КРУЧЕНИЕ

Последовательность решения задачи

1. Определить внешние скручивающие моменты по формуле

М= Р /ω

где Р - мощность,

ω - угловая скорость.

2. Так как при равномерном вращении вала алгебраическая сумма приложенных к нему внешних скручивающих (вращающих) моментов равна нулю определить уравновешивающий момент, используя уравнение равновесия

∑ М i z = 0

3. Пользуясь методом сечений, построить эпюру крутящих моментов по длине вала.

4. Для участка вала, в котором возникает наибольший крутящий момент, определить диаметр вала круглого или кольцевого сечения из условия прочности и жесткости. Для кольцевого сечения вала принять соотношение диаметров

где d о - внутренний диаметр кольца;

d - наружный диаметр кольца.

Из условия прочности:

Из условия жесткости:

где M zmax - наибольший крутящий момент;

W p - полярный момент сопротивления кручению;

[τ кр ] - допускаемое касательное напряжение

где J p - полярный момент инерции сечения;

G - модуль упругости при сдвиге;

[φ о ] - допускаемый угол закручивания сечении

Сечение вала - круг

Необходимый по прочности диаметр вала:

Необходимый по жесткости диаметр вала:

Сечение вала - кольцо

Необходимый по прочности наружный диаметр кольца:

Необходимый по жесткости наружный диаметр кольца:

Пример 1 . Для стального вала (рис.1) постоянного по длине сечения требуется: 1) определить значения моментов М 2 и М 3 , соответствующие передаваемым мощностям Р 2 и Р 3 , а также уравновешивающий момент М 1 ; 2) построить эпюру крутящих моментов; 3) определить требуемый диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, полагая по варианту (а) (б) - c =d 0 / d=0,8.

Принять: [ τ кр ] = 30 МПа ; [ φ 0 ] = 0,02 рад/м; Р 2 = 52 кВт; Р 3 = 50 кВт; ω = 20 рад/с; G = 8  10 4 МПа

Рис. 1 - Схема задачи

Решение:

1. Определяем внешние скручивающие моменты:

М 2 = Р 2 / ω = 52  10 3 / 20 = 2600 Н  м

М 3 = Р 3 / ω = 50  10 3 / 20 = 2500 Н  м

2. Определяем уравновешивающий момент М 1 :

∑ М i z = 0; М 1 – М 2 – М 3 =0

М 1 = М 2 + М 3 = 5100 Н  м

3. Определяем крутящий момент по участкам вала:

М z I = М 1 = 5100 Н  м

М z II = М 1 – М 2 = 5100 – 2600 = 2500 Н  м

Строим эпюру крутящих моментов М z (рис. 2).

Рис. 2 - Эпюра крутящих моментов

4. Определяем диаметр вала из условий прочности и жесткости, принимая М z max = 5100 Н  м (рис. 2).

а) Сечение вала – круг.

Из условия прочности:

Принимаемd = 96 мм

Из условия жесткости:

Принимаем d = 76 мм

Требуемый диаметр получился больше из расчета на прочность, поэтому его принимаем как окончательный d = 96 мм.

б) Сечение вала - кольцо.

Из условия прочности:

Принимаем d = 114 мм

Из условия жесткости:

Принимаем d = 86 мм

Требуемые диаметры окончательно принимаем из расчетов на прочность:

Наружный диаметр кольца d = 114 мм

Внутренний диаметр коль ца d о = 0,8  d = 0,8  114 = 91,2 мм. Принимаем d о =92 мм .

Задача 1. Для стального вала (рис.3) постоянного поперечного сечения требуется: 1) определить значения моментов М 1 , М 2 , М 3 и М 4 ; 2) построить эпюру крутящих моментов; 3) определить диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, полагая по варианту (а) поперечное сечение вала - круг; по варианту (б) - поперечное сечение вала - кольцо, имеющее соотношение диаметров c =d 0 / d=0,7. Мощность на зубчатых колесах принять Р 2 = 0,5Р 1 ; Р 3 = 0,3Р 1 ; Р 4 = 0,2Р 1 .

