, 1000.., то она будет иметь вид конечной десятичной дроби. Чтобы дробь приводилась к одному из таких знаменателей, ее знаменатель должен быть делителем хотя бы одного из чисел 10, 100, 1000 и т.д. Из правил разложения чисел на простые множители следует, что делитель чисел 10, 100, 1000 и т.д. должен, при разложении на простые множители, содержать лишь числа 2 и 5.

Подытожим сказанное:

Обыкновенную дробь можно привести к виду конечной десятичной дроби, если ее знаменатель можно разложить на простые множители 2 и 5.
Если кроме чисел 2 и 5 в разложении знаменателя присутствуют другие простые числа, дробь приводится к виду бесконечной периодической десятичной дроби.

Приведем пример.

Пример 8. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

Какая из данных дробей 47 20 , 7 12 , 21 56 , 31 17 переводится в конечную десятичную дробь, а какая - только в периодическую. Дадим ответ на этот вопрос, не выполняя непосредственно перевода обыкновенной дроби в десятичную.

Дробь 47 20 , как легко заметить, умножением числителя и знаменателя на 5 приводится к новому знаменателю 100 .

47 20 = 235 100 . Отсюда делаем вывод, что данная дробь переводится в конечную десятичную дробь.

Разложение знаменателя дроби 7 12 на множители дает 12 = 2 · 2 · 3 . Так как простой множитель 3 отличен от 2 и от 5 , данная дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби, а будет иметь вид бесконечной периодической дроби.

Дробь 21 56 , во-первых, нужно сократить. После сокращения на 7 получим несократимую дробь 3 8 , разложение знаменателя которой на множители дает 8 = 2 · 2 · 2 . Следовательно, это конечная десятичная дробь.

В случае с дробью 31 17 разложение знаменателя на множители представляет собой само простое число 17 . Соответственно, эту дробь можно обратить в бесконечную периодическую десятичную дробь.

Обыкновенную дробь нельзя перевести в бесконечную и непериодическую десятичную дробь

Выше мы говорили только о конечных и бесконечных периодических дробях. Но может ли какая-либо обыкновенная дробь быть обращена в вид бесконечной непериодической дроби?

Отвечаем: нет!

Важно!

При переводе бесконечной дроби в десятичную получается либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.

Остаток от деления всегда меньше делителя. Другими словами, согласно теореме о делимости, если мы делим какое-то натуральное число на число q, то остаток деления в любом случае не может быть больше, чем q-1. После окончания деления возможна одна из следующих ситуаций:

Мы получаем в остатке 0, и на этом деление заканчивается.
Мы получаем остаток, который при последующем делении повторяется, в результате мы имеем бесконечную периодическую дробь.

Иных вариантов при обращении обыкновенной дроби в десятичную не может быть. Скажем также, что длина периода (количество цифр) в бесконечной периодической дроби всегда меньше, чем число цифр в знаменателе соответствующей обыкновенной дроби.

Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби

Теперь пришло время рассмотреть обратный процесс перевода десятичной дроби в обыкновенную. Сформулируем правило перевода, которое включает три этапа. Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Правило перевода десятичных дробей в обыкновенные дроби

В числитель записываем число из исходной десятичной дроби, отбросив запятую и все нули слева, если они есть.
В знаменатель записываем единицу и за ней столько нулей, сколько цифр есть в исходной десятичной дроби после запятой.
При необходимости сокращаем полученную обыкновенную дробь.

Рассмотрим применение данного правила на примерах.

Пример 8. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

Представим число 3 , 025 в виде обыкновенной дроби.

В числитель записываем саму десятичную дробь, отбросив запятую: 3025 .
В знаменателе пишем единицу, а после нее три нуля - именно столько цифр содержится в исходной дроби после запятой: 3025 1000 .
Полученную дробь 3025 1000 можно сократить на 25 , в результате чего мы получим: 3025 1000 = 121 40 .

Пример 9. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

Переведем дробь 0 , 0017 из десятичных в обыкновенные.

В числителе запишем дробь 0 , 0017 , отбросив запятую и нули слева. Получится 17 .
В знаменатель записываем единицу, а после нее пишем четыре нуля: 17 10000 . Данная дробь несократима.