Принять: [ τ кр ] = 30 МПа ; [ φ 0 ] = 0,02 рад/м; G = 8  10 4 МПа

Окончательное значение диаметра округлить до ближайшего четного (или оканчивающегося на пять) числа.

Данные своего варианта взять из таблицы 1

Указание. Полученное расчётное значение диаметра (в мм) округлить до ближайшего большего числа, оканчивающегося на 0, 2, 5, 8.

Таблица 1 - Исходные данные

Номер схемы на рисунке 3.2.5

Р 1

Варианты

рад/с

кВт

Рис. 3 - Схема задачи

Задание

Для стального вала круглого поперечного сечения определить значения внешних моментов, соответствующих передаваемым мощ­ностям, и уравновешенный момент (табл.7.1 и табл.7.2).

Построить эпюру крутящих моментов по длине вала.

Определить диаметры вала по сечениям из расчетов на проч­ность и жесткость. Полученный больший результат округлить до ближайшего четного или оканчивающегося на 5 числа.

При расчете использовать следующие данные: вал вращается с угловой скоростью 25 рад/с; материал вала - сталь, допуска­емое напряжение кручения 30 МПа, модуль упругости при сдвиге 8 10 4 МПа; допускаемый угол закручивания = 0,02 рад/м.

Провести расчет для вала кольцевого сечения, приняв с = 0,9. Сделать выводы о целесообразности выполнения вала круглого или кольцевого сечения, сравнив площади поперечных сечений.

Цель работы - научиться выполнять проектировочные и проверочные расчеты круглого бруса для статически определимых систем, проводить проверку на жесткость.

Теоретическое обоснование

Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент. Внешними нагрузками также являются две противоположно направленные пары сил.

Распределение касательных напряжений по сечению при кручении(рис. 7.1)

Касательное напряжение в точке А:

Рис.7.1

(7.1)

где - расстояние от точки А до

центра сечения.

Условие прочности при кручении

; (круг), (7.2)

(кольцо), (7.3)

где М к - крутящий момент в сечении, Н-м, Н-мм;

W p - момент сопротивления при кручении, м 3 , мм 3 ;

[т к ] - допускаемое напряжение при кручении, Н/м 2 , Н/мм 2 .

Проектировочный расчет, определение размеров по­перечного сечения

(7.4)

где d - наружный диаметр круглого сечения;

d B n - внутренний диаметр кольцевого сечения; с = d BK /d.

Определение рационального расположения колесна валу

Рациональное расположение колес - расположение, при кото­ром максимальное значение крутящего момента на валу - наи­меньшее из возможных.

Условие жесткости при кручении

; G ≈ 0,4E (7.5)

где G - модуль упругости при сдвиге, Н/м 2 , Н/мм 2 ;

Е - модуль упругости при растяжении, Н/м 2 , Н/мм 2 .

[φо ] - допускаемый угол закручивания, [φо] = 0, 54-1 град/м;

J p - полярный момент инерции в сечении, м 4 , мм 4 .

(7.6)

Проектировочный расчет, определение наружное диаметра сечения

Порядок выполнения работы

1. Построить эпюру крутящих моментов по длине вала для пред­ложенной в задании схемы.

2. Выбрать рациональное расположение колес на валу и даль­нейшие расчеты проводить для вала с рационально расположенными шкивами.

3. Определить потребные диаметры вала круглого сечения из расчета на прочность и жесткость и выбрать наибольшее из полу­ченных значений, округлив величину диаметра.

4. Сравнить затраты металла для случая круглого и кольцево­го сечений. Сравнение провести по площадям поперечных сечений валов.

Контрольные вопросы

1. Какие деформации возникают при кручении?

2. Какие гипотезы выполняются при деформации кручения?

3. Изменяются ли длина и диаметр вала после скручивания?

4. Какие внутренние силовые факторы возникают при кручении?

5. Что такое рациональное расположение колос на валу?

6. Что такое полярный момент инерции? Какой физический смысл имеет эта величина?

7. В каких единицах измеряется?

Пример выполнения

Для заданного бруса (рис.7.1) построить эпюры крутящих моментов, рациональным расположением шкивов на валу добиться уменьшения значения максимального крутящего момента. Построить эпюру крутящих моментов при рациональном расположении шкивов. Из условия прочности определить диаметры валов для сплошного и кольцевого сечений, приняв с = . Сравнить полученные результаты по полученным площадям поперечных сечений. [τ] = 35 МПа.

Решение

Сечение 2 (рис.7.2б):

Сечение 3 (рис.7.3в):

Рис.7.2

А б в

Рис.7.3

1. Строим эпюру крутящих моментов. Значения крутящих моментов откладываем вниз от оси, т.к. моменты отрицательные. Максимальное значение крутящего момента на валу в этом случае 1000 Н·м (рис.7.1).
2. Выберем рациональное расположение шкивов на валу. Наиболее целесообразно такое размещение шкивов, при котором наибольшие положительные и отрицательные значения крутящих моментов на участках будут по возможности одинаковыми. Из этих соображений ведущий шкив, передающий момент 1000 Н·м, помещают ближе к центру вала, ведомые шкивы 1 и 2 размещают слева от ведущего с моментом 1000 Н·м, шкив 3 остается на том же месте. Строим эпюру крутящих моментов при выбранном расположении шкивов (рис.7.3).

Максимальное значение крутящего момента на валу при выбранном расположении шкивов – 600 Н*м.

Рис.7.4

Момент сопротивления кручению:

Определяем диаметры вала по сечениям:

Округляем полученные значения: , ,

1. Определяем диаметры вала по сечениям при условии, что сечение - кольцо

Моменты сопротивления остаются теми же. По условию

Полярный момент сопротивления кольца:

Формула для определения наружного диаметра вала кольцевого сечения:

Расчет можно провести по формуле:

Диаметры вала по сечениям:

Наружные диаметры вала кольцевого сечения практически не изменились.

Для кольцевого сечения: , ,

1. Для выводе об экономии металла, при переходе на кольцевое сечение, сравним площади сечений (рис.7.4)

При условии что сечение – круг (рис.7.4а)

Сплошное круглое сечение:

При условии, что сечение – кольцо, (рис.7.4б)

Кольцевое сечение:

Сравнительная оценка результатов:

Следовательно, при переходе с кругового на кольцевое сечение экономия металла по весу составит 1,3 раза.

рис.7.4

Таблица 7.1

Таблица 7.2

Вариант	Параметры
a = b = с, м	Р1,кВт	Р2,кВт	Р3,кВт
	1,1	2,1	2,6	3,1
	1,2	2,2	2,7	3,2
	1,3	2,3	2,8	3,3
	1,4	2,4	2,9	3,4
	1,5	2,5	3,0	3,5
	1,6	2,6	3,1	3,6
	1,7	2,7	3,2	3,7
	1,8	2,8	3,3	3,8
	1,9	2,9	3,4	3,9
	2,0	3,0	3,5	4,0
	1,1	3,1	3,4	4,1
	1,2	3,2	3,3	4,2
	1,3	3,3	3,2	4,3
	1,4	3,4	3,1	4,5
	1,5	3,5	2,8	2,9
	1,3	2,1	2,6	3,1
	1,4	2,2	2,7	3,2
	1,5	2,3	2,8	3,3
	1,6	2,4	2,9	3,4
	1,7	2,5	3,0	3,5
	1,8	2,6	3,1	3,6
	1,9	2,7	3,2	3,7
	2,0	2,8	3,3	3,8
	1,1	2,9	3,4	3,9
	1,2	3,0	3,5	4,0
	1,3	3,1	3,4	4,1
	1,4	3,2	3,3	4,2
	1,5	3,3	3,2	4,3
	1,4	3,4	3,1	4,5
	1,9	3,5	2,8	2,9

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Кручение стержня круглого сечения – условие задачи

К стальному валу постоянного поперечного сечения (рис. 3.8) приложены четыре внешних скручивающих момента: кН·м; кН·м; кН·м; кН·м. Длины участков стержня: м; м, м, м. Требуется: построить эпюру крутящих моментов, определить диаметр вала при кН/см2 и построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.