Если в десятичной дроби есть целая часть, то такую дробь можно сразу перевести в смешанное число. Как это сделать?

Сформулируем еще одно правило.

Правило перевода десятичных дробей в смешанные числа.

Число, стоящее в дроби до запятой, записываем как целая часть смешанного числа.
В числителе записываем число, стоящее в дроби после запятой, отбросив нули слева, если они есть.
В знаменателе дробной части дописываем единицу и столько нулей, сколько цифр есть в дробной части после запятой.

Обратимся к примеру

Пример 10. Перевод десятичной дроби в смешанное число

Представим дробь 155 , 06005 в виде смешанного числа.

Записываем число 155 , как целую часть.
В числителе записываем цифры после запятой, отбросив нуль.
В знаменателе записываем единицу и пять нулей

Поучаем смешанное число: 155 6005 100000

Дробную часть можно сократить на 5 . Сокращаем, и получаем финальный результат:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Перевод бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби

Разберем на примерах, как осуществлять перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные. Прежде чем начать, уточним: любую периодическую десятичную дробь можно перевести в обыкновенную.

Самый простой случай - период дроби равен нулю. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется на конечную десятичную дробь, а процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.

Пример 11. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Обратим периодическую дробь 3 , 75 (0) .

Отбросив нули справа, получим конечную десятичную дробь 3 , 75 .

Обращая данную дробь в обыкновенную по алгоритму, разобранному в предыдущих пунктах, получаем:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Как быть, если период дроби отличен от нуля? Периодическую часть следует рассматривать как сумму членов геометрический прогрессии, которая убывает. Поясним это на примере:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии существует формула. Если первый член прогрессии равен b , а знаменатель q таков, что 0 < q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Рассмотрим несколько примеров с применением данной формулы.

Пример 12. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Пусть у нас есть периодическая дробь 0 , (8) и нам нужно перевести ее в обыкновенную.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Здесь мы имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 0 , 8 и знаменателем 0 , 1 .

Применим формулу:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Это и есть искомая обыкновенная дробь.

Для закрепления материала рассмотрим еще один пример.

Пример 13. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Обратим дробь 0 , 43 (18) .

Сначала записываем дробь в виде бесконечной суммы:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Рассмотрим слагаемые в скобках. Эту геометрическую прогрессию можно представить в следующем виде:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Полученное прибавляем к конечной дроби 0 , 43 = 43 100 и получаем результат:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

После сложения данных дробей и сокращения получим окончательный ответ:

0 , 43 (18) = 19 44

В завершение данной статьи скажем, что непериодические бесконечный десятичные дроби нельзя перевести в вид обыкновенных дробей.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Очень часто в школьной программе математики дети сталкиваются с проблемой, как перевести обычную дробь в десятичную. Для того чтобы перевести обычную дробь в десятичную, вспомним для начала, что такое обычная дробь и десятичная дробь. Обычная дробь – это дробь вида m/n , где m – числитель, а n – знаменатель. Пример: 8/13; 6/7 и т.д. Дроби делятся на правильные, неправильные и смешанные числа. Правильная дробь – это когда числитель меньше знаменателя: m/n, где m 3. Неправильную дробь всегда можно представить в виде смешанного числа, а именно: 4/3 = 1 и 1/3;

Перевод обычной дроби в десятичную

Теперь рассмотрим, как перевести смешанную дробь в десятичную. Любую обыкновенную дробь, будь она правильной или не правильной, можно перевести в десятичную. Для этого нужно числитель разделить на знаменатель. Пример: простая дробь (правильная) 1/2. Делим числитель 1 на знаменатель 2, получаем 0,5. Возьмем пример 45/12, сразу видно, что это дробь неправильная. Здесь знаменатель меньше числителя. Превращаем неправильную дробь в десятичную: 45: 12 = 3,75.

Перевод смешанных чисел в десятичную дробь

Пример: 25/8. Сначала мы превращаем смешанное число в неправильную дробь: 25/8 = 3х8+1/8 =3 и 1/8; затем делим числитель равный 1 на знаменатель равный 8, столбиком или на калькуляторе и получим десятичную дробь равную 0,125. В статье приведены самые легкие примеры перевода в десятичные дроби. Поняв методику перевода на простых примерах, вы легко сможете решать самые сложные из них.