Кручение стержня круглого сечения – расчетная схема

Рис. 3.8

Решение задачи кручение стержня круглого сечения

Определяем реактивный момент, возникающий в жесткой заделке

Обозначим момент в заделке и направим его, например, против хода часовой стрелки (при взгляде навстречу оси z).

Запишем уравнение равновесия вала. При этом будем пользоваться следующим правилом знаков: внешние скручивающие моменты (активные моменты, а также реактивный момент в заделке), вращающие вал против хода часовой стрелки (при взгляде на него навстречу оси z), считаем положительными.

Знак «плюс» в полученном нами выражении говорит о том, что мы угадали направление реактивного момента , возникающего в заделке.

Строим эпюру крутящих моментов

Напомним, что внутренний крутящий момент , возникающий в некотором поперечном сечении стержня, равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к любой из рассматриваемых частей стержня (то есть действующих левее или правее сделанного сечения). При этом внешний скручивающий момент, вращающий рассматриваемую часть стержня против хода часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), входит в эту алгебраическую сумму со знаком «плюс», а по ходу – со знаком «минус».

Соответственно, положительный внутренний крутящий момент, противодействующий внешним скручивающим моментам, направлен по ходу часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), а отрицательный – против ее хода.

Разбиваем длину стержня на четыре участка (рис. 3.8, а). Границами участков являются те сечения, в которых приложены внешние моменты.

Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из четырех участков стержня.

Cечение 1 – 1. Мысленно отбросим (или закроем листком бумаги) левую часть стержня. Чтобы уравновесить скручивающий момент кН·м, в поперечном сечении стержня должен возникнуть равный ему и противоположно направленный крутящий момент . С учетом упомянутого выше правила знаков

кН·м.

Сечения 2 – 2 и 3 – 3:

Сечение 4 – 4. Чтобы определить крутящий момент, в сечении 4 – 4 отбросим правую часть стержня. Тогда

кН·м.

Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим теперь не правую, а левую часть стержня. Получим

Для построения эпюры крутящих моментов проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.8, б). Вычисленные значения крутящих моментов в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой оси. В пределах каждого из участков стержня крутящий момент постоянен, поэтому мы как бы «заштриховываем» вертикальными линиями соответствующий участок. Напомним, что каждый отрезок «штриховки» (ордината эпюры) дает в принятом масштабе значение крутящего момента в соответствующем поперечном сечении стержня. Полученную эпюру обводим жирной линией.

Отметим, что в местах приложения внешних скручивающих моментов на эпюре мы получили скачкообразное изменение внутреннего крутящего момента на величину соответствующего внешнего момента.

Определяем диаметр вала из условия прочности

Условие прочности при кручении имеет вид

,

где – полярный момент сопротивления (момент сопротивления при кручении).

Наибольший по абсолютному значению крутящий момент возникает на втором участке вала: кН·см.

Тогда требуемый диаметр вала определяется по формуле

см.

Округляя полученное значение до стандартного, принимаем диаметр вала равным мм.

Определяем углы закручивания поперечных сечений A, B, C, D и E и строим эпюру углов закручивания

Сначала вычисляем крутильную жесткость стержня , где G – модуль сдвига, а – полярный момент инерции. Получим

Углы закручивания на отдельных участках стержня равны:

рад;

рад;

рад;

рад.

Угол закручивания в заделки равен нулю, то есть . Тогда

Эпюра углов закручивания показана на рис. 3.8, в. Отметим, что в пределах длины каждого из участков вала угол закручивания изменяется по линейному закону.

Пример задачи на кручение "круглого" стержня для самостоятельного решения

Условие задачи на кручение "круглого" стержня

Жестко защемленный одним концом стальной стержень (модуль сдвига кН/см2) круглого поперечного сечения скручивается четырьмя моментами (рис. 3.7).

Требуется:

· построить эпюру крутящих моментов;

· при заданном допускаемом касательном напряжении кН/см2 из условия прочности определить диаметр вала, округлив его до ближайшего из следующих значений 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200 мм;

· построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.

Варианты расчетных схем к задаче на кручение стержня круглого сечения для самостоятельного решения

Пример задачи на кручение круглого стержня – исходные условия для самостоятельного решения

Номер схемы
			Перед решением задачи по сопромату необходимо переписать полностью ее условие с числовыми данными, составить эскиз в масштабе и указать на нем в числах все величины, необходимые для дальнейшего расчета, Решение задач по сопромату дополняйте краткими пояснениями и чертежами, на которых визуализированы входящие в расчет величины, Перед использованием формулы для определения напряженно-деформированного состояния необходимо изучить соответствующую тему лекций по сопромату, чтобы понять физический смысл всех величин, входящих в нее, При подстановке в используемую формулу величин силы, момента или длины необходимо перевести их в одну систему единиц, При решении задач по сопромату точность расчетов не должна превышать трех значащих цифр (результат решения задачи не может быть точнее заложенных в расчетные формулы предпосылок), Заканчивать расчеты нужно анализом результатов - преподавали по сопромату таким образом проверяют ваши работы. Анализ результатов решения поможет избежать нелепых ошибок и оперативно их устранить.

Подобрать размеры поперечного сечения вала (рис. 1) по условию прочности . На участках от сечения 1 до сечения 3 и от сечения 5 до сечения 6 наружный диаметр вала по конструктивным соображениям должен иметь одинаковый размер.

На участке от сечения 1 до сечения 2 вал кольцевого поперечного сечения с n=d B /d=0,4. На участках от сечения 3 до сечения 5 вал подбирается только по условию прочности .

М = 1 кН∙м, [τ ] = 80 МПа.

Решение

Разбиваем вал на силовые участки , строим эпюру крутящего момента (рис. 1,б).

Определяем диаметры вала. На I, II и V участках наружный диаметр вала одинаков. Для них не возможно заранее указать сечение с наибольшим значением касательного напряжения, так как различные участки имеют различные типы поперечного сечения: I участок – кольцевое, II и V – сплошное круглое.

Приходится определять отдельно по условию прочности диаметры для каждого типа поперечного сечения по наиболее нагруженному силовому участку (то есть тому, на котором действует максимальный по абсолютной величине крутящий момент). Окончательно примем наибольший полученный диаметр.

Для участка с кольцевым сечением:

Для вала сплошного поперечного сечения

Окончательно принимаем наибольшее значение полученного диаметра, округленное до целого значения в большую сторону:

d 1 = d 2 = d 5 = 61 мм;

d B1 = n∙d 1 = 0,4∙61 = 24,4 мм.

Наибольшее действующее на этих участках напряжение:

Диаметр вала на III участке (М К3 = 5М = 5 кНм).

Задание 4

Для стального вала постоянного поперечного сечения

1. Определить значение моментов М 1 , М 2, М 3 , М 4 ;

2. Построить эпюру крутящих моментов;

3. Определить диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, приняв поперечное сечение вала - круг

Р 1 = 50 кВт

Р 3 = 15 кВт

Р 4 = 25 кВт

w = 18 рад/сек

w = n = = 30*18/3.14 = 172 об/мин

[ц 0 ] =0,02 рад/м - угол закручивания

G = 8*10 4 Мпа

Определяем внешние моменты:

М 1 = 9550 = 9550 = 2776 Hм = 2,8 кНм;

М 3 = 9550 = 9550 = 832,8 Hм = 0,83 кНм;

М 4 = 9550 = 9550 = 1388 Hм = 1,4 кНм;

Запишем уравнение статики:

УМ = М 1 + М 3 - М 2 + М 4 = 0

И из него найдем величину момента М 2:

М 2 = М 3 + М 1 + М 4 = 832,8 +2776 +1388 = 4996,8 Hм = 5 кНм;

Прежде всего строим эпюру крутящих моментов. Значения крутящих моментов по участкам следующие:

Т 1 = -М 1 = -2,8кНм;

Т 2 = -М 1 - М 3 = -2,8 - 0,83 = - 3,63 кНм;

Т 3 = -М 1 - М 3 + М 2 = -3,63 + 5 = 1,37 кНм.

Строим эпюры:

Вал разбивается на три участка I, II, III.

Находим полярный момент сопротивления вала, требуемый по условию прочности:

W p = = = 121 10 -6 м 3 = 121 см 3

Диаметр сплошного вала определяем с помощью формулы:

W p 0.2d c 3 = 121 cм 3 ,

d c 3 = = 8.46 см 9 см = 90 мм.

Затем рассчитываются диаметры по участкам вала из условия жесткости, т.е. с использованием формулы

d жест1 = = 0,1 м = 100 мм

d жест2 = = 0,1068 м = 107 мм

d жест1 = = 0,0837 м = 84 мм

В качестве окончательных следует выбрать наибольшие значения диаметров, рассчитанные из условия жесткости. Таким образом, окончательный размер диаметра вала таков: d 1 = 107 мм.

Из стандартного ряда: d 1 = 120 мм

Задание 5

На вал жестко насажены шкив и колесо,

Определить силы F 2 .F 2r = 0.4 F 1 если значение силы F 1 задано

Представим физическую систему:

Задачу решаем в следующей последовательности:

1. изображаем на рисунке тело, равновесие которого рассматривается, с действующими на него активными и реактивными силами и выбираем систему осей координат;

2. из условия равновесия тела, имеющего неподвижную ось, определяем значения сил F 2 , F r2 ;

3. составляем шесть уравнений равновесия;

4. решаем уравнения и определяем реакции опор;

5. проверяем правильность решения задачи.

1. Изображаем вал со всеми действующими на него силами, а также оси координат

Рассмотрим систему сил, действующую в системе

Определяем составляющие нагрузки со стороны шкива

Р 1 = (2F 1 + F 1) = 3 F 1 = 3*280 = 840 Н = 0.84 кН

2. Определяем F2 и Fr2. Из условия равновесия тела, имеющего неподвижную ось:

F 2 = = = 507.5 H

F r2 = 0.4F 2 = 0.4*507.5 = 203 H

3. Составляем шесть уравнений равновесия:

УY = -Р 1 - F 2 + A y + B y = 0 (1)

УX = -F 2r + A х + B х = 0 (2)

УМ yС = -Р 1 * 32 + А у * 20 - В у * 10 = 0 (3)

УМ yВ = - Р 1 * 42 + А у * 30 - F 2 * 10 = 0 (4)

УМ xC = А x * 20 - В x * 10 = 0 (5)

УМ хВ = А x * 30 + F 2r * 10 = 0 (6)

Рассмотрим уравнения (3) и (4)

840 * 32 + А у * 20 - В у * 10 = 0

840 * 42 + А у * 30 - 507,5 *10 = 0

Из последнего уравнения:

А у = 40355/30 = 1345 Н

Из первого уравнения:

26880 + 26900 = 10*В у? В у = 20/10 = 2 Н

Рассмотрим уравнения (5) и(6)

А x * 20 - В x * 10 = 0

А x * 30 + 203* 10 = 0

Из последнего уравнения А х = 2030/30 = 67,7 Н

Из первого уравнения: 1353,3 = 10*В у? В у = 1353/10 = 135,3 Н

Проверку произведем по уравнениям (1) и (2):

УY = -840 - 507,5 + 1345 + 2 = 0

УX = -203 + 67,7 + 135,3 = 0

Расчеты произведены верно. Окончательно реакции опор А и В:

А = = = 1346,7 Н

В = = = 135,3 Н